专题 4.1 认识三角形（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.1 认识三角形（知识梳理+题型精析+中考模拟真题 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形定义及表示方法 1 ★【题型 1】三角形的识别 2 【知识点二】三角形内角和定理 4 ★【题型 2】三角形内角和定理的证明 4 【知识点三】三角形的分类 8 ★【题型 3】三角形的分类 9 ★【题型 4】直角三角形两锐角关系与直角三角形判断 12 【知识点四】三角形三边关系 14 ★【题型 5】利用三角形三角关系判断或求取值（范围） 14 【知识点五】三角形的高线、中线、角平分线 17 ★【题型 6】三角形三条重要线段画法 17 ★【题型 7】三角形三条重要线段的识别与求值 20 【知识点六】三角形的垂心、重心、内心 23 ★★【题型 8】利用三角形的重心、内心、垂心作图与求值 23 二.综合培优题型精析 26 ★★【题型 9】平行线和三角形内角和综合求值 26 ★★【题型 10】三角形三边关系综合求值（或取值范围） 30 ★★【题型 11】三角形中线、高线、角平分线综合求值证明 33 ★★【题型 12】三角形重心、垂心、综合求值 36 三.中考模拟真题 41 （一）选择题（6题） 41 （二） 填空题（6题） 44 （三） 解答题（4题） 47 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】三角形定义及表示方法 1、 三角形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 1.三角形用符号“”表示， 2.三角形记作， 3.读作三角形。 “”后面紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2、三角形的基本元素 基本元素 图示 边 、、或、、 角 、、，对边分别为：、、 ★【题型 1】三角形的识别 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【答案】见分析 【分析】本题考查三角形的知识，掌握三角形的有关概念是解题的关键．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；三条线段是三角形的边，两条线段构成的角是三角形的内角，据此即可得到答案． 解：图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 【变式3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． （1）写出的三个内角； （2）在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． （3）图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】（1）的三个内角是：，，；（2）；；（3）6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 解：（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 【知识点二】三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 ★【题型 2】三角形内角和定理的证明 【例题2】（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 解：证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 【变式1】（24-25七年级下·河北邢台·月考）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 解：①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·广西南宁·月考）在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． （1）如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． （2）如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】（1）见分析；（2）从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度 【分析】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，方位角的定义以及三角形内角和是是正确解答的关键． （1）过点P作，，由平行线的性质及平角的定义可得出答案； （2）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 解：（1）证明：过点P作，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵C岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∵C岛在B岛的北偏西方向， ∴， ∴， ∵B岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ； 答：从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度． 【知识点三】三角形的分类 （一）按内角大小分类 锐角三角形 三角内角都是锐角 直角三角形 有一个内角是直角 钝角三角形 有一个内角是钝角 （二）按边的关系分类 不等边三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 有两边相等的三角形 等边三角形 三边都相等的三角形 （三）等腰三角形与直角三角形相关概念 分类 图示 示图 直角三角形 三角形ABC用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。如图，直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边。 等腰三角形 相等的两边称为腰，两腰所对的角称为底角，另一个角称为顶角，顶角所对的边称为底边。 ★【题型 3】三角形的分类 【例题3】（25-26八年级上·山西朔州·期中）（1）如图，求图中的值； （2）按角分类，判断该三角形的形状． 【答案】（1）；（2）三角形是直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据三角形内角和定理，列方程求解； （2）求出最大角的度数，判断即可． 解：（1）根据题意，得． 解得． （2）因为， 所以最大角的度数为， 所以该三角形是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形． （2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形． （3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形． 【答案】 钝角 直角 锐角 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的分类等知识，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键． （1）（2）（3）利用三角形内角和定理计算未知角，根据角度大小判断三角形类型。 解：（1）在中，， 根据三角形内角和定理，． 由于，因此该三角形是钝角三角形． 故答案为：；钝角． （2）设三角形三个内角分别为，，， 根据三角形内角和定理，， 即， 解得． 因此角度分别为，，． 由于有一个角为，因此该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． （3）在中，，比小， 因此． 根据三角形内角和定理，． 所有角均小于，因此该三角形是锐角三角形． 故答案为：；锐角． 【变式3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    （1）按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． （2）按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】（1），，；（2），， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 解：（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． ★【题型 4】直角三角形两锐角关系与直角三角形判断 【例题4】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图，在直角中，，是的高，，求与，的度数． 【答案】、、的度数分别为，， 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； ． 【变式1】（25-26九年级下·河南周口·月考）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析即可求解． 解：在中，， ∴， ∵， ∴. 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【变式3】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 解：证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【知识点四】三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 ★【题型 5】利用三角形三角关系判断或求取值（范围） 【例题5】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）已知，在中，，，． （1）求的取值范围； （2）若为等腰三角形，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查了求不等式组的解集，等腰三角形的定义，三角形三边关系． （1）根据三角形三边关系列不等式组求解即可； （2）分情况作答即可． 解：（1）解：根据三角形三边关系可得， ， 解得：， 故的取值范围为； （2）解：若为等腰三角形，分情况讨论：，，． ①当时，， 解得， 三角形三边为4，4，10，不满足三角形三边关系； ②当时，， 解得， 三角形三边为4，10，10，满足三角形三边关系； ③当时，，不构成三角形，不合题意； 的值为4． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． 【变式3】（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知的三边分别为．若满足． （1）___________，___________； （2）若为整数，求的周长． 【答案】（1）4；1；（2） 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长． 【知识点五】三角形的高线、中线、角平分线 分类 定义 示图 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。如图，线段AF △ABC的BC边上的高。 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线。如图，线段AE△ABCBC上的中线。 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。如图，线段AD是△ABC的一条角平分线。 ★【题型 6】三角形三条重要线段画法 【例题6】（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点（点为边上一点）． （1）根据描述画出平移后的； （2）过点作的垂线，垂足为点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查了平移变换，画垂线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先确定平移的方式，再根据平移的方式确定平移后的点，，，再顺次连接即可； （）过点向画垂线，交延长线于点． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 【答案】角平分线、高线、中线 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的角平分线、高线、中线等知识点，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义逐个图形分析即可解答． 解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故答案为：角平分线、高线、中线． 【变式3】（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上（保留作图痕迹）． （1）在图中作的边上的中线． （2）在图中作的边上的高． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 解：（1）解：如图，取的中点，连接，即为所求； （2）解：如图，取格点，连接，即为所求． ， 故． ★【题型 7】三角形三条重要线段的识别与求值 【例题7】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，． （1）求作：的角平分线，交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查尺规作图--作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据三角形的内角和定理，求出，的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可． 解：（1）解：的角平分线，如图即为所求； ； （2）解： ，，，． ， ， ． 是角平分线， ． ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 【变式2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）如图，在中，D、E分别是的中点，的面积为，则的面积为_____． 【答案】 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：，，依此即可求解． 解：∵D是的中点，的面积为， ∴， ∵E是的中点， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为________； （2）若，，求的大小． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 解：（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 【知识点六】三角形的垂心、重心、内心 分类 定义 示图 垂心 三角形三条高线交于同一点，这一点叫作三角形的垂心。 重心 三角形三条中线交于同一点，这一点叫作三角形的重心。 内心 三角形三条角平分线交于同一点，这一点叫作三角形的内心。 ★★【题型 8】利用三角形的重心、内心、垂心作图与求值 【例题8】（24-25七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】图见分析， 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 解：如下图O是的重心． 理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·山东枣庄·月考）△ABC的高AD、CE交于点O，连接BO并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF值为_____． 【答案】12：15：10 【分析】根据三角形三条高线交于一点，可得BF⊥AC，再根据三角形面积是一定的，即可得到CE：AD：BF值． 解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F， ∴BF⊥AC， ∴AB×CE＝BC×AD＝AC×BF， ∵AB＝5，BC＝4，AC＝6， ∴×5×CE＝×4×AD＝×6×BF， ∴CE：AD：BF＝12：15：10． 故答案为：12：15：10． 【点拨】本题考查了三角形的面积，关键是熟练掌握三角形面积公式，难点是得到BF⊥AC． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业） （1）用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． （2）观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可； （2）根据（1）所作图形进行求解即可． 解：（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部． 【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 9】平行线和三角形内角和综合求值 【例题9】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. （1）求证：； （2）若，，求的度数. 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理. （1）根据两直线平行，内错角相等，推出，利用已知条件，通过等量代换求证，最后根据同位角相等，两直线平行求证. （2）利用垂直性质和平行线的性质推出，根据三角形内角和即可求出度数. 解：（1）证明：， ， ， ， . （2）解：， ， ， . ， ， . 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 解：如图，延长交于点，    ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点拨】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，，，P是射线上的一个动点（不包括端点B），将沿折叠，使顶点B落在点Q处． （1）当点Q在平行线，之间，时，求的度数． （2）当点Q在下方，时，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，折叠问题，解题的关键是： （1）由平行线的性质得到，利用三角形内角和求出，再由折叠的性质可得结果； （2）画出图形，设，表示出相应角度，利用平行线的性质得到，据此得出方程，解之即可． 解：（1）解：，， ． ． ， 由折叠可得． （2）根据题意，点Q在下方，如图所示． 设，则， ， 由折叠可知， ． ， ， ， 解得， ． ★★【题型 10】三角形三边关系综合求值（或取值范围） 【例题10】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． （1）小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； （2）同学们一共可以组成_____________个三角形． 【答案】（1）或；（2）7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，解题的关键是： （1）分为腰和为腰两种情况讨论，先根据三角形三边关系验证三角形是否存在，然后根据三角形的周长公式求解即可； （2）根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，即可求解． 解：（1）解∶若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上，该三角形的周长为或； （2）解：设三角形的第三边长为， 根据题意，得， ∴， 又第三边长在内， ∴第三边的长为、、、、、、，共7条， ∴一共可以组成7个三角形， 故答案为：7． 【变式1】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如果一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（    ） A． B．4 C． D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当等腰三角形的腰长为时；当等腰三角形的底边长为时；然后分别进行计算即可解答． 解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为时， 等腰三角形的周长为， 等腰三角形的底边长， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的底边长为时， 等腰三角形的周长为， 等腰三角形的腰长为， ， 能组成三角形； 综上所述，腰长为， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 【答案】17 【分析】本题考查了非负数的性质与三角形三边关系，掌握绝对值、平方数的和为时，各项分别为；三角形三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合为偶数，取的最大值，从而得到最大周长． 解：由， 得，， 解得，． 根据三角形三边关系，有． 为偶数，故或． 当时，周长最大，为． 故答案为：17． 【变式3】（25-26八年级上·河北邢台·月考）李明、林红和红军三位同学同时测量的三边长，李明说：“的周长是．”红军说∶“的三边长都是整数．” （1）若是最大边，则的最大长度为； （2）林红说：“的长度为．”若是等腰三角形，求边的长度． 【答案】（1）；（2）的长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义； （1）设三边长分别为，，，则，且，，均为正整数，最大边长为b．根据已知条件可以得到三角形的另外两边之和，再根据三角形的三边关系可以得到，从而求得最大边； （2）设，，则，且为正整数．是等腰三角形，即至少两边相等．分类讨论即可求解． 解：（1）解：设三边长分别为，，，且，，均为正整数，最大边长为． ∵的周长是， ∴．则 根据三角形的三边关系， ∴ ∴， ∵是正整数，则的最大值为， 故答案为：7． （2）解：知，周长为，且三边长均为整数，因此． 设，，则，且，为正整数． 是等腰三角形，即至少两边相等．可能情形如下： ，则，代入得．边长为，，，能构成三角形． ，则，代入得．边长为，，，能构成三角形． ：即，则得，边长为，，，能构成三角形 综上所述，的长度为或或 ★★【题型 11】三角形中线、高线、角平分线综合求值证明 【例题11】（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． （1）当时，求的长． （2）能否等于12？为什么？ 【答案】（1）5；（2）不能等于12，理由见分析 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 【变式2】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】当P在B处时，最长为4；当时，最短，利用列方程计算即可． 解：∵，， ∴当P在B处时，最长， 此时； 当时，最短，如图： ∵， ∴ ； ∴． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． （1）边的取值范围是 ； （2）若的周长为30，则的周长为 ； （3）在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】（1）；（2）28；（3）边上的高为 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线，和高，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为h，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，的周长为30， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：28． （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， ∴边上的高为． ★★【题型 12】三角形重心、垂心、综合求值 【例题12】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点O是△ABC的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），连接AO交CB的延长线于点D，连接CO交AB的延长线于点E，连接DE．求证：△ODE∽△OCA． 【答案】见分析 【分析】欲证△ODE∽△OCA，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠O＝∠O，可证△AEO∽△CDO，证得夹此对应角的两边对应成比例即可． 解：证明：∵O是垂心， ∴AO⊥CD， ∴∠CDO＝90°， 同理∠AEO＝90°， ∴∠AEO＝∠CDO， 在△AEO和△CDO中 ， ∴△AEO∽△CDO， ∴， ∴， 在△ODE和△OCA中， ∴△ODE∽△OCA． 【点拨】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖北黄石·月考）在中，，是的垂心，且不与、重合，则的大小等于______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形垂心的定义，直角三角形的特征；①当锐角三角形时，由三角形垂心的定义及直角三角形锐角互余得，从而可得，即可求解；②当钝角三角形时，同理①即可求解；掌握直角三角形的特征，理解三角形垂心的定义“三角形的三边高线的交点叫三角形的垂心．”，能根据三角形的分类进行分类讨论是解题的关键． 解：①如图，当锐角三角形时， ，是的垂心， ， ， ； ②如图，当钝角三角形时， ，是的垂心， ， ， ． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·北京平谷·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． 三.中考模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 2．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可． 解：如图，作，，交的延长线于点E    ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故选：C． 【点拨】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围． 3．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 4．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 5．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（2025·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． （2） 填空题（6题） 7．（2025·江苏·中考真题）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是_________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求解即可． 解：三角形的底边长为 故答案为： 【点拨】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形腰长相等． 8．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 10．（2025·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．    【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 11．（2025·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________．    【答案】或 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ①当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴；    ②当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴；    综上，的度数为或； 故答案为：或． 【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 12．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，．若对角线的长是整数，则的长度可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形一边的长大于另两边的差，且小于另两边的和是解题的关键．根据，，求出的取值范围即可解题 解：在中，， 即， 解得， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴的长度可以是， 故答案为：（答案不唯一）． （3） 解答题（4题） 13．（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在中，，点在边上，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见分析 【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质，在的上方作，交于点E，则点E即为所求． 解：如图，在的上方作，交于点E， ∵， ∴， ∴， 则点E即为所求． 14．（2025·陕西西安·一模）如图，已知，点C为边上一点，请用尺规作图法，在左侧找一点D， 使得三角形是一个等腰三角形，其中．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见分析 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的定义等知识，在的左侧作，然后在上截取，连接即可。 解：如图，    以O为圆心，为半径画弧交于E，以E为圆心，为半径为半径画弧，在的左侧交前弧于D，连接， 则，， ∴， ∴即为所求. 15．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，点E，F分别为，上的点，若，，连接，，与交于点O．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，进而可得结论． 解：证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 16．（2025·河北廊坊·一模）如图数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，6，点C在线段BD上，且不与端点重合． （1）若，求A，B，C，D四点表示的数的和． （2）若线段，，能围成等腰三角形，求x的值． 【答案】（1）A、B、C、D四点表示的数的和为6；（2）x的值为2或5或3.5 【分析】本题主要考查数轴，有理数的加减法以及等腰三角形的定义，正确地进行进行分类讨论是解答本题的关键． （1）直接进行加减运算即可； （2）分别求出，，的长，再根据为底和腰时分别讨论、计算即可． 解：（1）解：当时有： ， ∴A、B、C、D四点表示的数的和为6． （2）解：据题意得：，，， 当为底时，则有， ∴ 解得，； 当为腰，且时，， ∴， 解得，； 当为腰，且时， ∴， 解得， ∴x的值为2或5或3.5． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 认识三角形（知识梳理+题型精析+中考模拟真题 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形定义及表示方法 1 ★【题型 1】三角形的识别 2 【知识点二】三角形内角和定理 3 ★【题型 2】三角形内角和定理的证明 3 【知识点三】三角形的分类 4 ★【题型 3】三角形的分类 5 ★【题型 4】直角三角形两锐角关系与直角三角形判断 7 【知识点四】三角形三边关系 7 ★【题型 5】利用三角形三角关系判断或求取值（范围） 8 【知识点五】三角形的高线、中线、角平分线 8 ★【题型 6】三角形三条重要线段画法 9 ★【题型 7】三角形三条重要线段的识别与求值 10 【知识点六】三角形的垂心、重心、内心 11 ★★【题型 8】利用三角形的重心、内心、垂心作图与求值 11 二.综合培优题型精析 12 ★★【题型 9】平行线和三角形内角和综合求值 12 ★★【题型 10】三角形三边关系综合求值（或取值范围） 13 ★★【题型 11】三角形中线、高线、角平分线综合求值证明 14 ★★【题型 12】三角形重心、垂心、综合求值 15 三.中考模拟真题 16 （一）选择题（6题） 16 （二） 填空题（6题） 17 （三） 解答题（4题） 18 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】三角形定义及表示方法 1、 三角形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 1.三角形用符号“”表示， 2.三角形记作， 3.读作三角形。 “”后面紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2、三角形的基本元素 基本元素 图示 边 、、或、、 角 、、，对边分别为：、、 ★【题型 1】三角形的识别 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【变式3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． （1）写出的三个内角； （2）在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． （3）图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【知识点二】三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 ★【题型 2】三角形内角和定理的证明 【例题2】（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【变式1】（24-25七年级下·河北邢台·月考）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式2】（24-25八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【变式3】（25-26八年级上·广西南宁·月考）在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． （1）如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． （2）如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【知识点三】三角形的分类 （一）按内角大小分类 锐角三角形 三角内角都是锐角 直角三角形 有一个内角是直角 钝角三角形 有一个内角是钝角 （二）按边的关系分类 不等边三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 有两边相等的三角形 等边三角形 三边都相等的三角形 （三）等腰三角形与直角三角形相关概念 分类 图示 示图 直角三角形 三角形ABC用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。如图，直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边。 等腰三角形 相等的两边称为腰，两腰所对的角称为底角，另一个角称为顶角，顶角所对的边称为底边。 ★【题型 3】三角形的分类 【例题3】（25-26八年级上·山西朔州·期中）（1）如图，求图中的值； （2）按角分类，判断该三角形的形状． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形． （2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形． （3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形． 【变式3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    （1）按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． （2）按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． ★【题型 4】直角三角形两锐角关系与直角三角形判断 【例题4】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图，在直角中，，是的高，，求与，的度数． 【变式1】（25-26九年级下·河南周口·月考）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，平分，，，，则是____三角形． 【变式3】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【知识点四】三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 ★【题型 5】利用三角形三角关系判断或求取值（范围） 【例题5】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）已知，在中，，，． （1）求的取值范围； （2）若为等腰三角形，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【变式3】（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知的三边分别为．若满足． （1）___________，___________； （2）若为整数，求的周长． 【知识点五】三角形的高线、中线、角平分线 分类 定义 示图 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。如图，线段AF △ABC的BC边上的高。 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线。如图，线段AE△ABCBC上的中线。 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。如图，线段AD是△ABC的一条角平分线。 ★【题型 6】三角形三条重要线段画法 【例题6】（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点（点为边上一点）． （1）根据描述画出平移后的； （2）过点作的垂线，垂足为点． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 【变式3】（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上（保留作图痕迹）． （1）在图中作的边上的中线． （2）在图中作的边上的高． ★【题型 7】三角形三条重要线段的识别与求值 【例题7】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，． （1）求作：的角平分线，交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）如图，在中，D、E分别是的中点，的面积为，则的面积为_____． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为________； （2）若，，求的大小． 【知识点六】三角形的垂心、重心、内心 分类 定义 示图 垂心 三角形三条高线交于同一点，这一点叫作三角形的垂心。 重心 三角形三条中线交于同一点，这一点叫作三角形的重心。 内心 三角形三条角平分线交于同一点，这一点叫作三角形的内心。 ★★【题型 8】利用三角形的重心、内心、垂心作图与求值 【例题8】（24-25七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【变式2】（24-25九年级下·山东枣庄·月考）△ABC的高AD、CE交于点O，连接BO并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF值为_____． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业） （1）用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． （2）观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 二.综合培优题型精析 ★★【题型 9】平行线和三角形内角和综合求值 【例题9】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. （1）求证：； （2）若，，求的度数. 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 【变式3】（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，，，P是射线上的一个动点（不包括端点B），将沿折叠，使顶点B落在点Q处． （1）当点Q在平行线，之间，时，求的度数． （2）当点Q在下方，时，求的度数． ★★【题型 10】三角形三边关系综合求值（或取值范围） 【例题10】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． （1）小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； （2）同学们一共可以组成_____________个三角形． 【变式1】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如果一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（    ） A． B．4 C． D．3或 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 【变式3】（25-26八年级上·河北邢台·月考）李明、林红和红军三位同学同时测量的三边长，李明说：“的周长是．”红军说∶“的三边长都是整数．” （1）若是最大边，则的最大长度为； （2）林红说：“的长度为．”若是等腰三角形，求边的长度． ★★【题型 11】三角形中线、高线、角平分线综合求值证明 【例题11】（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图，已知的周长为35，是边上的中线，． （1）当时，求的长． （2）能否等于12？为什么？ 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． （1）边的取值范围是 ； （2）若的周长为30，则的周长为 ； （3）在中，若边上的高为6，求边上的高． ★★【题型 12】三角形重心、垂心、综合求值 【例题12】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点O是△ABC的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），连接AO交CB的延长线于点D，连接CO交AB的延长线于点E，连接DE．求证：△ODE∽△OCA． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖北黄石·月考）在中，，是的垂心，且不与、重合，则的大小等于______ ． 【变式3】（25-26八年级上·北京平谷·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 三.中考模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 3．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 4．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 5．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（6题） 7．（2025·江苏·中考真题）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是_________． 8．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 10．（2025·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．    11．（2025·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________．    12．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，．若对角线的长是整数，则的长度可能是______．（写出一个即可） （3） 解答题（4题） 13．（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在中，，点在边上，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 14．（2025·陕西西安·一模）如图，已知，点C为边上一点，请用尺规作图法，在左侧找一点D， 使得三角形是一个等腰三角形，其中．（保留作图痕迹，不写作法）    15．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，点E，F分别为，上的点，若，，连接，，与交于点O．求证：． 16．（2025·河北廊坊·一模）如图数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，6，点C在线段BD上，且不与端点重合． （1）若，求A，B，C，D四点表示的数的和． （2）若线段，，能围成等腰三角形，求x的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $