专题02 相交线与平行线11大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 相交线与平行线 题型1 相交线（常考点） 题型7 根据平行线的性质探究角的关系（难点） 题型2 用直尺、三角板画平行线（常考点） 题型8 根据平行线的性质求角的度数 （难点） 题型3 平行公理 题型9 根据平行线判定与性质求角度 （难点） 题型4 反证法 题型10 根据平行线判定与性质证明 （难点） 题型5 同位角、内错角、同旁内角（常考点） 题型11 命题与证明（常考点） 题型6 平行线的判定与性质（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 相交线（共7小题） 1．（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、和不是对顶角，故不符合题意； B、和不是对顶角，故不符合题意； C、和不是对顶角，故不符合题意； D、和是对顶角，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是______． 【答案】 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、对顶角相等 【分析】本题考查了余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，属于基础题，计算过程中细心即可． 根据余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么________． 【答案】 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义和对顶角的性质，解题的关键是由，得，因为，所以，根据对顶角相等得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·上海金山·期中）已知点A为直线上一点，点B在直线外，且A、B两点之间的距离是，如果点B到直线的距离是x，那么x的取值范围是________． 【答案】/ 【知识点】点到直线的距离、垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离， 解题的关键是熟练掌握垂线段最短； 利用垂线段最短即可解答； 【详解】解：当时，， ， 故答案为： 5．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段________的长度表示点A到直线的距离． 【答案】/ 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离的定义得出即可．本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：结合图形，∵ ∴点A到的距离是线段的长度， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画垂线 【分析】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 7．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【知识点】画垂线、点到直线的距离 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 题型二 用直尺、三角板画平行线、垂线（共5小题） 8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、画垂线、用直尺、三角板画平行线、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，画垂线和画平行线，熟知垂线的定义和平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂线和平行线的画法画图即可； （2）由平行线的性质得到，由垂线的定义得到，再根据已知条件得到，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，直线和射线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵比的4倍少， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·上海·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点， (1)过点P画出，交于E． (2)过点P画出于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作平移和垂直，点与直线的距离； （1）平移直线，使经过点，与交于E，此时； （2）用三角板作即可； （3）根据点与直线的距离的定义可得点E到直线的距离是线段的长． 【详解】（1）解：如图，，此时即为所求； （2）解：如图，过点P画出于F； （3）解：∵， ∴点E到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图，在中，    (1)画出点A到边的垂线，垂足为D． (2)过点A作的平行线． (3)点A到直线的距离是线段______的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】（1）根据垂线的画法画图即可； （2）根据平行线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，判断即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）如图，即为所求； （3）点A到直线的距离是线段的长度． 【点睛】本题考查了垂线，平行线，点到直线的距离，掌握相应的画法和定义是解题的关键． 11．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线、画三角形的高 【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据平行线的画法画图即可； （4）可证明，再根据点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：∵， ∴， ∴点到直线的距离是线段的长度． 12．（24-25七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F： (3)过点M画出直线的平行线PQ： (4)点M到点N之间的距离是线段________的长： (5)点O到直线的距离是线段_________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5) 【知识点】两点间的距离、点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据平行线的定义画出图形即可； （4）根据点到点的距离的定义，判断即可． （5）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求； （2）解：如上图所示，直线即为所求； （3）解：如上图所示，直线即为所求； （4）解：点M到点N之间的距离是线段的长； 故答案为：， （5）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 题型三 平行公理（共8小题） 13．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】A 【知识点】平行公理的应用、对顶角相等 【分析】本题考查了平行的传递性、平行线的性质，对顶角，熟练掌握知识点解答本题的关键． 根据平行的传递性可判断A；根据两直线的位置关系可判断B；根据对顶角的性质可判断C；根据平行线的性质可判断D． 【详解】解：A、根据平行的传递性可知A正确，故本选项符合题意； B、若与相交，与相交，则与可能相交或平行，故本选项不符合题意； C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意． 故选：A． 14．（23-24七年级下·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、平行公理的应用、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平行线的判定、平行线的性质以及点到直线的距离定义逐项分析即可． 【详解】解：A. 两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，故原说法错误，不符合题意； B. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，该说法正确，符合题意； C.两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行，故原说法错误，不符合题意； D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 15．（24-25七年级下·上海·期中）写出任意一条本学期学过的公理：___________． 【答案】平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了数学知识，写出学过的公理即可，熟练掌握所学过的公理是解此题的关键． 【详解】解：平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故答案为：平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 16．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______． 【答案】（或垂直）． 【知识点】垂线的定义理解、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的性质，解题的关键是根据平行和垂直的传递性判断直线、的位置关系． 利用平行线的性质和垂线的定义，通过分析直线、与直线的关系，得出直线、的位置关系． 【详解】，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 17．（24-25七年级下·上海·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作， ∵， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为_______． 【答案】/122度 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论，掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，进而得到，由平行线的性质求，继而得到，再根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 19．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线上，，说明与平行的理由． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性；由可分别得，则；由得，则，由平行的传递性质即可得与平行． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知，，那么等于多少度？为什么？ 请将说理过程补充完整； 解：过点作， 得（ ）． 因为（已知），（已作）， 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补）， 所以 °（ ）， 即， 因为（已知）， 所以 °（等式性质）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推理；；；等式的性质；． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推理，掌握平行线的性质及平行公理的推理是解题的关键． 【详解】解：过点作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知），（已作）， 所以（平行公理的推理）， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式的性质）， 即， 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推理；；；等式的性质；． 题型四 反证法（共5小题） 21．（24-25七年级下·上海青浦·期末）用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】反证法证明命题：在中，，求证：， 第一步应先假设， 故选：B． 22．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键．反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设． 故选：B． 23．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即． 故答案为：． 24．（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【答案】；两直线平行，内错角相等； 【知识点】用反证法证明命题、两直线平行内错角相等 【分析】利用反证法进行证明，先假设，再证明与原已知条件不符即可． 【详解】证明：假设，则根据两直线平行，内错角相等， 可得． 这与矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 25．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 题型五 同位角、内错角、同旁内角（共5小题） 26．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，原说法正确，符合题意； D、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； 故选C． 27．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角，位于截线的同侧，且都在被截线的同一方，这样的一对角是同位角；根据同位角的概念结合图形判断即可． 【详解】解：由图知，与位于截线的同侧，且都在被截线的同一方，这两个角是同位角； 故选：B． 28．（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，根据内错角的定义解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上，那么这个图形表示的是内错角， 故选：C． 29．（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 【答案】 同位角 同旁内角 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可． 【详解】如图，与是同位角，与是同旁内角． 故答案为：同位角，同旁内角． 30．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图所示的5个角中，内错角有_____对，同旁内角有______对．    【答案】 2 3 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答． 【详解】解：由图可知： 内错角有：和，和，共2对， 同旁内角有：和，和，和，共3对， 故答案为：2，3． 【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“ ”形，内错角的边构成“ ”形，同旁内角的边构成“”形． 题型六 平行线的判定与性质（共11小题） 31．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）下列说法不是平行线判定的是（    ） A．平行于同一直线的两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、平行公理的应用 【分析】根据平行线的性质和判定，逐个进行判断即可． 【详解】解：B、两直线平行，同位角相等，是平行线的性质，不是平行线的判定定理，符合题意； A、C、D均是平行线的判定，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 32．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行的判定进行判定即可． 【详解】解：，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项A不符合题意； 不一定能判定，故选项B符合题意； ，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项C不符合题意； ，根据内错角相等，两直线平行，可得，故选项D不符合题意； 故选B． 33．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ，故选项不符合题意； B、∵，，故选项不符合题意； C、，不能判定，故选项符合题意； D、∵，，故选项不符合题意； 故选：C． 34．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，下列条件可以推出的有（   ） ①；        ②；     ③；    ④． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：由根据内错角相等，两直线平行可得出，①符合题意； 由，根据内错角相等，两直线平行可得，②不符合题意； 由，根据同旁内角互补，两直线平行可得，③不符合题意； 由，根据同旁内角互补，两直线平行可得，④符合题意； 故选：A． 35．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，以下条件能判定的是__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③⑤/⑤③ 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故⑤符合题意； 故答案为：③⑤． 36．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，平分，，如果，那么___________ 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可求出，最后再根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 37．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，平分，平分，如果，那么________． 【答案】155 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 利用邻补角互补，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵和互补， ∴． 故答案为：155． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学员在练车场练习开小轿车，第一次向左拐弯行驶一段后，第二次向右拐弯，如图．经过两次拐弯后行驶的方向与原来行驶的方向_______（填“平行”或“不平行”）． 【答案】平行 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的性质是解题的关键，根据图形可知两次拐弯得到的角为同位角； 两次拐弯得到的角都是，再根据同位角相同，两直线平行，即可解题． 【详解】解：根据图意，由同位角相同，两直线平行可知，经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向平行． 故答案为：平行． 39．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【答案】见解析 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，垂直的定义，根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：，（已知）， ，（垂直的定义）， 即、， 又（已知）， （等角的余角相等） ∴（同位角相等，两直线平行）． 40．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等得到，，再等量代换即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴． 41．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，试说明的理由． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，则问题得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七 根据平行线的性质探究角的关系（共6小题） 42．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】过C作，过M作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过C作，过M作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 43．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么________ 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质、角度的关系，由题意可得，根据的两边与的两边分别平行，得出或，分别求解即可． 【详解】解：∵比的3倍少， ∴， ∵的两边与的两边分别平行， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 44．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 【答案】 【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 45．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是________． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，由对顶角相等得：，，， ∵， ，， ，， 故答案为：． 46．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 47．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3： 【知识点】图形类规律探索、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的公理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和公理 根据平行线的性质和公理即可解答 【详解】解：问题1： ，理由如下： 过点P作，如图所示： ， ， 又， ， ， ； 问题2：过点Q作如图所示： ，， ， 由问题1结论可知：， ， ， ， ； 问题3： 过点作如图所示： , 同理可得：， 故答案为： 题型八 根据平行线的性质求角的度数（共8小题） 48．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 所以的度数是， 故选： C． 49．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，进而得到，利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意，得：， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 50．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，其中一个角的大小为，那么另一个角的大小为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，分角两边同向平行和角一边反向平行两种情况求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 当两边同向平行时，如图所示 ∵，， ∴， 解得：， 当一边反向平行时，如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， 不妨设，则； 故选：C． 51．（24-25七年级下·上海·期中）如图，直线a，b被直线c所截，，如果，那么的大小为______． 【答案】/100度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质． 先根据平角的定义得到，再根据平行线的性质作答即可． 【详解】解：如图所示， ，， ． 又， ， 故答案为：． 52．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 【答案】66 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 53．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，平面镜与平面镜平行，光线射向平面镜后，光的传播路线为，已知，，，那么________． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角度，由平行线的性质可得，结合题意即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 54．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒或秒或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，全面分类、熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分五种情况，分别画出图形，利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 55．（23-24七年级下·上海闵行·期中）闵行区今年实施了滨水步道的升级改造，某河道两岸安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．    (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光线会互相平行？请直接写出答案． 【答案】(1)， (2) (3)15秒或82.5秒 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、其他问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由非负数的性质即可得出结果； （2）如图1，过点作，可得，设两灯转动时间为秒，则，，根据角的和差关系得到关于的方程，解方程即可求解； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯射线到达之前；②在灯射线到达之后；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，； （2）解：如图，过点作，     ， ， 设两灯转动时间为秒，则，， ， ，， ， ， 解得， ， ； （3）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①如图，     ， ， ， ， ， 在灯射线到达之前，由题意得：， 解得：； ②如图，       ， ， ， ， ， 在灯射线到达之后，由题意得：， 解得：． 综上所述，灯转动15秒或秒时，两灯的光束互相平行． 题型九 根据平行线判定与性质求角度（共7小题） 56．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，平分，平分，的反向延长线交于点M，若，则_________． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义．过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 57．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么_________°． 【答案】50 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．首先证明，再利用三角形内角和是，求解即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：50． 58．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 59．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 【答案】/100度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故答案为：． 60．（24-25七年级下·上海闵行·月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 【答案】/144度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 61．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质， 先利用同旁内角互补证明，再根据内错角相等证明，再根据平行线的性质即可求解 【详解】解：， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 62．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 题型十 根据平行线判定与性质证明 （共5小题） 63．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知，那么与相等的角（不包括本身）共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，由可得，进而根据平行线的性质以及对顶角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与是对顶角，与是对顶角， ∴， ∴与相等的角共有个， 故选：． 64．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 65．（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的判定和性质，根据条件与结论因果关系，平行线的判定和性质直接填写即可得到答案． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 66．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图（a），如果，那么有怎样的位置关系？为什么？ 解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（ ） ∵（ ） 即 ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；180；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点E作，可得，再由，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） 即 ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；180；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 67．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）阅读： 如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（依据1）， 所以（依据2）， ．．．．．． 完成任务： (1)上述的证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1 依据2 (2)请继续完成本题的证明过程． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)见解析 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据平行线的判定和性质回答即可； （2）由，等量代换推出，推出，再根据，即可证明结论． 【详解】（1）解：依据1：同位角相等，两直线平行； 依据2：两直线平行，内错角相等； （2）证明：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 因为，即， 所以（两直线平行，同位角相等）， 所以（垂直的定义）． 题型十一 命题与证明（共8小题） 68．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．点到直线的距离是非负的 B．同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 【答案】B 【知识点】判断命题真假、平面内两直线的位置关系、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据点到直线的距离的定义、平行线的概念、平行公理、平行线的性质判断． 【详解】解：A、点到直线的距离是非负的，是真命题，不符合题意； B、同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，故本选项命题是假命题，符合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，是真命题，不符合题意； D、如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选：B． 68．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，如果________，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、判断命题真假 【分析】本题主要查了平行线的判定．根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：如果，那么，是真命题． 故答案为：（答案不唯一） 70．（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子。 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 71．（24-25七年级下·上海崇明·期中）下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断命题真假、垂线的定义理解、平行公理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角和补角的定义，度数之和为180度的两个角互补，据此可判断①；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据平行公理可判断④；根据垂线的定义可判断⑤． 【详解】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故选：B． 72．（24-25七年级下·上海·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，根据平行线的性质与判定定理可判断①③④，由垂线的定义可判断②． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原命题是真命题． ∴真命题有1个， 故选：A． 73．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列命题中，真命题是（　　） A．三角形的三条高交于同一点； B．在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行： C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行： D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补． 【答案】B 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行同旁内角互补、画三角形的高、判断命题真假 【分析】本题考查了真命题，解题的关键是：明白正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，需要结合所学的定理进行判断．正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，结合所学知识点进行依次判断． 【详解】解：A、三角形的三条高所在直线交于一点，故此命题是假命题，不符合题意； B、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故此命题是真命题，符合题意； C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此命题是假命题，不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 74．（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是_______（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”． 故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形． 75．（24-25七年级下·上海·期中）命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题与定理，根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题． 【详解】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角”． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角. $专题02 相交线与平行线 题型1 相交线（常考点） 题型7 根据平行线的性质探究角的关系（难点） 题型2 用直尺、三角板画平行线（常考点） 题型8 根据平行线的性质求角的度数 （难点） 题型3 平行公理 题型9 根据平行线判定与性质求角度 （难点） 题型4 反证法 题型10 根据平行线判定与性质证明 （难点） 题型5 同位角、内错角、同旁内角（常考点） 题型11 命题与证明（常考点） 题型6 平行线的判定与性质（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 相交线（共7小题） 1．（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是______． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么________． 4．（23-24七年级下·上海金山·期中）已知点A为直线上一点，点B在直线外，且A、B两点之间的距离是，如果点B到直线的距离是x，那么x的取值范围是________． 5．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段________的长度表示点A到直线的距离． 6．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 7．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 题型二 用直尺、三角板画平行线、垂线（共5小题） 8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 9．（24-25七年级下·上海·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点， (1)过点P画出，交于E． (2)过点P画出于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 10．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图，在中，    (1)画出点A到边的垂线，垂足为D． (2)过点A作的平行线． (3)点A到直线的距离是线段______的长度． 11．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 12．（24-25七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F： (3)过点M画出直线的平行线PQ： (4)点M到点N之间的距离是线段________的长： (5)点O到直线的距离是线段_________的长． 题型三 平行公理（共8小题） 13．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 14．（23-24七年级下·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 15．（24-25七年级下·上海·期中）写出任意一条本学期学过的公理：___________． 16．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是______． 17．（24-25七年级下·上海·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 18．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为_______． 19．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线上，，说明与平行的理由． 20．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知，，那么等于多少度？为什么？ 请将说理过程补充完整； 解：过点作， 得（ ）． 因为（已知），（已作）， 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补）， 所以 °（ ）， 即， 因为（已知）， 所以 °（等式性质）． 题型四 反证法（共5小题） 21．（24-25七年级下·上海青浦·期末）用反证法证明“已知：在中，，求证：”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·上海·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 24．（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 25．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 题型五 同位角、内错角、同旁内角（共5小题） 26．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 27．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·上海·期中）如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 29．（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是___________角，与是___________角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 30．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图所示的5个角中，内错角有_____对，同旁内角有______对．    题型六 平行线的判定与性质（共11小题） 31．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）下列说法不是平行线判定的是（    ） A．平行于同一直线的两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 32．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 34．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，下列条件可以推出的有（   ） ①；        ②；     ③；    ④． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 35．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，以下条件能判定的是__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 36．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，平分，，如果，那么___________ 37．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，平分，平分，如果，那么________． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学员在练车场练习开小轿车，第一次向左拐弯行驶一段后，第二次向右拐弯，如图．经过两次拐弯后行驶的方向与原来行驶的方向_______（填“平行”或“不平行”）． 39．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 40．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 41．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，试说明的理由． 题型七 根据平行线的性质探究角的关系（共6小题） 42．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 43．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么________ 44．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 45．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是________． 46．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 47．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 题型八 根据平行线的性质求角的度数（共8小题） 48．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 49．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，其中一个角的大小为，那么另一个角的大小为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 51．（24-25七年级下·上海·期中）如图，直线a，b被直线c所截，，如果，那么的大小为______． 52．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 53．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，平面镜与平面镜平行，光线射向平面镜后，光的传播路线为，已知，，，那么________． 54．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 55．（23-24七年级下·上海闵行·期中）闵行区今年实施了滨水步道的升级改造，某河道两岸安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．    (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光线会互相平行？请直接写出答案． 题型九 根据平行线判定与性质求角度（共7小题） 56．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，平分，平分，的反向延长线交于点M，若，则_________． 57．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么_________°． 58．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 59．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么_________． 60．（24-25七年级下·上海闵行·月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 61．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如图，已知，，，求的度数． 62．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 题型十 根据平行线判定与性质证明 （共5小题） 63．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，已知，那么与相等的角（不包括本身）共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 64．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 65．（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 66．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图（a），如果，那么有怎样的位置关系？为什么？ 解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（ ） ∵（ ） 即 ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 67．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）阅读： 如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（依据1）， 所以（依据2）， ．．．．．． 完成任务： (1)上述的证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1 依据2 (2)请继续完成本题的证明过程． 题型十一 命题与证明（共8小题） 68．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．点到直线的距离是非负的 B．同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 68．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，如果________，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 70．（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 71．（24-25七年级下·上海崇明·期中）下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 72．（24-25七年级下·上海·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 73．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列命题中，真命题是（　　） A．三角形的三条高交于同一点； B．在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行： C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行： D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补． 74．（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是_______（用“如果…那么…”的形式写出）． 75．（24-25七年级下·上海·期中）命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是______. $