专题04 空间向量与立体几何大题综合（6大考点35题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学下学期苏教版

专题04 空间向量与立体几何大题综合（6大考点35题） 6大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量的坐标表示 考点03异面直线所成角 考点04 求线面角 考点05 求面面角 考点06 空间距离的计算 地 城 考点01 空间向量及其运算 1．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【详解】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 2．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，为的中点 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可； （2）根据向量线性运算计算得，结合向量模长计算公式以及向量数量积计算公式计算即可； （3）设，根据向量线性运算计算得，再根据题意建立等式，计算即可. 【详解】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ； （3）设， 则，由（1）知 所以， 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 3．(24-25高二下·江苏高邮·期中)如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 4．(23-24高二下·江苏扬州中学·期中)已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）由已知可设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）利用空间向量的数量积公式求出的值，然后利用三角形的面积公式求得以、为邻边的平行四边形的面积 【详解】（1）由已知可得， 因为向量与平行，设，其中， 则，解得. 所以，或. （2）由题可得：，， 所以，因为，所以， 则，所以，以、为邻边的平行四边形的面积为. 5．(24-25高二下·江苏常州·期中)已知向量，，．地 城 考点02 空间向量的坐标表示 (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出； （2）根据三个向量不能构成空间的一个基底可知这三个向量共面，利用向量共面的性质列出方程求解的值. 【详解】（1）已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. （2）已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，则. 由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入， 可得，解得. 6．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． (1)用，，表示，，； (2)求异面直线AC与所成角的正切值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可； （2）利用空间向量的数量积定义计算，再根据空间向量数量积的运算分别求，，，根据向量夹角余弦公式求解，即可异面直线AC与所成角的余弦值，根据同角三角函数关系求正切值即可. 【详解】（1）， ， ； （2）因为， ， 又，， 所以， ， ， 设异面直线AC与所成角为， 则， 所以，故， 所以异面直线AC与所成角的正切值为. 7．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 8．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. (1)求的长； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间的基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. （2）由（1）中信息，利用数量积的运算律求解. 【详解】（1）在三棱锥中，点为的中点，， ，而，， ， 所以 .    （2）由，得， 所以 . 9．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)如图，在三棱锥中，点为的中点，，设 (1)试用向量表示向量; (2)若，且， 求证: 平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接根据图形的几何性质分解向量即可； （2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）为中点， ， ， ； （2）且， 为等边三角形且， 平面， 平面， 平面， ， ， 为重心， 同理可证， 平面， 平面. 10．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知空间四点．地 城 考点03 异面直线所成角 (1)求以为邻边的平行四边形面积； (2)若四点共面，求的值； (3)求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】（1）求出和，进而得到，由面积公式求出答案； （2）由四点共面，设，从而得到方程组，求出的值； （3）设直线和直线的夹角为，利用向量夹角公式求出. 【详解】（1）， 又， ， ， ， 四边形的面积为． 以为邻边的平行四边形的面积为12． （2）由题意，得， 四点共面， 存在唯一一对实数使得， ， 解得：， 故的值为． （3）， 设直线和直线的夹角为， ， ，故，， 因为，所以两直线和的夹角余弦的范围是 11．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用向量法求异面直线所成的角的余弦值； （2）代入向量法求线面角的正弦值； （3）假设存在点，分别求平面和平面的法向量，利用法向量表示二面角的余弦值. 【详解】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直， 且平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系 则 ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为; （2）平面BCD的法向量， 所以， 则与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在，设， 设平面CDP的法向量， ，取，则，， 则， 所以或 则点P存在 所以或. 12．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，只需证明即可； （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 而， 所以、、两两互相垂直， 不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， ，， 因为，所以，则； （2），， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 13．(23-24高二下·江苏连云港厉庄高级中学·期中)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点． (1)计算：； (2)求证：； (3)求异面直线和所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，，，则可得，，即可求出； （2）用表示，根据数量积的运算律及定义求出，即可得证； （3）利用向量计算可得，，即可求出，进而可求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 则，． ，， 则； （2）因为 所以 . 所以，即. （3），， ， ，， ， 由于异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 14．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点．地 城 考点04 求线面角 (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）取中点为，连接，，易得，，再由线面垂直的判定和性质，即可证； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出直线与平面的方向向量和法向量，最后应用向量法求夹角余弦值； （3）构建合适的空间直角坐标系，设，则，应用异面直线夹角的向量求法及已知列方程求得，即可得. 【详解】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 15．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)如图，在三棱柱中，是的中点，、均为边长为的正三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）如图，取的中点，连接、， 因为、均为边长为的正三角形， 所以，，且， 同理可得， 又因为，故，所以， 又因为，、平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 由得， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线方向式方程为；过点，且法向量为的平面法向式方程为，将其整理成一般式方程为，其中.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求与所成角的正弦值； (3)若，不在平面内，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案； （2）由题意可得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案； （3）由空间向量垂直的坐标表示，建立方程，求得直线的方向向量，根据向量垂直，可得答案. 【详解】（1）设直线与平面所成角为， 因为直线的方向式方程为，平面的一般式方程为 所以直线的一个方向向量为 平面的一个法向量为. 所以. 所以. （2）设平面和所成角为， 因为平面的一般式方程为， 平面的一般式方程为， 所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为. 所以， 所以， （3）证明：设直线的一个方向向量为，则，所以， 令，则，所以直线的一个方向向量为. 因为平面的一般式方程为， 所以平面的一个法向量为. 所以， 所以，又因为不在平面内所以. 17．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）由底面，得到，结合⊥得到线面垂直，建立空间直角坐标系，为平面的一个法向量，计算出，得到线面平行； （2）求出平面的法向量，计算出，得到线面角的正弦值； （3）利用两平面的法向量，得到两法向量的夹角余弦值，进而求出面面角的正弦值. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又因为⊥，平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故，， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，令得，取， 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）又平面的法向量， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为 18．(24-25高二下·江苏扬州第一中学·期中)如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线EF与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以， 易知平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2）由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 19．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，.    (1)证明：； (2)若，动点在矩形内（含边界），且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①② 【分析】（1）通过证明平面，可完成证明； （2）①如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求长度；由①可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【详解】（1）证明：直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，且交线为，， 平面，所以平面, 因为平面，所以， 因为， 所以，可知， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）    ①因为平面，， 以为坐标原点，直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以，即， 整理可得：， 可知动点M的轨迹是以为圆心，半径为1的半圆， 所以动点M的轨迹的长度， ②由①可设：， 可得， 设平面的法向量， 则，则，取，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 20．(24-25高二下·江苏扬州邗江区·期中)如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， (1)求二面角的正弦值; (2)为线段上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，进而得到正弦值； （2）根据为线段上一点，设，，利用空间向量法求直线和平面所成角的正弦值列式即可求解. 【详解】（1）由四边形PDCE为正方形得，因为平面平面ABCD，平面平面， 平面PDCE，，所以平面ABCD， 又DA，DC在平面ABCD内，所以，， 由得， 以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则即 取，则， 设平面ABP的一个法向量为， 则即 取，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. （2）设，， 则， 因为BQ与平面BCP所成角的正弦值为， 所以， 解得或，因为，所以， 故 21．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)直四棱柱中，底面为平行四边形，若分别为的中点.地 城 考点05 求面面角 (1)证明： 平面； (2)若，且平面与平面所成角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，易证四边形为平行四边形，得，根据线面平行的判定定理得证； （2）由题易得平行四边形是菱形，连接交于点，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式列式求出，得解. 【详解】（1）取中点，连接 为中点， ，即四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面. （2） 在直四棱柱中，平面，则， 又，则，所以平行四边形是菱形， 连接交于点，由，则，， 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 设平面的一个法向量为 则，令，得， ， 又 设平面的一个法向量为， 则，解得， ， 解得，故. 22．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，.    (1)求平面与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点为线段的中点 【分析】（1）由题意，根据线面垂直性质与判定，建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用面面角的向量公式，可得答案； （2）利用空间向量的位置关系，根据向量坐标，建立方程，可得答案. 【详解】（1）因为， 所以，又因为为的中点， 所以与均为等腰直角三角形，所以 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，又，平面，所以平面， 在平面内，过点作，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 平面的一个法向量为. 又因为平面的一个法向量为，所以. 设平面与平面所成角为，则. （2）假设线段上存在点，使得平面 设， 所以. 因为平面，所以， 所以，即点是线段的中点， 所以存在点，点为线段的中点. 23．(24-25高二下·江苏南京第一中学·期中)如图①，在中，分别是边的中点，现将沿着折起，使点到达点的位置，并连接，得到四棱锥，如图②，设平面平面. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若点到平面的距离为，求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）结合图中几何关系，利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理可得； （2）结合图中几何关系由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理可得； （3）先由面面垂直的性质定理得到点到平面的距离即为的长，再由几何关系和线面垂直的判定定理得到平面， 方法一：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得； 方法二：以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得. 【详解】（1）因为分别是边的中点，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以. （2）因为，所以，由（1）知，，所以， 在图（1）中，，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （3）如图，过点作，垂足为. 由（2）知，平面平面，又平面平面平面， 所以平面，所以点到平面的距离即为的长，即. 在中，，所以. 又，所以是边长为2的等边三角形. 取的中点，连接，则. 由（1）知，平面，又平面，所以. 又平面，所以平面 （方法一）以为原点，所在直线分别为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以是平面的一个法向量. 又平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角为. （方法二）以为原点，所在直线分别为轴，轴，且以过点与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以是平面的一个法向量. 又是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面的夹角为. 24．(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中)如图，△ABC是等边三角形，直线EA⊥平面ABC，直线DC⊥平面ABC，且EA＝2DC＝，F是线段EB的中点． (1)求证：平面ABC； (2)若直线CF与平面ABC所成角为45°，求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取AB的中点M，利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证. （2）以M为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）取AB的中点M，连接FM和CM，在中，F是EB的中点，M是AB的中点， 则且， 由平面，而平面，得，又， 因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面. （2）由（1）得，平面，则为直线CF与平面所成角，即， 在中，，在等边中，M为AB的中点，则， 以M为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面夹角为θ，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 25．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)如图，在直三棱柱中，已知，.试建立恰当的空间直角坐标系解决如下问题： (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据条件建系，求出相关点的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即可证明； （2）在（1）建系基础上，分别求二面角的两个半平面的法向量，利用向量夹角的坐标计算公式即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，因为平面，， 故可以为一组基底建立空间直角坐标系（如图）. 因为，则，，，，，. 于是，，由可得. （2）因，， 设平面的一个法向量， 则，故可取； 又，， 设平面的一个法向量， 则故可取. 设二面角的大小为， 则， 由图知，为锐角，故二面角的大小为. 26．(24-25高二下·江苏常州·期中)如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由条件得到，即可求证； （2）建系，求得平面法向量代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为为底面圆周上异于一点， 可得：, 又四边形是边长为2的正方形，得， 又平面， 所以平面，又在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面， （2） 解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 取的中点，连接，，， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值 地 城 考点06 空间距离的计算 27．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明； （2）（i）先应用面面垂直性质定理得出平面，建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦；（ii）设再应用点到平面距离即可计算求参. 【详解】（1）取PD的中点N， 连接AN， MN， 如图所示： 为棱PC的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面，   平面. （2） 平面平面， 平面平面， 平面， 平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴建立直角坐标系，如图， 则 为棱PC的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为， 所以二面角的正弦值为. （ii） 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 28．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)如图，在直三棱柱中，，，，D为的中点.    (1)证明：平面； (2)求点到平面BCD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】方法一：（1）由直三棱柱的性质结合题设易得，由，可得平面，进而得到，可得，进而求证即可； （2）设点到平面BCD的距离为d，利用等体积法，求解即可； 方法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证得，，进而求证即可； （2）利用空间向量求解即可. 【详解】（1）方法一：由直三棱柱的性质可知平面， 因为平面，所以，， 由题可知四边形为矩形，， 所以四边形为正方形，所以， 因为，，，且平面， 所以平面，又平面， 所以，因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面. 方法二：以A为原点，AB，AC，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 则，，， 所以， ， 所以，， 又因为，，平面，所以平面. （2）方法一：设点到平面BCD的距离为d， 易得，，， 则， 则， 所以， 则，， 由得，，解得， 所以点A到平面BCD的距离为. 方法二：由（1）得，，， 设平面BCD的一个法向量为，则，所以， 取，则，，所以， 设点A到平面BCD的距离为，则， 所以点A到平面BCD的距离为.    29．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知平面四边形中，，且．以为腰作等腰直角三角形，且，平面平面    (1)证明：平面； (2)已知点是线段上一点， ①若平面，求点到平面的距离； ②若直线与平面夹角的正弦值是，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据已知有，再由面面垂直的判定得平面，进而有，再由已知得，且，即为等腰直角三角形，故，最根据线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，①若求得，再求出平面的一个法向量，结合平面MAC求得，由此可得的坐标，再求平面的法向量，结合点到平面结论的向量求法求结论；②应用向量法求线面角的正弦值的不等式，由条件列方程求，再求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为腰作等腰直角三角形，且，则， 由平面平面，平面平面平面， 所以平面，而平面，则， 由，则为直角梯形，故， 由，即为等腰直角三角形，故，且， 所以为等腰直角三角形，故， 又，平面， 则平面． （2）由（1）平面，构建如图示空间直角坐标系，    所以， ①若，则， 所以， 令是平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以是平面的一个法向量， 而， 由平面，则，解得， 所以是靠近的三等分点，则， 因为， 设是平面的一个法向量， 所以， 取，可得， 所以是平面的一个法向量， 所以， 所以点到平面PBC的距离是； ②设，其中，所以， 因为平面的一个法向量为，直线与平面夹角的正弦值是， ， 所以． 所以，解得：或者（舍） 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以， 令得，， 所以是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，得， 所以是平面的一个法向量， 所以， 设二面角为， 则， 所以二面角的正弦值为. 30．(24-25高二下·江苏淮安九校·期中)如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点． (1)求直线与直线AF的夹角的余弦值； (2)求点F到平面的距离． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线AF的夹角的余弦值； （2）求得平面的法向量，利用空间向量法可求得点F到平面的距离. 【详解】（1）因为丄平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)， 所以，，， ， 所以，直线与直线AF的夹角的余弦值为． （2）易知，，， 设平面的法向量为， 则，取x=2，可得， 所以平面的一个法向量为， 且，所以，点F到平面的距离为． 31．(24-25高二下·江苏扬州新华中学·期中)如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点，连接，证明：平面； (2)求到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. （3）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 32．(24-25高二下·江苏南京·期中)如图，直三棱柱中，是的中点，，. (1)求与平面所成的角大小； (2)求点到平面的距离； (3)若为的中点，求二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得线面夹角； （2）利用坐标法可得点到平面距离； （3）利用坐标法可得二面角余弦值，进而可得二面角正弦值. 【详解】（1） 由已知，，， 则，即， 又三棱柱为直三棱柱， 则平面， 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，， 又为中点，所以，， 易知平面的一个法向量为， 则， 所以直线与平面夹角的正弦值为， 即直线与平面的夹角为； （2）由空间直角坐标系可知，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离； （3）由空间直角坐标系可知， 又为中点，则，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 则， 所以二面角的正弦值为. 33．(24-25高二下·江苏高邮·期中)如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 34．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. (1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2) (3) 【分析】连接，交于点，连接，交于点，以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系；(1)利用向量数量积判断直线与直线是否垂直； (2)求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的大小； (3)求出的坐标，再由点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）连接，交于点，由为正方形知， 连接，交于点，由“俯视图为正八边形”知平面， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系. 则. ， . 所以不垂直于，所以直线与直线不垂直. （2）， 设平面的一个法向量为， 则， 取，得. 平面的一个法向量为. 设二面角平面角为， 则. 由图知，所以二面角的大小为. （3），由（2）平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离. 35．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)． (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可建立适当空间直角坐标系，得到、后借助空间向量共线定理即可得证； （2）求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得点具体位置，再借助点到平面距离公式求解即可得. 【详解】（1）因为底面，且底面为正方形，且、底面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，有，故； （2），因为点满足，点是棱上的一个点（包括端点）， 所以，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得，，则， 由题可得轴平面，则平面的一个法向量为， 因为二面角角的余弦值为， 所以， 解得或（舍去），所以， 因为，所以点到平面的距离为． 因为，故到平面的距离为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04空间向量与立体几何大题综合(6大考点35题) ☆6大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量的坐标表示 考点03异面直线所成角 考点04求线面角 考点05求面面角 考点06空间距离的计算 目目 考点01 空间向量及其运算 1.(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县期中)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=AA'=1, ∠DAB=90°，LA'AB=LA'AD=60°，点O为BC'的中点，AO=xAB+yAD+zAA D B (1)求x+y+z的值： (2)求A0与DC所成的角的余弦值 2.(24-25高二下江苏宿迁沭阳县期中)如图，平行六面体ABCD-A,B,C,D,的底面ABCD为正方形，棱长都 为2，且∠AAD=∠A,AB=60°，设AA=a,AB=b,AD=C,M,N分别是棱AA,BC的中点，点P为 棱CD上的动点。 D (1)用a,b,c表示AN: (2)若P为棱CD的中点，求MP+NC: (3)是否存在点P,使AP⊥AN,若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由 3.(24-25高二下·江苏高邮期中)如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足DC=3BD,E 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为线段AD的中点，设OA=a,0B=b,OC=c. D B (1)试用向量a,b,c表示向量OE; (2)若OA=OB=4,OC=3,∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，求OE.BC的值. 4.(23-24高二下江苏扬州中学期中)已知空间三点A0,-2,3)、B(-2,-1,6)、C(1,1,5). (1)若向量m与AB平行，且m=4,求m的坐标； (2)求以CB、CA为邻边的平行四边形的面积， 目目 考点02 空间向量的坐标表示 5.(24-25高二下江苏常州期中)已知向量=（-2，-1,2)，b=(-1,1,2,c=(x,2,2) (①)若ac=4,求5+c: (2)若三个向量ā，万，c-ā-b不能构成空间的一个基底，求实数x的值. 6.(2425高二下江苏盐城七校联盟期中)在如图所示的平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AB=1,AD=2, AA,=2V2,∠AAB=∠AAD=45°，∠BAD=60°，设AB=ā，AD=b,AA=C. D A B D (I)用a,b,c表示AC，,AC,BD,: (2)求异面直线AC与BD,所成角的正切值 7.(24-25高二下江苏宿迁沭阳县·期中已知a=（3,2,-1),b=(2,1,2) ()求(a-(a+2b); 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)当(ka-)M(a+)时，求实数k的值 8.(2425高二下江苏泰州姜堰区期中已知三棱锥0-ABC中，∠A0B=∠B0C=∠A0C=?,0A=2, 3 OB=3,OC=4,点D为AC的中点，点E满足OE=2EB,点F满足EF=FD (1)求DE的长； (2)求OF.CB的值 9.(24-25高二下江苏南京协同体九校期中)如图，在三棱锥0-ABC中，点D为BC的中点，A正=2D, 3 设0A=a,0B=b,0C=c A (1)试用向量a,6,c表示向量OE; (2)若0A=0B=0C,且∠A0B=∠B0C=∠A0C=90°，求证：OE⊥平面ABC. 目目 考点03 异面直线所成角 10.(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学期中)已知空间四点 A(0,2,3,B(2,-2,-1,C1,4,3,D(-1,3,2). (1)求以AB,AC为邻边的平行四边形面积； (2)若A、B、C、D四点共面，求1的值； (3)求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围. 11.(23-24高二下·江苏准安协作体联盟·期中)己知三棱锥A-BCD中ABC和△DBC所在平面互相垂直， AB=2,BC=1,BD=1,∠ABC=120°，∠DBC=90°，求 方 3/12 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (I)AD与BC所成角的余弦值： (②)AD与平面BCD所成角的正弦值； (3)直线AB上是否存在点P使得二面角P-CD-B为30，若存在求出BP的长，不存在说明理由 12.(23-24高二下·江苏灌云高级中学期中)如图，在四棱柱ABCD-A,BC,D中，侧棱AA⊥平面ABCD, ABI/CD,AB⊥AD,AD=CD=1,AA=AB=2,E为棱AA,的中点，M为棱CE的中点. B B (1)证明：BC⊥C,E; (2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值. 13.(23-24高二下·江苏连云港厉庄高级中学期中)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长 都等于1，点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点. A E G (I)计算：EF.BA; (2)求证：EG⊥AB; (3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值. 目目 考点04 求线面角 14.(24-25高二下江苏南京南京外国语学校期中)如图1，ABC是底边为2的等腰三角形，且 BA=BC=√5，△DAC为等腰直角三角形，∠CDA=90°，将△DAC沿AC翻折到△PAC的位置，且点P不 在平面ABC内（如图2），点F为线段PB的中点. 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (图1) (图2) (1)证明：AC⊥PB; (2)当平面PAC⊥平面ACB时，求直线PB与平面ACF所成角的余弦值； (3)若直线PC与AB所成角的余弦值为y6时，设平面PAC与平面ABC的夹角为a,求cosa的值. 15.(24-25高二下·江苏南京六校联合体期中如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，P是CC,的中点，ABC、 △BCC,均为边长为4的正三角形，且AC,=2√6 C A (1)求证：平面ABC1平面BB,CC; (2)求直线A,B与平面PAB所成角的正弦值. 16.(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县期中)在空间直角坐标系O-z中，定义：过点A(x。,yo,2o),且方向向 量为m=(a,,c的直线方向式方程为-=y-出=-(abc≠0)；过点4(x,,),且法向量为 a n=(a,b,ca2+b2+c2≠0)的平面法向式方程为a(x-x)+b(y-y+c(z-z)=0,将其整理成一般式方程 为x+加+c2-d=0,其中d=a,+,+c2,已知直线1的方向式方程为行-生2之 =-z,平面的一般 式方程为2x-√2y+z+5=0,平面B的一般式方程为2x+3y+z-1=0,平面Y的一般式方程为 x-y-2z+4=0,平面4的一般式方程为2m+1x+(3m+2)y+(m+1z-5=0. (1)求直线1与平面a所成角的余弦值： (2)求B与Y所成角的正弦值； (3)若B∩y=1','不在平面4内，证明：11/u 5/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥ AB,ABIDC,AD=DC=2,AP=3,AB=1,E为棱PC的中点. H (1)求证：BE∥平面PAD: (2)求直线AC与平面BDE所成角的正弦值： (3)求平面PAD与平面BDE所成角的正弦值. 18.(24-25高二下·江苏扬州第一中学·期中)如图，长方体ABCD-A,B,CD底面是边长为2的正方形，高为 4,E为线段AB的中点，F为线段CA的中点 D C A B E (1)证明：EF/1平面ADDA; (2)求直线EF与平面A,DC所成角的正弦值 19.(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)如图，直角梯形ABCD和矩形PADQ所在的平面互相垂直， ABLAD,AD//BC,AD =2AB=2BC =2 0 (1I)证明：PC⊥CD; (2)若PA=2,动点M在矩形PADQ内（含边界），且MB⊥MD ①求动点M的轨迹的长度； 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ②设直线CM与平面PBD所成角为O,求sin0的取值范围， 20.(24-25高二下·江苏扬州邗江区·期中)如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于 形ABCD所在平面，AB/CD,∠ADC=90,AB=AD=CD=1,点F在线段AP上，PF=2E 9 (1)求二面角A-PB-C的正弦值； (2②)0为线段EF上一点，若直线B0与平面BCP所成角的正弦值为V ,求线段FQ的长 目目 考点05 求面面角 21.(24-25高二下江苏南京协同体九校期中)直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD为平行四边形，若 M,N分别为AB,DC的中点 D C 、B M B (1)证明：MN/平面BCC,B,; (②若B4=DC,4D=BD-2,且平面D8C与平面DB4所成角的余弦值为}，求DD 22.(24-25高二下江苏宿迁泗阳县·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD的中点，BD⊥PB, PA⊥AB,BE/ICD,CD⊥AD,PA=AE=BE=2,CD=1. B (I)求平面PED与平面PBC所成角的正弦值； 7/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)在线段PE上是否存在点M,使得DM1平面PBC?若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由， 23.(2425高二下江苏南京第一中学期中)如图①，在ABC中，B=90°，AB=4,BC=2,D,E分别是边 AB,AC的中点，现将ADE沿着DE折起，使点A到达点P的位置，并连接PB,PC,得到四棱锥 P-BCED,如图②，设平面PDE∩平面PBC=I. D B C ① ② (I)求证：1∥DE: (2)求证：平面PBD⊥平面PDE; (3)若点B到平面PDE的距离为√3，求平面PEC与平面PBD的夹角 24.(24-25高二下·江苏南京金陵中学·期中如图，△ABC是等边三角形，直线EAL平面ABC,直线DC⊥ 平面ABC,且EA=2DC=2V√3，F是线段EB的中点. D (I)求证：DFII平面ABC; (2)若直线CF与平面ABC所成角为45°，求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值 25.(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学期中)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，已知AB⊥BC, AB=BC=BB,=1.试建立恰当的空间直角坐标系解决如下问题： B 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：AC,⊥AB; (2)求二面角B,-AC,-B的大小 26.(2425高二下·江苏常州期中)如图，圆锥的顶点为D,底面圆心为O,AB为底面直径，C为底面圆周 上异于A,B一点，且四边形OAED是边长为2的正方形， D B:… A (1)求证：BC⊥平面ACE; (2)若AC=2,求二面角A-DE-C的正弦值. 目目 考点06 空间距离的计算 27.(24-25高二下江苏南京雨花台中学期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD, AD⊥DC,AB/IDC,AB=CD=AD=l,M为棱PC的中点 2 (1)证明：BM∥平面PAD: (2)若PC=V5,PD=1, ()求二面角B-MD-C的正弦值：(i)在线段PA上是香存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是y6? 4 若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由 28.(2425高二下江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟期中)如图，在直三棱柱 ABC-AB,C中，AB=AA=V3,AC=2,AB⊥AC,D为AC的中点 9/12 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D B (1)证明：AB,⊥平面ABD: (2)求点A到平面BCD的距离 29.(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学期中)已知平面四边形ABCD中，AD∥ BC,BC1CD,且4D=CD= AB=2,以AD为腰作等腰直角三角形PAD,且PA=AD,平面PAD⊥平 2 面ABCD 〉D (1)证明：AB⊥平面PAC; (2)已知点M是线段PD上一点， ①若PB∥平面MAC,求点M到平面PBC的距离； ②若直线BM与平面ABCD夹角的正弦值是4， 求二面角B-AM-C的正弦值. 14 30.(24-25高二下江苏淮安九校·期中如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥AC,AB=AC=AA=2, 点E,F分别为棱AB、AB的中点. B (I)求直线C,E与直线AF的夹角的余弦值： (2)求点F到平面B,C,E的距离.扇学科网 www.zxxk.com 专题04空间向量与立体几何大题综合(6大考点 目目 考点01 空间向量及其运算 1.(1)2 20=a+6+ (2)V31 (3)存在，P为CD的中点 3 8 8 (336 8 4.(1)m=(-2,1,3)或m=（2,-1,-3. (2)7V5 目目 考点02 空间向量的坐标表示 5.(1)川b+c=V29 ②=月 6.(1)AC=a+b,AC=a+b+c,BD,=-a+b+c (22v6 9 7.(1)2 (2)-1 8.(1)5 四子 3 (2):0A=0B=0C且LA0B=∠B0C=∠A0C=90°， aABC为等边三角形且OD⊥BC,AD⊥BC, :OD AD=D,0D,ADc平面OAD, 1/11 让教与学更高效 35题)（答案版） 丽学科网 www.zxxk.com .BC⊥平面OAD, :OEc平面OAD, BC⊥OE, “亚-0 .E为ABC重心， 同理可证AC⊥OE, :BC∩AC=C,BC,ACC平面ABC, .OE⊥平面ABC 考点03 异面直线所成角 10.(1)12 11.() 5 (25 5 (3)存在， 65+2或5-2 17 17 12.(I)(1)因为AA⊥底面ABCD,AD,ABc平面ABCD, 所以AA⊥AD,AA⊥AB, 而AB⊥AD, 所以AD、AA、AB两两互相垂直， 不妨以点A为坐标原点，AD、AA,、AB所在直线分别为x、y 让教与学更高效 、z轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B1 -- C A D E 则B(0,0,2)、A(0,0,0)、D1,0,0)、C(1,0,1)、C(1,2,1)、E(0,1,0),M 111、 222, BC=1,0,-1),EC1=(1,1,1), 因为BC·EC=0,所以BC⊥EC,则BC⊥C,E; (2)0 11 130F丽- Q姻为EG-Bi+G=号6+兮4c+号0=+5+ 2 2 1 所以G.AB-2i+ 1 1 26-a+2ca- 2 Hos0+eoso 2 --xlxlx +x1x1×22 22 ,1_1×P=0 所以EG.AB=0,即EG⊥AB 3 目目 考点04 求线面角 14.(1)(1)取AC中点为E,连接PE,BE, PA=PC,AB=BC, ·PE⊥AC,BE⊥AC, 又PEOBE=E,PE、BEc平面PBE, ·AC⊥平面PBE,又PBc平面PBE, ·AC⊥PB. 3/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 4 15.(1)如图，取BC的中点0，连接OA、OC, 因为ABC、△BCC,均为边长为4的正三角形， 所以BC10A,0C1⊥BC,且OA=VAB2-OB2=V42-22=25, 同理可得0C,=25, 又因为AC,=2V6,故0A2+0C2=AC2,所以0A⊥0C1, 又因为BC∩OC,=O,BC、OC,c平面BB,CC,所以OA⊥平面BB,CC. 又因为OAc平面ABC，,所以平面ABC⊥平面BB,CC. (22v26 13 16.1) 1 (2分 14 m2·n2=0 [2a+3b+c=0 (3)证明：设直线1的一个方向向量为m,=(a,b,c),则 ，所以 m2n3=0 a-b-2c=0' 令b=1,则a=c=-1,所以直线1'的一个方向向量为m2=（-1,1,-1) 因为平面4的一般式方程为2m+1)x+(3m+2)y+(m+1)z-5=0, 所以平面u的一个法向量为n4=(2m+1,3m+2,m+1) 所以m2·n4=-2m-1+3m+2-m-1=0, 所以m2⊥n4,又因为1不在平面“内所以1'∥4 17.(I)因为PA⊥底面ABCD,ABC底面ABCD,所以PA⊥AB, 又因为AD⊥AB,ADOAP=A,AD,APC平面PAD, 所以AB⊥平面PAD,即AB为平面PAD的一个法向量， 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， ZA B 可得A0,0,0),B(1,0,0),C2,2,0),，D(0,2,0)，P0,0,3), 由E为传PC的中点，得》 3 向量BE-0,1,B=(1,00,故BEAB=0,BE1西， 又BE文平面PAD,所以BE∥平面PAD; (29v5 14 (3)3 7 18.(1)如图建立空间直角坐标系，则E(2,1,0),C(0,2,0),A2,0,4),B(2,2,0), 又F为线段CA的中点，所以F(1,1,2), 所以EF=(-1,0,2）, 易知平面ADDA,的法向量可以为i=(0,1,0), 所以EFn=0,即EF⊥n,又EFd平面ADD,A,所以EF∥平面ADDA1: ZA D A 刀 E B 19.(1)证明：直角梯形ABCD和矩形PAD2所在的平面互相垂直，且交线为AD,PA⊥AD, PAC平面PADQ,所以PA⊥平面ABCD, 5/11 学科网 www.zxxk.com 因为CDc平面ABCD,所以PA⊥CD, AC=AB2+BC2=2,CD=AB2+(AD-BC)2=2,AD=2, 所以AC2+CD2=AD2,可知AC⊥CD, 又因为PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC, 所以CD⊥平面PAC, 又因为ACc平面PAC, 所以PC⊥CD 2W3-√6V5 (2)①n② 6 ，2 20.(①)二面角A-PB-C的正弦值为 5 (2)2v4 目目 考点05 求面面角 21.(I)取CC中点P,连接BP,NP N,P,M为中点， D C B D NP∥CD,NP=CD,BM D B :NP∥BM,NP=BM,即四边形BMNP为平行四边形， .MN∥BP, :MN丈平面BCCB,BPC平面BCC,B, :MN/平面BCCB, (2)V3 2.13 让教与学更高效 C.D ,BM =CD. 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)存在，点M为线段PE的中点 23.(1)因为D,E分别是边AB,AC的中点，所以DE∥BC, 又DE文平面PBC,BCC平面PBC,所以DE∥平面PBC, 又DEc平面PDE,平面PDE∩平面PBC=I,所以I∥DE (2)因为B=90°，所以BC⊥BD,由(1)知，DE∥BC,所以DE⊥BD, 在图(1)中，DE⊥AD,所以DE⊥PD 又BDPD=D,BD,PDC平面PBD,所以DE⊥平面PBD 又DEc平面PDE,所以平面PBD⊥平面PDE 24.(I)(1)取AB的中点M,连接FM和CM,在△EAB中，F是EB的中点，M是AB的中点， 则FM1EA且FM-号E1=5. 由DC⊥平面ABC,而EA⊥平面ABC,得DCI/EA/IFM,又DC=V3=EA, 因此四边形FMCD是平行四边形，DF/ICM, 而CMC平面ABC,DF立平面ABC,所以DFII平面ABC. (235 5 25.(1)(1)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，因为BB,⊥平面ABC,AB⊥BC, 故可以{BC,BA,BB,}为一组基底建立空间直角坐标系B-xy:(如图) B 因为AB=BC=BB,=1,则B(0,0,0),，A(0,1,0),C(1,0,0),A(0,1,1,B,(0,0,1,C(1,0,1 于是AC=(1,-1,1,BA=(0,1,1,由AC·BA=0可得AC,⊥A,B 7/11 学科网 ww w zxxk com 2号 26.(1)因为C为底面圆周上异于A,B一点， 可得：BC⊥AC, 又四边形OAED是边长为2的正方形，得AE/IDO, 又DO⊥平面ABC, 所以AE⊥平面ABC,BC又在平面ABC内， 所以BC⊥AE,又AE,AC为平面ACE内两条相交直线， 所以BC⊥平面ACE (2)V②1 7 目目 考点06 空间距离的计算 27.(1)取PD的中点N,连接AW,MN, 如图所示： M :M为棱PC的中点，.MN IICD,MN= 5 ABIICD,AB=CD.:.ABI/MN.AB :四边形ABMN是平行四边形，：BM∥AN, 又BME平面PAD,ANC平面PAD,.BM//平面PAD (2)(i)V30 (iD存在，P0= 6 2 28.(1)方法一：由直三棱柱的性质可知AA,⊥平面ABC, 因为AB,ACC平面ABC,所以AA⊥AB,AA,⊥AC, 由题可知四边形AA,B,B为矩形，AB=AA,, 所以四边形AAB,B为正方形，所以AB,⊥A,B, 因为AA,⊥AC,AB⊥AC,AA∩AB=A,且AA,ABc平面AA,B,B 所以AC⊥平面AA,B,B,又AB,C平面AA,B,B, 让教与学更高效 1-2 CD MN. 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以AC⊥AB,因为AD∥AC,所以AB,⊥A,D, 又因为A,B∩A,D=A,A,B,A,DC平面ABD, 所以AB,⊥平面ABD 方法二：以A为原点，AB,AC,AA,所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(5,0,0),C(0,2,0),D(0,1,√3)，A(0,0,5), B(3,0,V3), 则AB=(V3,0,V3),AB=(3,0,-V3),AD=(0,1,0), 所以AB,·AB=V5xV5+0×0+√5x(-V5)=0, AB·A,D=V3×0+0x1+V5×0=0, 所以AB,⊥A,B，,AB⊥A,D, 又因为A,B∩A,D=A,A,B,A,DC平面ABD,所以AB,⊥平面ABD (2)v6 29.(I)以AD为腰作等腰直角三角形PAD,且PA=AD,则PA⊥AD, 由平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,PAC平面PAD, 所以PA⊥平面ABCD,而ABC平面ABCD,则PA⊥AB, 由AD∥BC,BC⊥CD,则ABCD为直角梯形，故AD⊥CD, 由AD=CD= AB=2,即△ACD为等腰直角三角形，故∠ACB=45°，且AC=AB=2V2, 2 所以ABC为等腰直角三角形，故AB⊥AC, 又PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC, 则AB⊥平面PAC· (202v2 ②22 3 3 30.(1)5 5 9/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 31.(1)在四棱锥P-ABCD中，取PD中点N,连接MN, M 0 A B 由M为PA的中点，且AD=2,BC=1,得MN11AD11BC,MN=)4D=1=BC, 则四边形BCNM为平行四边形，BM/ICN,而CNc平面PCD,BM￠平面PCD, 所以BM//平面PCD. (2)②7 7 (同存在，言 32.0月 236 3 3)6 3 33.(1)AC=2V10 (26 4 (3)存在，点M位于线段AC的靠近点A的三等分点 34.(1)不垂直，连接AC,BD交于点0，由ABCD为正方形知0A⊥OB, 连接EG，,HF交于点P,由“俯视图为正八边形”知OP⊥平面ABCD, 以0为坐标原点，以OA,0B,OP}为正交基底，建立空间直角坐标系 H A 则A(V2,0,0),B(0,V2,0),C(-√2,0,0)，E1,1,V6-√3)，G(-1,-1,6-√3)