追梦期末达标测试卷(二)-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

铺路卷 ZBB·(八年级数学下 为期中、期末铺路，为中考、未来铺路 追梦期末达标测试卷（二） 注意事项： 1.本试卷共三个大题，满分120分，考试时间100分钟 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在 答题卡上.答在试题卷上的答案无效 、选择题（每小题3分，共30分） 1.科技前沿·AI未来将是一个可以预见的AI时代。AI一般指人 工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的 电4 理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学。下列是世界著名 人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图 形的是( 吹 n 蝴 2.已知一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形 的边数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2-4y2=(x+4y)(x-4y） 口 C.x2-2x+1=x(x-1)+1 D.x2-8x+16=(x-4)2 4.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一。”那么我们 用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°”时，第一步先假设() A.三角形中有一个内角小于60 B.三角形中有一个内角大于60 C.三角形中每个内角都大于60° 馨 D.三角形中没有一个内角小于60° 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BC=8cm,BD= 5cm,那么D点到直线AB的距离DE为( A.3 cm B.4cm C.5 cm D.8 cm 3 0 B E 剂 第5题图 第6题图 第7题图 6.解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是( A. x>-3 x≥2 B c 7.如图，□ABCD的周长为40cm,AE⊥BC,AF⊥CD,AE=4cm,AF =6cm。下列说法错误的是( A.BC=12 cm B.CD=8 cm C.口ABCD的面积是48cm2 D.CF=DF 8.跨学科试题·语文辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一 片。”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略黏，芳香爽口，是餐桌 上的佳品。某收割队承接了60hm2五常水稻的收割任务，为了 让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果 提前2天完成任务。设原计划每天收割的面积为xhm2,则下列 方程正确的是( 60 x A(1+20%)x60 2 B 60(1+20%)_60=2 X 6060(1+20%) 6060 =2 D. =2 x（(1+20%)x 1 9.如果不等式组2*-1<3有且仅有3个整数解。那么m的取值 -x<-m 范围是( A.4≤m≤5 B.4≤m<5 C.4<m<5 D.4<m≤5 10.如图，在平面直角坐标系中，已知点B(0,6),点A在第一象限 内，AB=OA,∠OAB=120°，将△AB0绕点O逆时针旋转，每次 旋转90°，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为( A.(-3,√5) B.(-√3,3) C.(5,-3) D.(3,-√3) 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请你写一个分式，使它满足当x=1时，分式无意义，当x=-2 时，分式的值为0，这个分式可以是 12.如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征 “天圆”，其底座实际为十二边形，呼应 中国传统历法中的“十二月”与“十二时 辰”。该底座所有内角之和为 度。 &若方帮组2ym-的架y满足>5，则a的 取值范围为 试题精讲 14.如图，△ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，BF平分∠ABC,交DE 于点F。若BC=6,AC=9,AB=14,则EF的长是 Q D E 第14题图 第15题图 15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点D,E分别为AC,BC 的中点，动点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，动 点Q从点B出发，以1cm/s的速度向点A运动，若P,Q同时 出发，到达终点即停止运动，在第 s时，以点D,E,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形。 三、解答题（本大题共8小题，共75分）》 16.学习情境·过程性学习(10分)下面是小明同学进行分式化简 的过程，请认真阅读并解决相关问题。 1品 解：原式=，1-(x-1) -1…第一步 (x+1)(x-1)x-2 1-x-1x-1 …第二步 Γ(x+1)(x-1)x-2 x-1 =(x+1)(x-1)x-2 …第三步 一 =（x+1)(x-2) …第四步 (1)该同学解答过程是从第 步开始出错的，其错误的 原因是 (2)请写出此题正确的解题过程，再求值，其中x是不等式组 2x-15x+1 32 ≤1①的一个整数解。 5x-1≤3(x+1)② THE ROAD TO 17.（9分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格 中建立平面直角坐标系xOy,格点（网格线的交点）A,B,C的坐 标分别为(0,4)，(2,2)，(1,1)，请仅用无刻度的直尺按下列要 求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）。 (1)将△ABC向下平移3个单位长度，得到△A,B1C(点A,B, C的对应点分别为A1,B1,C1),画出△A1BC1o (2)以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到 △AB2C2(点B,C的对应点分别为B2,C2),画出△AB2C2。 (3)请直接写出以A,B2,A1,C为顶点的四边形的面积。 (4)在线段AC上画一点D,使得△ADB的面积是△ABC面积 31. 18.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的两 点（点E在点F左侧），且∠AEB=∠CFD=90°。 (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AB⊥AF,AB=8,AF=6,则EF= 19.(9分)小华认为多项式x2-2x-8不能因式分解，小明却认为可 以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： x2-2x-8=x2-2x+1-1-8=(x2-2x+1)-9=(x-1)2-32=(x-1+ 3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)。 方法二： x2-2x-8=x2-4-2x-4=(x2-4)+(-2x-4)=(x+2)(x-2)-2(x +2)=(x+2)(x-2-2)=(x+2)(x-4)。 方法三： x2-2x-8=x2+2x-2x-2x-8=x2+2x-4x-8=(x2+2x）+(-4x-8) =x(x+2)-4(x+2)=(x+2)(x-4)。 (1)请你用以上三种方法中的任意一种对x2+4x-12进行因式 分解； (2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解 问题，还可以求这部分多项式的最值，如：x2-2x-8=(x-1)2 9,因为(x-1)2≥0所以(x-1)2-9≥-9，因此多项式x2-2x-8 的最小值是-9。借助小明的做法，判断多项式-x2-4x+12有 最值吗？如果有，请你求出x为何值时取到最值；如果没有，请 说明理由。 。32· 20.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC<BC。 （1)动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹。 ①作线段AB的垂直平分线MN,MN分别与AB交于点D,与 BC交于点E; ②作射线AE,过点B作BF⊥AE,垂足为F。 (2)求证：AC=BF。 C B 21(9分)如图，直线：y=:+6与x轴y轴分别交于点A(, 0,B(0,4),与直线6：y=7交于点C。 (1)求直线(1的函数表达式。 (2)求点C的坐标，并结合函数图象直接写出当x+b> 2时x 的取值范围。 B 22.（10分)根据表中素材，完成任务。 某校为了引导学生学习人工智能知识、激发学生的创 新思维，特开展“青少年人工智能挑战赛”活动。已 素材1 知该活动设置“特等奖”和“优秀奖”两种奖项，需要 购置的“特等奖”奖杯的单价比“优秀奖”奖杯的单价 贵10元，用500元购进的“特等奖”奖杯的数量和用 400元购进的“优秀奖”奖杯的数量相同。 学校的要求如下： 素材2①此次活动的获奖总人数是30人。 ②获得“优秀奖”的人数不超过“特等奖”人数的2倍。 任务1 根据以上信息，请求出“优秀奖”和“特等奖”奖杯的 单价。 为响应降本增效方针，在满足要求的情况下尽量降低 任务2采购总费用，请求出此次颁奖所需奖杯的最低采购 费用。 易错 分析 23.（10分)以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试 使用三角形纸板开展探究活动。如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=6,BC=8,取AB,BC中点D,E,将△ABC沿DE剪开，得到 四边形ACED和△DEB,将△DEB绕点D顺时针旋转得 到△DFG。 【操作发现】(1)如图1，若FG交BC于点M,则MF ME(填“>”“<”或“=”)； 脚 【深入探索】(2)在(1)的条件下，同学们发现将△DEB旋转到 一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度； ①如图1，若FG∥AD,求MF的长； ②如图2，若A,F,G三点共线，则MF的长为 【拓展延伸】(3)在△DFG旋转的过程中，请直接写出△CFG面 积的最大值。 些 D B 做题 图1 图2 备用图 心得是△ABC的中线，∴.BD=CD,在△ADB和△FDC中， (AD=FD ∠ADB=∠FDC,∴.△ADB≌△FDC(SAS),∴.CF=BA, BD=CD ∠DCF=∠ABD,∴.AB∥CF,.·ABME,∴.ME∥CF,.CE ∥AD,.四边形CEMF是平行四边形，.ME=CF,.ME =AB,.四边形ABME是平行四边形； (6分) (3)解：延长AD到点F,使DF=AD,连接 CF,由(2)知，ME=AB=CF=4,CE=MF 则ME+MC取最小值时，CM最小，故CM ⊥AD时，CM最小，如图，：AD是△ABC 的中线，.BD=CD=3,SAARD=SAADG0由 勾股定理得AD=√④+3=5,2×ADX CN=xMBD,解得CM-号在△CWr中，由肉股 定理得，MP=VCFC=√-（号- A 5,cB= 16 5 （10分) 追梦期末达标测试卷（二） 答案12345678910 速查DBDCADDDBA 1.D 2.B【解析】设这个多边形的边数为n,由题意，得(n-2) ·180°=360°，解得n=4。∴.此多边形的边数为4。故选 B。 3.D4.C 5.A【解析】在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,过，点 D作DE⊥AB于E,∴DE=DC,BC=8cm,BD=5cm,∴. CD=BC-BD=8-5=3(cm),∴.点D到AB的距离是3cm, 故选A。 6.D 7.D【解析】：口ABCD的周长为4Ocm,.DA+BC+AB+ CD=2BC+2CD=40cm,∴.BC+CD=20cm,.:AE⊥BC于点 E,AF⊥CD于点F,AE=4cm,AF=6cm,.4BC=6CD,∴. 3 CDCD+CD=20cm,.CD=8cm,BC= 故AB不符合题意；.SABCD=BC·AE=12×4=48 (cm2),故C不符合题意。故选D。 8.D 1 9B【解析】2-1<3 ,解不等式①，得x<8,解不等式 -x<-m② ②，得x>m,不等式组的解集是m<x<8,:不等式组 ( 2-1<3有且仅有3个整数解，这3个整数解是5,6,7， -x<-m .4≤m<5,故选B。 10.A【解析】由题可知，将△AB0绕 ,点0逆时针旋转，每次旋转90°，…. 每旋转4次则回到原位置，.2025÷ 4=506…1,.第2025次旋转结 B H 束后，图形旋转了90°，如图所示， 旋转后的图形为△OA,B1,作A1H⊥x轴于H,由条件可 知0H=0B=3,.A,0H=∠A0B=30°，设A,H=x,则 2 0A1=2x,由勾股定理可得：(2x)2=x2+32,.x=3, 点A1在第二象限，A1(-3,5),故选A。 追梦之旅铺路卷·八年级 11.*2 “(答案不唯一) 12.1800【解析】(12-2)×180°-10×180°=1800°。 3.m>3【解析]2x十2-1②则①+②得：*+y=m+2, ,'x+y>5,.m+2>5,解得m>3。 14.4【解析】小D是BC的中点，BC=6,.BD=3,D,E 分别是BC,AC的中点，.DE是△ABC的中位线，.DE AB,DE=3AB=7,∠ABF=∠DFB,·BR平分 ∠ABC,.∠ABF=∠DBF,∴.∠DBF=∠DFB,.DF= BD=3,∴.EF=DE-DF=7-3=4。 15号或5【解析1在R△ABC中，∠C=90,AC=6,BC= 大 8,.AB=√AC2+BC=√6+82=10，点D,E分别为 AC,BC的中点，DE=)AB=5,DE∥AB,当PQ=DE 案 时，点D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，∴10- 3-5或310-5，解得=号我5。 16.解：(1)二括号前面是负号，去括号时没有变号 (4分) (2)原式=，1-(x-1).1.2-x x-1 (x+1)(x-1)'-2(+1)(x-1)‘x-2 x+1解不等式①得：x≥-1，解不等式②得：x≤2，故原 不等式组的解集为-1≤x≤2，则其整数解为-1,0,1,2， (x+1)(x-1)≠0且x-2≠0，.x≠±1且x≠2，x= 0,原式=-1 =-1。 (10分) 0+1 17.解：(1)如图，△AB,C1即为所求。 (2分) (2)如图，△AB2C2即为所求。 (4分) 9 (3)S四边形B,4c=2。 (7分) (4)如图，取AC的中点D,则点D即为所求。 (9分) 18.(1)证明：.·∠AEB=∠CFD=90°，∴.∠AEF=∠CFE= 90°，.AE∥CF,四边形ABCD是平行四边形，.AB∥ CD,AB=CD,∴.∠ABD=∠CDB,在△ABE和△CDF中， LABE=∠CDF ∠AEB=∠CFD,.△ABE≌△CDF(AAS),.AE=FC, AB=CD 又：AE∥CF,.四边形AECF是平行四边形。(7分) a号 (9分) 19.解：(1)x2+4x-12=x2+4x+4-4-12=(x2+4x+4)-16=(x +2)2-16=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2);(方法不 唯一) (4分) (2)多项式-x2-4x+12有最大值， (5分) 理由如下：-x2-4x+12=-(x2+4x+4-4-12)=-(x+2)2+ 16,(x+2)2≥0，.-(x+2)2≤0，-(x+2)2+16≤16。 当x=-2时，取到最大值为16，∴.多项式-x2-4x+12在 当x=-2时取最大值为16。 (9分) 20.解：(1)①如图，DE为所作； (2分) 下·ZBB·数学第16页 ②如图，BF为所作； (4分) D ￥W (2)证明：ED垂直平分AB,.EA=EB,BF⊥AE, I∠C=∠BFE ∠BFE=90°，在△ACE和△BFE中，{∠AEC=∠BEF, （AE=BE ∴.△ACE≌△BFE(AAS),.AC=BF。 (9分) 21.解：(1)由题知，将点A和点B坐标分别代入y=x+b 18 3 k= 得，{3 k+b=0 ,解得 2,所以直线1的函数表达 b=4 (b=4 式为y=3 x+4; (4分) (2)由-弓+4=子得，=2，将x=2代人直线4：y 3 子，得=宁2=1，所以点C的擎标为(2。由函数 图象可知，当x<2时，直线11在直线2图象的上方，即 红+b>之，所以不等式：+6分的解集为x<2。 (9分) 22.解：任务1：设“优秀奖”奖杯的单价是x元，则“特等 奖”奖杯的单价是(x+10)元， (1分) 根据题意得：500-400 x+10-x 解得x=40,经检验，x=40是 所列方程的根，且符合题意， (4分) .x+10=40+10=50(元)。答：“特等奖”奖杯的单价是 50元，“优秀奖”奖杯的单价是40元； (5分) 任务2：设设置m个“特等奖”，则设置(30-m)个“优秀 奖”，根据题意得：30-m≤2m,解得m≥10，(6分) 设此次颁奖所需奖杯的采购费用为0元，则w=50m+ 路 40(30-m),即w=10m+1200, (8分) 10>0,.w随m的增大而增大，.当m=10时，w取 得最小值，最小值为10×10+1200=1300（元）。答：此次 案 颁奖所需奖杯的最低采购费用为1300元。(10分) 23.解：(1)= (2分) (2)①记DG交BC于点O。:AC=6,BC=8,点D、E分 别为AB、BC中点，∴.DE=3,BE=CE=4,在Rt△DEB 中，由勾股定理得：BD=√DE+BE=5,由旋转的性质 可知，DG=DB=5,∠DGF=∠B。FG∥AD,.∠DGF= ∠BDG,∠BMG=∠B,∴.∠DGF=∠BMG,∠BDG=∠B, .OD=0B.OG=OM...MB=MO+0B=OD+0G=DG=5. ∴.MF=ME=MB-EB=5-4=1。 (6分) ② (8分) 【解析】.·△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG,∴.DG =DB=5,∠DGF=∠B。,AD=DB,∴.AD=DG。.A,F, G三点共线，.∠DGF=∠DAG,∴.∠B=∠DAG,.MA= MB,设MA=MB=x,在Rt△ACM中，由勾股定理，得 MF MA=AC2+MC3,则2=62+(8-x),解得x=25, EM-BM-BE-254 4 9 45 追梦之旅铺路卷·八年级 (3)16 (10分) 【解析】过C作CN⊥FG于点N,FG= BE=4,为定值，.当FG上的高线CW最 大时，则△CFG面积最大，即求出C到 FG的最大距离即可，.CN≤CF,当点NC 和点F重合时，且△DFG旋转到AB外侧时，此时CN 最大，如图：DF⊥FG,.此时C、D、F三，点共线，即CW =CF=CD+DF=5+3-8SAcrc=2CF.CF=16, △CFG面积最大值为16。 《铺路帮手》答案 +++十+十 第一章三角形的证明及其应用 三角形内角和定理 1.B 2.D【解析】360÷45=8，所以这个多边形是八边形，故选 D。 3.B【解析】由题意，得∠2=2∠1+ 5°，：AB/CD,.∠3=L2,∠4+ ∠3+30°=180°，∠4+∠1=90°，. 4320R2 6 90°-∠1+∠2+30°=180°，即∠2= 60°+∠1，.2∠1+5°=60°+∠1， ∠1=55°，故选B。 4.D5.A 6.C【解析】在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， 且∠ABC=∠ACB=50°，.∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB =80°，：DE∥AB,∴.∠ADE=∠BAC=80°。故选C。 7.78.75° 9.81【解析】.CE⊥AB,.∠AEC=90°，.·∠ACE=22°， .∠BAC=180°-90°-22°=68°，AD平分∠BAC, ∠BMD=∠CAD=7LBAC=34,LB=47,∠ADC- ∠BAD+∠B=81°. 10.15°【解析】.ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形， ∴AB=BC=BG,.∠BCG=∠BGC。:正六边形ABC DEF的每一个内角是(6-2)×180°÷6=120°，正方形 ABGH的每个内角是90°，.∠CBG=360°-120°-90°= 1 150°，∠BCG=LBGC=2×(180°-150)=15°。 11.解：1140°÷180°=6…60°，则边数是6+1+2=9。.他 们是在求九边形的内角和。180°-60°=120°，.少加的 那个内角为120°。 12.(1)解：由题意，得∠B=2∠A+2°，∠ACB=3∠A-2°， ∠A+∠B+∠C=180°，.∠A+2∠A+2°+3∠A-2°= 180°，解得∠A=30°，∴.∠B=60°+2°=62°，∠ACB= 3∠A-2°=88°，·CE是△ABC的角平分线，.∠ECB= 1 LACE=2∠ACB=44°，LBEC=180°-LB-LBCB= 74°0 (2)证明：CD⊥AB,.∠CDB=90°，.∠DCB=180°- 62°-90°=28°，.∴.∠ECD=44°-28°=16°，.：∠CDF= 74°，.∠CFD=180°-∠ECD-∠CDF=90°，.△CFD 是直角三角形。 13.解：(1)∠A=30°，∠B=40°，.∠AEC=∠A+∠B= 70°，.'∠APC=110°，∴.∠C=∠APC-∠AEC=40°； (2)∠APC=∠A+∠B+∠C,理由如下：∠AEC=∠A+ ∠B,∠APC=∠AEC+LC,∴.∠APC=LA+∠B+∠C。 等腰三角形 1.D2.D3.B4.C5.D 6.C【解析】连接AC,:AB=AD=12,BC=DC,在△ABC 下·ZBB·数学第17页