第五章 分式与分式方程-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第五章分式与分式方程 分式及其基本性质、分式的运算 测试时间：40分钟测试分数：65分 一、选择题（每小题3分，共18分） 4 8.如果a2-2a-6=0,那么代数式(a--)· 1x-11 1下列式子：m,T2,x+y 其中分式共 a的值为 0 有() A.1个B.2个 C.3个 D.4个 9.生活情境·轮船航行轮船由A地到达B地 2.要使分式-16 顺流航行40km,然后又返回A地，已知水 的值为零，则x的取值应满 x+4 流速度为每小时2km,设轮船在静水中的 足( 速度为每小时xkm,则轮船往返共用的时 A.x≠-4 B.x=4 间为 C.x=-4 D.x=±4 10.跨学科试题·物理照相机成像应用了一个 3分式4 ·(x+2)可化简为() 重要原理，用公式+（心0来表示， "f u v A.2 B.x D.x-2 其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体 X "x-2 到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的 4.如果把，x3中的x和y都扩大5倍，那坠 距离，已知f,u,则v= 三、解答题（共35分） 分式的值( 11.(9分)计算： A.扩大5倍 B.不变 C.缩小5倍 D.扩大4倍 (1)(1+1). x2+x x+1 5.分式5和3的最简公分母是( 6x2y 4xyz A.12xyz B.12x2yz (2)-42+2x1 C.24xyz D.24x2yz x2-4x+42x-4x9 6.如图，数轴上有A,B两点，表示的数分别是 m,n.已知m,n是两个连续的整数，且m+n =-1,则分式m-2mm的值为( m-11-m (3)6+2ab AB atb atbo 十 A.-1 B.1 C.3 D.-3 二、填空题（每小题3分，共12分） 7.要使式子1有意义，则x的取值范围 x-2026 为 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第18页 12.(8分)化简求值：(5， 2*-2)÷-6+9/ 14.(9分)阅读下面的解题过程： x-2 已知*、1 一的值。 x一3，再从-1<x<4的范围内选取一个你喜 13,求 x4+ 解：由七 =知x≠0，所以 二=3，即x+ 欢的值代入求值。 x2+131 1=3。 所以+1 7-(x+)2-2=32-2=7。 1 1 =x2+ 2的值为7 故 x4+15 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒 数法”解决下面的题目： 13.(9分)请仿照例子解题： 已知15求 。一的值。 x4+x2+1 M,N_1-3x恒成立，求M,N的值。 x+1x-1x2-1 角深以士一工一3七 -1 x2-1' M(x）++）-=1二3x,则M-M++N (x+1)(x-1)x2-1’ (x+1)(x-1) 中长 x2-1 M+N=-3, (M=-2 ,解得 -M+N=1’W=-1 请你按照上面的方法解题： 若MV,=女8恒成立，求M,N的值。 x+2x-2x2-4 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第19页 分式方程 测试时间：40分钟测试分数：60分 一、选择题（每小题3分，共15分） y+1y- 23 1,给出下列方程： 3 =1, =2 x+31x 于y的不等式组 有解，那么符 x+52’3 1-y 2 ≥3-a 21,其中分式方程的个数为( 合条件的所有整数a的和为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.23 B.20 C.16 D.10 2.解方程3x2-3 二、填空题（每小题3分，共9分）》 x-2+2-x =5,以下去分母正确的 6.代数式3与代数式2的值相等，则x x+2 x-1 是() A.x2-3x-x2-3=5 B.x2-3x-x2+3=5 了若关于x的方程牛有增根，则m的 C.x2-3x-x2-3=5(x-2) 值是 D.x2-3x-x2+3=5(x-2) 8.文化情境·数学文化我国明代《永乐大典》 3.关于x的方程1 =0有解，则m的取值 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈， xx+1 各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共 范围是( 值钱一百二十文。问绫、罗尺价各几何？” A.m≠0 B.m≠1 其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈(1 C.m≠0或m≠1 D.m≠0且m≠1 丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能 4.生活情境·斑马线斑马线前“车让人”，不 收入896文，每尺绫布和每尺罗布一共需要 仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反 120文。问绫布有多少尺，罗布有多少尺？” 映着城市的文明程度。如图，某路口的斑马 设绫布有x尺，则可得方程为 线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB 三、解答题（共36分） =BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒 9.（10分)解分式方程： 通过AC路段，其中通过BC路段的速度是 (1)23 xx+2i (2)+14 通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过 11。 AB路段时的速度是( II cHHHH A.0.5米/秒 B.1米/秒 C.1.5米/秒 D.2米/秒 5.学科内融合若整数a使得关于x的分式方 程，16+2a +2=a有正整数解，且使得关 x(x-4)xx-4 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第20页 10.(8分)一粥一饭，当思来之不易；半丝半 12.学习情境·过程性学习(9分)小明解分式 缕，恒念物力维艰。开展“光盘行动”，拒 方程1-x3-3x时，出现了错误，他的解 绝“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚。 2x+2x+1" 某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪 答过程如下： 费，针对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂 解：方程的两边都乘(2x+2),得2x+2-（x 糖橘一份。近日，学校食堂花了2800元 3)=3x。…第一步 和2500元分别采购了砂糖橘和苹果，采 解这个方程得x=弓。…第二步 5 购的砂糖橘比苹果多250千克，砂糖橘每 千克的价格比苹果每千克的价格低30%。 所议，x是原方程的根。…第 求苹果每千克的价格。 (1)小明的解答过程是从第 步开 始出错的，这一步正确的解答为 ,此步的根据是 (2)小明的解答过程缺少的步骤是 (3)请你写出此题正确的解答过程。 11.(9分)王涵想复习分式方程，由于印刷问 题，有个数”看不消楚：=2 x-39 (1)她把这个数“？”猜成-2，请你帮王涵解 这个分式方程； (2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：x =3是方程的增根，原分式方程无解。”请 你求出原分式方程中“？”代表的数是 多少？ 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第21页种工艺品的单价为40元，B种工艺品的单价为60元。 (2)设购进A种工艺品a个，则购进B种工艺品 (a≤37 4s0000个。依题意得480-40≤2n解得30≤a≤ 60 60 37,又a 4800-40“均为正整数，a可以为30,33,36， 60 共有3种进货方案。 (3)设两种工艺品全部销售完获得的利润为0元，则0 =-（54-40-m)a+(78-60).48040a=(2-m）a+140, 60 又·在(2)的条件下，若A、B两种工艺品全部售出后所 有方案获利均相同，.2-m=0,解得m=2。 第三章图形的平移与旋转 1.A2.A3.C4.C 5.B【解析】由题意，得AC=CA',.∠CAM'=∠CA'A= 45°，∠AA'B=20°，.∠CA'B'=25°，∴.∠CBA'=90°- ∠CA'B'=90°-25°=65°。故选B。 6.D 7.A【解析】.面积为3的等腰△ABC,AB=AC,B(1,0), C(3,0),.点A在BC的垂直平分线上，.A(2,3),由题 意得第1次变换后A的坐标为(-2,2)，第2次变换后A 的坐标为(2,1)，第3次变换后A的坐标为(-2,0)，第4 次变换后A的坐标为(2，-1)，第5次变换后A的坐标为 (-2,-2),以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇 数时，点A的横坐标为-2，纵坐标为3-n:n为偶数时，点 A的横坐标为2，纵坐标为3-n,∴.第2026次变换后，点A 的坐标为(2，-2023)。故选A。 8.-9【解析】由题意，得n=-5,m=-4,.m+n=-9。 9.72 10.(-5,10)【解析】.：点A(3,-1)的对应点为C(-2 5),-2-3=-5,5-（-1)=6,.平移规律是向左平移5 个单位，向上平移6个单位，.0-5=-5,4+6=10，.点 D的坐标是(-5,10)。 11.128【解析】由题意，得草地的实际面积为(18-2)× (10-2)=16×8=128(m2)。 12.解：(1)如图，△AB1C1即为所作： (2)如图，△A2B2C2即为所作； (3)(-3,1) 13.(1)解：由平移的性质可知：ACDF,AD∥BF,.∠ACB =∠F,∠ACB=∠DAC,∴.∠F=∠DAC=56°； (2)4cm或12cm 14.解：(1)602 (2)①补全图形如图所示：结论：AD=A'D。 DA A 理由：如图，过点A作A'C的平行线，交CC'于点E,记 ∠1=B。由旋转的性质可知，∠A'CB=∠ACB=90°， A'C'=AC,BC=BC。.∠2=∠1=B。.∠3=∠ACB- ∠2=90°-B,∠A'C'D=∠A'C'B+∠1=90°+B。AE∥ A'C',.∠AED=∠A'C'D=90°+B。.∠4=180° 追梦之旅铺路卷·八年级 ∠AED=180°-(90°+B)=90°-B。∴.∠3=L4。∴.AE= AC,.AE=A'C'。在△ADE和△A'DC中，∠ADE= ∠A'DC',∠AED=∠A'C'D,AE=A'C',∴.△ADE≌ △A'DC'(AAS),.AD=A'D。 第四章因式分解 1.B2.D3.A4.D5.B6.C 7.x2+3x+2(答案不唯一）8.6 9.36【解析】.M=x2+4xy+5y2-12y+k=(x+2y)2+(y-6)2 +k-36,.k=36时，M是完美数。 10.解：(1)原式=4a(x-y）+2b(x-y)=2(x-y)(2a+b); (2)原式=x2[y2-(y-1)2]=x2[y+(y-1)][y-(y-1)] =x(2y-1); (3)原式=a2(x-y)-4(x-y)=(x-y)(a2-4)=(x-y)(a +2)(a-2)。 3 1 11.原式=y(x2+2y+y2)=xy(x+y)2。= 8x+y=2 原式×宁 8 32 12.解：(1)9x2-9x+3y-y2=(9x2-y2)-(9x-3y)=(3x+y) (3x-y)-3(3x-y)=(3x-y)(3x+y-3); (2)△ABC为等腰三角形或等边三角形。理由：a2- ab-ac+bc=0,..a(a-b)-c(a-b)=0,..(a-b)(a-c)= 0,∴.a-b=0或a-c=0或a-b=0,a-c=0。∴a=b或a= c,a=b=c,∴.△ABC为等腰三角形或等边三角形。 13.解：(1)m-n (2)(m-n)2(m+n)2-4mn (3)三个代数式之间的等量关系为(m-n)2=(m+n)2- 4mn。 (4)a-b=6,ab=5,∴.(a+b)2=(a-b)2+4ab=62+4×5 =36+20=56。 第五章分式与分式方程 分式及其基本性质、分式的运算 1.A 2.B【解析】由题可知x2-16=0且x+4≠0，解得x=4。故 选B。 3.C4.B5.B 6.D【解析1原式=m(m-2）.-（ml).-m-2。 m-1 m2 m。m,n 是两个连续的整数，且m+n=-1,m=-1,n=0,则原式路 =-12-3,故选D。 -1 手 7.x≠2026 8.6【解析1原式=-4.。=a+2)(a-2).02 案 aa+2 a *2a2 2a。a2-2a-6=0,.a2-2a=6。 9.80xh10. x2-4 u-f 1.解：(1)原式=42.(x+=+2: x+1 x (2)原式=x+2)(x-2).2(x-2)1=21.1 (x-2)2*(x+2)xi (3)原式=a+2ab+62(a+b)2 a+6a+i。 12.解：原式=( （x4)÷3+x=-（x+3)(x-3) ÷x-2+x-3 x-2 后20 3 1 0,x≠2且x≠3，取x=1,则原式=-，3=3 1-32。(答 案不唯一) 下·ZBB·数学第20页 13.解：的2N=-8M(-2)-N(x+2)。-8 x+2x-22-4心 (M-Nx-2M-2Y=x-8, x+2)(x-2)4则 x2-4 ·2心怒得 M=2.5 N=1.5 4解询知0-5即 58牛+(x8壁 1 x2 1=63,x+2+16 分式方程 1.B2.D 3》【解折】解分式方程得=。：方程有解子 0,x+1≠0，m-1≠0，∴.m≠0且m≠1。故选D。 【易错提醒】当分式方程有解时，解的分母里含有未知数 的话，不要忘记解的分母也不等于0。 4.B【解析】设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则 小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，依题意得2+ 12-2,解得x=1,经检验，x=1是原方程的解，且符合 1.2x 题意，.小敏通过AB路段时的速度是1米/秒。故选B。 3C【解析1郎分式方程得，：2：分或方霍的解为 正整数解且a为整数，.a-2=1或2或4或8。又x≠ 4且x≠0，a≠4且a≠2，.a=3或6或10。关于y y+1y-1 的不等式组，23>1① 有解，解①得y>1,解②得y 1-y≥3-a② 2 ≤2a-5,∴.2a-5>1,解得a>3,综上，符合题意的整数a 的值有6,10，符合条件的所有整数a的和为16。故选 C。 铺 6.7 7.-3【解析】解分式方程得x=2+m。·分式方程有增 根，∴.x+1=0,即x=-1,把x=-1代入x=2+m中解得m 手 =-3。 案 8.896896 =120 x30-x 9.解：(1)方程的两边都乘x(x+2),得2(x+2)=3x,解这个 方程，得x=4。检验：当x=4时，x(x+2)≠0，.x=4是 原方程的根。 (2)方程的两边都乘(x+1)(x-1),得(x+1)2+4=(x+1) (x-1),解这个方程，得x=-3。检验：当x=-3时，（x+ 1)(x-1)≠0，∴.x=-3是原方程的根。 10.解：设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价 2800250=250, 格为(1-30%)x元，依题意得1-309%)xx 解得x=6,经检验，x=6是原方程的根，且符合题意。 故苹果每千克的价格为6元。 11.解：(1)方程的两边都乘(x-3),得x=2(x-3)-（-2), 解这个方程，得x=4。经检验，x=4是原分式方程的 根。 (2)设原分式方程中“？”代表的数为m,则有，产2- 一3°方程的两边都乘(x-3),得x=2(x-3)-m。x= m 追梦之旅铺路卷·八年级 3是原分式方程的增根，把x=3代入上面的等式，得m =-3。.原分式方程中“？”代表的数是-3。 12.解：(1)一2x+2-(x-3)=6x分式的基本性质 (2)检验 (3)方程的两边都乘(2x+2),得2x+2-(x-3)=6x,解这 个方程，得x=1。检验：当x=1时，2x+2≠0。.x=1是 原方程的根。 第六章平行四边形 平行四边形的性质与判定 1.D2.B3.A4.B5.C 6.C【解析】由作法得BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE。 ,'四边形ABCD为平行四边形，∴.ADBC,AD=AE+DE= 10+6=16,AB=CD,.∠CBE=∠AEB,∴.∠ABE=∠AEB, ∴.AB=AE=10,∴.CD=10。.CE⊥DE,.∠CED=90°， 在Rt△CDE中，DE=6,CD=10,∴.CE=√CD-DE2=8, .□ABCD的面积为AD·CE=16×8=128。故选C。 7.218.= 9.2或6【解析】①当，点F在C的左侧时，根据题意，得 AE=tcm,BF=2tcm,则CF=(6-2t)cm。AG∥BC,∴.当 AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6-2t,解 得t=2;②当，点F在C的右侧时，根据题意，得AE=tcm, BF=2tcm,则CF=(2t-6)cm。AG∥BC,.当AE=CF 时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t-6,解得t=6。 综上，当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶，点的四边形是平 行四边形。 10.证明：.·四边形ABCD是平行四边形，∴.DA∥BC,DA= BC。∴.∠E=∠F,∠EDO=∠FBO。.AE=CF,∴.DA+ AE=BC+CF,即DE=BF。在△EOD和△FOB中， I∠E=∠F DE=BF ,.△EOD≌△FOB(ASA),∴.OE= (∠EDO=∠FBO OF。 11.(1)证明：∠ACB=90°，.AC⊥BC。:DE⊥BC,∴.AC DF,.∠A=∠BDF。.·∠A=∠F,.∠BDF=∠F, CF∥AB。又：ACDF,∴.四边形ADFC是平行四边形； (2)解：.CD平分∠ADE,∴.∠ADC=∠FDC,在△ADC 和△FDC中，∠A=∠F,∠ADC=∠FDC,CD=CD, △ADC≌△FDC(AAS),∴.AD=DF,由(1)得四边形AD FC是平行四边形，∴.S边形ADFC=2 SACDF,AD=CF=DF= 10,设EF=x,则DE=10-x,CD2-DE2=CF2-EF2, 122-(10-x)2=102-2,解得x=14 ,CE=48 80边5Ac2Sor=2x)pP·CE=2X,X70x48 5 =96。 12.解：(1)DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边 形，∴.DE=AF,∠FDC=∠B。又：AB=AC,∴.∠B= ∠C,∴.∠FDC=∠C,∴.DF=FC,.DE+DF=AF+FC= AC; (2)当点D在边BC的延长线上时，在图2中，DE-DF= AC:当点D在边BC的反向延长线上时，在图3中，DF- DE=AC。 (3)当在图1的情况下，DF=AC-DE=10-7=3;当在图 3的情况下，DF=AC+DE=10+7=17。 专题平行四边形的性质与判定 1.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, ∠FAE=∠CDE。点E是AD的中点，∴.AE=DE。又 ∠FEA=∠CED,∴.△FAE≌△CDE(ASA),∴.CD=FA。 又CDAF,.四边形ACDF是平行四边形。 2.证明：.：四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB= OD,又：AF=CE,BH=DG,∴.AF-OA=CE-OC,BH-OB= DG-OD,.OF=OE,OH=OG,∴.四边形EGFH是平行四 边形，.GFHE。 下·ZBB·数学第21页