精品解析：辽宁大石桥市第三高级中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题

大石桥三高中2025—2026学年度春学期高二3月质量调研 数学科试卷 答题时间： 90分钟 试卷分值：100分 第Ⅰ卷 选择 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据3，5，7，9，…，数列规律采用验证的方法得到数列的通项公式. 【详解】解：因为 所以. 故选：A 2. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，再根据可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得q＝2，所以. 故选：A 3. 中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得　　 A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石 【答案】A 【解析】 【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差数列的前n项和的，能求出甲应该分得78石，得到答案． 【详解】由题意，今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列， 只知道甲比丙多分三十六石，所以， 所以，解得石． 甲应该分得78石． 故选A． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 4. 已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别写出奇偶项的和，做差可解出. 【详解】，，，. 故选：D． 5. 数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项是 A. 3 B. 19 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 把数列看作函数，利用基本不等式求最值，注意n只能取正整数． 【详解】令f(x)＝x＋ (x＞0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时，等号成立．因为an＝，所以，由于n∈N*，故当n＝9或n＝10时，an＝最大． 故选：C. 【点睛】本题考查求数列的最大项或最小项问题．数列看作特殊的函数，可以利用函数性质求最值，只是在解题时要注意自变量取值范围是正整数． 6. 已知数列的前项和，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据前项和，得到；根据通项公式去绝对值，利用等差数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】∵，∴当时，， 当时，， 令，解得， 令 ， 故选：D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分） 7. 在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是（ ） A. an＝3n，n∈N＋ B. an＝3n－1，n∈N＋ C. an＝(－1)n－13n，n∈N＋ D. an＝2n－1，n∈N＋ 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件求得数列的公比，进而求得，从而确定正确选项. 【详解】设等比数列的公比为，则， 当时，.当时，. 故选：AC 8. 等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 时n的最小值为8 D. 当时最小 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列性质、通项公式和求和公式逐项判断即可； 【详解】对A，设公差为d，因为等差数列是递增数列，则，故A正确； 对B，因，则，即，故B正确； 对D，，则对称轴为，开口向上，所以当或4时，取得最小值，故D错误； 对C，由，即0，即，解得（舍去）或，所以时，n的最小值为8，故C正确． 故选：ABC 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9. 已知数列的通项公式为，则使成立的最大正整数的值为_______． 【答案】673 【解析】 【详解】由数列的通项公式为，得数列单调递减， ，解得， 而，所以的最大值为673. 10. 若数列的前项和,则它的通项公式______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出首项,再根据,求出通项公式,检验首项是否符合,写出通项公式即可. 【详解】解:由题知,, 当时,, 当时,, 将代入,满足, 所以. 故答案为: 四、解答题（本题共3小题，共48分，每题16分） 11. 已知等差数列的公差，前n项和为． （1）若1，，成等比数列，求； （2）在（1）的条件下，若，求． 【答案】（1）或 （2），． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质和等比中项的定义，列出方程，求出首项即可； （2）根据等差数列前n项和公式，直接写出结果即可. 【小问1详解】 因为数列的公差，所以， 因为1，，成等比数列，所以， 即，解得或． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，． 12. 已知数列满足，，设． （1）求； （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）求的通项公式． 【答案】（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据，求得和，再利用，从而求得，，； （2）方法一：利用条件可以得到，从而可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列； （3）方法一：借助等比数列的通项公式求得，从而求得. 【详解】（1）由条件可得， 将代入得，，而，所以，． 将代入得，，所以，． 从而，，； （2）[方法1]：通性通法】定义法 由以及可知，，， 所以，，又，所以为等比数列． [方法2]：等比中项法 由知，所以，． 由知，所以． 所以为等比数列． （3）[方法1]：【最优解】定义法 由（2）知，所以． [方法2]：累乘法 因为，累乘得：． 所以． 【整体点评】（2）方法一：利用定义证明数列为等比数列，是通性通法； 方法二：利用等差中项法判断数列为等比数列，也是常用方法； （3）方法一：根据（2）中结论利用等比数列的通项公式求解，是该题的最优解； 方法二：根据递推式特征利用累乘法求通项公式． 13. 等差数列中，，，等比数列中，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项，公差和等比数列的通项公式求出首项，公比即可. (2)由用错位相减法求和. 【详解】（1）在等差数列中，设首项为，公差为. 由，有 ，解得： 所以 又设的公比为，由，，得 所以. (2) …………………………………① ……………② 由①－②得 所以 【点睛】本题考查求等差、等比数列的通项公式和用错位相减法求和,属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大石桥三高中2025—2026学年度春学期高二3月质量调研 数学科试卷 答题时间： 90分钟 试卷分值：100分 第Ⅰ卷 选择 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，则（    ） A 4 B. 8 C. 16 D. 32 3. 中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得　　 A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石 4. 已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（ ）． A. B. C D. 5. 数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项是 A. 3 B. 19 C. D. 6. 已知数列的前项和，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分） 7. 在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是（ ） A. an＝3n，n∈N＋ B. an＝3n－1，n∈N＋ C. an＝(－1)n－13n，n∈N＋ D. an＝2n－1，n∈N＋ 8. 等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确是（ ） A B. C. 时n最小值为8 D. 当时最小 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9. 已知数列的通项公式为，则使成立的最大正整数的值为_______． 10. 若数列的前项和,则它的通项公式______________． 四、解答题（本题共3小题，共48分，每题16分） 11. 已知等差数列的公差，前n项和为． （1）若1，，成等比数列，求； （2）在（1）的条件下，若，求． 12. 已知数列满足，，设． （1）求； （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）求的通项公式． 13. 在等差数列中，，，等比数列中，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $