专题02 一元线性回归模型及应用的五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题02 一元线性回归模型及应用的五大常考题型 题型一：由散点图求回归直线 题型二：回归直线方程对总体进行评估 题型三：样本中心考点 题型四：求算回归直线方程 题型五：最小二乘法考点 题型一：由散点图求回归直线 1．鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下面是某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据： 水温x/℃ 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间y/天 8 7 6 5 5 4 3 2 (1)画出上述成对数据的散点图； (2)已知水温对鱼卵的孵化时间可表示为一元线性回归模型，请在散点图中近似地作出表示孵化时间y和水温x之间关系的直线，并说明该一元线性回归模型的自变量与因变量． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，水温x为自变量，孵化时间y为因变量 【分析】（1）根据表格中的数据，以x轴表示水温，y轴表示孵化时间，画出散点图； （2）由一元线性回归模型定义，近似作出直线，并分析回归模型中自变量和因变量． 【详解】（1）以x轴表示水温，y轴表示孵化时间，可作散点图如下： （2）直线如图所示，由（1）中散点图及一元线性回归模型定义可得，其中水温x为自变量，孵化时间y为因变量． 2．若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知函数的函数值既可以为正，也可为负，结合选项分析即可得到答案. 【详解】由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数模型进行拟合，而选项A、B、D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图. 故选：C. 3．有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在坐标系中画出五个点，结果除去之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系. 【详解】，在坐标系中画出五个点， 结果除去之外，其余的点都在一条线附近， 去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系， 故选：C 4．某研究机构对高三学生的记忆力X和判断力Y进行统计分析，得下表数据： X 6 8 10 12 Y 2 3 5 6 (1)根据上表中的数据画出散点图； (2)如果近似量存在线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系； (3)根据直线拟合预测记忆力为9的同学的判断力. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)4. 【分析】（1）利用给出的成对数据，画出散点图； （2）通过观察图象找到近似拟合的直线并画图； （3）求出这条拟合直线的方程，并进行预测. 【详解】（1）如图：    （2）观察发现这四个点在点和点连线的附近， 故过两点的直线可以近似地表示记忆力与判断力的关系.如图：    （3）由表中数据可得， ，，， ，， 则，， 故所求回归直线方程为， 令，则. 所以记忆力为9的同学的判断力约为4 5．某企业投资两个新型项目，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的散点图如图所示． （1）求关于的线性回归方程； （2）若该企业有一笔资金（万元）用于投资两个项目中的一个，为了收益最大化，应如何设计投资方案？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】（1）由散点图可知，取时，的值分别为，计算出平均数，并利用公式计算出和的值，可得关于的线性回归方程； （2）分别计算投资两个项目，该企业所得的纯利润，作差比较大小，得出投资方案． 【详解】解：（1）由散点图可知，取时，的值分别为， 所以，， ， 则． 故关于的线性回归方程为． （2）因为投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为， 所以若投资项目，则该企业所得纯利润为万元； 因为关于的线性回归方程为， 所以若投资项目，则该企业所得纯利润的估计值为万元． 因为， 所以当时，投资项目；当时，投资或项目；当时，投资项目． 6．如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图与给所函数的图象的偏离情况，即可求解. 【详解】由散点图可知，y与x负相关,故排除A,B,对于D：，点偏离较大，而点近似在曲线附近，所以 y关于x的回归方程是C的可能性大． 故选：C． 7．变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据散点图据曲线形状结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质判断即得． 【详解】由散点图可以看出y随着x的增长速度越来越快，结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质可知， 最适宜作为y和x的回归方程类型的是：． 故选：B. 8．在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示， 数据散点图和指数型函数的图象类似，所以选项B最能反映之间的函数关系. 故选：B. 9．某企业常年生产一种出口产品，自年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知年为第年，前年年产量（万件）如下表所示： （1）画出年该企业年产量的散点图； （2）建立一个能基本反映（误差小于）这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式； （3）年（即）因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少，试根据所建立的函数模型，确定年的年产量为多少？ 【答案】（1）散点图见解析（2）模型见解析，（3）7万件. 【分析】（1）根据表格信息，即可画出年该企业年产量的散点图； （2）由散点图可知，可选用一次函数模型，设，代入两个点坐标即可求出函数的解析式，经检验符号误差要求； （3）根据所建立的函数模型，预计2020年的年产量（5），再根据年产量减少，即可求出2020年的年产量． 【详解】（1）画出散点图，如图所示：    由散点图可知，可选用一次函数模型，设， 代入点， 得：，解得， ， 检验：（2），且， （4），且， 一次函数模型能基本反映这一时期该企业年产量变化； （3）根据所建立的函数模型，预计2020年的年产量为（5）（万件）， 又年产量减少，即（万件）， 即2020年的年产量为7万件． 10．根据如下样本数据，得到回归直线方程，则（    ） 3 4 5 6 7 8 -3.0 -2.0 0.5 -0.5 2.5 4.0 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】做出散点图，由散点图判断的正负. 【详解】 从整体上看这些点大致分布在一条直线的周围，且该回归直线的斜率为正，在轴上的截距为负则， 故选：C 题型二：回归直线方程对总体进行评估 11．手机支付的兴起使得现金支付越来越稀缺.某便利店统计了该店历年现金收入的数额如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 序号 1 2 3 4 5 6 现金收入（万元） 40 36 29 23 14 8 若认为该便利店的历年现金收入与序号满足回归方程为，请你估计该店2021年的年现金收入为 万元. 【答案】 【分析】本题考查线性回归方程的有关计算. 【详解】由表可知，，， 代入公式中，得到，解得. 所以，当2021年即时代入可得：. 所以估计该店2021年的年现金收入为万元. 故答案为：1.8 12．某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 A．由题中数据可知，变量与正相关 B．线性回归方程中 C．可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只） D．当时，残差为 【答案】D 【分析】根据表格中的数据的变换趋势，平均数的计算公式，以及回归直线方程，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，从数据可得随着的增加而增加，所以变量与正相关，所以A正确； 对于B中，由表中数据知， 则样本中心点为，将样本中心点，代入中， 可得，所以B正确； 对于C中，当时，该商场手机销售量约为（千只）， 所以C正确； 对于D中，线性回归方程为， 当时，可得，残差为，所以D错误. 故选：D. 13．若对具有线性相关关系的两个变量建立的回归方程为，则当时，的估计值为 ． 【答案】 【分析】 将代入回归直线方程可得结果. 【详解】将代入回归直线方程可得. 故答案为：. 14．如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示，经计算知，y对x的线性回归方程是，预测当时，（    ） x 0 1 2 3 4 y 10 15 20 30 35 A．73.5 B．74 C．74.5 D．75 【答案】B 【分析】根据题意可得样本中心点为，代入回归方程可得，再即可得结果. 【详解】由题意可得：， 即样本中心点为，则，解得， 所以， 令时，， 预测当时，. 故选：B. 15．从某大学随机选取8名女大学生，其身高（单位：cm）和体重（单位：kg）的回归方程为，则身高172 cm的女大学生，由回归方程可以预测其体重（    ） A．为60.316 kg B．约为60.316 kg C．大于60.316 kg D．小于60.316 kg 【答案】B 【分析】根据题意，令，代入回归直线方程，即可求解. 【详解】由身高和体重的回归方程为， 令，可得（）， 即由回归方程可以预测其体重大约为. 故选：B. 16．牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间（单位：天）和牛膝的根部直径（单位：）的统计表如下： 20 30 40 50 60 0.8 1.3 2.2 3.3 4.5 由上表可得经验回归方程为，若此农户准备在时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第 天． 【答案】110 【分析】由表格求出中心点坐标从而得出，利用回归直线估计即可. 【详解】，， 又过点，所以，即， 当时，，所以此批牛膝采收时间预计是第110天． 故答案为：110 17．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（    ）    A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关． B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关 C． D．未来三年总和生育率一定继续降低 【答案】AB 【分析】根据回归方程判断A，写出女性平均受教育年限和总和生育率的关系式，从而判断B，根据散点图的拟合效果判断C，由回归方程可预测未来趋势，但实际值不一定会持续降低，从而判断D. 【详解】由回归方程知人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正确； 因为，， 可得女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式为， 所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确； 由散点图可知，回归方程相对拟合效果更好， 所以，故C错误； 根据回归方程预测，未来总和生育率预测值有可能降低， 但实际值不一定会降低，故D错误． 故选：AB 18．中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为，则下列四个命题正确的个数为（    ） 月份x 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 1.5 1.6 2 2.4 2.5 ①变量x与y正相关；②；③y与x的样本相关系数；④2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据回归直线方程经过样本中心即可求解，结合相关性的定义以及回归方程即可逐一判断. 【详解】由，，因为回归直线过样本中心，，，②错误； 可知随着变大而变大，所以变量与正相关，①③正确； 由回归直线可知，2022年7月该新能源汽车厂的销量的估计值是万辆，④错误． 故选：B． 19．某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数与平均气温（℃）的数据如下表，由表中数据算得线性回归方程中的，预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为（    ） 平均气温（℃） 22 26 29 32 患肠道感染类疾病的人数 12 25 27 56 A．57 B．59 C．61 D．65 【答案】C 【分析】由已知数据计算，根据回归方程的性质求，再利用回归方程预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数. 【详解】由表格数据可得，，， 因为点在直线上，， 所以， 所以， 故当时，， 即预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为61， 故选：C. 20．蟋蟀鸣叫的频率x（次/分）与气温y（）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表所示的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为 ． x（次/分） 20 30 40 50 60 y（） 25 27.5 29 32.5 36 【答案】 【分析】计算，，代入回归方程得到，再代入数据计算得到答案. 【详解】，， 故，解得，故，当时，. 故答案为： 题型三：样本中心考点 21．高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入（单位：百万元）与该产品的收益（单位：百万元）的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为． x 5 6 8 9 12 y 16 20 25 28 (1)求的值； (2)若将图表中的点去掉，判断样本相关系数是否改变，并说明你的理由． 参考数据：样本相关系数 【答案】(1)； (2)不变，理由见解析. 【分析】（1）首先求出样本中心，再由样本中心在回归直线上求参数值； （2）根据所去掉的点，结合相关系数公式判断分子、分母各部分的值是否有变化，即可得结论. 【详解】（1）由题设，， 所以，可得； （2）由（1）知，，故去掉点后样本中心仍然是， 去掉点前， 去掉点后， 显然前后数值没有改变，同理，的值都没有变化， 所以相关系数不变. 22．某产品的广告费用与销售额的统计数据如表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．回归直线必经过样本点（4，34） B．样本数据中，销售额的第70百分位数是36 C． D．据此模型估计广告费用为7万元时销售额为万元 【答案】CD 【分析】首先计算广告费用 和销售额 的平均值，代入回归直线方程求得，接下来分析各个选项即可. 【详解】 的平均值：； 的平均值：. 回归直线方程 必经过点 ，即 . 代入方程得到：，解得：， 选项A：错误，因为回归直线经过的是 ； 选项B：销售额数据从小到大排列为19， 25， 34， 38， 44，第70百分位数的位置为 ，向上取整到第4个数据38，因此选项B错误; 选项C：正确，计算结果为6.8； 选项D：代入回归方程 ，正确. 故选：CD. 23．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表： 工作时间 2 4 5 6 8 工资 30 40 50 70 若对的线性回归方程为，则的值为（    ） A．56.5 B．58 C．60 D．62.5 【答案】C 【分析】求出样本中心点，代入回归直线即可求得结果. 【详解】由表格数据知：，， 由线性回归方程为， ，解得. 故选：C. 24．已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 【答案】D 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得. 【详解】， 增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：， 新的经验回归方程为：， 则当时，， 故选：D. 25．已知，之间的一组数据：若与满足经验回归方程，则此曲线必过点 . x y 【答案】 【分析】设，则，根据回归方程性质可得回归直线所过定点. 【详解】由已知， 设，则， 由回归直线性质可得在直线上， 又，， 所以点在直线上，故点在曲线上. 故答案为：. 26．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（   ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间呈现负相关关系 B． C．可以预测，当时，y约为2.6 D．由表格数据知，该回归直线必过点 【答案】ACD 【分析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B错误，D正确；将代入回归直线知C正确. 【详解】对于A，由，得，故呈负相关关系，故A正确； 对于B，，， ，解得，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由得，回归直线必过点，即必过点，故D正确. 故选：ACD. 27．已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得，由残差定义可得结果. 【详解】，增加两个样本点后的平均数为； ，，增加两个样本点后的平均数为， ，解得：，新的经验回归方程为：， 则当时，，样本的残差为. 故选：D. 28．每年3，4月间，成批白天鹅从地中海沿岸、南亚等温暖的地方越冬来到天山中部广袤的巴音布鲁克草原．为保护这些白天鹅，某动物保护机构研究了这时期6个区域每公顷草原的白天鹅平均只数y与每公顷草原上白天鹅的天敌狼和狐狸的平均只数x之间的对应数据，如下表所示： 10 15 20 25 30 11 10 8 6 5 根据表中的数据计算得经验回归方程为，则以下结论正确的是（    ） A．与负相关 B．回归直线一定经过点 C．估计当白天鹅的天敌每公顷平均只数为5时，白天鹅每公顷平均只数大约为13 D．当时，残差的绝对值最小 【答案】AC 【分析】根据数据判断回归直线的单调性判断A；应用样本中心点判断B；根据回归直线估计函数值判断C；计算残差判断D. 【详解】由表格数据可知，随着的增加，随之减少，所以与负相关，A正确； 因为，故样本中心为，由回归直线必过样本点的中心，不一定过点，B错误； 由，解得，所以回归方程为，所以当时，估计，C正确； 残差如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故时，残差的绝对值最小，D错误． 故选：AC. 29．已知一组数据大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为（     ）. A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据回归方程必过样本中心点，即可得到答案. 【详解】回归直线经过， 且，， 代入回归方程得：， 即， 所以当时，的最小值为. 故选：C. 30．某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示： 4 5 6 7 8 60 80 90 100 120 根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额为 万元．（填整数） 【答案】132 【分析】由表格数据求样本中心，根据回归直线过样本中心点求，将代入方程求销售额估计值即可. 【详解】由表格数据知：，， ∴由回归方程，有：，即，故， ∴当万元时，万元. 故答案为：132. 题型四：求算回归直线方程 31．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【答案】(1)； (2)kg. 【分析】（1）直接根据最小二乘法估计求回归方程； （2）直接根据回归方程计算预测值. 【详解】（1）由题知，， ， . ，. 综上，y关于x的线性回归方程为：. （2）由（1）知回归方程为. 所以当时，. 故当价格元/kg时，日需求量y的预测值为kg. 32．某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件.为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根据往年的市场调研得出的规律，该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价元 1 2 3 4 5 销量下降百件 1 2 8 14 15 (1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，试建立与的回归方程. (2)由（1）中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元? 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)； (2)售价为23元时，日销售额最大，为2116百元． 【分析】（1）计算出，，再代入线性回归方程公式即可； （2）设涨价元，再写出，最后利用二次函数性质即可求出最值. 【详解】（1），， ， ， 则. （2）设涨价元时，每日的销售额为百元， 则 ，则当时，销售额最大为2116百元， 此时售价为23元，日销售额最大，为2116百元． 33．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间分钟 62 68 75 81 89 (1)如果与线性相关，求关于的经验回归方程； (2)根据（1）所求的经验回归方程，预测此车间加工这种零件个所需的加工时间. 附：， 参考数据：. 【答案】(1) (2)101.8分钟 【分析】（1）根据题中公式，结合表中数据进行运算求解即可； （2）根据（1）的结论，运用代入法进行求解即可. 【详解】（1）数据得， ， ， ， ， ，   ，   所求的回归直线方程为. （2）由（1）知，当时，分钟，   所以预计此车间加工这种零件个时，所需的加工时间为101.8分钟. 34．为了提高市民参观的体验感，某博物馆需要招募若干志愿者对馆藏文物进行整理．已知整理所需时长（单位：时）与招募的志愿者人数（单位：人）的数据统计如下表： 志愿者人数 1 2 3 4 5 整理时长 70 50 40 35 (1)若，求关于的线性回归方程； (2)根据（1）中的线性回归方程，若博物馆计划在20小时内完成对文物的整理工作，求博物馆至少需要招募的志愿者人数． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）由题意求出m的值，即可求得，即可求得答案； （2）结合（1）的结果，令，解不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由于，故，， 则，， ，， 故，， 故关于的线性回归方程为． （2）令，解得，而，故， 故博物馆计划在20小时内完成对文物的整理工作，至少需要招募的志愿者人数为7. 35．现统计具有线性相关关系的变量的组数据，如下表所示： 变量 1 2 3 … 平均数 方差 … … … 并对它们进行相关性分析，得到，与的相关系数是，，与的相关系数是，则下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用平均数的意义计算可判断A；由方差的性质计算可判断B；利用回归方程的最小二乘法计算可判断C；利用相关系数公式计算可判断D. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，因为，所以由方差的性质可得，所以B错误， 对于C，因为， ，所以，所以C正确， 对于D，， ，所以D正确. 故选：ACD. 36．从某中学随机选取8名同学，他们的身高和体质量的数据如下表所示． 身高 172 150 170 165 180 176 155 160 体质量 60 47 85 70 75 80 50 65 求能根据一名同学的身高预测其体质量的回归模型． 【答案】 【分析】首先从数据出发确定自变量与因变量，根据数据绘制相应的散点图，根据数据分布呈线性关系，选用回归模型，其次利用最小二乘法估计系数、，最后得到线性回归模型方程． 【详解】建立平面直角坐标系，轴表示身高，轴表示体质量，散点图如图8.2－1所示． 可以观察到数据呈线性关系，故选用回归模型． ． ， ， ， 则， 故 故回归模型方程为． 37．为了了解飞镖爱好者小李的飞镖命中率与其扔飞镖时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天扔飞镖时间与当天飞镖命中率的数据： 1 2 3 4 5 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 利用线性回归分析，预测小李该月6号扔飞镖的命中率． 【答案】0.53 【分析】作出散点图，观察到数据呈线性关系，建立线性回归模型，得到回归模型后，就可以根据题意将相关数据代入回归方程，从而进行相应的预测. 【详解】建立平面直角坐标系，轴表示时间，轴表示命中率，散点图如图所示， 可以观察到数据呈线性关系，故选用回归模型， ，， 利用最小二乘法估计： ， ， 故回归模型为. 当时，. 所以预测小李该月6号扔飞镖的命中率约为0.53. 38．某同学调查研究学校门口、、、、、这六家奶茶店某月的销售情况，其中、、、、这五家的销售额和利润额的数据如下表所示． 奶茶店代号 销售额／万元 3 5 6 7 9 利润额／万元 2 3 3 4 5 若第六家奶茶店的销售额为4万元，则其利润额估计是 万元． 【答案】2.4 【分析】根据最小二乘法公式求出，，即可得出线性回归方程，然后进行预测即可得解. 【详解】设线性回归方程为， 因为，， ，， 所以，， 即利润额y对销售额x的线性回归方程为， 所以若第六家奶茶店的销售额为4万元，则其利润额估计是. 故答案为：2.4. 39．已知x与y之间的几组数据如下表. x 1 2 3 4 y 4 m n 1 表中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值，分别为3.5，3，2.5，得到三条线性回归直线的方程，分别为，对应的相关系数分别为，则下列结论中正确的是 .（填序号）①在同一个坐标系中，三条回归直线可以围成一个封闭图形；②；③；④相关系数中，最大. 参考公式：线性回归方程，其中；相关系数；. 【答案】② ④ 【分析】由题意可得，分别取m与n的值，由公式计算出的值，逐一分析四个结论即可. 【详解】由题意知，即.. ① 若，则， ， ， ， 则，. ② 若，则，则 ， ，， 则，. ③ 若，则， ， ，， 则，. 由样本点的中心相同知三条回归直线交于同一个点，不可能围成封闭三角形，所以①不正确. 由以上计算可得，所以②正确，③不正确. 相关系数中，最大，所以④正确. 故答案为：②④. 40．某班5名学生的数学和物理成绩如表： 学生 A B C D E 数学成绩（x） 88 76 73 66 63 物理成绩（y） 78 65 71 64 61 (1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)82 【分析】（1）直接作出散点图； （2）利用最小二乘法求回归直线方程； （3）根据回归直线方程预测. 【详解】（1）散点图如图． （2），． ． ． 所以 ． 所以y关于x的回归直线方程是． （3），则， 即可以预测他的物理成绩是82． 题型五：最小二乘法考点 41．（1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计； （2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-5．已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述． 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万） 4 9 14 18 25 令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】（1）参数的最小二乘估计为. （2）关于的经验回归方程为，预测2025年该品牌新能源汽车的销售量为34.4万辆. 【分析】（1）列式子计算残差平方和，得到一个关于的二次函数，当处在对称轴位置时，有最小值，从而得到参数的最小二乘估计； （2）利用（1）中结论和（2）的数据，求出，得到经验回归方程为，利用题设条件，转化为与的关系式，将代入，即可求出2025年的预测销量. 【详解】（1） ， 要使残差平方和最小，当且仅当，所以参数的最小二乘估计为. （2）由题知，， 所以 ， ， 所以，所以， 所以，，所以， 当时，（万）， 故关于的经验回归方程为，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆． 42．某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的特点判断斜率和截距；由于去掉，其它点的线性关系更强，从而可判断相关系数． 【详解】身高的平均数为， 因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大， 所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故 去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关， ， 故选：A． 43．某公司在x年的销售额(万元)如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为，则当关于a，b的表达式取到最小值时，（    ） x 2017 2018 2019 2020 2021 2022 A．5 B．13 C．8059 D．8077 【答案】D 【分析】表达式表示的是样本点与回归直线方程的整体接近程度，故可根据此意义逆向分析的意义，结合条件即可解决之. 【详解】由题意得，， 表示样本点与回归直线的整体接近程度， 且由样本点构成的表为 k 1 2 3 4 5 6 对应的回归直线方程为：， 由表知，所以， 由题意可知：在散点图中，样本点是将样本点整体向左平移了2016个单位， 故取到最小值时，回归直线与必平行，则有， 所以，所以. 故选：D. 44．由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则（    ） A．变量正相关 B．若，则 C．经验回归直线至少经过中的一个点 D． 【答案】ABD 【分析】根据回归直线的相关性质分别判断各个选项即可. 【详解】对于A:回归方程一次项系数大于零是正相关，A正确； 对于B:代入回归直线可得，B正确； 经验回归直线可以不经过任意一个点，C错误； 根据回归直线的求法最小二乘法值，回归直线的残差平方和最小，D正确. 故选：ABD. 45．某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量x，y之间的线性关系，随机抽取8个样本点，，……，，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的经验回归方程为，新的样本中心为，已知，，则（    ） A．新的样本中心仍为 B．新的样本中心为 C．两个数值变量x，y具有正相关关系 D． 【答案】BC 【分析】对于A、B：根据题意结合平均数公式运算求解；对于C：根据线性回归方程经过样本中心点求得，分析判断即可；对于D：根据最小二乘法分析判断. 【详解】对于选项A，B：因为前6组数据的样本中心为，且，， 可得，， 所以新的样本中心为，故A错误，B正确； 对于选项C：因为8组数据的样本中心为，经验回归方程为， 则，解得， 所以两个数值变量为正相关关系，故C正确； 对于选项D：根据样本估计总体及最小二乘法原理，利用8组数据所得的经验回归方程是与所有样本点“距离”平方和最小的直线方程， 即，故D错误. 故选：BC. 46．用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】由最小二乘法的定义判断即可. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 即残差平方和最小. 故选：D 47．一组成对数据样本中心点为，由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使（    ）最小. A．总偏差平方和 B．残差平方和 C．回归平方和 D．竖直距离和 【答案】B 【分析】使用最小二乘法的定义进行求解. 【详解】最小二乘法求回归方程，是为了使残差平方和最小，B正确；其他选项错误. 故选：B 48．某公司在2016-2021年的销售额（万元）如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为. 2016 2017 2018 2019 2020 2021 则当关于的表达式取最小值时， . 【答案】4067 【分析】根据题意结合最小二乘法可得取到最小值时，，换元令，分析运算即可. 【详解】根据题意结合最小二乘法可知：取到最小值时，， 令，即， 则取到最小， 即，所以. 故答案为：4067. 49．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 温差x（℃） 10 11 13 12 9 发芽数y（颗） 23 25 30 26 16 (1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m、n，求事件“且”的概率； (2)甲，乙两位同学都发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，给出的拟合直线分别为y=2.2x与y=2.5x－3，试利用“最小二乘法”的思想，判断哪条直线拟合程度更好； (3)你能找到一条比甲、乙两位同学给出的更好的拟合直线吗？如果能，请求出直线方程；如果不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线y=2.5x－3的拟合效果更好 (3)能， 【分析】(1)应用古典概型公式求解即可;(2) 用两个直线作为拟合直线时所得的y的值与y的实际值的差的平方和 为依据比较模拟效果;(3)应用已知数据求样本中心点,再求,代入样本中心点可求,即可求得回归直线方程 【详解】（1）m、n的取值情况有,, 基本事件总数为10.设“且”为事件A， 则事件A包含的基本事件为基本事件数为3，得， 所以事件“且”的概率为. （2）分别计算甲、乙给出的拟合直线的y的值，得到下表： x 10 11 13 12 9 y 23 25 30 26 16 y=2.2x 22 24.2 28.6 26.4 19.8 y=2.5x－3 22 24.5 29.5 27 19.5 用y=2.2x作为拟合直线时，所得的y的值与y的实际值的差的平方和为 . 用y=2.5x－3作为拟合直线时，所得的y的值与y的实际值的差的平方和为 . 由于，因此直线y=2.5x－3的拟合效果更好. （3）由列表得：，，；. 设回归方程为，则 ，， 所以能找到方程为的拟合直线比甲、乙两位同学给出的更好. 50．由一组样本数据得到的线性回归方程为，那么下面说法正确的有（    ） A．直线必经过点 B．直线至少经过点中的一个 C．直线的斜率为 D．线性回归方程最能代表样本数据中，之间的线性关系，大于0时与正相关，小于0时与负相关 【答案】ACD 【分析】根据线性回归方程的形式和性质可判断ABD的正误，根据最小二乘法可判断C的正误. 【详解】线性回归直线一定过样本点的中心，故A正确； 线性回归直线可以不经过所有的样本点，故B不正确； 通过最小二乘法知，C是正确的； 线性回归方程是一次函数，由一次函数的性质可知，D是正确的. 故选：ACD. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元线性回归模型及应用的五大常考题型 题型一：由散点图求回归直线 题型二：回归直线方程对总体进行评估 题型三：样本中心考点 题型四：求算回归直线方程 题型五：最小二乘法考点 题型一：由散点图求回归直线 1．鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下面是某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据： 水温x/℃ 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间y/天 8 7 6 5 5 4 3 2 (1)画出上述成对数据的散点图； (2)已知水温对鱼卵的孵化时间可表示为一元线性回归模型，请在散点图中近似地作出表示孵化时间y和水温x之间关系的直线，并说明该一元线性回归模型的自变量与因变量． 2．若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（    ）    A． B． C． D． 3．有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（    ） A． B． C． D． 4．某研究机构对高三学生的记忆力X和判断力Y进行统计分析，得下表数据： X 6 8 10 12 Y 2 3 5 6 (1)根据上表中的数据画出散点图； (2)如果近似量存在线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系； (3)根据直线拟合预测记忆力为9的同学的判断力. 5．某企业投资两个新型项目，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的散点图如图所示． （1）求关于的线性回归方程； （2）若该企业有一笔资金（万元）用于投资两个项目中的一个，为了收益最大化，应如何设计投资方案？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 6．如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 7．变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 8．在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 9．某企业常年生产一种出口产品，自年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知年为第年，前年年产量（万件）如下表所示： （1）画出年该企业年产量的散点图； （2）建立一个能基本反映（误差小于）这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式； （3）年（即）因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少，试根据所建立的函数模型，确定年的年产量为多少？ 10．根据如下样本数据，得到回归直线方程，则（    ） 3 4 5 6 7 8 -3.0 -2.0 0.5 -0.5 2.5 4.0 A．， B．， C．， D．， 题型二：回归直线方程对总体进行评估 11．手机支付的兴起使得现金支付越来越稀缺.某便利店统计了该店历年现金收入的数额如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 序号 1 2 3 4 5 6 现金收入（万元） 40 36 29 23 14 8 若认为该便利店的历年现金收入与序号满足回归方程为，请你估计该店2021年的年现金收入为 万元. 12．某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 A．由题中数据可知，变量与正相关 B．线性回归方程中 C．可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只） D．当时，残差为 13．若对具有线性相关关系的两个变量建立的回归方程为，则当时，的估计值为 ． 14．如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示，经计算知，y对x的线性回归方程是，预测当时，（    ） x 0 1 2 3 4 y 10 15 20 30 35 A．73.5 B．74 C．74.5 D．75 15．从某大学随机选取8名女大学生，其身高（单位：cm）和体重（单位：kg）的回归方程为，则身高172 cm的女大学生，由回归方程可以预测其体重（    ） A．为60.316 kg B．约为60.316 kg C．大于60.316 kg D．小于60.316 kg 16．牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间（单位：天）和牛膝的根部直径（单位：）的统计表如下： 20 30 40 50 60 0.8 1.3 2.2 3.3 4.5 由上表可得经验回归方程为，若此农户准备在时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第 天． 17．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（    ）    A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关． B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关 C． D．未来三年总和生育率一定继续降低 18．中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为，则下列四个命题正确的个数为（    ） 月份x 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 1.5 1.6 2 2.4 2.5 ①变量x与y正相关；②；③y与x的样本相关系数；④2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆． A．1 B．2 C．3 D．4 19．某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数与平均气温（℃）的数据如下表，由表中数据算得线性回归方程中的，预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为（    ） 平均气温（℃） 22 26 29 32 患肠道感染类疾病的人数 12 25 27 56 A．57 B．59 C．61 D．65 20．蟋蟀鸣叫的频率x（次/分）与气温y（）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表所示的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为 ． x（次/分） 20 30 40 50 60 y（） 25 27.5 29 32.5 36 题型三：样本中心考点 21．高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入（单位：百万元）与该产品的收益（单位：百万元）的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为． x 5 6 8 9 12 y 16 20 25 28 (1)求的值； (2)若将图表中的点去掉，判断样本相关系数是否改变，并说明你的理由． 参考数据：样本相关系数 22．某产品的广告费用与销售额的统计数据如表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．回归直线必经过样本点（4，34） B．样本数据中，销售额的第70百分位数是36 C． D．据此模型估计广告费用为7万元时销售额为万元 23．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表： 工作时间 2 4 5 6 8 工资 30 40 50 70 若对的线性回归方程为，则的值为（    ） A．56.5 B．58 C．60 D．62.5 24．已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 25．已知，之间的一组数据：若与满足经验回归方程，则此曲线必过点 . x y 26．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（   ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间呈现负相关关系 B． C．可以预测，当时，y约为2.6 D．由表格数据知，该回归直线必过点 27．已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A． B． C． D． 28．每年3，4月间，成批白天鹅从地中海沿岸、南亚等温暖的地方越冬来到天山中部广袤的巴音布鲁克草原．为保护这些白天鹅，某动物保护机构研究了这时期6个区域每公顷草原的白天鹅平均只数y与每公顷草原上白天鹅的天敌狼和狐狸的平均只数x之间的对应数据，如下表所示： 10 15 20 25 30 11 10 8 6 5 根据表中的数据计算得经验回归方程为，则以下结论正确的是（    ） A．与负相关 B．回归直线一定经过点 C．估计当白天鹅的天敌每公顷平均只数为5时，白天鹅每公顷平均只数大约为13 D．当时，残差的绝对值最小 29．已知一组数据大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为（     ）. A． B． C． D．无法确定 30．某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示： 4 5 6 7 8 60 80 90 100 120 根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额为 万元．（填整数） 题型四：求算回归直线方程 31．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 32．某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件.为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根据往年的市场调研得出的规律，该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价元 1 2 3 4 5 销量下降百件 1 2 8 14 15 (1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，试建立与的回归方程. (2)由（1）中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元? 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 33．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间分钟 62 68 75 81 89 (1)如果与线性相关，求关于的经验回归方程； (2)根据（1）所求的经验回归方程，预测此车间加工这种零件个所需的加工时间. 附：， 参考数据：. 34．为了提高市民参观的体验感，某博物馆需要招募若干志愿者对馆藏文物进行整理．已知整理所需时长（单位：时）与招募的志愿者人数（单位：人）的数据统计如下表： 志愿者人数 1 2 3 4 5 整理时长 70 50 40 35 (1)若，求关于的线性回归方程； (2)根据（1）中的线性回归方程，若博物馆计划在20小时内完成对文物的整理工作，求博物馆至少需要招募的志愿者人数． 35．现统计具有线性相关关系的变量的组数据，如下表所示： 变量 1 2 3 … 平均数 方差 … … … 并对它们进行相关性分析，得到，与的相关系数是，，与的相关系数是，则下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 36．从某中学随机选取8名同学，他们的身高和体质量的数据如下表所示． 身高 172 150 170 165 180 176 155 160 体质量 60 47 85 70 75 80 50 65 求能根据一名同学的身高预测其体质量的回归模型． 37．为了了解飞镖爱好者小李的飞镖命中率与其扔飞镖时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天扔飞镖时间与当天飞镖命中率的数据： 1 2 3 4 5 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 利用线性回归分析，预测小李该月6号扔飞镖的命中率． 38．某同学调查研究学校门口、、、、、这六家奶茶店某月的销售情况，其中、、、、这五家的销售额和利润额的数据如下表所示． 奶茶店代号 销售额／万元 3 5 6 7 9 利润额／万元 2 3 3 4 5 若第六家奶茶店的销售额为4万元，则其利润额估计是 万元． 39．已知x与y之间的几组数据如下表. x 1 2 3 4 y 4 m n 1 表中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值，分别为3.5，3，2.5，得到三条线性回归直线的方程，分别为，对应的相关系数分别为，则下列结论中正确的是 .（填序号）①在同一个坐标系中，三条回归直线可以围成一个封闭图形；②；③；④相关系数中，最大. 参考公式：线性回归方程，其中；相关系数；. 40．某班5名学生的数学和物理成绩如表： 学生 A B C D E 数学成绩（x） 88 76 73 66 63 物理成绩（y） 78 65 71 64 61 (1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 题型五：最小二乘法考点 41．（1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计； （2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-5．已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述． 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万） 4 9 14 18 25 令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量． 42．某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 43．某公司在x年的销售额(万元)如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为，则当关于a，b的表达式取到最小值时，（    ） x 2017 2018 2019 2020 2021 2022 A．5 B．13 C．8059 D．8077 44．由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则（    ） A．变量正相关 B．若，则 C．经验回归直线至少经过中的一个点 D． 45．某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量x，y之间的线性关系，随机抽取8个样本点，，……，，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的经验回归方程为，新的样本中心为，已知，，则（    ） A．新的样本中心仍为 B．新的样本中心为 C．两个数值变量x，y具有正相关关系 D． 46．用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 47．一组成对数据样本中心点为，由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使（    ）最小. A．总偏差平方和 B．残差平方和 C．回归平方和 D．竖直距离和 48．某公司在2016-2021年的销售额（万元）如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为. 2016 2017 2018 2019 2020 2021 则当关于的表达式取最小值时， . 49．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 温差x（℃） 10 11 13 12 9 发芽数y（颗） 23 25 30 26 16 (1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m、n，求事件“且”的概率； (2)甲，乙两位同学都发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，给出的拟合直线分别为y=2.2x与y=2.5x－3，试利用“最小二乘法”的思想，判断哪条直线拟合程度更好； (3)你能找到一条比甲、乙两位同学给出的更好的拟合直线吗？如果能，请求出直线方程；如果不能，请说明理由. 50．由一组样本数据得到的线性回归方程为，那么下面说法正确的有（    ） A．直线必经过点 B．直线至少经过点中的一个 C．直线的斜率为 D．线性回归方程最能代表样本数据中，之间的线性关系，大于0时与正相关，小于0时与负相关 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $