专题03 列联表与独立性检验的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题03 列联表与独立性检验的四大常考题型 题型一：列联表 题型二：独立性检验卡方的计算 题型三：独立性检验解决实际问题 题型四：建模 题型一：列联表 1．2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图． 根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（    ）． A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B．样本中多数女性是35岁及以上 C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D．样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高 【答案】ABD 【分析】通过等高堆积条形图构建列联表，根据条形图所呈现的信息得出列联表中各部分数量的大小关系，再依据这些关系对各个选项进行分析. 【详解】设等高堆积条形图对应的列联表如下： 项目 35岁及以上 35岁以下 合计 男性 a c 女性 b d 合计 根据第1个等高堆积条形图可知，35岁及以上的男性比女性多，即； 35岁以下的男性也比女性多，即， 根据第2个等高堆积条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即； 女性中35岁及以上的也比35岁以下的多，即， 对于选项A，男性人数为，女性人数为，，，故A正确， 对于选项B，35岁及以上女性人数为，35岁以下女性人数为d，，故B正确， 对于选项C，35岁以下男性人数为c，35岁及以上女性人数为b，由，无法直接判断b与c的大小关系，故C不一定正确， 对于选项D，35岁及以上的人数为，35岁以下的人数为，，，故D正确， 故选：ABD． 2．下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 【答案】 【分析】根据已知条件补全联表即可. 【详解】根据已知条件得出， 又因为，所以，所以， 所以. 所以. 3．下面是一个2×2列联表： 项目 y1 y2 总计 x1 a 21 70 x2 5 c 30 总计 b d 100 则由上表可得 . 【答案】74 【分析】根据联表性质计算求解. 【详解】由题意知，所以. 故答案为：. 4．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 【答案】B 【分析】根据等高条形图中的数据即可得出选项. 【详解】根据两个表中的等高条形图知，药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大， 所以药物的预防效果优于药物的预防效果， 故选：B. 5．设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，即，，且，，，且，随机调查个样本数据后，得到如下列联表，则（   ） 合计 合计 A．若，则可以认为与独立 B．若变量与独立，则 C．若很大，则变量与不独立 D．若变量与不独立，则很大 【答案】AC 【分析】运用独立性检验的步骤原理推理判断即可. 【详解】用频率可以估计，用频率可以估计，用频率可以估计，若，则，可以认为与独立，故正确； 由于，，表示的是频率，是抽取的样本数据，故即使变量与独立，也不一定成立，故错误； 若很大，可以说明与不独立，故正确； 若变量与不独立，，但并不一定很大，故错误. 故选：AC. 6．地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 【答案】C 【分析】根据题意，得到如下两个列联表，再一一分析即可. 【详解】根据题意，得到如下两个列联表. 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为， 女性市民人数为，又，即样本中男性比女性多，故A正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为， 35岁及以下女性市民人数为，又，即样本中多数女性是35岁以上，故B正确； 由题意，，所以，故C不正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为， 35岁及以下市民人数为，又， 即样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多，故D正确. 故选：C. 7．一个列联表如下： 合计 35 45 7 合计 73 则表中，的值分别是    （   ） A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38 【答案】B 【分析】由列联表数据，列出等式即可求解； 【详解】由，得． 由，得． 由，得． 由，得． 故选：B 8．2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 【答案】答案见解析 【分析】利用给定条件计算数据，补充列联表即可. 【详解】因为男性有名，一共有名观众， 所以一共有名女性观众，而有名女性观众不满意， 所以有名女性观众满意，而有名男性观众满意， 所以有名男性观众不满意，故有名观众不满意，有名观众满意， 补全的列联表如下． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 9．观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是 . 【答案】乙 【分析】根据选项中的图形，即可直接求解. 【详解】等高条形图中有两个高度相同的矩形，每个矩形都有两个颜色，观察下方颜色区域的高度，如果高度差越大，则两个分类变量关系越强，观察四个选项可知，B选项中带颜色区域的高度差最大，两个分类变量、相关关系最强; 故答案为：乙 10．某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先得出的值，进而再得的值，进而可知的值. 【详解】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以， 所以，A、B对； 所以，则对； 则错. 故选：. 题型二：独立性检验卡方的计算 11．某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； (2)如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关 (2) 【分析】（1）根据列联表的数据，计算，比较临界值可得结论． （2）利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为，利用二项分布概率公式计算可求结论. 【详解】（1）课外体育锻炼时间与身体素质无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关； （2）由题意在某个区随机调查了1000名学生，有900人达标，达标率为， 利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为. 记“恰有1人课外体育锻炼时间达标”为事件， 则， 所以恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 12．为了解某地初中学生电子产品日均使用时长与视力的关系，从该地区名学生中抽取人，得到电子产品日均使用时长与视力的数据如表所示． 电子产品日均使用时长 [0，0.5) [0.5，1) [1，1.5) [1.5，2) [2，2.5] 不近视人数 52 48 31 14 5 近视人数 8 12 66 125 139 (1)该地区40 000名初中学生中电子产品日均使用时长少于1.5小时的人数约有多少； (2)是否有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关？ 附：，其中，． 【答案】(1) (2)有 【分析】（1）确定500人中电子产品日均使用时长少于1.5小时的比例，继而即可求解； （2）求出，与比较大小，继而即可判断. 【详解】（1）， （2） 电子产品日均使用时长 不近视人数 100 50 150 近视人数 20 330 350 总计 120 380 500 ， 有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关． 13．近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 (1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性 【分析】（1）根据对立事件的概率及古典概型求解； （2）计算，与对应临界值比较即可得出结论. 【详解】（1）抽取的10人中，男孩有6人，女孩有4人， 故至少有1人是女孩的概率为． （2）零假设：是否喜欢豪车模型与性别无关， 则 故不能拒绝零假设，即根据的独立性检验，不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 14．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 200 一般 100 总计 (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)存在差异 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）由（1）可得列联表，计算，并与临界值比较可得结论. 【详解】（1）由题意，得，解得. （2）由（1）得， 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 120 80 200 一般 30 70 100 总计 150 150 300 零假设为：该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中不存在差异， 由题意计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以判断，该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中存在差异. 15．炎炎夏日，空调已经成为越来越多家庭的必备电器之一.为研究不同性别对空调“最佳舒适温度”是否要超过的认同差异，某家电公司随机对280名空调用户进行了调查，其中女性用户占调查总人数的一半，该调查数据中只有的女性用户认为空调“最佳舒适温度”低于，且女性用户中认为空调“最佳舒适温度”低于的人数恰与男性用户中认为空调“最佳舒适温度”不低于的人数相等. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 280 (1)在答题卡中完成列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，分析空调“最佳舒适温度”是否超过与性别有关. 附： 【答案】(1)列联表见解析 (2)空调“最佳舒适温度”是否超过与性别有关 【分析】（1）依题意，算出被调查的用户中女性用户人数，再分别算出其它数据； （2）根据列联表中数据，计算，对照临界值表得出结论． 【详解】（1）依题意可知，被调查的用户中女性用户共有人，认为空调“最佳舒适温度”低于的女性用户有人， 所以男性用户中认为空调“最佳舒适温度”不低于的人数为60. 列联表如下： 性别 最佳舒适温度 合计 男 60 80 140 女 80 60 140 合计 140 140 280 （2）零假设为：分类变量与相互独立，即空调“最佳舒适温度”是否超过与性别无关. 根据表中的数据，计算得到. 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 因此可以认为空调“最佳舒适温度”是否超过与性别有关. 16．在“一带一路”倡议推动下，中国与中亚国家合作日益紧密.2025年，某省计划向海外“郑和学院”项目派遣教师，为此举办了专项教学能力培训.参会人员包括600名高职院校教师和400名企业工程师转岗教师.培训后均参加教学能力考核，考核结果为优秀､合格两种情况，统计得到如下列联表： 高职院校教师 企业工程师 总计 优秀 350 170 520 合格 250 230 480 总计 600 400 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与教师背景类型有关？ (2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10人中随机抽取3人进行海外教学意愿调研，设抽取的3人中企业工程师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)能认为这次考核结果与教师背景类型有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据卡方的计算公式，结合独立性检验的思想即可下结论； （2）易知，利用超几何分布求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望，即可求解. 【详解】（1）零假设为：这次考核结果与教师背景类型无关， 查临界值表，对应的临界值，由于， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为这次考核结果与教师背景类型有关，此推断犯错的概率不大于0.01. （2）分层抽样时，总抽取比例为 因此：高职院校教师抽取人数：（人）， 企业工程师抽取人数：（人） 从10人中抽取3人，设企业工程师人数为X，则X服从超几何分布， 可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 数学期望由超几何分布性质得： 17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了名男生和名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (1)从这人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； (2)试依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼的经常性与性别是否有关． 附：，其中． α 【答案】(1)； (2)认为学生体育锻炼经常性与性别有关 【分析】（1）根据列联表，结合古典概型概率公式，即可求解； （2）首先假设，再计算，再比较参考数据，即可得到结论. 【详解】（1）记事件为“选到的学生不经常锻炼”，事件为“选到的人是女生”， 根据条件概率公式，故； 即在选到的学生不经常锻炼条件下，是女生的概率为； （2）提出假设为学生体育锻炼经常性与性别无关， 则， 根据小概率值的独立性检验， 有充分的证据推断不成立， 因此认为学生体育锻炼经常性与性别有关． 18．欲知作家性别对读者的性别影响，某出版社派工作人员到各书店随机调查了500位买书的顾客，结果如下表所示． 读者 作家 总计 男作家 女作家 男读者 142 122 264 女读者 103 133 236 总计 245 255 500 则在差错不超过0.05的前提下作者的性别与读者的性别 （填“有关”或“无关”）． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】有关 【分析】计算卡方值，判断跟临界值的关系，即可求得结果. 【详解】零假设：作者的性别与读者的性别无关， ，其中， 由公式得， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下作者的性别与读者的性别有关． 故答案为：有关. 19．一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据： 7天内未痊愈 7天内痊愈 对照组 30 170 实验组 20 280 根据表格数据，下列结论正确的是（    ） 参考公式及数据：，其中． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 A．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 B．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 C．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 D．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 【答案】C 【分析】求出卡方值，和6.635，10.828比较即可根据小概率值的独立性检验判断. 【详解】，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有影响， 因此在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故C正确，A错误. ，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有关， 因此在犯错误的概率不大于0.001的前提下，不可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故BD错误. 故选：C. 20．为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动的顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的相关关系，现对某年级的学生随机抽取了男、女同学各50名整理得到下列2×2联表： 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】35或36或44或45（写出一个即可） 【分析】求出，解即可. 【详解】， 依题意可知，解得或， 故的可能取值为35，36，44，45． 故答案为:35或36或44或45（写出一个即可）. 题型三：独立性检验解决实际问题 21．某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 24 36 60 女 12 28 40 总计 36 64 100 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 (1)对照列联表，根据小概率的独立性检验，是否为“奥数迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为，在恰有两人闯关成功的条件下，求两人性别相同的概率． 参考数据与公式：，其中． 【答案】(1)没有90%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关. (2) 【分析】（1）作零假设，根据表中数据计算得并与作比较，然后得到结论； （2）由分层抽样得到抽取的男生和女生的人数，记“恰有两人闯关成功”为事件，“没有女生闯关成功”为事件，分别求出则，，由条件概率公式求得. . 【详解】（1）零假设：“奥数迷”与性别无关 根据表中数据计算得 根据小概率的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为“奥数迷”与性别无关． 没有90%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关. （2）根据分层抽样，抽取的男生人数为2人，女生人数为1人， 记“恰有两人闯关成功”为事件，“没有女生闯关成功”为事件， 则， . 由条件概率的公式得， 故在恰有两人闯关成功的条件下，两人性别相同的概率为 22．为了解小学生课外阅读时长与语文成绩的关系，从某校学生中随机抽取200人，得到他们每周课外阅读时长（单位：h）与语文成绩的数据如下表所示： 阅读时长 范围语文成绩 优秀 5 7 10 28 不优秀 35 53 40 22 (1)估计该校学生每周课外阅读时长不少于2h的概率； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时长；（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若规定每周课外阅读时长不少于4h为达标，少于4h为不达标，根据小概率值的独立性检验，分析课外阅读时长与语文成绩是否有关． 附：． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2) (3)课外阅读时长与语文成绩有关 【分析】（1）利用题设数据，利用样本估计总体的方法求解即可； （2）利用题设数据，结合平均的定义计算即可； （3）先求出列联表，提出零假设课外阅读时长与语文成绩无关，计算，比较其与临界值的大小，由此确定结论. 【详解】（1）估计该校学生每周课外阅读时长不少于2h的概率． （2）估计该校学生每周课外阅读的平均时长为． （3）由题意可得列联表： 阅读时长语文成绩 不达标 达标 合计 优秀 12 38 50 不优秀 88 62 150 合计 100 100 200 零假设为：课外阅读时长与语文成绩无关． 由列联表中的数据可得． 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为课外阅读时长与语文成绩有关． 23．人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. (2)分布列见解析， 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 24．为了检测AI智能与手工制作同一种产品质量的差异性，现要求用这两种方式分别制作100件产品，产品质量情况统计如下表： 优良品 合格品 合计 AI智能 80 20 100 手工 60 40 100 合计 140 60 200 (1)记AI智能、手工制作的产品中优良品的概率分别为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为AI智能与手工制作的产品质量有差异？ 附：，． 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)0.8；0.6 (2)能认为AI智能与手工制作的产品质量有差异 【分析】（1）直接根据所给数据计算即可； （2）先计算，再与给出的数据进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）由题表可得， ． （2）零假设：AI智能与手工制作的产品质量无差异， ， 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为AI智能与手工制作的产品质量有差异． 25．某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值可以是 ．（横线上给出一个满足条件的x的值即可） 对工作满意 对工作不满意 男 5x 5x 女 4x 6x 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】14（答案不唯一） 【分析】根据卡方公式求出x的取值范围，再根据且，即可得解. 【详解】由题意得，故， 所以. 故答案为：14（答案不唯一）. 26．为了研究性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据列联表的相关知识求解即可. 【详解】因为，所以有的把握认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”. 故选： 27．在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是（    ） A．若的值大于，则有的把握认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患肺癌 B．由独立性检验可知，有的把握认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有的可能患有肺癌 C．若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺癌有关系，是指有不超过的可能性使得判断出现错误 D．以上三种说法都不正确 【答案】C 【分析】利用独立性检验的定义逐个选项判断即可. 【详解】若的值大于，则在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关系， 不是在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌，故A错误， 也不是说某人吸烟，那么他有的可能患有肺癌，故B错误， 若有的把握认为吸烟与患肺癌有关系， 则有不超过的可能性使得判断出现错误，故C正确，D错误. 故选：C 28．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（   ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】B 【分析】根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断. 【详解】依题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 篮球迷 30 15 45 非篮球迷 45 10 55 合计 75 25 100 所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关， 即有的把握认为是否是篮球迷与性别有关， 又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：B. 29．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下表所示的列联表.经计算，则可以推断出（    ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C．有不少于95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D．有不少于99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【答案】AC 【分析】应用古典概型判断A,B选项，根据与边界值比较判断C,D选项. 【详解】对于选项A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为，故A正确； 对于选项B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为，故B错误； 因为，所以有不少于95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C正确，D错误. 故选：AC. 30．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用过血清的人一年中的感冒记录进行比较，提出统计假设H.：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得，经查临界值表知，对此，有以下四个结论，正确的是（    ） A．有不少于95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” B．若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒 C．这种血清预防感冒的有效率为95% D．这种血清预防感冒的有效率为5% 【答案】A 【分析】根据独立性检验的意义即可得到答案 【详解】，而， ∴在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”， 即有不少于95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故A正确； 要注意我们检验的是假设是否成立，和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，故CD错误； 若某人未使用该血清，不能说明他在一年中有95%的可能性得感冒，故B错误. 故选：A. 题型四：建模 31．2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图. 月份x 1 2 3 4 5 6 收入y（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 (1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位） (3)从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据： 3.50 21.15 2.85 17.70 125.35 6.73 4.57 14.30 其中，设（i=1，2，3，4，5，6）. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)更适宜 (2)，65.35百万元 (3)分布列见解析，1 【分析】（1）根据散点图确定正确答案. （2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值. （3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【详解】（1）根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型； （2）因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以 所以. 所以，即，所以. 令，得， 故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元. （3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2， 所以X的分布列为： 0 1 2 P 所以. 32．在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人数，用表示天数，表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数关于天数的回归方程适合用来表示，则其回归方程为 . 参考数据：设，，， 参考公式：对于一组数据，，….其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】 【分析】由题可得，然后根据最小二乘法即得. 【详解】由，可得， 设，则， 因为，， ， 所以， ， 所以， 所以. 故答案为：. 33．网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻．自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”．经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据． x（个） 1 2 3 4 5 6 7 y（件） 891 888 351 220 200 138 112 (1)根据以上数据，使用作为回归方程模型，求出y关于x的回归方程； (2)分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下．参考数据（其中，，，，． 参考公式：对于一组数据，，，…，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)； (2)能，详见解析. 【分析】（1）对于非线性回归方程先通过换元法将变化为线性回归方程，再利用最小二乘法即得； （2）将代入回归方程得到，进而即得. 【详解】（1）由表中数据可得(891+888+351+220+200+138+112)=400， 令，设y关于t的线性回归方程为， 则 则， 故y关于x的回归方程为； （2）由回归方程可知，随x的增大，y逐渐减少， 当时，， 故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下． 34．在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长. 已知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下： 年份（年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 保有量y/千辆 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 参考数据：，，其中 (1)根据统计表中的数据画出散点图（如图），请判断与哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程： (2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同.若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 参考公式：对于一组数据，v1），），…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； 【答案】(1)作图见解析，选择的函数模型是，； (2)2028年. 【分析】（1）根据题中所给公式，结合对数函数的性质进行求解即可； （2）根据指数函数的性质，结合对数运算性质进行求解即可. 【详解】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是，令，则 因为， 所以，， ，所以； （2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得，），解得，设从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，则有x，设从2021年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有 ，所以， 解得，故从2021年底起经过7年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车. 35．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5． 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 参考数据：，，，其中． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． (1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）； (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设，则，由最小二乘法求出参数即可求解； （2）先由求出p，计算出X的值及对应概率，列出分布列，再由二项分布的期望公式求期望即可. 【详解】（1）设，则，因为，，， 所以． 把代入，得． 即关于的回归方程为； （2）由题意知，，，由得， 所以，的取值依次为0，1，2，3，4，，， ，，，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 列联表与独立性检验的四大常考题型 题型一：列联表 题型二：独立性检验卡方的计算 题型三：独立性检验解决实际问题 题型四：建模 题型一：列联表 1．2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图． 根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（    ）． A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B．样本中多数女性是35岁及以上 C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D．样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高 2．下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 3．下面是一个2×2列联表： 项目 y1 y2 总计 x1 a 21 70 x2 5 c 30 总计 b d 100 则由上表可得 . 4．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 5．设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，即，，且，，，且，随机调查个样本数据后，得到如下列联表，则（   ） 合计 合计 A．若，则可以认为与独立 B．若变量与独立，则 C．若很大，则变量与不独立 D．若变量与不独立，则很大 6．地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 7．一个列联表如下： 合计 35 45 7 合计 73 则表中，的值分别是    （   ） A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38 8．2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 9．观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是 . 10．某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 题型二：独立性检验卡方的计算 11．某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； (2)如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 12．为了解某地初中学生电子产品日均使用时长与视力的关系，从该地区名学生中抽取人，得到电子产品日均使用时长与视力的数据如表所示． 电子产品日均使用时长 [0，0.5) [0.5，1) [1，1.5) [1.5，2) [2，2.5] 不近视人数 52 48 31 14 5 近视人数 8 12 66 125 139 (1)该地区40 000名初中学生中电子产品日均使用时长少于1.5小时的人数约有多少； (2)是否有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关？ 附：，其中，． 13．近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 (1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 14．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 200 一般 100 总计 (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 15．炎炎夏日，空调已经成为越来越多家庭的必备电器之一.为研究不同性别对空调“最佳舒适温度”是否要超过的认同差异，某家电公司随机对280名空调用户进行了调查，其中女性用户占调查总人数的一半，该调查数据中只有的女性用户认为空调“最佳舒适温度”低于，且女性用户中认为空调“最佳舒适温度”低于的人数恰与男性用户中认为空调“最佳舒适温度”不低于的人数相等. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 280 (1)在答题卡中完成列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，分析空调“最佳舒适温度”是否超过与性别有关. 附： 16．在“一带一路”倡议推动下，中国与中亚国家合作日益紧密.2025年，某省计划向海外“郑和学院”项目派遣教师，为此举办了专项教学能力培训.参会人员包括600名高职院校教师和400名企业工程师转岗教师.培训后均参加教学能力考核，考核结果为优秀､合格两种情况，统计得到如下列联表： 高职院校教师 企业工程师 总计 优秀 350 170 520 合格 250 230 480 总计 600 400 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与教师背景类型有关？ (2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10人中随机抽取3人进行海外教学意愿调研，设抽取的3人中企业工程师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了名男生和名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (1)从这人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； (2)试依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼的经常性与性别是否有关． 附：，其中． α 18．欲知作家性别对读者的性别影响，某出版社派工作人员到各书店随机调查了500位买书的顾客，结果如下表所示． 读者 作家 总计 男作家 女作家 男读者 142 122 264 女读者 103 133 236 总计 245 255 500 则在差错不超过0.05的前提下作者的性别与读者的性别 （填“有关”或“无关”）． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19．一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据： 7天内未痊愈 7天内痊愈 对照组 30 170 实验组 20 280 根据表格数据，下列结论正确的是（    ） 参考公式及数据：，其中． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 A．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 B．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 C．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 D．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 20．为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动的顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的相关关系，现对某年级的学生随机抽取了男、女同学各50名整理得到下列2×2联表： 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 题型三：独立性检验解决实际问题 21．某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 24 36 60 女 12 28 40 总计 36 64 100 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 (1)对照列联表，根据小概率的独立性检验，是否为“奥数迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为，在恰有两人闯关成功的条件下，求两人性别相同的概率． 参考数据与公式：，其中． 22．为了解小学生课外阅读时长与语文成绩的关系，从某校学生中随机抽取200人，得到他们每周课外阅读时长（单位：h）与语文成绩的数据如下表所示： 阅读时长 范围语文成绩 优秀 5 7 10 28 不优秀 35 53 40 22 (1)估计该校学生每周课外阅读时长不少于2h的概率； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时长；（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若规定每周课外阅读时长不少于4h为达标，少于4h为不达标，根据小概率值的独立性检验，分析课外阅读时长与语文成绩是否有关． 附：． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 23．人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 24．为了检测AI智能与手工制作同一种产品质量的差异性，现要求用这两种方式分别制作100件产品，产品质量情况统计如下表： 优良品 合格品 合计 AI智能 80 20 100 手工 60 40 100 合计 140 60 200 (1)记AI智能、手工制作的产品中优良品的概率分别为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为AI智能与手工制作的产品质量有差异？ 附：，． 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 25．某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值可以是 ．（横线上给出一个满足条件的x的值即可） 对工作满意 对工作不满意 男 5x 5x 女 4x 6x 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 26．为了研究性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握至少为（    ） A． B． C． D． 27．在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是（    ） A．若的值大于，则有的把握认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患肺癌 B．由独立性检验可知，有的把握认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有的可能患有肺癌 C．若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺癌有关系，是指有不超过的可能性使得判断出现错误 D．以上三种说法都不正确 28．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（   ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 29．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下表所示的列联表.经计算，则可以推断出（    ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C．有不少于95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D．有不少于99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 30．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用过血清的人一年中的感冒记录进行比较，提出统计假设H.：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得，经查临界值表知，对此，有以下四个结论，正确的是（    ） A．有不少于95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” B．若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒 C．这种血清预防感冒的有效率为95% D．这种血清预防感冒的有效率为5% 题型四：建模 31．2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图. 月份x 1 2 3 4 5 6 收入y（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 (1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位） (3)从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据： 3.50 21.15 2.85 17.70 125.35 6.73 4.57 14.30 其中，设（i=1，2，3，4，5，6）. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 0 1 2 P 32．在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人数，用表示天数，表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数关于天数的回归方程适合用来表示，则其回归方程为 . 参考数据：设，，， 参考公式：对于一组数据，，….其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 33．网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻．自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”．经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据． x（个） 1 2 3 4 5 6 7 y（件） 891 888 351 220 200 138 112 (1)根据以上数据，使用作为回归方程模型，求出y关于x的回归方程； (2)分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下．参考数据（其中，，，，． 参考公式：对于一组数据，，，…，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 34．在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长. 已知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下： 年份（年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 保有量y/千辆 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 参考数据：，，其中 (1)根据统计表中的数据画出散点图（如图），请判断与哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程： (2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同.若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 参考公式：对于一组数据，v1），），…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； 35．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5． 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 参考数据：，，，其中． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． (1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）； (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $