期末测试前题组训练（三）-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

期末测试前题组训练 中档解答题组（针对21-23题） 满分：50分 1.（10分)操作与发现：如图，在Rt△ABC中， 是-1。 ∠C=90°，AC>BC,点D,E分别是AB,AC上 利用配方法解决下列问题： 的点，且DEBC。 (1)用配方法因式分解：x2+2x-3; 尺规作图：请根据下列要求完成作图，并标 (2)当x取何值，代数式x2+2x-3有最小 出相应的字母：（保留作图痕迹，不写作法） 值？最小值是多少？ ①作线段AB的垂直平分线交DE于点F; ②在BC边上取一点G,使得BG=EF; ③连接EG。 观察与思考：线段AE,EG,BG之间满足怎 样的等量关系，写出你发现的结论并证明。 3.(10分)某商场准备购进A、B两种商品进 行销售。有关信息如下表： 进价（元） 售价（元） A产品 0 500 B产品 a-320 120 已知2000元购进A产品的数量与400元 购进的B产品数量相等 (1)求表中a的值； (2)该商场准备购进A、B两种商品共50 2.(10分)把代数式通过配凑等手段，得到局 件，若要使这些产品售完后利润不低于 部完全平方式，再进行有关运算和解题，这 3200元，A种产品至少要购进多少件？ 种解题方法叫作配方法。如：对于a2+6a +8。 (1)用配方法因式分解； (2)当a取何值，代数式a2+6a+8有最小 值？最小值是多少？ 解：(1)原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1= (a+3)2-1=[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+ 4)(a+2)。 (2)对于(a+3)2-1,(a+3)2≥0。所以，当a =-3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第31页 4.(10分)在学习《图形的平移与旋转》时，小5.(10分)(1)如图1，在△ABC中，BD平分 明同学对一类旋转问题产生了浓厚的兴趣， ∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行 并进行了一系列的探究。 线，交AB于点E,请判断△BDE的形状，并 (1)【特例探究】如图1，在等边三角形ABC 说明理由。 中，点P边BC上一动点，连接AP,将PA绕 方法应用： 点P顺时针旋转60°得到PD,连接AD,CD, (2)如图2，在□ABCD中，BE平分∠ABC, 则∠ACD的度数为 交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC (2)【类比探究】如图2，在Rt△ABC中，AB 的延长线于点F,交BC于点G。 =AC,点P是边BC上一动点，且BP>CP,连 ①图2中一定是等腰三角形的有 接AP,将AP绕点P顺时针旋转90°得到 个，分别是 PD,连接AD,CD,求∠ACD的度数； ②已知AB=3,BC=5,求出CF的长。（写 (3)【拓展提升】在(2)的条件下，若BP=BA 出过程) =1时，则CD的长为 图1 图2 B P 图1 图2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第32页【方法点拨】当题中没有明确指出平行四边形的四个顶点 时要进行分情况讨论。本题中分为四边形ABOP为平行 四边形或四边形PDCQ为平行四边形，即BQ=AP或CQ =PD两种情况，再列出方程，求出方程的解即可。 期末测试前题组训练 简单解答题组 3(x+1)≥x-1① 1.解：(1)x+15 3x② ,解不等式①，得x≥-2，解不等 2 式②，得x<3,所以不等式组的解集是-2≤x<3; (2)方程两边都乘x(x+1),得6x=x+5,解这个方程，得x =1,检验：当x=1时，x(x+1)≠0，x=1是原方程的根。 2.解：原式=[，+1 （x-1)2+,2) ].（x+1)(x-1) 2x 2x (x-1)2 --10,2x≠0,2-1≠0.x≠ (x+1)(x-1)x+1 2x ±1，x≠0，所以当x=2时，原式=2+ =3。 -1 3.证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AD∥CB,·.∠2= ∠FCB。:∠1=∠2，÷：∠1=∠FCB,.AE∥FC,.四边 形AECF是平行四边形，.AE=CF。 4.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求，（2，-3)： (2)如图，△A2B2C2即为所求，（-2，-4)； (3)(4,5)或(0,3)或(2，-1)。 1- A 5.(1)证明：.·AE∥BC,.∠B=∠DAE,∠C=∠CAE,.AB =AC,∴.∠B=∠C,∴∠DAE=∠CAE,∴.AE平分∠DAC; (2)解：点F是AC的中点，.AF=CF,AE∥BC, ∠EAF ∠C,在 △AFE和△CFG中 (LEAF=∠C, 铺 AF=CF, .∴.△AFE≌△CFG(ASA),.∴.CG=AE= (∠AFE=∠CFG 6,GC=2BG,BG=3,∴BC=BG+CG=9。AC=AB= 8,.△ABC的周长=8+8+9=25。 手 6.(1)证明：：PB⊥AB,PC⊥AC,∴.∠ABP=∠ACP=90, 案 在△ABP和△ACP中，(C-AC△ABP≌ Rt△ACP(HL),∴.∠BAP=∠CAP,.AB=AC,∴.AP⊥BC, AP是BC边的中线，.AP垂直平分BC; (2)解：.AB⊥PB,∴.∠ABP=90°，.AP=5,AB=4,∴.PB =√AP2-AB=3,由(1)知：Rt△ABP≌Rt△ACP, Sa脑ae=2xSa24P.BC=2x号 AB·BP2X 5BC=4x3,.BC=24 50 7.解：(1)把P(n,-2)代入y=-2x+3得-2n+3=-2,解得n P(号，2)，把P(3,-2)代入y=子m得 4+m=-2,解得m=-3 ； (2)不等武子+m心>-2x+3的解集为 29 (3):函数y=-2x+3与y= 3 的图象分别与y轴 交于点A,点B。4(0,3),B(0,子AB=3-(子) 3 追梦之旅铺路卷·八年级 15 115575 4.Sa4=2B·lx,1=24×216 11(x+3)-(x-3) 6 8.解：(1)原式= -33+x(x-3)(x+3)(x-3)(x+3) (2)不能为零，理由如下：原式=3-+2_2(x-1 x-1x2-xx(x-1） 是，20结果不能为零。 2 9.证明：（1)过E作EF⊥AD于F,.AB⊥BC,AE平分 ∠BAD,EB=EF,点E是BC的中点，.EB=EC, EF=EC,.·DC⊥BC,EF⊥AD,∴.∠EFD=∠ECD=90°， .·.DE平分∠ADC: (2)由(1)知，EF=EC,ED=ED,DC⊥BC,EF⊥AD,∴. RL△EFD≌Rt△ECD(HL),∴.FD=CD,在Rt△AEF和 ∫EF=EB R△AEB中，AE=AE,Rt△AEF≌Rt△AEB(H), AF=AB,.AD=AF+FD,∴.AD=AB+CD。 期未测试前题组训练 中档解答题组 1.解：操作与发现：如图，点F,点G即为所求。 观察与思考：EG2=AE2+BG2。理由：连接AF,BF。DE BC,∴.∠AEF=∠C=90°，：EFBG,EF=BG,四边形 EFBG是平行四边形，EG=BF,:点F在线段AB的垂 直平分线上，.FB=FA,.AF=EC,:AF2=AE2+EF2, EG=AE+BG 2.解：(1)原式=x2+2x-3+1-1=x2+2x+1-4=(x+1)2-4= [(x+1)+2][(x+1)-2]=(x+3)(x-1); (2)由(1)得x2+2x-3=(x+1)2-4,(x+1)2≥0，.当x= -1时，代数式x2+2x-3有最小值，最小值是-4。 3,1①白s度翔2四。0解得。0，经位装。 400是原方程的根，且符合题意，故表中a的值为400； (2)由(1)可知，a-320=80,设A种产品要购进x件，则 B种产品要购进(50-x)件，由题意得(500-400)x+(120 -80)(50-x)≥3200，解得x≥20，故A种产品至少要购 进20件。 4.解：(1)60° (2)过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DW⊥BC交BC 的延长线于点N,.∠AMP=90°，∠DNP=90°，由旋转， 得∠APD=90°，PA=PD,∴.∠PAM=90°-∠APM= ∠DPN,∴.△PAM≌△DPN(AAS),∴.PM=DN,AM=PN, 在Rt△ABC中，AB=AC,∴.∠ACB=45°，∴.AM=CM,. CN=PN-CP=AM-CP=CM-CP=PM,..DN=CN,.. ∠DCN=45°，.∴.∠ACD=180°-45°-45°=90°； (3)V2-1【解析】.BAC=90°，AB=AC=1,∴.BC= √AB2+AC2=√2，.BP=1,∴.PC=√2-1，.AM⊥BC, BN-CM-8C- 2 DN=CN=PM=CM-CP=1- .CD=√2-1。 5.解：(1)△BDE是等腰三角形。理由如下：·BD平分 ∠ABC,.∠ABD=∠CBD,.DE∥BC,.∠BDE= ∠CBD,∴.∠BDE=∠ABD,∴.EB=ED,.△BDE是等腰 三角形； (2)①4△ABE、△ABG、△ADF、△CGF ②.·▣ABCD中，.∴.AE∥BC,AB∥CD,由(1)知∠ABE= ∠CBE=∠AEB,.AB=AE,AF⊥BE,.∠BAF= ∠EAF,'.AE∥BC,AB∥CD,∴.∠BGA=∠EAF,∠BAF= ∠F,.∠BGA=∠CGF,∴.∠BGA=∠BAG,∠CGF=∠F, .AB=BG,CG=CF,.·□ABCD中，AB=3,BC=5,∴.CF= CG=BC-BG=BC-AB=2。 下·ZBB·数学第23页