建立函数模型解决实际问题应用课件-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

建立函数模型解决实际问题 学习目标 2. 理解运用函数建立数学模型的过程与方法. 1. 理解并会应用指数函数模型. 3.了解函数拟合的思想方法及函数模型的广泛应用. 数学学科核心素养 1.数学抽象 2.逻辑推理 3.数学建模 4.数学运算 5.直观想象 6.数据分析 引入课题 华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学．” 数学来源于生活，又服务于生活. 本节课我们就来研究函数模型的应用实例. 知识回顾 指数函数与指数函数模型 函数 函数解析式 图象特征 特性 指数函数 过(0,1)曲线 基本经验积累 1.指数函数 2.指数型函数模型 f(x)＝kax＋b (a，b，k为常数，k≠ 0，a＞0且a≠1) ax+C/ax＝aC (C:常数) 基本知识 f(x)＝ax 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模 (Mathematical Modeling) 　　对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学模型 数学建模 知识准备 （一）观察实际情景，发现和提出问题 分析：显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题.为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 数学建模 （二）收集数据 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 数学建模 表1 1.应该如何收集数据？谁能介绍具体做法和遇到的困惑？ 2. 仔细观察这组数据，在观察过程中你能发现什么？你又能想到什么？ 答：温度与时间之间存在某种函数关系或温度与时间之间有某种联系 数学建模 （三）分析数据 3.每一个时刻对应几个温度？温度与时间之间是函数关系吗？ 谁是谁的函数？ 4. 我们能否用确定的函数模型来刻画他们的关系？ 为了研究规律，我们用学过的函数模型近似的刻画他们之间的关系,这在数学上称为函数的拟合。 5.我们有没有更加直观的方法帮助我们选择熟悉的函数模型呢？ 答：画出散点图 （三）分析数据 设茶水温度从85℃开始，经过x min后的温度为y℃，根据表1，画散点图1. 数学建模 答：观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数 y=kax+b (k,b∈R,0<a<1,x≥0) 来近似地刻画茶水温度随时间变化规律. 图1 时间 /分钟 温度/℃ 6.观察散点分布特点，与学过的常见函数图像对比，说明应该选择怎样的函数模型？ （四）建立模型 因为y-25 = kax(k∈R,0<a<1,x≥0)，为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y-25)的值与上一分(y-25)的值的比值，列出表2 x 0 1 2 3 4 5 y-25 60.00 54.19 49.75 46.19 43.19 40.10 比值 0.9032 0.9181 0.9284 0.9351 0.9285 7.怎么求函数模型y = kax+b(k∈R,0<a<1,x≥0)中的k和b？ 数学建模 表2 8.怎么估算a的值？ 答： 边界条件： ==> X=0时，y=85 X→+∞时，y=25 b=25 K=60 计算各比值的平均值，得 我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型 1.能否直接将表1中的一组数据带入 y=60ax+25 求 a ？这与用比值的平均值作为a建立函数模型有什么差异？ 2.能否转化为一次函数模型，然后求解？ 3.能否用一次函数模型求解？ ① 数学建模 课后思考 （五）检验模型 将已知数据带入①式，或画出函数①的图象（图2），可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律. 数学建模 图2 时间 /分钟 温度/℃ 9.如何检验函数模型的适用性？ （六）求解模型 将y=60代入 ，得 解得 由计算器解得 x ≈ 6.6997 （分） 所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约时 7 分钟. 数学建模 10.如何求出刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 总结： 观察实际情景 发现和提出问题 收集数据 建立函数模型 求解函数模型 实际问题的解 分析 检验 符合实际 不 符 合 实 际 11.数学建模步骤是什么 ？ 通过简化假设形成一个比较清晰的“数学问题”; 注意在合理与简化之间作出折中 了解实际背景，明确建模目的 搜集有关信息，掌握对象特征 用数学的语言、符号描述问题，尽量采用简单的数学工具。发挥想像力，使用类比法 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析。检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性 实际问题 数学模型 实际问题的解答 数学模型的求解 表述 求解 解释 验证 (归纳) (演绎) 实践 现实世界 数学世界 理论 实践 总结升华 数学建模的全过程 这节课你学到了什么？印象最深的是什么？还有一些什么想法？ 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识，找出反映内部 机理的数量规律 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析， 找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。 二者结合 用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数 数学建模的基本方法 能力提升 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 如虎添翼 能力提升 数学建模的具体应用 应用探究 （一）数学建模活动的选题 请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题得活动.可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个： 1. 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？ 2. 根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重. 3. 用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法. 4. 估计阅读一本书所需要的时间. 也可以根据自己的兴趣，与老师协商后去顶一个课题进行研究. （二）数学建模活动的要求 1. 组建合作团队 数学建模活动需要团队协作.首先，在班级中组成3~5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组.在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工，拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告. 2. 开展研究活动 根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究.在研究过程中，可以借助信息技术解决问题. 应用探究 3. 撰写研究报告 以小组为单位，撰写一份研究报告. 4. 交流展示 (1) 对同一个课题，先由3~4个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短，在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告.选定代表，制作向全班汇报的演示文稿. (2) 与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足.开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动. 应用探究 （三）数学建模活动研究报告的参考形式 1.课题名称 2.课题组成员及分工 3.选题的意义 4.研究计划（包括对选题的分析，解决问题的思路等） 5.研究过程（收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等 6.研究结果 7.收获与体会 8.对此研究的评价（由评价小组或老师填写） 建立函数模型解决实际问题 年 班 完成时间： 应用探究 $