专题07 排列组合与二项式定理大题综合（8考点40题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学下学期苏教版

专题07 排列组合与二项式定理大题综合（8考点40题）（解析版） 8大高频考点概览 考点01 排列组合 考点02二项展开式的应用 考点03求指定项的系数 考点04 整除和余数问题 考点05 二项式系数的增减性和最值 考点06二项式的系数和 考点07二项展开式各项的系数和 考点08求系数最大（小）的项 1．(24-25高二下·江苏盐城五校联盟·期中)2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）地 城 考点01 排列组合 (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种? (3)甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种? 【答案】(1)2880 (2)1440 (3)2400 【分析】（1）根据排列中的特殊元素优先安排的思想先安排甲的位置，余六人全排即可得结论； （2）根据排列中不相邻元素采用“插空法”完成计数即可得结论； （3）根据要求分别计算甲、乙两人中间有2、3、4、5个人排法数，再根据分类加法计数原理得所求. 【详解】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可全排种， 故共有种； （2）先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法； （3）共七人排队，甲、乙两人中间有2个人的排法有种， 甲、乙两人中间有3个人的排法有种， 甲、乙两人中间有4个人的排法有种， 甲、乙两人中间有5个人的排法有种， 则共有种排法. 2．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的三位数? (2)能组成多少个没有重复数字的三位偶数? 【答案】(1)180 (2)105 【分析】（1）根据给定条件，任取3个数的排列数，去年百位数字是0的个数即可. （2）按个位数字是0和2，4，6之一分类求出三位偶数的个数即可. 【详解】（1）从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个， 所以没有重复数字的三位数个数是. （2）个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个， 所以没有重复数字的三位偶数个数是. 3．(24-25高二下·江苏南京·期中)某班一天的课表共安排6节课，上午4节，下午2节，每门学科都不重复，有7门学科可供选择，它们分别是数学、语文、物理、化学、体育、生物、历史.要求体育课必须安排进课表，且不安排在上午前3节课. (1)共有多少种不同的课表? (2)若数学安排进课表，且安排在上午，共有多少种不同的课表? (3)若数学、语文都安排进课表，且都安排在上午，共有多少种不同的课表? 【答案】(1)2160； (2)1320； (3)720. 【分析】（1）利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算. （2）按数学课是否排在第4节分类，再利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算. （3）按上午第4节是否排体育课分类，再利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算. 【详解】（1）排体育课有种方法，从余下6门学科中任取5门排入课表有种方法， 所以不同的课表种数是（种）. （2）数学排在前3节，有种方法；数学排在第4节，有种方法， 所以不同的课表有（种）. （3）上午不排体育课，有种方法；上午排体育课，有种方法， 所以不同的课表有（种）. 4．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品、5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止. (1)求最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现的不同情形有多少种？ (2)求最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有多少种？ 【答案】(1)6种； (2)90种. 【分析】（1）由题意3次都取到不合格产品，应用排列数求不同情形数； （2）由题意前3次取得2个不合格产品，1个合格产品，应用排列组合数求不同情形数； 【详解】（1）最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现，即3次都取到不合格产品，所以不同情形有种； （2）最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现，即前3次取得2个不合格产品，1个合格产品，所以不同情形有种. 5．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答） (1)求一共有多少种不同的报名方法； (2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法； (3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法. 【答案】(1) (2)540 (3)230 【分析】（1）根据分步乘法原理直接求解即可. （2）分三种情况讨论，利用分组分配问题求解即可. （3）分4种情况，利用分组分配问题求解即可. 【详解】（1）因为每个人都有三种选择，所以一共有种； （2）因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况： ①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：种， ②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：种， ③三科均2人，共有：种， 所以一共有：90+360+90=540种. （3）因为甲乙两人都不报化学学科， 所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况： ①有1人报化学：种， ②有2人报化学：种, ③有3人报化学：种， ④有4人报化学：种， 所以一共有：120+84+24+2=230种. 6．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)一个宿舍的6位同学被邀请参加一个晚会． (1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ (2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种不同的去法？ (3)该晚会分，两个区，现在决定由甲，乙，丙，丁四位同学参加该晚会，每区都要有人去，且甲和乙不能去同一个区，有多少种不同去法? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分类加法计数原理求解即可； （2）把甲乙两位同学看成一个人，根据分类加法计数原理求解即可； （3）先安排甲乙，再安排丙丁，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】（1）由题意，可以去的人数有共种情况， 则去法共有种； （2）把甲乙两个人看成一个人，则去法共有种； （3）先安排甲乙两人，去法共有种， 丙丁两人从，两个区中任选一个，去法共有种， 根据分步乘法计数原理可得有种不同去法. 7．(24-25高二下·江苏徐州·期中)结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 (1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ (2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (3)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 【答案】(1)81； (2)36； (3) 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可解； （2）根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可； （3）确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解． 【详解】（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法； （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信， 则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法； （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中， 先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况． 8．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)某校高二年级有2名男生和4名女生参加“我命由我不由天”主题演讲. (1)若6名同学站成一排合影留念，求2名男生相邻的不同排法种数； (2)若从6名同学中随机选出3人， （i）求恰有1名男生的概率； （ii）求至少有1名男生的概率. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）因为男生互不相邻，故使用捆绑法求解即可； （2）（i）先得出从2名男生和4名女生中随机选出3人参加比赛的方法数，再求所选3人恰有1名男生的方法数，用古典概型的概率求解. （ii）先求选3人中没有男生的概率，再利用对事件的概率求所选3人中至少有1名男生的概率. 【详解】（1）分2步进行： ①将2名男生看成一个整体，考虑2人间的顺序，有种情况， ②将这个整体与4名女生全排列，有种情况， 故2名男生相邻的排法有种； （2）（i）从6人中选3有共有种 所选3人恰有1名男生有种 所选3人恰有1名男生的概率； （ii）所选3人中没有男生的概率为 所选3人中至少有1名男生的概率为. 9．(24-25高二下·江苏邗江中学·期中)为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者.赛后，7名同学站成一排，照相留念． (1)女生必须站在一起的站队方式有多少种?（用数字作答） (2)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案?（用数字作答） (3)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种?（用数字作答） 【答案】(1)576 (2)216 (3)2400 【分析】（1）利用捆绑法，女生看成整体与男生排列，再考虑女生内部排列. （2）分别将男生女生分分给三个年级，由此求解即可. （3）男生甲不与其他男生相邻，则相邻的只能是女生，分甲站在两端和甲不站两端两种情况讨论，选出女生与甲看作整体，与剩下的人排列即可. 【详解】（1）女生必须站在一起，先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列， 则有种站队方式. （2）先将名女生分到三个年级，有种，再将个男生分到三个年级，有种， 所以共有种. （3）若甲站在两端，则甲有种站法，再选一名女生与甲相邻，有种选法， 再排其他人，有排法，则甲站在两端有种； 若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有种选法， 再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有种排法，则甲不站两端有种， 所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种. 10．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)已知（，且）. (1)当时，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)42； (2). 【分析】（1）代入直接计算即可求解； （2）将和用组合数表达式展开，运用组合数的性质化简，可得，解方程即可. 【详解】（1）当时，. （2）因为，所以， 即，所以， 所以，解得. 11．(24-25高二下·江苏高邮·期中)（1）现将学号分别为1，2，3，4，5，6，7号的七名同学站成一排，如果学号为1，2的两人之间恰好有3个人，有多少种不同的排法？（用数字作答） （2）由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有多少个？（用数字作答） （3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凸数”（满足），这样的“五位凸数”有多少个？（用数字作答） 【答案】（1）720种；（2）210个；（3）126种 【分析】（1）先排学号为1，2的两人，再排中间3人，最后排剩余的2人，即可得解； （2）结合排列数，利用缩倍法解决定序问题； （3）先选5个数字，再根据“五位凸数”的定义利用分步乘法原理确定其排列方式即可. 【详解】（1）先排学号为1，2的两人，有种； 再在其余5人中选择3人站在学号为1，2的两人之间，有种； 再将这5人看作整体与另外2人排成一排，有种； 由分步计数原理知，共种排法； （2）不考虑限制条件，有个七位数； 则4个奇数的位置一定，共有个七位数； （3）先从7个数字中选出5个数字，有种； 将选出的5个数中的最大数排在最中间，有1种； 在选出的5个数中的其余4个数中，选择2个排在中间数的左边，有种； 将选出的5个数中的剩下的2个数，排在中间数的右边，有1种； 由分步计数原理知，共种排法. 12．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， ，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究.地 城 考点02 二项展开式的应用 (1)计算: 并与比较，你有什么发现? (2)写出（1）的一般性结论并证明； (3)证明: 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据组合数定义进行计算，并比较即可得出结论； （2）根据从特殊到一般的思想可得，再结合二项式定理即可得证； （2），比较等式左右两侧的系数即可得证. 【详解】（1），， 从而，； （2），证明如下： ，等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即； （3），等式左侧的系数为， 等式右侧的系数为 ， 而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证. 13．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是. (1)求n的值； (2)展开式中的整式项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 【答案】(1)； (2)7； (3)系数最大项为第6项，系数最小项为第21项. 【分析】（1）由题设，应用组合数公式得到组合数方程，求解即可； （2）写出二项式展开式的通项，根据整式项的定义确定其项数； （3）由在上单调递减，结合的大小判断系数最大项和最小项. 【详解】（1）由题设，则， 整理得，故（负值舍）. （2）由（1）知二项式为，展开式通项为，， 所以时，均为整式项，共有7项； （3）由在上单调递减， 当时，当时，则， 故在上先增后减，且， 故系数最大项为第6项，系数最小项为第21项. 14．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)设函数． (1)若且，求； (2)当时，求展开式中系数最大的项； (3)当时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足，求证：． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出列出方程解得，通过对赋值1求出展开式的各项系数和； （2）利用二项展开式的通项确定各项系数，再计算系数大于零的项的系数，从而可判断系数最大项； （3）利用已知等式求出的关系，代入不等式的左边利用二项式的展开式得到左边，将的关系代入右边得证． 【详解】（1）由题可得， 所以，则，故， 令可得各项系数之和为或； （2）当时，， 其展开式的通项为， 设展开式的系数为，为偶数时系数为正，为奇数时系数为负， 又， 所以展开式中系数最大的项为； （3）由可得， 即，所以， 所以， 而， 所以原不等式成立． 地 城 考点03 求指定项的系数 15．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)在二项式的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 【答案】(1)， (2)，84 【分析】（1）根据后三项的二项式系数的和求出，再根据二项式系数最大结合通项公式求解即可； （2）根据通项公式结合常数项得出及的范围计算求解. 【详解】（1）由， 得，显然. 二项式系数中最大的项是第5项与第6项， 其中； （2）依题意，展开式中有常数项，则且， 则，常数项为 16．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)设. (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式定理，写出展开式通项，结合题意，可得答案； （2）利用赋值法，结合题目中的等式，可得答案； （3）对等式进行求导，利用赋值法，结合题意，可得答案. 【详解】（1）由的展开式的通项为， 因为，所以. （2）令，则，令，则， 所以. （3）由两边求导得： . 由两边求导得： . 令，则. 所以. 17．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知的展开式中共有11项． (1)求展开式中含的项的系数；结果用数字作答 (2)求二项式系数最大的项． 【答案】(1)960； (2) 【分析】（1）结合二项式定理通项计算，即可求解； （2）结合（1）的通项公式以及二项式系数的增减性，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，解得， 展开式的通项为， 令，解得， 故展开式中含的项的系数为； （2）由可得二项式系数最大的项为第六项， 即. 18．(24-25高二下·江苏南京·期中)在的展开式中，前3项的系数成等差数列. (1)求展开式中的一次项； (2)证明展开式中没有常数项； (3)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据二项式定理的展开式公式及等差数列的性质先计算n的值，再利用二项式展开式的通项公式计算一次项即可； （2）根据通项公式设出常数项计算得出矛盾，即可证明； （3）利用二项式展开式通项待定系数求有理项即可. 【详解】（1）设该二项式展开式通项为，则， 由题意可得：或， 显然不符题意，舍去，故. 令，即含x的一次项为：； （2）由（1）展开式通项为 ，则， 所以不满足，所以展开式中没有常数项； （3）由（1）知二项式展开式通项，由题意知， 令得为展开式中所有的有理项. 19．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)已知的展开式的所有二项式系数之和为64． (1)求该二项式及其展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)，常数项为15； (2). 【分析】（1）由二项式系数得，即可二项式，进而写出其展开式的通项公式，即可求常数项； （2）由组合数的性质求展开式中系数最大的项． 【详解】（1）由题意，可得，所以二项式为， 则二项式通项公式得，， 令，则，则常数项为 （2）由（1）知，当时，系数最大项为. 20．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求奇数项的二项式系数的和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)常数项为，此项的二项式系数为 (2) (3) 【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值，结合二项式系数的概念可得出该项的二项式系数； （2）利用奇数项的系数和为所有项二项式系数和的一半可得结果； （3）令，设最大值，则，结合组合数公式可求出的取值范围，结合可得出的值，即可得解. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 令，可得，所以，展开式中的常数项为， 其二项式系数为. （2）奇数项的二项式系数和为. （3）令，设最大，则，即， 即，解得， 因为，解得，所以，系数绝对值最大的项为. 21．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)在的展开式中，______． 给出下列条件：①各项系数之和为729，②第三项的二项式系数为15，③二项式系数和为64，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求n的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）若选①：写出二项式展开式的通项，利用赋值法，表示系数和以及常数项，建立方程，可得答案；若选②：写出二项式展开式的通项，表示出第三项与常数项，建立方程，可得答案；若选③：根据二项式系数之和建立方程，写出二项式展开式的通项，表示常数项，可得答案. （2）由（1）写出二项式展开式的通项，根据多项式的乘法，表示出符合题意的项，可得答案. 【详解】（1）若选①： 由的展开式通项为， 令，则，解得，即， 令，即，则. 若选②： 由的展开式通项为， 由，则，即， 分解因式可得，解得，即， 令，即，则. 若选③： 由题意可得，解得， 由的展开式通项为， 令，即，则. （2）由（1）可得的展开式通项为， 令，解得，令，解得 则， 所以展开式中的系数为. 地 城 考点04 整除和余数问题 22．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 【答案】(1) (2) (3)，或 【分析】（1）依题意，再代入计算可得； （2）由，写出展开式，即可分析要能被整除，再分为偶数、奇数讨论，分别确定的最小值； （3）写出展开式的通项，即可得到，根据组合数公式整理得到，则为完全平方数，即可确定的值，同时取出相应的. 【详解】（1）因为 ，， 当时，所以； （2）因为，， 则 ， 又能被整除，所以， 又能被整除， 所以要能被整除， 当为偶数时，，此时的最小值为； 当为奇数时，不可能被整除，所以不存在符合题意， 综上可得的最小值为； （3）因为展开式的通项为（且）， 所以，，的项的系数分别为，，， 因为，，的项的系数成等差数列， 所以，整理可得， 即，为完全平方数， 又且 的最大值为，此时，则或， 解得或， 所以时中，，的项的系数分别为，，成等差数列， 中，，的项的系数分别为，，成等差数列； 综上可得，或. 23．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期中)已知，其中．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大． (1)求（用数值作答）； (2)若，求二项式的值被7除的余数． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）依题意可求得，再利用赋值法计算可得结果； （2）易知当时，二项式为，再由二项展开式可得项式的值被7除的余数为1. 【详解】（1）根据二项式系数性质可知第5项的二项式系数为， 因此可知， 令，可得； 令，可得， 即； （2）若，则二项式为： ； 因此二项式的值被7除的余数为1. 24．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)已知展开式的各二项式系数和为512，且． (1)求；（结果保留指数幂形式） (2)求的值； (3)求证：能被6整除． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法，求解系数的和； （2）利用换元，将展开式转化为，再求前的系数； （3）首先变形为，再根据展开式的特点，证明整除问题. 【详解】（1）由题意可知，，得， ， 令，得，令，得， 所以； （2）令，得， 则， 则； （3）， ， 其中每一项都能被整除， 所以能被6整除. 25．(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知展开式的二项式系数和为512，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求被8整除的余数. 【答案】(1)672； (2)2； (3). 【分析】（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案； （2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案； （3）根据题意，可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案. 【详解】（1）因为展开式的二项式系数和为512， 所以，解得， 因为，所以； （2）在中， 令，则， 令，可得， 所以； （3） 所以被8整除的余数为. 26．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)函数． (1)求的值； (2)用二项式定理证明：能被8整除． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法对进行赋值，代入求解即可. （2）对进行代入化简，根据二项式定理展开，即可证明被8整除. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 令，则， 两式相加，得， 所以， 所以. （2）， 显然能被8整除， 且能被8整除， 所以能被8整除. 27．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)已知． (1)；（该问结果可保留幂的形式） (2)求的最大值； (3)求被13除的余数． 【答案】(1)6305 (2)1792 (3) 【分析】（1）分别令，，即可得解； （2）根据求出展开式的通项，再利用不等式法求解即可； （3），再根据二项式定理即可得解. 【详解】（1）令，则， 令，则， 所以； （2）， 故展开式得通项为，， ∴，，， 令， 解得， ∴的最大值为； （3）∵ ， 令， 则， ∴被除的余数为. 【点睛】结论点睛：一般地，若. （1）； （2）展开式各项系数和为； （3）奇数项系数之和为； （4）偶数项系数之和为. 地 城 考点05 二项式系数的增减性和最值 28．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）求出展开式的通项公式，根据第5项与第3项的系数之比为列式求出； （2）根据二项式系数的特征求解； （3）赋值法，令，求解. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 因为第5项与第3项的系数之比为，所以， 即，解之得或（舍），所以. （2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为. （3）由，令，所以. 29．(24-25高二下·江苏镇江中学·期中)若展开式前三项的二项式系数之和为22． (1)求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据展开式的前三项的二项式系数之和求出的值，利用二项式系数的性质找出最大的二项式系数，进而求出展开式中二项式系数最大的项，最后利用求出所有二项式系数和； （2）利用二项式展开式的通项公式即可求出其常数项. 【详解】（1）由题意可知，，即， 得或（舍）， 则展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第项， 即， 所有二项式系数和为. （2）， 令，得，则， 故展开式中的常数项为. 30．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数的绝对值最大的项为第几项． 【答案】(1) (2)第4项． 【分析】（1）直接利用展开式的次幂得到展开式的项数，进一步求出二项式系数的最大项； （2）利用展开式求出系数的绝对值的最大项． 【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第6项， 所以． （2）（2）设第项的系数的绝对值最大， 故 整理得，，解得，所以． 故系数的绝对值最大的项为第4项． 31．(24-25高二下·江苏苏州·期中)（1）求值：①；地 城 考点06 二项式的系数和 ②. （2）求证：； 【答案】（1），，（2）证明见详解 【分析】（1）①由排列数公式运算得解，②根据二项式系数和公式求解；（2）根据组合数公式证明. 【详解】（1）①. ②由二项式系数和的特点，. （2） . 32．(23-24高二下·江苏镇江·期中)（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）. 【分析】（1）①将和的计算公式分别列出来，通分即可； ②根据二项式定理即可得到； （2）令为，为，代入即可； （3）先根据变形，再根据（2）中得到的变形即可. 【详解】（1）①证明： ； ②证明： . （2）令为，为， 由，可得. 证明：. （3） 由（2）得，即， 原式 . 【点睛】方法点睛：排列组合数相关的化简计算，主要在于将其计算式写出来，然后通过分式的性质对其进行变形. 33．(23-24高二下·江苏启东·期中)在以下两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答. ①所有项的系数之和与二项式系数之和的比为； ②前三项的二项式系数之和为22. 问题：在的展开式中，__________. (1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)证明见解析 (2)，. 【分析】两问都是先求出，后运用通项公式解题即可. 【详解】（1）若选①，令，则所有项的系数和为； 二项式系数之和为. 因为展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为， 所以，解得. 故. 若是常数项，则，得， 故展开式没有常数项； 若选②，因为前三项的二项式系数之和为22， 所以， 整理得，解得. 故. 若是常数项，则，得， 故展开式中没有常数项. （2）由（1）得，. 是有理项，当且仅当为整数. 又因为，所以. 故展开式中有3个有理项，分别为，. 地 城 考点07 二项展开式各项的系数和 34．(24-25高二下·江苏苏州·期中)已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187. (1)求和的值； (2)求展开式中按的降幂排列的第3项； (3)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1)， (2) (3)第6项 【分析】（1）根据题意，可得，化简运算得解； （2）求出展开式的通项，进而求解； （3）由题可得第项系数为，设第项系数最大，可得，运算得解. 【详解】（1）由题意得，即，解得， 令，则各项系数和为，解得. 所以，. （2）由（1），展开式的通项为， 所以展开式中按降幂排列的第3项为， （3）由（2）知，展开式的第项系数为，， 设第项系数最大，则， 解得，又，所以， 所以展开式中项的系数最大的项为第6项. 35．(24-25高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等． (1)求含的项； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，可求得，利用二项式展开式的通项公式可求得含的项； （2）由展开式的通项公式可得均为正，均为负，利用赋值法可求得的值. 【详解】（1）由已知得，所以，即， 其展开式的通项公式为，， 令，有. （2）， 由（1），二项式展开式的通项公式，， 可知均为正，均为负， 所以， 令，得， 又令，所以， 所以． 36．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)已知. (1)若，求： ①的值， ②的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)①153②78 (2)85 【分析】（1）由赋值法，分别令，，即可求解； （2）由，得到，再通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为，所以 ①令得，， 令得，， 所以， ②令得，， 由①得，， 所以； （2）由得，， 所以， 当时，，， 当时，， 结合二次函数的性质可知当时， 所以的最小值为85 37．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)在二项式的展开式中，已知第3项与第8项的二项式系数相等．地 城 考点08 求系数最大（小）的项 (1)求展开式中系数最大的项； (2)求展开式中的有理项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合数的性质可得，由二项式的通项公式即可求解； （2）由二项式通项公式有，当即可求解. 【详解】（1）有题意有，所以， 所以， 所以系数最大项为， （2）由有，所以， 所以展开式中的有理项为， 所以有理项为：. 38．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)已知函数，其中，． (1)若n＝8，，求的最大值； (2)若，求；（用n表示） (3)若，求证：． 【答案】(1)1792 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由二项式定理求得，从而求得，然后设最大，解不等式组求解； （2）由题意可得，两边求导，令可得解； （3）用写出等式左边的和式，然后由组合数公式化简变形后再由二项式定理可证． 【详解】（1）， ， 不妨设中，则 ， 中的最大值为； （2）若，，两边求导得， 令得，. （3）若，， ， 因为， 所以 ． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是利用组合数公式将化简为. 39．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)在的展开式中，______． 现在有以下三个条件： 条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为； 条件②：只有第6项的二项式系数最大： 条件③：其前三项的二项式系数的和等于56． 请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)展开式中所有二项式系数的和； (2)展开式中的系数最大项． 【答案】(1)1024 (2) 【分析】（1）选条件①得到求解；选条件②得到求解；选条件③得到求解； （2）由（1）得到二项式为，再利用通项公式列式求解即可. 【详解】（1）解：选条件①：因为第4项和第2项的二项式系数之比为； 所以，即， 即，解得（舍）或. 所以展开式中所有二项式系数的和； 选条件②：因为只有第6项的二项式系数最大； 所以为偶数，且，解得. 所以展开式中所有二项式系数的和； 选条件③：因为其前三项的二项式系数的和等于56， 所以， 即，即，解得（舍）或. 所以展开式中所有二项式系数的和； （2）由（1）二项式为， 其通项公式为：， 可知第项的系数为， 令，解得，即， 所以第项的系数最大，最大项为， 40．(24-25高二下·江苏无锡·期中)在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为 (2) (3) 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【详解】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网 专题07排列组合与 目目 考点01 排列组合 1.(1)2880 (2)1440 (3)2400 2.(1)180 (2)105 3.(1)2160 (2)1320, (3)720 4.(1)6种； (2)90种 5.(1)729 (2)540 (3)230 6.(1)63 (2)32 (3)8 7.(1)81: (2)36, (3)8. 8.(1)240 ②：m)手 9.(1)576 (2)216 (3)2400 10.(1)42; (2)m=3 11.(1)720种；(2)210个；(3)126种 www.zxxk.com 二项式定理大题综合 1/7 让教与学更高效 (8考点40题) 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 二项展开式的应用 12.(1)(Cg)2+(C2)2+(C2)2=1+4+1=6,(C)2+(C)2+(C)2+(C)2=1+9+9+1=20, 从而(C)2+(C)2+(C)2=C,(Cg)2+(C)2+C)2+(C)2=C; (2)(C)2+(C)2+…+(C)2+(C)2=C2n,证明如下： (1+x)2"=(1+x)”(1+x)”，等式左侧x"的系数为C2n, 等式右侧x"的系数为(CC)+(C,C-)+…+(CC)+(CC)=(C)2+(C)2+…+(C-)2+(C)2, 而等式恒成立可得左右的x的系数相等，即(C)2+(C)2+…+(C)2+(C)2=C2n: (3)1-x2)2=1-x)21+x)2,等式左侧x2的系数为(-1)C2n, 等式右侧x2m的系数为(-1)°(C9nC)+(-1)'(CnC-)+…+(-)2m-(CmC2n)+(-1)2(CC9n)= ←1°(C92+←1y(C}++←1)2-(Ca2+←12(Cy-2(-1y'(C》, k=0 而等式恒成立可得左右的x的系数相等，即2(-1)(C)=(-1)C得证 13.(1)n=20; (2)7: (3)系数最大项为第6项，系数最小项为第21项。 14.024,=64或-8 (2)1215y4 即1+m=m+m,所以m=, 所以 f(2025,10000 m ) 1006 >1+2+ 48+16=7, 2624 2025 所以原不等式f2025,1000Vt>7f(-2025,t成立， 函学科网 www.zxxk.com 目目 考点03 求指定项的系数 15.(0)126x3,126x (2)n=9,84 16.(1)a2=180 (2)1023 (3)0 17.(1)960; (2)8064. 18.(①)35 (2)由(1)展开式通项为T4=C 1 2 x号，则4-3=0， 4 所以r=16不满足rN,所以展开式中没有常数项： ③)7=x,7=35 1 x,T= -x-2 8 25 16 19. + 1 常数项为15； 3 (2)20x2 20.(1)常数项为-4，此项的二项式系数为20 (2)32 (3)T3=240x 21.(1)n=6,160 (2)38 目目 考点04 整除和余数问题 22.(1)255 (2)10 (3)n=23,k=14或k=9 23.(1)6560 (2)1 3/7 让教与学更高效 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 24.(1)39-1 (2)144 (3)f(16)-1=(32+5)°-1=(36+1°-1， =36+C。368+C36+…+C836, 其中每一项都能被6整除， 所以f(16)-1能被6整除 25.(1)672; (2)2: (3)3. 26.(1)0 (2)f(7)-9=5510-9=(56-1)0-9 =C05610(-1)°+C1569(-1)'+C2568(-1)2+…+C956'(-1)°+C1056(-1)0-9, 显然C56(-1)°+C156°(-1)+C56(-1)2+…+C56(-1)°能被8整除， 且C1056(-1)0-9=1-9=-8能被8整除， 所以f(7)-9能被8整除， 27.(1)6305 (2)1792 (3)5 目目 考点05 二项式系数的增减性和最值 28.(1)n=10 (2)-8064 (3)1 29.(1)T,=-540x2;64 (2)135 30.(1)1。=- 3-5 (2)第4项. 目目 考点06 二项式的系数和 学科网 www.zxxk.com 31.(1)64,256 (2)(n+1Cm= (n+1)n! (n-m)!m! (n+1)! =(m+1) (n-m)m+1m! (n+1)! =m+a+m+m+(0+C 32.（1)①证明：C:+C:=m-mm-m+州m-可 n! n! nx(n-m+1) nlxm nx(n+1) （n-m)!mx(n-m+1)（n-m+1)m-1)xm（n-m+1)m 二C1 ②证明：C9+C,+C2++C”=C9×1”×1°+C,×1-×+C2×1"-2×12+ =(1+1)”=2” (2)令50为n,8为m, 由8Co=50Cg,可得mC=nCm. nkm n! (n-1)！ 证明：mC州= n-mm(n-mj川m-1”Xn-m以m- =nC: (3) 22024-1 2024 33.(1)若选①，令x=1,则所有项的系数和为3”； 二项式系数之和为2” 因为展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为729：64， 解得n=6 故T1=C2rx2(0≤r≤6，reZ 若1是常数项，则2-r=0,得r=弓N, 3 故展开式没有常数项； 若选②，因为前三项的二项式系数之和为22， 所以C+C+C=1+n+nn-=22, 2 5/7 让教与学更高效 +C0×1°×1” 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 整理得n2+n-42=(n-6)(n+7=0,解得n=6. 故7=C%2x2学(0≤r≤6，reZ) 若7是常数项，则1-r=0,得 故展开式中没有常数项 (2)T=64x2,T4=160x2,T7=x6 目目 考点07 二项展开式各项的系数和 34.(1)n=7,a=2 (2)84x8 (3)第6项T6=672x 35.(1)180x2 (2)310-1 36.(1)①153②78 (2)85 目目 考点08 求系数最大（小）的项 37.(1)126x4 5 (2)-9x2;-126x;-1 38.(1)1792 22a=2m (3)若=-1，f(x)=(1-x)”, gc套r网 =c8el-r+cr1-+c2el-++ce1-, 医c心2会e-w-可c (n-1！ 所以c1=0+c1-+c1-++cx1-x k-0 =xCx(1-x+Cnx(1-x-2+…+Cx-(1-x)°门 学科网 =x[x+(1-x)]=x. 39.(1)1024 215360x9 40.(1)二项式系数为15， 232 (3)240x www.zxxk.com 第3项的系数为240 7/7 让教与学更高效学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07排列组合与二项式定理大题综合(8考点40题)（解析版） ☆8大高频考点概览 考点01排列组合 考点02二项展开式的应用 考点03求指定项的系数 考点04整除和余数问题 考点05二项式系数的增减性和最值 考点06二项式的系数和 考点07二项展开式各项的系数和 考点08求系数最大（小）的项 目目 考点01 排列组合 1.(24-25高二下江苏盐城五校联盟·期中)2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐 城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排.（最后答案用数字作 答) (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种？ (3)甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种？ 2.(24-25高二下江苏泰州姜堰区期中)从0,1,2,3,4,5,6这7个数字中选取3个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的三位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的三位偶数？ 3.(24-25高二下·江苏南京期中)某班一天的课表共安排6节课，上午4节，下午2节，每门学科都不重复， 有7门学科可供选择，它们分别是数学、语文、物理、化学、体育、生物、历史要求体育课必须安排进课 表，且不安排在上午前3节课 (1)共有多少种不同的课表？ (2)若数学安排进课表，且安排在上午，共有多少种不同的课表？ (3)若数学、语文都安排进课表，且都安排在上午，共有多少种不同的课表？ 4.(24-25高二下·江苏盐城五校联考期中)有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品、5只合格品.现每 次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止 (1)求最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现的不同情形有多少种？ (2)求最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有多少种？ 5.(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县期中)有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一 1/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个小组（数字作答） (1)求一共有多少种不同的报名方法； (2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法： (3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法 6.(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中一个宿舍的6位同学被邀请参加一个晚会 ()如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ (2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种不同的去法？ (3)该晚会分A,B两个区，现在决定由甲，乙，丙，丁四位同学参加该晚会，每区都要有人去，且甲和乙 不能去同一个区，有多少种不同去法？ 7.(24-25高二下·江苏徐州期中)结合排列组合，解决下列问题（结果用数字作答） (1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ (2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (3)将4封标有序号A,B,C,D的信放到四个标有A,B,C,D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少 种放法？ 8.(24-25高二下·江苏徐州第二中学期中)某校高二年级有2名男生和4名女生参加“我命由我不由天”主题 演讲 (1)若6名同学站成一排合影留念，求2名男生相邻的不同排法种数： (2)若从6名同学中随机选出3人， (1)求恰有1名男生的概率； (iⅱ)求至少有1名男生的概率 9.(2425高二下·江苏邗江中学·期中)为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题 为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者. 赛后，7名同学站成一排，照相留念 (1)女生必须站在一起的站队方式有多少种？（用数字作答) (2)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇 报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？（用数字作答） (3)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？（用数字作答） 10.(24-25高二下江苏连云港连云港高级中学期中)已知T(k)=Ct-C2(m,keN,且k≥2). (1)当m=4时，求T(4)的值： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若T(3)=T(4),求m的值 11.(2425高二下江苏高邮期中)(1)现将学号分别为1,2,3,4,5,6,7号的七名同学站成一排，如 果学号为1,2的两人之间恰好有3个人，有多少种不同的排法？（用数字作答） (2)由1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列（由高数 位到低数位)，这样的七位数有多少个？（用数字作答） (3)从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凸数aaaa4a”(满足 a1<a2<a,>a4>a,),这样的“五位凸数”有多少个？（用数字作答） 目目 考点02 二项展开式的应用 12.(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， C=C",C”=C:+C，请继续使用“算两次的方法完成下面的探究 (1)计算：(C)2+(C2)2+(C),(C)2+(C)2+(C)2+(C)2并与C,C比较，你有什么发现？ (2)写出(1)的一般性结论并证明； (3)证明： vC-cvc. 民，2425高下江苏盐城五校联考期中)已知3x+下了 (n∈N)的展开式的第2项与第4项的二项式系 数之比是1：57. (1)求n的值； (2)展开式中的整式项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 14.(24,25高=下江苏盐城七校联盟期中设函数fx川=1+0(y>0)。 0列=4+号+号+号且a=27,求立4： (2)当m=-3时，求∫(6，y)展开式中系数最大的项； (3)当m>0时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足f(n,1)=m”f(n,t),求证： f2025,1000Wf>7f(-2025,t. 目目 考点03 求指定项的系数 3/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2425高二下江苏南京协同体九校期中)在二项式+)的展开式中 (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中二项式系数最大的项： (2)若n为满足8<n<12的整数，且展开式中有常数项，试求n的值和常数项 16.(24-25高二下-江苏宿迁泗阳县期中)设1-2x)°=a,+ax+a,x2+a,x2++aox0 (1)求实数a2的值； ②求号+受-受++-器的值： 222- (3)求∑i-1)a,的值 2)” 17.(24-25高二下·江苏徐州期中已知x+ 的展开式中共有11项. (1)求展开式中含x的项的系数；（结果用数字作答） (2)求二项式系数最大的项. 18.(24-25高二下江苏南京期中)在√F+ 1 的展开式中，前3项的系数成等差数列. (1)求展开式中x的一次项； (2)证明展开式中没有常数项： (3)求展开式中所有的有理项. 19.(2425高二下江苏徐州第二中学期中)已知x+元) +1 (n∈N)的展开式的所有二项式系数之和为64. (1)求该二项式及其展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. )6 20.(24-25高二下江苏无锡江阴六校期中)在 的展开式中，求： ()求常数项、及此项的二项式系数； (2)求奇数项的二项式系数的和； (3)求系数绝对值最大的项， 21.(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)在 的展开式中， 给出下列条件：①各项系数之和为729，②第三项的二项式系数为15，③二项式系数和为64，试在这三个 条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求n的值并求展开式中的常数项； ②求(2+3x)x+3 展开式中x6的系数. 目目 考点04 整除和余数问题 22.(24-25高二下江苏泰州兴化四校期中)已知函数fx)=Cx+Cx2+Cx3+…+Cx°，neN. (1)当n=8时，求f(I)的值； (2)若f(98)能被1000整除，求n的最小值； (3)若n∈(20,30)，keN',且在f(x)中，存在连续三项x-,x,x的项的系数成等差数列，求n和k的 值 23.(24-25高二下·江苏南京中华中学期中)已知(1+2x)”=a。+ax+ax2+…+anx"(n∈N）,其中 ao,a1,a2,…,an∈R.且(1+2x)展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求a+a2+…+an（用数值作答)： (2)若x=41,求二项式的值被7除的余数. 24.(23-24高二下·江苏新海高级中学期中)已知f(x)=(2x+5)”展开式的各二项式系数和为512，且 (2x+5)=+a,(x+2)+a2x+2)+…+an(x+2)”. (I)求a,+a2+a+…+an;(结果保留指数幂形式) (2)求42的值； (3)求证：(16)-1能被6整除. 25.(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学期中)已知f(x)=(2x-3)"展开式的二项式系数和为512，且 (2x-3)"=a+a,(x-1)+a2(x-1)2++an(x-1)" (1)求4的值； (2)求a1+a2+a3+…+an的值； (3)求f(6)-6被8整除的余数 26.(23-24高二下江苏南京南京师范大学附属中学期中)函数f(x)=(x2+x-)°=a,+a,x+…+a0x20。 (1)求a2+a4+…+a2o的值； 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)用二项式定理证明：f(7)-9能被8整除. 27.(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)已知 f(x)=(x2+2x+3=a+a,(x+1)+a,(x+12++a6(x+1. (I)a1+a2+a3+…+a16;（该问结果可保留幂的形式) (2)求an（n=0,1,2,…,16的最大值： (3)求∫(5)-2024被13除的余数. 目目 考点05 二项式系数的增减性和最值 28.(24-25高二下江苏徐州铜山区期中)已知2x- 的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7：6. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项： 3诺2x- =a+ax+a2x2+…+anx"，求a-a,+a2+…+(-1an的值. x 29.(24-25高二下·江苏镇江中学期中)若 3x1 展开式前三项的二项式系数之和为22. ()求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和； (2)求展开式中的常数项. 30.(23-24高二下·江苏南京金陵中学期中)在 G- 2r2 的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数的绝对值最大的项为第几项， 目目 考点06 二项式的系数和 31.(24-25高二下·江苏苏州期中)(1)求值：①A4+A+A+A; ②C,+C+C+Cg+Cg (2)求证：(n+)C=(m+)Cg; 32.(23-24高二下·江苏镇江·期中1)请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第 ①个计分)； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①C:+Cg=C1,②C+C,+C+…+C=2" (2)某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人 担任班长，共有多少种不同的选举方法？一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8 人中选取1人做班长，则共有8C种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再 在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有50C,.所以：8C。=50C,.据此请你提出一个较一般 的结论，并证明你的结论： (3)化简： C3+C+C%++9 C20 202420232022 1 33.(23-24高二下江苏启东·期中)在以下两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成 解答 ①所有项的系数之和与二项式系数之和的比为729：64； ②前三项的二项式系数之和为22 问题：在 2+1 (n≥2，neN)的展开式中， (1)证明展开式中没有常数项： (2)求展开式中所有的有理项 目目 考点07 二项展开式各项的系数和 34.(Q425高二下江苏苏州期中已知P+(aN)的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且 展开式的各项系数之和为2187. (1)求n和a的值； (2)求展开式中按x的降幂排列的第3项； (3)求展开式中项的系数最大的项 35.(24-25高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知(2x-1)“的展开式中，第4项与第8项的二项 式系数相等 (1)求含x2的项： (2)若(2x-1)”=a+ax+a2x2+…+anx"(n∈N）,求a,+a+…+an的值 36.(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)已知 7/9 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 f(x)=(1+2x)"+(1+x”=a+a,x+ax2+…+a,x(meN,neN,m≤n） (1)若m=3,n=7,求： ①a1+a2+a+.+an的值， ②a1+a+a5+..+an的值； (2)若a1=20,求42的最小值 目目 考点08 求系数最大（小）的项 37.(24-25高二下·江苏锡山高级中学期中)在二项式 的展开式中，已知第3项与第8项的二项式 系数相等 (1)求展开式中系数最大的项： (2)求展开式中的有理项. 38.(23-24高二下江苏泰州中学.期中)已知函数(x)=(1+x)=a,+a,x+ax2+…+ax”,其中2∈R,，n∈N. (1)若n=8,a1=1024,求a,（i=0,1,2,3…,8)的最大值； (2②若元=2，求2m,；(用n表示) r=0 (3)若=-1，求证： crr =0 39.(24-25高二下·江苏沭阳高级中学期中)在2x2+ 的展开式中， 现在有以下三个条件： 条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为12：1： 条件②：只有第6项的二项式系数最大： 条件③：其前三项的二项式系数的和等于56. 请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)展开式中所有二项式系数的和； (2)展开式中的系数最大项. 0 40.2425高=下江苏无锡期中在2√：左7 的展开式中，求： 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和： (3)求系数绝对值最大的项， 9/9