专题05 导数与函数（7大考点）（江苏专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题05 导数与函数 7大考点概览 考点01导数的概念与运算 考点02导数的几何意义 考点03导数与单调性 考点04导数与极值最值 考点05导数与零点 考点06导数与不等式 考点07导数综合应用 ( 导数 的 概念与 运算 考点1 ) 1．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 2．（2026·江苏·一模）已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（   ） A．2026 B．1013 C．1 D．-1 【答案】D 【详解】因为且，所以， 因为，所以关于直线对称， 则原函数关于点对称，所以 所以， 令，则，即， 所以， 所以的周期为， 又，即，所以的周期也为， 由得， 由得，所以， 由得，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又， 所以. ( 导数的几何意义 考点 2 ) 3．（2026·江苏·一模）已知直线与函数的图象相切，则实数_____． 【答案】/ 【分析】设函数在点处的切线为，根据导数的几何意义列式计算可求得. 【详解】设函数在点处的切线为， 函数的定义域为. 由，得，所以， 所以，解得（舍去）或. 又，所以切点为， 又切点在直线上，所以，解得. 故答案为：. 4．（2026·江苏·一模）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合题意列式计算即可求解. 【详解】， ， 由题意可得，解得. 故答案为：. 5．（2026·江苏·一模）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 6．（2026·江苏南通·一模）已知曲线在处的切线方程为，则_____． 【答案】/ 【分析】由导数的几何意义及切点处的函数值求解. 【详解】由已知切点坐标为，因为，切线方程为， 则由导数的几何意义可得，解得， 又切点在曲线上，所以，解得. 故答案为：. 7．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【详解】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 8．（2026高三·江苏·一模）已知 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）先利用导数，求得，再结合求导判断函数的单调性，求得极值，判断函数图象趋势，利用函数与方程的思想即可求出的范围. 【详解】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）依题意，在处有极值， 因， 由，解得， 则，， 由可得或， 由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在时取得极大值为， 在时，取得极小值为， 当时，，当时，. 由图可知，若关于的方程有3个不同的实根， 则必有，即， 故实数的值为，实数的取值范围为. 9．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （2）求导，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． ( 导数与单调性 考点 3 ) 10．（2026·江苏扬州·一模）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． (3) 【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案 （3）利用导数研究函数的单调性，分别求出和的最值，将不等式能成立问题转化为最值问题，求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. （2），由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2          - 0    + 0    - 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： x      2     - 0    + 0    - 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为． 11．（2026·江苏·一模）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由题可得，解出和的解集即可求解. （2）由已知可得存在，使得成立，因为时，，故存在，用参变分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值即可求解； （3）令，利用导数分析在上的单调性，利用零点存在性定理可知，求得，证明出，结合的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以，在上单调递增，在上单调递减． （2）由题可知存在，使得成立， ∵时，，故存在，使得． 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故． （3）． 证明：由可得， 令，则． 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 所以，，， 同理可得， 且， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 故，即, 取，则, 12．（2026·江苏·一模）设函数． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且存在，使得，证明：．附 【答案】(1)时，的增区间为，无减区间；时，增区间为，减区间为. (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （2）根据极值点可得，再根据结合代数变形可证. 【详解】（1）解：， 当时，（不恒为零），的增区间为，无减区间； 若，则当时，， 当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上：时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. （2）证明：因为是的极值点，故，故， 所以， 因为存在，使得， 所以，即， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为 所以，即， 所以，即， 因为， 所以，即. ( 导数与极值最值 考点 4 )13．（2026·江苏·一模）已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】令导函数为可得方程，由极值点为方程的根可得，再由等差数列性质可得. 【详解】由得，， 令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0， 因为为函数的两个极值点， 是方程的两正根，由韦达定理可得， ，因为为等差数列，所以. 故选：B. 14．（2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用球半径相等条件，建立圆锥母线、高、底面半径的关系等式，再根据侧面积公式，构造函数求导分析最值，确定高和底面半径，最后根据体积公式求得圆锥体积. 【详解】如图，圆锥顶点为，底面圆心为，底面圆周与顶点均在球心为的球面上. 先设参数确定圆锥侧面积，记，，，由，圆锥侧面积为， 由直角三角形和直角三角形可得，， 于是， 令，. 求导，令，解得（舍去），，所以在上单调递增；在上单调递减. 所以时，取得最大值，即圆锥的侧面积最大， 此时，所以圆锥体积. 15．（2026·江苏·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 【答案】(1)分布列见解析，80.8 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 【分析】（1）依题意确定X的可能取值，并利用独立事件的概率乘法公式计算出对应的概率，列出分布列并计算出数学期望； （2）（ⅰ）分别求出支付金额的期望与优惠券成本的期望，代入期望利润的公式，计算即得；（ⅱ）利用求导判断的单调性，即可证明在内存在唯一极大值点，进而求得期望利润的最大值. 【详解】（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， ． 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：． （2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望， 则支付金额的期望为： ； 优惠券成本的期望为 ． ∴ ． （ⅱ） 令．解得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； ∴在内存在唯一极大值点， 又， ∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 16．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)求的定义域； (2)当时， （i）若，证明：； （ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据真数大于零，结合余弦函数性质，即可得答案. （2）（i）利用导数求出的单调区间和极值，分析即可得证. （ii）分别讨论和两种情况，导数求出的单调区间，进而可得其极值点个数，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）由，解得， 所以的定义域为 （2）当时， （i）证明如下：若，则， 所以， 令， 则， 因为， 而，且， 则，所以函数在区间上单调递减， 又，则当时，， 当时，， 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 于是. （ii）由题意可知， 若，当时，由（i）可知， 再由为奇函数可知， 当时，． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时存在唯一的极大值点． 若，令， 则， 令，函数， 则，故在上单调递增． 因为，故存在使得． 当时，； 当时，． 记且，则当或时，单调递减； 当时，单调递增． 又因为， 当时，，当时，， 再由为奇函数可知， 存在，使得． 当或时，单调递增； 当或时，单调递减， 此时存在两个极大值点和和一个极小值点，共三个极值点． 综上所述，实数的取值范围为． 17．（2026·江苏·一模）已知函数，. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值； (3)若当且仅当，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）就、和分类讨论后可得函数的单调性； （2）利用因式分解可得有两个不等的实数根，结合实数根的性质可求得根及的范围，再结合斜率比值可求的值； （3）利用特值探路可得，再结合放缩法及虚设零点，利用导数证明前者为充分条件后可得参数的范围. 【详解】（1）， 令得或， ①当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极大值点，不符合题意. ②当，即时，恒成立，无极值点，不符合题意. ③当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极小值点，符合题意. 综上可知，的取值范围是. （2）由得或， 设，则，所以有两不等实根. 所以，，， 又因为，所以，， 则，且，故， 且，而， 所以，， 则，解之得或8（舍去）. （3）因为当且仅当，所以，则 因为，当时，，不符合题意； 当时， ①当时，， 记，， 若，，则单调递增，所以. 若，令，， 令，，易得单调递增， 所以，即， 则使，列表得： 0 极小值 因为，，所以使，列表得 0 极小值 又因为，，使，列表得 0 极大值 又，，所以，则当时，. ②当时， ， 设，则， 当时，， 故在上单调递增，故即， 设，则， 设，则， 在上为减函数，故，， 故在上存在一个零点，使得， 且当时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 而，，故存在，使得， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 而，故存在，使得， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 而，故在上恒成立. 综上，当时，即， 综上可得，的取值范围是. 18．（2026·江苏·一模）过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. (1)求双曲线方程； (2)过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由已知可得出，利用点到直线的距离公式可得出，再利用、、的关系求得的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）设直线方程，则，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，可得出，由可求得的值； （ii）由已知可得，令，可得出，利用导数求出函数的值域，即可得出的最小值. 【详解】（1）解：双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 双曲线上一点到渐近线距离之积， 即，又，， 所以双曲线方程为. （2）解：（i）设直线方程，则，设点、， 联列方程组，可得， 由题意可得且恒成立， 又，， 直线的方程为，令，有， 即，同理， 直角三角形中，设直线交轴于点， 因为，则， 所以，，所以，， 则 ， 即， 当时，因为，可得； （ii）由（i）知：，从而， 令，则， 则 ，则， 当时，；当时，， 所以在上递增，在上递减，故，所以最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． ( 导数与零点 考点 5 )19．（2026·江苏·一模）已知函数. (1)对任意，是的必要条件，求的最小值； (2)对任意，函数存在两个零点. （i）求的取值范围； （ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知条件可得在上单调递增，即在恒成立，计算即可； （2）（i）由已知构造函数可得存在两个零点，利用导数证明单调性，进而只需，即，利用导数计算可得的取值范围；（ii）将同构为，将方程的两根转化的两根为，利用导数及数形结合推理可得. 【详解】（1）∵对任意，是的必要条件， ∴， 在上单调递增， 则，即在上恒成立， 令，， 在单调递减， . （2）（i）因为对有两个不等的实根， 所以有两个零点 令， 当，则，当，则， 所以在单调递减；单调递增， ， 要使有两个零点，只需， 即，令， 在(0,1)单调递增；单调递减， . (ii)令，则，，即， 构造方程，两根为， 令，其中的两根为 令则，令，则， 在单调递减；单调递增，作出大致图象如下： 令， 在单调递减；单调递增， 当时，，此时最小. 取最小值时，. 20．（2026·江苏南通·一模）已知函数． (1)当时，求的零点； (2)给定数集，任给，对应关系使函数的零点与对应． ①证明：是函数，并讨论该函数的单调性； ②若数列满足，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析，在上单调递减；②证明见解析 【分析】（1）根据导数得出函数单调递增结合求解； （2）①应用导函数得出在上单调递增结合，应用零点存在定理证明；方法一：应用构造应用导数得出单调性结合单调性定义证明单调递减；方法二：两边对求导化简得出恒成立证明函数单调性； ②根据①得，构造，应用导函数得出在上单调递减得出，结合数列求和证明不等式. 【详解】（1）当时，， 由，得在上单调递增． 因为，所以的零点为． （2）①当时，， 所以在上单调递增． 设，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以，即，当时取等号， 因为，， 所以，使得，所以存在唯一零点， 所以对于任意一个的值，都有唯一零点与之对应， 所以是函数． 下面讨论该函数的单调性： （方法一）在任取，且． 设， 所以，且， 所以． 因为，所以． 设， 当时，，所以在上单调递增． 因为，所以， 所以函数在上单调递减． （方法二）由，两边对求导， 得，所以， 所以恒成立，所以， 所以函数在上单调递减． ②由①知，． 由得， 由及可得，解得， 所以，解得， 所以． 由，得， 所以． 设，所以， 所以在上单调递减，所以，所以． 因为，所以 ． 所以得证． ( 导数与不等 式 考 点 6 )21．（2026·江苏·一模）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 22．（2026·江苏·一模）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断. 【详解】令，因为当时，， 所以，所以在单调递增， 定义域为，对， 且，所以是偶函数， 对于A、B：因为，即，所以，A、B错误； 对于C：因为，即，所以，C正确； 对于D：因为，即，所以，D错误. 故选：C. 23．（2026·江苏·一模）（多选）已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合； 当且时，，故． 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以，所以， 所以，故A正确； 令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误； 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即，即， 所以，即，故C正确； 令，， 则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增， 所以，即，故D正确． 故选：ACD． 24．（2026·江苏·一模）已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合函数最值的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 当时，当时，该函数单调递增， 所以， 所以对任意，都有，一定有成立， 解得，这与相矛盾，不符合题意； 当时，当时，， 所以对任意，都有，一定有成立，而， 所以； 当时，设表示两数中最大的数， 因为当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以当时，， 对任意，都有，一定有且， 解得， 综上所述：， 所以的取值范围为. 25．（2026·江苏·一模）已知函数，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； (3)在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导判断函数在上单调性，结合求解不等式； （2）分和讨论，利用导数判断单调性进而判断零点个数； （3）由（2）知，，，在上单调递增，利用分析法要证，只要证，即证，结合，即证，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）由题知的定义域为，且， 若，则,又,故恒成立，在上单调递增， 又，故不等式的解集为. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，没有极值点； 当时，，由函数，（）的图象知， 当时，存在唯一的，使， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故只有1个极值点， 因为，且，故1是在区间上唯一的零点，且， 又时，，故存在唯一的，使得， 所以有两个零点. （3）由（2）知，，，， 当时，，时，， 又在上单调递增， 要证，只要证，即证， 由，得，即要证， 因为，则，所以只需证，（*） 设（），则，令， 则，显然在上单调递增，且， 所以在上恒成立，故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 所以在上单调递增，又，故， 故，得到，即（*）式成立， 故，从而，证毕. 26．（2026·江苏·一模）设，. (1)求证：在上恒成立； (2)若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，通过导数法得到单调性，得到，从而得证； （2）设，利用导数的几何性质求出曲线在点处的切线的方程，由曲线在点处的切线与圆相切，则有圆心到切线方程的距离得到，令，由得到，解出，得到，利用二次函数的图像和性质得到实数的取值范围. （3）求出，通过讨论和得到点在曲线上，点在上，且，因此线段均在曲线下方，因为，所以直线与的交点都在轴的上方.构造函数，通过导数法得到单调性，从而得到的最小值为.讨论的最小值与的大小得解. 【详解】（1）令，，，，在上为单调递增函数，， ，所以在上恒成立，即在上恒成立. （2）在曲线上，，，设， 不同于坐标原点，， ，，曲线在点处的切线的斜率为， 切线方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 曲线在点处的切线与圆相切， 圆心到切线方程的距离， 即， 令，，，，解得， 则，，时取最大值，且最大值为， ，，实数的取值范围. （3），， 当时，；当时，； 则点在曲线上，点在上， 当，，， ， 线段的方程为， 即， 在上任取一点， 设， ， ，，， ，， ，，，， 在上是单调递增函数， ， ， ， 线段均在曲线下方， ，直线与的交点都在轴的上方. 令，则， 当时，，则在上是单调递增函数， 当时，，则在上是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 当时，，故，即直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时直线与曲线相切于点，与折线段无交点； 当时，，在范围内的根不影响交点个数， 故存在唯一使得. 当时，直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时，在这段区间上只有有限条线段，交点个数有限. 综上，直线与的交点不可能有无穷多个. ( 导数综合应用 考点 7 )27．（2026·江苏·一模）设，，为数列的前项和，令，，． (1)若，求数列的前项和； (2)求证：对，方程在上有且仅有一个根； (3)求证：对，由（2）中构成的数列满足． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解； （2）求导得函数在上是增函数，结合零点存在定理即可得证； （3）一方面由结合在上单调递增可得，即；另一方面通过放缩、以及裂项相消可得，由此即可得证. 【详解】（1）若，，则， 则， ， ， ； （2），， 故函数在上是增函数． 由于，当时，，即． 又， ， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足． （3）对于任意，由中构成数列，当时， ， ． 由在上单调递增，可得，即， 故数列为减数列，即对任意的、，． 由于，， ，， 用减去并移项，利用，可得 ． 综上可得，对于任意，由中构成数列满足． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数与函数 7大考点概览 考点01导数的概念与运算 考点02导数的几何意义 考点03导数与单调性 考点04导数与极值最值 考点05导数与零点 考点06导数与不等式 考点07导数综合应用 ( 导数 的 概念与 运算 考点1 ) 1．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 2．（2026·江苏·一模）已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（   ） A．2026 B．1013 C．1 D．-1 ( 导数的几何意义 考点 2 ) 3．（2026·江苏·一模）已知直线与函数的图象相切，则实数_____． 4．（2026·江苏·一模）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 5．（2026·江苏·一模）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 6．（2026·江苏南通·一模）已知曲线在处的切线方程为，则_____． 7．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 8．（2026高三·江苏·一模）已知 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 9．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． ( 导数与单调性 考点 3 ) 10．（2026·江苏扬州·一模）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 11．（2026·江苏·一模）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 12．（2026·江苏·一模）设函数． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且存在，使得，证明：．附 ( 导数与极值最值 考点 4 )13．（2026·江苏·一模）已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（   ） A．1 B．3 C． D． 14．（2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 16．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)求的定义域； (2)当时， （i）若，证明：； （ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围． 17．（2026·江苏·一模）已知函数，. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值； (3)若当且仅当，求的取值范围. 18．（2026·江苏·一模）过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. (1)求双曲线方程； (2)过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. ( 导数与零点 考点 5 )19．（2026·江苏·一模）已知函数. (1)对任意，是的必要条件，求的最小值； (2)对任意，函数存在两个零点. （i）求的取值范围； （ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，. 20．（2026·江苏南通·一模）已知函数． (1)当时，求的零点； (2)给定数集，任给，对应关系使函数的零点与对应． ①证明：是函数，并讨论该函数的单调性； ②若数列满足，证明：． ( 导数与不等式 考点 6 )21．（2026·江苏·一模）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·江苏·一模）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 23．（2026·江苏·一模）（多选）已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 24．（2026·江苏·一模）已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 25．（2026·江苏·一模）已知函数，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； (3)在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 26．（2026·江苏·一模）设，. (1)求证：在上恒成立； (2)若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. ( 导数综合应用 考点 7 )27．（2026·江苏·一模）设，，为数列的前项和，令，，． (1)若，求数列的前项和； (2)求证：对，方程在上有且仅有一个根； (3)求证：对，由（2）中构成的数列满足． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $