第二章 不等式与不等式组-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

线段的垂直平分线、角平分线 1.A2.C3.B 4.D【解析】.：DE⊥AB,∠C=90°，DE=DC,∴BD平分 ∠ABC,∴.∠EBD=∠CBD=26°，∴LA=90-∠ABC= 90°-2×26°=38°。故选D。 5.A【解析】·MG、NH分别垂直平分AB、AC,.GA=GB, HA=HC,∴.∠B=∠BAG,∠C=∠HAC,∠B+∠C+ ∠BAC=180°，∠BAC=144°，.∠B+∠C=36°，.∠BAG +∠HAC=36°，.∠GAH=144°-36°=108°。故选A。 6.65°【解析】在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，∠BAC =180°-55°-30°=95°。直线MW是线段AC的垂直平 分线，∴.∠C=∠CAD=30°，∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD= 65°。 7.2 8.2【解析】过P作PM⊥AB于M。由题意，得PM=PE= 3,LPEA=90，°AE=4,Sae=2 XAExPE=6,SaP 2XFxPM-x63.P3AF-2 9.(1)解：△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=∠ABC=60°， 又.·CD=CE,∠ACB=∠E+∠CDE,∴.∠E=∠CDE= 30°： (2)如图所示，DM即为所求： B MXC E (3)证明：△ABC是等边三角形，D是AC中点， ∠DBC=∠ABD=30°，又∠E=30°，∴∠DBC=∠E, BD=ED,又.DM⊥BE,.∴.BM=EM。 10.解：(1)：EM是边AB的垂直平分线，FN是边AC的垂 直平分线，∴.BE=AE,FA=FC,.BC=BE+EF+FC=AE+ EF+FA。:△AEF的周长=AE+EF+FA=14,∴.BC=14; (2)∠B+∠C=45°，.∠BAC=180°-45°=135°。 BE=AE,FA=FC,∴.∠EAB=∠B,LFAC=LC,∴.∠EAF =135°-（∠EAB+∠FAC)=90°，.AE+AF2=EF2=36, 又AB+MF=BC-EF=8,Sa=7AB·AF=[(AE 1 铺 +AF)2-(AE2+AF2)]=7。 11.解：(1)CD垂直平分线 (2)过点C作OD的垂线，垂足为点E,则∠CE0= 手 ∠CED=90°。在Rt△C0E和R△CDE中，CECR 案 ∴.Rt△COE≌Rt△CDE(HL),.OE=DE,.CE是线段 OD的垂直平分线，.点C在线段OD的垂直平分线上。 第二章不等式与不等式组 不等式及其性质、一元一次不等式 1.C2.C3.B4.C5.2 6.43【解析】设这个学生答对x道题。根据题意得2x- 128 (50--4)≥82，解得x≥3。：x为整数，x的最小值 为43，则这个学生至少答对43道题，成绩才能不低于82 分。 7.1【解析】：2*3=1,3*(-1)=10，. 005510解 得{8二2。x*(2x-3)<9,心ax-b(2x-3)+5=-3x+13 2 9,解得>了，…关于x的不等式x*(2x-3)<9的最小 整数解为1。 8.解：(1)去括号，得2x-3x-3≤1。移项、合并同类项，得 -x≤4。两边都除以-1，得x≥-4。在数轴上表示不等 追梦之旅铺路卷·八年级 式的解集如下： 4 0 (2)去分母，得2(2x-3)>3x+1-6。去括号，得4x-6>3x +1-6。移项、合并同类项，得x>1。在数轴上表示不等 式的解集如下： -5-4-3-2-1012345 9.解：解不等式，得x>2,.x的最小整数为3，把x=3代入 2x-a=3得，6-a=3,解得a=3。 10.解：(1)设商店购进甲种圆珠笔x支，乙种圆珠笔y支。 由题意得，910-10y-270解得8 (y=609 即这个商店购进甲种圆珠笔50支，乙种圆珠笔60支。 (2)设甲种笔每支的售价为m元，由题意得，50(m-12) +2×60x(12-10)≥340，解得m≥14。.：m为整数，∴.m 的最小值为14。故甲种笔最低售价为每支14元。 11.解：【启发应用】1<x+y<5 【拓展推广】x+y=2,.x=2-y,又x>1,∴.2-y>1, y<1,又：y>-4,.-4<y<1,.-1<-y<4。①同理得：1< x<6。②由①+②得-1+1<x-y<4+6,.x-y的取值范围 是0<x-y<10。 一元一次不等式（组）与一次函数 1.A2.A3.B 4C【解析】解不等式组得弓<<。：不等式组解案中 至少有5个整数解，即-1,0,1,2,3，a>3,则整数a的 最小值为4。故选C。 5.A6.x<37.-3<m< 8 3<x≤18【解析】第一次的结果为：3x-2,没有输出，则 3x-2≤154，解得x≤52；第二次的结果为：3(3x-2)-2= 9x-8,没有输出，则9x-8≤154，解得x≤18；第三次的结 果为3(9x-8)-2=27x-26,输出，则27x-26>154,解得x >。综上可得x的取值范围是0 3<x≤18。 3x-1<x+5① 2<1②解不等式①，得x<3,解不等式②，得x 9.解：x-3 >-1,∴.不等式组的解集为-1<x<3,解集在数轴上表示， 如图所示：名之子。十之}主，则该 不等式组的整数解为0,1,2。 10.解：①+②得3x+y=3m+4,②-①得x+5y=m+4。 y8一400解得-4长m≤号 “3。·满足条 件的m的整数值为-4，-3，-2。 11.解：(1)直线y=kx+b经过点A(-5,0),B(-1,4),∴. {0解得份g=+5,当=0时=5点 D的坐标为(0,5)； （2迪54解得2，故点c(-3,2》。“y -2x-4与y=x+5分别交y轴于点E和点D(0,5),.E (0,-4),.直线CE:y=-2x-4与直线AB及y轴围成 图形的面积为：宁5k1=分×9x3 2 (3)x>-3。 12.解：(1)设A种工艺品的单价为x元，B种工艺品的单 2x+3y=260:解得红=40 价为y元。依题意得x+y三100 G=600即A 下·ZBB·数学第19第二章不等 不等式及其性质 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.在下列表达式：①x+y<0,②+3-5 3,⑧x 2> y,④x3+2x2+1,⑤5>-3，⑥a+b≤1中，是不 等式的有(） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.若a>b,则下列不等式变形错误的是( A.a+5>b+5 B.a-5>b-5 C.-5a>-5b 3.学习情境·过程性纠错老师设计了接力游 戏，用合作的方式完成解一元一次不等式， 规则是：每人只能看到前一人给的式子，并 进行一步计算，再将结果传递给下一人，最 后完成化简。过程如图所示： 老师 甲 丙 活>1-号x>6-2x-4x-2x>6-4->2x<-2 接力中，自己负责的一步出现错误的 是() A.只有乙 B.甲和乙 C.乙和丙 D.乙和丁 4.某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈， 小鱼妈妈假设某一商品的定价为x元，并列 出不等式为0.8×(2x-200)<1900,那么小 鱼告诉妈妈的信息是( A.买两件等值的商品可减200元，再打两 折，最后不到1900元 B.买两件等值的商品可打两折，再减200 元，最后不到1900元 C.买两件等值的商品可减200元，再打八 折，最后不到1900元 D.买两件等值的商品可打八折，再减200 元，最后不到1900元 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 式与不等式组 一元一次不等式 测试分数：60分 二、填空题（每小题3分，共9分） 5.不等式2x-3≤5x的非正整数解有 个。 6.学习情境·知识竞赛在一次知识竞赛中有 50道题，评分标准：答对一道得2分，答错 一道倒扣1分，不答得0分，某学生有4道 题没有答，这个学生至少答对 道 题，成绩才能不低于82分。 7.新定义对m、n定义一种新运算“*”，规 定：m*n=am-bn+5(a、b均为非零常数)， 等式右边的运算是通常的四则运算，例如 3*4=3a-4b+5。已知2*3=1,3*(-1)= 10。则关于x的不等式x*(2x-3)<9的最 小整数解为 三、解答题（共39分） 8.(10分)解不等式，并将解集表示在数轴上。 （1)2x-3(x+1)≤1； 22g1 年级下·ZBB·数学第10页 9.(9分)已知关于x的方程2x-a=3的解是 不等式12华的最小整数解，求。 的值。 10.(10分)某商店用1200元购进了甲、乙两 种圆珠笔。已知甲种笔进价为每支12元， 乙种笔进价为每支10元。商店在销售时， 甲种笔售价为每支15元，乙种笔售价为每 支12元，全部售完后共获利270元。 (1)求这个商店购进甲、乙两种圆珠笔各 多少支； (2)若该商店以原价再次购进甲、乙两种 圆珠笔，且购进甲种笔的数量不变，而购进 乙种笔的数量是第一次的2倍，乙种笔按 原售价销售，而甲种笔降价销售，当两种笔 销售完毕时，要使再次购进的笔获利不少 于340元，甲种笔最低售价每支应为多 少元？ 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·入 11.(10分)【阅读思考】 阅读下列材料： 已知“x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的 取值范围”有如下解法： 解：.x-y=2,.x=y+2。又x>1,.y+2 >1,.y>-1。又y<0,.-1<y<0。① 同理1<x<2。② 由①+②得-1+1<x+y<0+2,∴.x+y的取值 范围是0<x+y<2。 【启发应用】 请按照上述方法，完成下列问题： 已知x-y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范 围是 【拓展推广】 请按照上述方法，完成下列问题： 已知x+y=2,且x>1,y>-4,试确定x-y的 取值范围。 年级下·ZBB·数学第11页 一元一次不等式 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共15分）》 1.利用一次函数y=ax+b的图象解关于x的 不等式ax+b<0,若它的解集是x>-2,则一 次函数y=ax+b的图象为( 2.一次函数y1=mx+n与y,=-x+a的图象如 图所示，则mx+n>-x+a的解集为( A.x>3 B.x<3 y =mx+n C.x<2 3 D.x>2 Y=-x+a x+1≥2 3.不等式组 的解集在数轴上表示 -2x>-4 为( 'x-a<0 4.已知关于x的不等式组 的解集中 2x+3>0 至少有5个整数解，则整数a的最小值 为() A.2 B.3 C.4 D.5 5.研究表明，运动时将心率p(次)控制在最佳 燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护 心脏功能的作用。最佳燃脂心率最高值不 应该超过(220-年龄)×0.8，最低值不低于 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·入 组)与一次函数 测试分数：60分 （220-年龄)×0.6。以30岁为例计算，220- 30=190,190×0.8=152,190×0.6=114,所 以年龄为30岁的最佳燃脂心率的范围可表 示为( ) A.114≤p≤152 B.114<p<152 C.114≤p≤190 D.114<p<190 二、填空题（每小题3分，共9分） 6.已知，一次函数y=x+b(k≠0)的图象经过 点(3,2)，且y随x的增大而减小，则不等式 kx+b>2的解集为 0 7.学科内融合在平面直角坐标系中，如果点 A(32m,在第四象限则m的取值范 围是 8.学习情境·程序框图“输入一个实数x,然 后经过如图的运算，到判断是否大于154为 止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作 停止，则x的取值范围是 ]×3→-2154是停止 否 三、解答题（共36分） 3x-1<x+5 9.(9分)解不等式组 x-3 2x-1 ,把它的解集 表示在数轴上，并求出这个不等式组的整 数解。 年级下·ZBB·数学第12页 10.(9分)已知关于x、y的方程组 (x-2y=m① 的解满足不等式组 2x+3y=2m+4② (3x+y≤0 求满足条件的m的整数值。 x+5y≥0 11.（9分)如图，直线y=kx+b经过点A(-5, 0),B(-1,4)。 (1)求点D的坐标； (2)求直线CE:y=-2x-4与直线AB及y 轴围成图形的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式 x+b>-2x-4的解集。 B A E 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·入 12.(9分)某工艺品店购进A,B两种工艺品， 已知这两种工艺品的单价之和为100元， 购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需 花费260元。 (1)求A、B两种工艺品的单价； (2)该店主欲用4800元进货，且最多购进 A种工艺品37个，B种工艺品的数量不超 过A种工艺品的2倍，共有几种进货方案？ (不需要写出每种进货方案)》 (3)已知每个A种工艺品售价为54元，每 个B种工艺品售价为78元，该店主决定每 售出一个A种工艺品就为希望工程捐款m 元。在(2)的条件下，若A、B两种工艺品 全部售出后所有方案获利均相同，求m 的值。 年级下·ZBB·数学第13页