第八章 成对数据的统计分析（高效培优单元自测·提升卷）数学人教A版高二选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（   ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【答案】D 【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项. 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 2．下表为2018至2024年某手机品牌的年产量y（单位：万台），其中2018至2024年的年份代码x分别为1至7． 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 年产量y/万台 28 32 36 40 a b c 已知y与x具有线性相关关系，由上述7组数据得到经验回归方程，则的值为（    ）． A．165.4 B．173.4 C．182.5 D．191.8 【答案】B 【分析】先求出，又因为点在经验回归直线上，得出即可计算求解. 【详解】由表中数据得， 因为点在经验回归方程直线上，所以， 所以， 故选：B． 3．若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析  对于A：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而增大，不合题意，故A错误； 对于B：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误； 对于C：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误； 对于D：因为在定义域内单调递减且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，故D正确；故选D. 4．鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制对应散点图（图2）如下： 计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为少.根据以上信息，如下判断正确的为（   ） A．花萼长度和花瓣长度不存在相关关系 B．花萼长度和花瓣长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642 【答案】C 【详解】解析  因为相关系数，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，所以花瓣长度和花萼长度呈正相关，且相关性较强，所以A，B选项错误； 当时，代入经验回归方程为，可得， 所以花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm，所以C选项正确； 若选取其他品种㹥尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数不一定是0.8642，所以D选项错误.故选C. 5．某投资公司2020－2024年的投资与收益情况如下表所示：（单位：千万元） 投资 2.3 2.5 3.9 5.4 5.9 收益 0.3 1.4 1.9 2.6 3.8 根据表中数据利用最小二乘法，可得回归直线方程为，由此估计如果2025年该公司的投资为8千万元时，它的收益为（    ） A．5.1千万元 B．5.2千万元 C．5.3千万元 D．5.4千万元 【答案】B 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归方程，求得的值，得出回归直线方程，令，求得的值，即可得到收益. 【详解】由表格中的统计数据，可得： ，， 即样本中心为，代入回归直线方程，可得，解得， 所以回归直线方程为， 当时，可得，即收益为千万元. 故选：B. 6．2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出，进而求出新样本的中心点，再利用经验回归方程求得答案. 【详解】由及，得， 则在新样本中，， 所以. 故选：B 7．给出下列说法，其中不正确的是（   ） A．若事件的对立事件为，则与为互斥事件 B．若事件和的概率都不为，且，则事件与相互独立 C．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 【答案】C 【分析】根据对立事件与互斥事件的定义、独立事件的概率公式、回归方程和残差的计算公式以及众数和方差的概念逐项计算判断即可. 【详解】对于A：对立事件的定义是：若事件与对立，则（样本空间）， 因此，对立事件一定是互斥事件，所以A正确； 对于B：因为事件和的概率都不为，且， 所以， 所以事件与相互独立，B正确； 对于C：将代入原回归方程得，所以原样本中心点为. 去除偏离点后样本量为个， 所以，所以去除偏离点后的样本中心为. 代入新的回归方程得. 所以新的回归直线方程为，将代入得. 所以相应于样本点的残差值为，C错误； 对于D：因为一组数据的方差为0，说明这组数据都相等，所以众数唯一，D正确. 故选：C. 8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可. 【详解】设，，， ，，， 由样本相关系数公式可知，， 设与的夹角为，与的夹角为，则有， 易知均为锐角且， 与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， ， 故的样本相关系数的最大值为. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．已知一组10个不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的8个数据的22%分位数等于原来数据的22%分位数 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若事件A，B满足，，且，则事件A，B独立 D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大越接近于1 【答案】AC 【分析】根据百分位数的定义、正态分布的对称性，结合独立事件的定义、相关系数的性质逐一判断即可. 【详解】A：， 设一组10个不相同的数据按照从小到大排列为， 所以这10个不相同的数据的22%分位数是， 去掉最大和最小两个数据后，剩下的8个数据为， 因为， 所以剩下的8个数据的22%分位数是，因此本选项说法正确； B：因为随机变量服从正态分布，且， 所以，因此本选项说法不正确； C：因为， 所以， 因此事件A，独立，根据独立事件的性质可知事件A，B独立，因此本选项说法正确； D：根据相关系数的性质可知两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越大越接近于1，所以本选项说法不正确. 故选：AC 10．下列说法中正确的有（    ） A．若样本数据的方差，则所有的都相等 B．在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 D．样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 【答案】ABD 【分析】根据方差的公式即可判断选项A，结合残差分析法判断回归模型的拟合效果，即可判断选项B，结合非线性回归方程和线性方程的表达式，即可判断选项C，利用平均数的公式求法即可判断选项D. 【详解】对于A，令数据的平均数为， 则由，可得， 所以， 所以， 即所有的都相等，A正确； 对于B，在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧， 且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高， 表示回归效果越好，B正确； 对于C，，左右两边取对数得， 设，求得线性回归方程为， 则，，C错误； 对于D，样本数据的平均数， 则对于样本数据， 其平均数为， 故D正确. 故选：ABD 11．下列说法中，正确的是（ ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】ACD 【分析】由二项分布的期望和方差公式可得A；利用正态分布的对称性可判断B；由独立事件的乘法公式可得C；利用残差的计算可得D. 【详解】对于A，已知随机变量服从二项分布，若，， 则，解得，故A正确； 对于B，随机变量服从正态分布，所以对称轴为，则， 因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，若，相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D，由题意可得样本点与的残差分别为和， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ．（参考数据：．） 【答案】 【分析】首先计算和 ，再根据相关系数公式以及参考数据，即可求解． 【详解】， ， 由条件可知， 得，所以， 故答案为：． 13．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表： 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为 ． 【答案】 【分析】根据临界值表结合已知数据分析判断即可. 【详解】因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性最大为. 其中临界值表如下： 故答案为：. 14．已知某种生物存在具有明显差异的两种类型，且两种类型的数量比为，现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本，统计该种生物的两项指标和得到样本，，，2，3，…，25.已知类型样本的变量的均值，的均值，，B类型样本的变量的均值，的均值，.记总样本的均值为，的均值为，且.若与存在线性相关，其线性回归方程为，则的预测值的方差估计值 . 附：，. 【答案】 【分析】利用方差公式求出，，利用平均数公式求出，，利用公式求出， 利用公式求出，由，利用公式求出. 【详解】两种类型的数量比为，现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本， 则两种类型的数量为，两种类型的数量为， 设类型样本的方差为，类型样本的方差为，总样本的方差为， ，，，， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ，. ，， ， ， ， ，的预测值的方差估计值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 (1)儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； (2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】(1)相关关系，(2)不能，理由见解析 【分析】（1）先计算出和，然后计算，用题目中给的数据代入公式计算. （2）按照回归直线的定义分析，言之有理即可. 【详解】（1）解：相关关系 得 ∴ （2）不能 因为该回归模型是基于儿童数据建立的，仅适用于描述该年龄段的统计规律，对30岁成年人的预测超出了模型的适用范围． 16．（15分）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】(1)模型①的小于模型②，模型② (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用表格数据比较两个模型的相关指数的大小，把数据代入模型可得答案； （2）利用正态分布求出概率，结合期望公式可得答案. 【详解】（1）由表格中的数据，有182.4>79.2， 因为， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）； （2）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 所以每台发动机获得奖励的数学期望 （万元）. 17．（15分）中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社于2024年12月6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下： 男性 女性 合计 居家养老 60 100 160 不居家养老 n 20 40 合计 80 m 200 (1)求m，n； (2)根据小概率值的独立性检验，是否能认为“居家养老与性别有关”？ (3)已知在被调查的男性老人中有6名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这6名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 独立性检验临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)(2)不能认为居家养老与性别有关；(3)分布列见解析，1 【分析】（1）由表格中的数据关系求参数值； （2）计算卡方再由独立性检验临界值表对比可得； （3）先由古典概率计算各自的概率，列出分布列，再计算期望即可； 【详解】（1）根据表格可以得到：； （2）假设：居家养老与性别没有关系， 将表格数据代入公式可以求得， 所以根据小概率值，我们不能认为居家养老与性别有关； （3）由题意易知，离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则， 离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 所以． 18．（17分）AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； (3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中. ②，，，. 【答案】(1)有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关，理由见解析(2)0.85(3) 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关； （2）利用对立事件可求至少有2位购买AI手机的概率； （3）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【详解】（1）作原假设：购买AI手机与顾客的性别无关，取，， 因为，所以否定原假设，即有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）. （3）法1：可取值， 而，， ，， ， 故的分布为， 期望. 法2：设第次抽中奖金为，由题设可得的分布为， 从而，而相互独立，故. 19．（17分）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）两边取对数，再根据公式求出，，从而，故. 【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. （2）， 由题知，， ， ， ，故. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 成对数据的统计分析（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（   ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 2．下表为2018至2024年某手机品牌的年产量y（单位：万台），其中2018至2024年的年份代码x分别为1至7． 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 年产量y/万台 28 32 36 40 a b c 已知y与x具有线性相关关系，由上述7组数据得到经验回归方程，则的值为（    ）． A．165.4 B．173.4 C．182.5 D．191.8 3．若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（   ） A． B． C． D． 4．鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制对应散点图（图2）如下： 计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为少.根据以上信息，如下判断正确的为（   ） A．花萼长度和花瓣长度不存在相关关系 B．花萼长度和花瓣长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642 5．某投资公司2020－2024年的投资与收益情况如下表所示：（单位：千万元） 投资 2.3 2.5 3.9 5.4 5.9 收益 0.3 1.4 1.9 2.6 3.8 根据表中数据利用最小二乘法，可得回归直线方程为，由此估计如果2025年该公司的投资为8千万元时，它的收益为（    ） A．5.1千万元 B．5.2千万元 C．5.3千万元 D．5.4千万元 6．2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且 研发资金投入x/亿元 2 10 性能提升评估指数y 2 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7 7．给出下列说法，其中不正确的是（   ） A．若事件的对立事件为，则与为互斥事件 B．若事件和的概率都不为，且，则事件与相互独立 C．由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 D．若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一 8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．已知一组10个不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的8个数据的22%分位数等于原来数据的22%分位数 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若事件A，B满足，，且，则事件A，B独立 D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大越接近于1 10．下列说法中正确的有（    ） A．若样本数据的方差，则所有的都相等 B．在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 D．样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 11．下列说法中，正确的是（ ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ．（参考数据：．） 13．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表： 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为 ． 14．已知某种生物存在具有明显差异的两种类型，且两种类型的数量比为，现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本，统计该种生物的两项指标和得到样本，，，2，3，…，25.已知类型样本的变量的均值，的均值，，B类型样本的变量的均值，的均值，.记总样本的均值为，的均值为，且.若与存在线性相关，其线性回归方程为，则的预测值的方差估计值 . 附：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 (1)儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； (2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 16．（15分）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 17．（15分）中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社于2024年12月6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下： 男性 女性 合计 居家养老 60 100 160 不居家养老 n 20 40 合计 80 m 200 (1)求m，n； (2)根据小概率值的独立性检验，是否能认为“居家养老与性别有关”？ (3)已知在被调查的男性老人中有6名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这6名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 独立性检验临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； (3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中. ②，，，. 19．（17分）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $