专题01 成对数据的统计相关性的五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题01 成对数据的统计相关性的五大常考题型 题型一：判断两个变量是否有相关关系 题型二：相关系数的计算 题型三：残差的计算 题型四：相关指数的计算及分析 题型五：非线性回归 题型一：判断两个变量是否有相关关系 1．下列关系中，是相关关系的为（    ） A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 【答案】AB 【分析】由两个变量的相关关系的定义进行判断． 【详解】A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系； B中教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系；C，D都不具备相关关系． 故选：AB 2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（    ） A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜 【答案】D 【分析】根据相关关系的概念分别判断. 【详解】瑞雪对农作物有好处，可能使得农作物丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系， 名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系， 而喜鹊叫喜，没有必然的关系，所以ABC正确，D错误. 故选：D. 3．有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；④角的度数与它的正弦值.其中，具有相关关系的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【分析】根据相关关系的概念判断. 【详解】①③具有相关关系，②④具有确定的关系，即函数关系. 故选：AC 4．自行选择标准，将下列变量之间的关系分为两类，并分别阐述每一类中变量关系的特点： (1)圆的面积与半径之间的关系； (2)16岁学生的体重与身高之间的关系； (3)商品销售量与销售价格之间的关系； (4)匀速运动的物体，其运动的路程与时间之间的关系； (5)平均学习时间与学习成绩之间的关系 【答案】答案见解析 【分析】根据变量间的相关关系判断即可. 【详解】(1)(4)是变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了； (2)(3)(5)是变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性. 5．蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%-70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据： 湿度x/% 50 55 60 65 70 产卵总数y/个 2 4 6 9 18 根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数，则此模型为 ，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的 关系． 【答案】 回归模型 线性相关 【分析】作出散点图，由散点图结合回归模型的定义作出判断. 【详解】由数据作散点图如下： 在蚯蚓产卵模型中，蚯蚓产卵总数y与湿度x相关，变量y不完全由变量x决定，在观测数据中存在误差， 故此模型应为回归模型，刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的线性相关关系． 故答案为：回归模型；线性相关. 6．近年来，“共享汽车”在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为了解“共享汽车”在省的发展情况，省某调查机构从该省随机抽取了5个城市，分别收集和分析了“共享汽车”的，，三项指标数据，数据如表所示： 城市编号 1 2 3 4 5 指标 4 6 2 8 5 指标 4 4 3 5 4 指标 3 6 2 5 4 利用向量夹角来分析与之间及与之间的相关关系. 【答案】答案见解析 【分析】根据坐标运算得出向量，再结合夹角公式求出夹角余弦，进而判断相关性解正负相关. 【详解】由已知得，， ， 将题表中x，y，z的相关数据分别减去， 记，， . 则，，. 于是 ， ， 所以与，与正相关，又，则与之间的相关性比与之间的相关性强. 7．下列关系中是相关关系的是 （填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系. 【答案】②③ 【分析】根据相关关系是一种不确定的关系，是两个变量之间确实存在的关系，由此判断即可． 【详解】对于①，曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应关系，不是相关关系，是确定性关系； 对于②，苹果的产量与气候之间确实存在一定的关系，虽然变量的值不确定，但它们仍按某种规律在一定的范围内变化，属于相关关系； 对于③，森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间确实存在一定的关系，虽然变量的值不确定，但它们仍按某种规律在一定的范围内变化，属于相关关系； 对于④，学生与他（她）的学号之间的关系是一种确定的对应关系，是映射，不是相关关系. 故答案为：②③ 8．观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是 ．    【答案】①③② 【分析】由图象分析即可得到答案. 【详解】第一个图大体趋势从左向右上升，故是正相关， 第二个图不相关， 第三个图大体趋势从左向右下降，故是负相关． 故答案为：①③②． 9．变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，.则变量与之间 相关，变量与 相关. 【答案】 正 负 【分析】通过相关系数的知识确定正确答案. 【详解】对于变量与而言，随的增大而增大，故变量与正相关； 对于变量与而言，随的增大而减小，故变量与负相关. 故答案为：①正 ；②负 10．已知变量和满足关系，变量与负相关，下列结论正确的是（    ） A．与正相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与负相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 【答案】A 【分析】根据线性方程易知变量与正相关，再结合已知判断变量与的相关性，即可得答案. 【详解】因为变量和满足关系，且，所以变量与正相关. 又变量与负相关，所以变量与负相关. 故选：A 题型二：相关系数的计算 11．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可. 【详解】设，，， ，，， 由样本相关系数公式可知，， 设与的夹角为，与的夹角为，则有， 易知均为锐角且， 与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， ， 故的样本相关系数的最大值为. 故选：B． 12．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 【答案】(1) (2)，与之间具有很强的相关性 【分析】（1）由平均数的计算公式得到和； （2）由相关系数的计算公式计算，再由判断相关性. 【详解】（1）依题意， （2）依题意，，，， 所以， 因为，所以与之间具有很强的相关性． 13．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【答案】C 【分析】根据散点图及相关性判断AB，由相关系数性质判断CD. 【详解】对A，因为散点图都呈直线型，所以图1、图2两组数据都具有线性相关关系，A正确； 对B，图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确； 对C，图1正相关，图2负相关，所以C不正确； 对D，因为图2相关程度更强，所以D正确. 故选：C. 14．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归公式为．经计算可知：，，，则 ． x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 【答案】 【分析】利用相关系数与回归系数的关系，结合已知数据计算．需要先求出，再通过求出分子，最后代入公式得到． 【详解】因为，，所以． 由， 解得，所以． 故答案为： 15．下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】观察数据，对于①，样本相关系数为1，对于③，样本相关系数为-1，再对②和④进行观察和计算，最终可得答案. 【详解】对于①，数据均在上，故样本相关系数为1， 对于③，数据均在上，故样本相关系数为-1， 对于②，可看出其数据为正相关，故样本相关系数大于0， 对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数上，故， 事实上， ， 其中，故， 故， 综上，样本相关系数最小的是③. 故选：C 16．已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为 . 【答案】/ 【分析】根据相关系数的计算公式分别计算数据即可. 【详解】因为，， 则， ， 所以. 故答案为：. 17．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 . (附:相关系数 【答案】 【分析】利用相关系数公式可看成两个维向量的夹角公式，从而把相关系数问题转化为向量夹角问题，即可求解. 【详解】设， 则有， 由相关系数公式得， 设与夹角为与夹角为， 由的样本相关系数为，的样本相关系数为，所以， 由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是， 则与夹角余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， 即， 所以的样本线性相关系数的最大值为. 故答案为：. 18．已知变量x和变量y的3对随机观测数据，，，则该组样本数据点的相关系数（    ） （参考公式：） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题目数据结合参考公式可得答案. 【详解】由题可得，， 则. ， ， 则. 故选：B 19．A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数 （精确到0.01）. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； 参考数据：，，，，. 【答案】0.98 【分析】运用给出的公式计算样本中心，再计算相关系数即可. 【详解】由题设，，， ， 所以. 故答案为：. 20．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【分析】根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，， ， 则， ， 所以，. 故答案为：. 题型三：残差的计算 21．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，残差与有线性关系，故A错误； 对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错； 对于C选项，残差与有非线性关系，故C错； 对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确. 故选：D. 22．色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（    ） A．0.6 B．0.4 C． D． 【答案】A 【分析】将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】当时，， 所以该数据的残差为． 故选：A． 23．某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度（单位：千米）与气压（单位：千帕）的六组数据绘制成如下散点图，分析研究发现点相关数据不符合实际，删除点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（    ）    A．删除点后，样本数据的两变量正相关 B．删除点后，相关系数的绝对值更接近于1 C．删除点后，新样本的残差平方和变大 D．删除点后，解释变量与响应变量相关性变弱 【答案】B 【分析】结合散点图分析即可得出结论. 【详解】由题意， 从散点图中可知，删除点后，样本数据的两变量负相关，所以错误； 由于点较其他点偏离程度大，故去掉点后，回归效果更好，从而相关系数的绝对值更接近于，所以B正确； 同理决定系数越接近于，所以新样本的残差平方和变小，所以错误； 从而解释变量与响应变量相关性增强，所以D错误. 故选：B. 24．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，….，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．回归直线至少经过点，，….，中的一个点 B．若，，则回归直线一定经过点 C．若点，，….，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数 D．若，，则相应于样本点的残差为 【答案】BCD 【分析】选项A、选项B可由回归直线必经过样本中心点，不一定经过样本点来判断；选项C，可通过已知方程，得到斜率，去判断相关系数；选项D，样本点的残差等于该点的实际值减去模拟出的预测值，即可做出判断. 【详解】线性回归方程为不一定经过，，…，中的任何一个点， 但一定会经过样本中心点，故A错误，B正确； 选项C，直线的斜率，且所有样本点都落在直线上， 所以这组样本数据完全负相关，且相关系数达到最小值，即样本相关系数，故C正确； 选项D，样本点的残差为，故D正确. 故选：BCD. 25．一组成对数据，，，…，的样本中心点为（，），由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使 最小.①总偏差平方和；②残差平方和；③回归平方和. 【答案】② 【分析】根据最小二乘法的定义，即可判断. 【详解】根据最小二乘法的定义，回归方程是为了使残差平方和最小. 故答案为：② 26．甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性越强，得到结果． 【详解】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强， 在四个选项中只有丁的相关系数最大， 残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小， 综上可知丁的试验结果体现、两变量有更强的线性相关性， 故选：D． 27．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 已知关于的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（ ）万元 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入回归直线方程，可得出销售额的预测值，然后利用残差的定义可求得结果. 【详解】当时，销售额的预测值为，残差为万元. 故选：A. 28．已知的取值如下表： 1 2 3 4 32 48 72 88 根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差 . 【答案】/ 【分析】利用回归方程求出时的预测值，再求出残差作答. 【详解】关于的回归直线方程为，当时，， 所以表中第2个记录数据的残差. 故答案为： 29．下列说法正确的是（    ） A．线性回归模型是一次函数 B．在线性回归模型中，因变量是由自变量唯一确定的 C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适 D．用来刻画回归方程，越小，拟合的效果越好 【答案】C 【分析】利用线性回归模型的特点可判断AB选项；利用残差图的特点可判断C选项；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，线性回归模型中，方程表示的是不确定关系， 所以，线性回归模型不是一次函数，A错； 对于B选项，在线性回归模型中，因变量由自变量和随机误差共同决定，B错； 对于C选项，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，C对； 对于D选项，用来刻画回归方程，越大，拟合的效果越好，D错. 故选： C 30．新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数. 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y 4 8 16 31 51 71 97 122 为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两杆模型：①，②对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差)：经过计算得，，，，其中，. (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由； (2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）； (3)由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?（结果保留整数） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1)选择模型①，理由见解析 (2) (3)157 【分析】（1）选择模型①.根据残差的意义直接判断；（2）套公式求出系数，即可得到y关于x的回归方程；（3）将代入，即可求得. 【详解】（1）选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好 （2）由（1），知y关于x的回归方程为，令，则. 由所给数据得：， ，. ，∴y关于x的回归方程为， （3）将代入上式，得(人)， 所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为157人. 题型四：相关指数的计算及分析 31．某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为，则拟合效果最好的模型是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】线性回归模型中越接近1，效果越好，即可得出答案. 【详解】越大，则回归模型的拟合效果越好， 因为，所以拟合效果最好的是模型丁． 故选：D. 32．下面命题中说法正确的是 ． ①设两个变量之间的线性相关系数为，则越大，的相关性越强； ②等高堆积条形图可以直观的反映一对分类变量之间是否具有关联性； ③如果散点图的散点都落在一条直线上，则； ④正方形的面积与周长是相关关系． 【答案】①②③ 【分析】由相关系数、等高堆积条形图和决定系数的性质判断①②③，由相关关系的定义判断④. 【详解】越大，的相关性越强，①正确； 与表格相比，等高堆积条形图可以展示列联表数据的频率特征，能够直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，②正确； 若散点图的散点都落在一条直线上，残差平方和为0，，③正确； 正方形的面积与周长是函数关系，④错误． 故答案为：①②③. 33．已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ） A．变量x与变量y呈正相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．残差平方和变大 D．样本相关系数r变大 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可. 【详解】由散点图可知，去掉点后，与的线性相关加强，且为负相关， 所以B正确，A错误； 由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C错误， 由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大， 而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误. 故选：B. 34．某试验小组收集了部分父亲和儿子的身高数据，通过测量与回归方程计算得到如下五组儿子身高的观测值与估计值，则该组统计数据的决定系数 ． 儿子身高观测值/ 161.3 167.7 170.0 173.5 177.5 儿子身高估计值/ 161.3 167.7 170.0 173.5 177.5 【答案】1 【分析】根据决定系数的意义及表格中的数据即可求解. 【详解】因为决定系数，其值越接近1，说明模型拟合效果越好，误差越小，从表中数据可知没有误差，所以． 35．下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 【答案】D 【分析】根据正相关、相关指数、方差、对立事件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，回归方程，则变量与负相关，A选项错误. B选项，值越小，则模型的拟合效果越差，B选项错误. C选项，数据，，…，的方差为，C选项错误. D选项，连续射击三次， 事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”， D选项正确. 故选：D 36．两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（    ） A．相关系数越接近，变量相关性越强 B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C．越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 【答案】ACD 【分析】利用相关系数与决定系数的意义分析判断即可. 【详解】对于A，相关系数越接近，相关性越强，故A正确； 对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数或相关系数判定，故B错误； 对于C，决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，故C正确； 对于D，根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故D正确． 故选：ACD． 37．下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．设随机变量，若，则 C．在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好 D．某人解答10个问题，答对题数为，则 【答案】BD 【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出即可求出的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出. 【详解】由题意， A项， 两个变量的相关系数为，越小, 与 之间的相关性越弱, 故A 错误, 对于 B, 随机变量 服从正态分布 , 由正态分布概念知若 , 则 , 故 B 正确, 对于 , 在回归分析中, 越接近于 1 , 模型的拟合效果越好, ∴ 为 0.98 的模型比 为 0.89 的模型拟合的更好 故 C 错误, 对于 , 某人在 10 次答题中, 答对题数为 , 则数学期望 , 故 D 正确. 故选：BD. 38．今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下： 服务人员增量x/人 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y/万元 13 22 31 42 50 56 58 据此，建立了y与x的两个回归模型：    模型①：由最小二乘公式可求得与的一元线性经验回归方程为； 模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近． 对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：，，，，其中， (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程（精确到0.1）； (2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：样本的最小二乘估计公式为，，刻画样本回归效果的决定系数 【答案】(1)＝21.3－14.4 (2)模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，92.1万元． 【分析】（1）令，则，然后根据表中的数据和公式可求出模型②中y关于x的经验回归方程； （2）由表中的数据和样本回归效果的决定系数可判断回归模型②刻画的拟合效果更好，再根据模型②的回归方程可预测服务人员增加25人时的年收益增量． 【详解】（1）令，则. 由参考数据得 ＝＝38.9－21.32×2.5≈－14.4， 所以，模型②中y关于x的经验回归方程为＝21.3－14.4． （2）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即， 模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好 当x＝25时，模型②的收益增量的预测值为＝21.3×－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(万元)． 所以预测服务人员增加25人时的年收益增量为92.1万元． 39．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数r变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 【答案】D 【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可． 【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好， 对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错误； 对于B，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误； 对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误； 对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确． 故选：D． 40．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 【答案】C 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对； 对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对； 对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错； 对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对. 故选：C. 题型五：非线性回归 41．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 (填序号). 【答案】④ 【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律． 【详解】根据表中数据，画出图象如下：    通过图象可看出，能比较近似的反映这些数据的规律． 故答案为：④． 42．在某个物理实验中，测得变量和变量的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.98 2.00 则对，最适合的拟合函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特值法代入各选项中的函数，判断与变量的数据误差，从而可得对，最适合的拟合函数. 【详解】根据，代入A选项的函数计算得，与 误差较大，可以排除A； 根据，代入B选项的函数计算得，与 误差较大，可以排除B， 根据，代入B选项的函数计算得与 误差较大，可以排除C； 将各数据代入函数，可知D选项的函数为对，最适合的拟合函数． 故选：D. 43．下列命题正确的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为7 B．若，则． C．在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和4 【答案】BD 【分析】利用方差的概念，条件概率公式，线性回归分析等知识分别对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A不正确； 对于选项B：若，则 ，故B正确； 对于选项C：在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，其中是线性回归方程的一次项系数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系，故C不正确； 对于选项D：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和4，故D正确. 故选：BD. 44．如图是我国2014年至2020年年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 注：年份代码1～7分别对应年份2014～2020. 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明. 参考数据：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646. 参考公式：相关系数 【答案】答案见解析 【分析】根据相关系数计算即可. 【详解】由折线图中数据和附注中参考数据得＝4，，，，. 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. 45．给出下列命题中，其中正确的命题是（    ） A．随机变量，则 B．已知，，则 C．随机变量，若，则， D．以模型拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.2. 【答案】AC 【分析】A选项，根据二项分布的均值公式易判断；B选项，根据条件概率的计算公式可判断；C选项，根据正态分布的概念以及随机变量间均值方差公式易判断；D选项，代入运算对比可判断. 【详解】A选项，，，故A正确； B选项，由条件概率的计算公式，， 故B错误； C选项，，，，又 ，，，故C正确； D选项，，又， ，即，，故D错误. 故选：AC. 46．某科技公司为加强研发能力，研发费用逐年增加，最近6年的研发费用y（单位：亿元）与年份编号x得到样本数据，令，并将绘制成下面的散点图．若用方程对y与x的关系进行拟合，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据非线性回归方程结合图象即可得到答案. 【详解】因为，令，则z与x的回归方程为． 根据散点图可知z与x正相关，所以. 从回归直线图象可知，回归直线的纵截距大于0， 即，所以． 故选：A. 47．为了研究某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 求y关于x的回归方程． 参考数据：ln 6≈1.79，ln 12≈2.48，ln 25≈3.22，ln 49≈3.89，ln 95≈4.55，ln 190≈5.25. 【答案】. 【分析】先作出散点图，由散点图得到样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，即ln y＝bx＋ln c，再令z＝ln y，a＝ln c，得到z＝bx＋a求解. 【详解】解：作出散点图如图（1）所示．    由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c. 令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a. x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 相应的散点图如图（2）所示．从图（2）可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近， 因此可以用线性回归方程来拟合． 由表中数据得， ， ，， 所以线性回归方程为. 因此细菌的繁殖个数对天数的非线性回归方程为. 48．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 【答案】C 【分析】根据题中所给散点图，根据正负相关的概念即可判断A选项；根据水温的变化情况，以及指数函数的单调性，即可判断B选项；根据最小二乘法可求出的回归方程一定经过，即可判断C选项；根据残差的定义可判断D选项． 【详解】对于A选项，观察散点图，变量与具有负的相关关系，A对； 对于B选项，由于函数模型二中的函数， 在时，函数单调递减，且递减速度越来越慢， 所以，模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况，B对； 对于C选项，若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过，C错； 对于D选项，根据残差的定义可知，残差真实值预测值，故残差为，D对. 故选：C. 49．以模型去拟合一组数据时，已知如下数据：，则实数k的值为 . 【答案】3 【分析】由指数的运算性质知，即可求结果. 【详解】由，则. 故答案为：3 50．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017-2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年-2021年对应的代码依次为1-5. 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 (1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）； (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1，按照分层抽样从这两类用户中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率. 参考数据：，，，其中. 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合回归方程的求法，求得回归方程. （2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】（1）设，则， ，，， 所以， . 所以关于的回归方程为. （2）因为中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1， 按照分层抽样从这两类用户中抽取5人，则选择在品牌官方直播间购物的用户为人，记作， 不在品牌官方直播间购物的用户为人，记作， 从这人随机抽取人，结果有： ，共种， 其中人全是选择在品牌官方直播间购物用户的结果为： ，共种， 所以这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 成对数据的统计相关性的五大常考题型 题型一：判断两个变量是否有相关关系 题型二：相关系数的计算 题型三：残差的计算 题型四：相关指数的计算及分析 题型五：非线性回归 题型一：判断两个变量是否有相关关系 1．下列关系中，是相关关系的为（    ） A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（    ） A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜 3．有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；④角的度数与它的正弦值.其中，具有相关关系的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．自行选择标准，将下列变量之间的关系分为两类，并分别阐述每一类中变量关系的特点： (1)圆的面积与半径之间的关系； (2)16岁学生的体重与身高之间的关系； (3)商品销售量与销售价格之间的关系； (4)匀速运动的物体，其运动的路程与时间之间的关系； (5)平均学习时间与学习成绩之间的关系 5．蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%-70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据： 湿度x/% 50 55 60 65 70 产卵总数y/个 2 4 6 9 18 根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数，则此模型为 ，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的 关系． 6．近年来，“共享汽车”在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为了解“共享汽车”在省的发展情况，省某调查机构从该省随机抽取了5个城市，分别收集和分析了“共享汽车”的，，三项指标数据，数据如表所示： 城市编号 1 2 3 4 5 指标 4 6 2 8 5 指标 4 4 3 5 4 指标 3 6 2 5 4 利用向量夹角来分析与之间及与之间的相关关系. 7．下列关系中是相关关系的是 （填序号） ①曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ②苹果的产量与气候之间的关系； ③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④学生与其学号之间的关系. 8．观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是 ．    9．变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，.则变量与之间 相关，变量与 相关. 10．已知变量和满足关系，变量与负相关，下列结论正确的是（    ） A．与正相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与负相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 题型二：相关系数的计算 11．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 12．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 13．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 14．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归公式为．经计算可知：，，，则 ． x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 15．下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 16．已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为 . 17．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 . (附:相关系数 18．已知变量x和变量y的3对随机观测数据，，，则该组样本数据点的相关系数（    ） （参考公式：） A． B． C． D．1 19．A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数 （精确到0.01）. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； 参考数据：，，，，. 20．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 题型三：残差的计算 21．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（   ） A． B． C． D． 22．色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（    ） A．0.6 B．0.4 C． D． 23．某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度（单位：千米）与气压（单位：千帕）的六组数据绘制成如下散点图，分析研究发现点相关数据不符合实际，删除点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（    ）    A．删除点后，样本数据的两变量正相关 B．删除点后，相关系数的绝对值更接近于1 C．删除点后，新样本的残差平方和变大 D．删除点后，解释变量与响应变量相关性变弱 24．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，….，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．回归直线至少经过点，，….，中的一个点 B．若，，则回归直线一定经过点 C．若点，，….，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数 D．若，，则相应于样本点的残差为 25．一组成对数据，，，…，的样本中心点为（，），由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使 最小.①总偏差平方和；②残差平方和；③回归平方和. 26．甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 27．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 已知关于的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（ ）万元 A． B． C． D． 28．已知的取值如下表： 1 2 3 4 32 48 72 88 根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差 . 29．下列说法正确的是（    ） A．线性回归模型是一次函数 B．在线性回归模型中，因变量是由自变量唯一确定的 C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适 D．用来刻画回归方程，越小，拟合的效果越好 30．新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数. 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y 4 8 16 31 51 71 97 122 为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两杆模型：①，②对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差)：经过计算得，，，，其中，. (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由； (2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）； (3)由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?（结果保留整数） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 题型四：相关指数的计算及分析 31．某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为，则拟合效果最好的模型是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 32．下面命题中说法正确的是 ． ①设两个变量之间的线性相关系数为，则越大，的相关性越强； ②等高堆积条形图可以直观的反映一对分类变量之间是否具有关联性； ③如果散点图的散点都落在一条直线上，则； ④正方形的面积与周长是相关关系． 33．已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ） A．变量x与变量y呈正相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．残差平方和变大 D．样本相关系数r变大 34．某试验小组收集了部分父亲和儿子的身高数据，通过测量与回归方程计算得到如下五组儿子身高的观测值与估计值，则该组统计数据的决定系数 ． 儿子身高观测值/ 161.3 167.7 170.0 173.5 177.5 儿子身高估计值/ 161.3 167.7 170.0 173.5 177.5 35．下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 36．两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（    ） A．相关系数越接近，变量相关性越强 B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C．越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 37．下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．设随机变量，若，则 C．在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好 D．某人解答10个问题，答对题数为，则 38．今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下： 服务人员增量x/人 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y/万元 13 22 31 42 50 56 58 据此，建立了y与x的两个回归模型：    模型①：由最小二乘公式可求得与的一元线性经验回归方程为； 模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近． 对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：，，，，其中， (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程（精确到0.1）； (2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：样本的最小二乘估计公式为，，刻画样本回归效果的决定系数 39．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数r变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 40．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 题型五：非线性回归 41．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 (填序号). 42．在某个物理实验中，测得变量和变量的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.98 2.00 则对，最适合的拟合函数是（   ） A． B． C． D． 43．下列命题正确的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为7 B．若，则． C．在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和4 44．如图是我国2014年至2020年年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 注：年份代码1～7分别对应年份2014～2020. 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明. 参考数据：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646. 参考公式：相关系数 45．给出下列命题中，其中正确的命题是（    ） A．随机变量，则 B．已知，，则 C．随机变量，若，则， D．以模型拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.2. 46．某科技公司为加强研发能力，研发费用逐年增加，最近6年的研发费用y（单位：亿元）与年份编号x得到样本数据，令，并将绘制成下面的散点图．若用方程对y与x的关系进行拟合，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 47．为了研究某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 求y关于x的回归方程． 参考数据：ln 6≈1.79，ln 12≈2.48，ln 25≈3.22，ln 49≈3.89，ln 95≈4.55，ln 190≈5.25. x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 48．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 49．以模型去拟合一组数据时，已知如下数据：，则实数k的值为 . 50．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017-2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年-2021年对应的代码依次为1-5. 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 (1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）； (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1，按照分层抽样从这两类用户中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率. 参考数据：，，，其中. 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $