8.1.2 样本相关系数(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦样本相关系数核心知识点，通过散点图观察引入相关性判断问题，系统梳理相关系数公式推导过程，衔接线性相关强弱的定量分析及实际应用，构建从定性到定量的完整学习支架。 资料以问题链驱动探究，结合数学与物理成绩、家庭消费等实例，培养数学抽象、数学运算与数据分析素养。课中例题步骤清晰助力教师教学，课后训练题与小结帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

8.1.2　样本相关系数 课标要求 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义（数学抽象）. 2.结合实例，会通过样本相关系数判断多组成对样本数据的相关性（数学运算、数据分析）. 知识点一｜样本相关系数 问题　（1）观察如下散点图，你能判断出图1的相关性与图2的相关性哪一个更强吗？ （2）设x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和.将每个变量的观测数据减去其均值，得到成对数据为（x1－，y1－），（x2－，y2－），…，（xn－，yn－），并绘制散点图，则绘制的散点图有什么特征？你能利用正负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？ （3）你认为Lxy的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？ 【知识梳理】 相关系数：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和.r＝＝，称r为变量x和变量y的样本相关系数. 　　提醒：样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映出成对样本数据的变化特征.当r＞0时，称成对样本数据正相关； 当r＜0时，称成对样本数据负相关. 【例1】　为了对某班考试成绩进行分析，现从全班同学中随机抽取8位同学，他们的数学、物理成绩对应如表.根据表中数据计算y与x之间的样本相关系数，并判断y与x是正相关关系还是负相关关系. 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 72 77 80 85 88 90 93 95 【规律方法】 样本相关系数的计算步骤 （1）求出，的值； （2）求出（xi－）（yi－），（xi－）2，（yi－）2的值； （3）代入公式计算得结果. 训练1　暑期社会实践中，小娴所在的小组调查了某地家庭人口数x与每天对生活必需品的消费y的情况，得到的数据如下表： x/人 2 4 5 6 8 y/元 20 30 50 50 70 计算y与x之间的样本相关系数，并判断y与x是正相关关系还是负相关关系. 参考数据：≈4.359. 知识点二｜线性相关的强弱 【知识梳理】 样本相关系数r的绝对值大小反映成对样本数据之间线性相关的程度. （1）当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度　　　　； （2）当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度　　　　； （3）当r＝0时，成对样本数据间没有　　　　　　关系，但不排除它们之间有其他相关关系； （4）当｜r｜＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系. 【例2】　（链接教材P101例1）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示.依据散点图可以看出，变量x与y线性相关，请计算y与x的样本相关系数r，并说明变量x与y是否具有较强的线性相关关系（若r＞0.75，则线性相关程度很强）. 附：样本相关系数 r＝ ＝. 【规律方法】 判断线性相关程度强弱的基本方法 （1）散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强； （2）样本相关系数：样本相关系数能够较准确地判断相关的程度，其绝对值越接近于1，相关性越强. 训练2　两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.785 9，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是（　　） A.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 D.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 知识点三｜样本相关系数的实际应用 【例3】　（链接教材P101例2）以下是收集到的新房屋的销售价格y（万元）和房屋的大小x（m2）的数据. 房屋大小x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 （1）画出数据的散点图； （2）求样本相关系数r，并作出评价.（精确到0.01，已知＝60 975，＝2 756.8，xiyi＝12 952） 【规律方法】 相关关系强弱的定量分析与定性分析 （1）定量分析：样本相关系数r的范围为－1≤r≤1，r为正时，成对样本数据正相关；r为负时，成对样本数据负相关；｜r｜越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强；｜r｜越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱；当｜r｜＝1时，所有数据点都在一条直线上； （2）定性分析：相关关系的强弱体现在散点图中就是样本点越集中在某条直线附近，两变量的线性相关程度越强；样本点在某条直线附近越分散，两变量的线性相关程度越弱. 训练3　为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A，B，C三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下： A类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分150） 145 83 95 72 110 B类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分150） 85 93 90 76 101 C类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分150） 85 92 101 100 112 经计算知A，B的样本相关系数分别为r1＝－0.45，r2＝0.25.请计算出C类学生的样本相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生的学习成绩最稳定.（结果保留两位有效数字，｜r｜越大认为成绩越稳定） C类的参考数据：·≈64， 样本相关系数r＝. 1.关于两个变量x，y与其样本相关系数r，有下列说法： ①若r＞0，则x增大时，y也相应增大；②若｜r｜越接近于1，则x与y的线性相关程度越强；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上.其中正确的有（　　） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 2.两个变量x，y的样本相关系数r＝－0.996 2，则下列说法中正确的是（　　） A.x与y正相关 B.x与y具有较强的线性相关关系 C.x与y不具有线性相关关系 D.x与y的线性相关关系还需进一步确定 3.如图1、2分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为r1，B组成对数据的样本相关系数为r2，则r1与r2的大小关系为（　　） A.r1＝r2 B.r1＜r2 C.r1＞r2 D.无法判断 4.某厂生产A产品的产量x（单位：件）与相应的耗电量y（单位：度）的统计数据如表所示： x 2 3 4 5 6 y 2 3 5 7 8 经计算≈16.12.则（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5）的样本相关系数r约为　　　　.（结果保留两位小数） 课堂小结 1.理清单 （1）样本相关系数； （2）线性相关的强弱； （3）样本相关系数的实际应用. 2.应体会 利用公式法计算样本相关系数. 3.避易错 样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系. 提示：完成课后作业　第八章　8.1　8.1.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2　样本相关系数 【例1】　解：由表中数据得，＝×（60＋65＋70＋75＋80＋85＋90＋95）＝77.5， ＝×（72＋77＋80＋85＋88＋90＋93＋95）＝85. （xi－）（yi－）＝685，（xi－）2＝1 050，（yi－）2＝456. 所以r＝＝≈0.99，y与x之间具有正相关关系. 训练1　解：由表中数据，计算得＝×（2＋4＋5＋6＋8）＝5， ＝×（20＋30＋50＋50＋70）＝44， ＝22＋42＋52＋62＋82＝145， ＝202＋302＋502＋502＋702＝11 200， xiyi＝2×20＋4×30＋5×50＋6×50＋8×70＝1 270，代入r的计算公式得 r＝≈0.975. 所以y与x之间具有正相关关系. 【例2】　解：由所给数据可得＝＝5， ＝＝5， （xi－）（yi－）＝（－3）×（－2）＋（－1）×（－1）＋0×0＋1×1＋3×2＝14， （xi－）2＝（－3）2＋（－1）2＋02＋12＋32＝20， （yi－）2＝（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22＝10， ∵r＝＝＝＞0.75. ∴变量x与y具有较强的线性相关关系. 训练2　C　由样本相关系数r1＝0.785 9＞0知x与y正相关，由样本相关系数r2＝－0.956 8＜0知u，v负相关.又｜r1｜＜｜r2｜，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强. 【例3】　解：（1）画出散点图如图所示. （2）由表中数据得＝＝109，＝＝23.2， r＝ ＝ ＝≈0.96， 由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 训练3　解：根据C类学生的数据，得＝3，＝98，则（xi－）·（yi－）＝62，所以相应的样本相关系数r3≈≈0.97，从上述所求样本相关系数可知，从C类学生中抽到的学生的成绩最稳定. 随堂检测 1.D　根据样本相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用样本相关系数r进行判断.当r为正数时，表示两个变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；｜r｜越接近于1，相关程度越强；｜r｜越接近于0，相关程度越弱.故可知①②③正确. 2.B　x与y负相关，又｜r｜非常接近1，所以x与y具有较强的线性相关关系，故选B. 3.C　由题图1可知，散点几乎在一条直线上，且呈正相关，∴r1＞0，由题图2可知，散点分布在一条直线附近，且呈正相关，∴r2＞0.又A组成对数据的线性相关程度比B组强，∴r1＞r2，故选C. 4.0.99　解析：从表中数据可知，＝4，＝5，所以（xi－）·（yi－）＝16，所以r＝≈≈0.99. 8.1.2　样本相关系数 问题　（1）提示：根据散点图不一定能判定. （2）提示：由散点图（图略），发现正相关时关于均值平移后的散点大多数分布在第一象限、第三象限，负相关时关于均值平移后的散点大多数分布在第二象限、第四象限.构造一个量： Lxy＝[（x1－）（y1－）＋（x2－）（y2－）＋…＋（xn－）（yn－）]. 一般情形下，Lxy＞0表明成对样本数据正相关；Lxy＜0表明成对样本数据负相关. （3）提示：不一定.因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小. 知识梳理 （1）越强　（2）越弱　（3）线性相关 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $