专题01 导数基础篇（7大考点65题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学下学期苏教版

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01导数基础篇(7大考点65题) 目目 考点01 导数的概念 1.D 2.C 3.C 4.B 5.4050 6 f(x)=x2+x (答案不唯一) 目目 考点02 导数的运算 1.C 2.C 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.C 9.ABD 10.、1013 2 11.3 12.-2-1 目目 考点03 切线问题 1.B 2.C 4x-y+3=0 3. 4.2 1/5 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x+y-1=0 目目 考点04 单调性 1.A 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.D 8.B 9.B 10.B 11.C 12.ACD 13.BC 14.BCD 15.ACD 16.(③+0) 17.+o) 18.(-12 目目 考点05 极值问题 1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.0= 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 15 e (2)极大值为4e2,极小值为 1 7.(1)2 gea=3,Ba=-3 (3)-1 2ex-y-e=0 8.(1) (2)单调递减区间是(-o,-1，单调递增区间是(-1，+∞)：极小值为。，无极大值. 9(0)少-1 ②油f到=心(x-e,xe0,,得f到=e-e, 当a≤0时，八d>0,函数八d在0+切)上单调递增，无极值点： 当a>0时，令八>0，得r>a;令f川<0，得0<x<a, 所以函数f在0.a上单调递减，在a,+切上单调递增， 所以函数八的极小值点为“，无极大值点。 综上所述，当a≤0时，函数在0，+0)上无极值点： 当Q>0时，函数f在0，+切)上有极小值点a,无极大值点 目目 考点06 最值问题 1.C 2.B 3.B 4.B 3/5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.a≥1 9 6.（-8+) 目目 考点07 导数与不等式 1.D 2.D 3.BCD 4.ACD 5.ACD 1 6.20.5 7.(1)-1 （-00,2] (2) 3)解：由四=f+r=xhx-+,x>0,可得（刊=血x+2x 令H=1=n+2xx>0,可得川-2中>0在10+网上恒成立， x 所以函数川在0，+w)上单调递增，即函数在0，+切)上单调递增。 因为是()=f)+‘的极值点，所以存在使得(=0，即血，=-26， 又由h0=2>0,所以0 0<x<1 则f+3,=h,-%+3x,=-2x+2x,=2x,1-x>0 所以/()+3x>0 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5/5丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01导数基础篇(7大考点65题)（解析版) ☆7大高频考点概览 考点01导数的概念 考点02导数的运算 考点03切线问题 考点04单调性 考点05极值问题 考点06最值问题 考点07导数与不等式 目目 考点01 导数的概念 一、单选题 1.(24-25高二下江苏盐城五校联考·期中)已知f(2025)=1,则m f2025+2A)-f2025)=（) △x 1 A.-2 B. C.-2 D.2 2.24-25高二下江苏锡山高级中学期中设函数八刊在×=处存在导数为2，则 fx+Ax-fxo】=-() 4△x A.1 B.2 C.Z D. 3.2425高三下江苏徐州第二中学期中)函数)=r+2在区间L,3)上的平均变化率为() A.2 B.4 C.6 D.8 42425商=下江苏苏州期刊法函数-女，则当自变量产由1变化到11时，面数四。 的平均变化 率是() A.2 B.2.1 C.2.2 D.2.3 二、填空题 (x) 5.(24-25高二下·江苏高邮期中)设定义在R上的函数 的导函数为 I()./()-2025.lim I(+Ar)-f(l-Ar) △x 1/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 f(x) 1+△x 3+△x 6.(24-25高二下·江苏镇江·期中已知二次函数”从1到的平均变化率为 ，请写出满足条件 的-个y 目目 考点02 导数的运算 一、单选题 1.(24-25高二下·江苏无锡第一中学期中)如果质点沿直线运动，位移S(单位：m)与时间t(单位：s) 的关系为5=2r t=3s 则该质点在°的瞬时速度（单位：ms)为(） A.6 B.18 C.54 D.81 y=x+ 2.(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)若直线 是曲线'=hrx>0) 的一条切线，则实数”的值 为() A.1 B.e C.-1 D.-e y=ex+a y=Inx+b 3.(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)若直线 与曲线 相切，则a+ ”的最小值为 () A.4 B.1 C.2 D.2 4.(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)下列求导正确的是() A2可器 B =-sin 4 4 -1 C.(xlnx)Inx+1 D.e e 5.(2425高二下江苏扬州中学期申已知函数八)=血x-x,则f0=（) A.0 B.-1 C.1 D.-2 6.(24-25高二下·江苏徐州期中)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定 理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定 理”的核心，其内容如下，如果函数'=f在闭区间a,上连续，在开区间a,)内可导，则a内至 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 少存在一个点6∈(a,),使得f)-fa=fb-a4,其中=x称为函数”=f八x在闭区间a,1上 的“中值点”.请问函数冈=-2x在区间-1上的“中值点”的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 7.24-25高二下江苏阳建陵高级中学期中定义方程(=f的实数根x叫做函数刊的“新驻 点”若函数.f=8刘=2-2r+2, )lnr的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,C的大小关 系为() A.c>b>a B.b>axc C.c>a>b D.b>c>a 3 8.(2425高=下-江苏镇江中学期中)若点M是曲线y=2-21血x上任意一点，则M到直线x-y-2=0 的距离的最小值为（) 5w2 3v2 5V2 3√2 A.2 B.4 C.4 D.2 二、多选题 9.(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)下列求导运算正确的是() A.(et-)=ex- B.(cos3x)=-3sin3x D.(xInx)=1+Inx 三、填空题 10.2425高二江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学期中)设川0是函数'”=f的导函数， 八（是函数'=刊的导函数，若方程四=0有实数解x=。,则称f》为函数'=f的 “拐点”.经研究发现所有的三次函数f=a心+r+r+da≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函 3/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 f 1 数v=阿的对称电心，若函数x)=x-2x,则2025十了2025+. /2025Y +…+f 2025 1山.2425高二下江苏扬州第一中学期中)若函数f=2- x,则f(1= 12.2425高二下江苏无锡宜兴期中)已知两数川满足小=血r-( osx,则0)= 目目 考点03 切线问题 、 单选题 1.(2425高二下江苏徐州期中)已知函数()=血(2x+1上一点Plf川，则在点P处切线的斜率为 () 1 A.3 B.3 C.1 D.2 2.24-25高二下江苏高邮期中)没R,则直线'=-3x+ 能作为下列函数图象的切线的有() A.f(x)=x B.f(x)=e C. D.f(x)=sin 2x 二、填空题 3.(24-25高二江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学期中若函数=2e“+1, 则曲线 y=f在点0,3引 处的切线方程为 4.(24:25高二下-江苏无锡锡东高级中学期中)已知函数=ac+:(a>0)在点0，f川0)处的切线为 直线，若直线，与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则实数。= 524下江苏中学期中E知函数了8三xh2x则7在P/处的物我方程为 目目 考点04 单调性 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 一、单选题 1.(24-25高二下江苏常州五校调研函数f()=r-2血 的单调减区间是() A.(0) B.(L+o∞) c.（-0,-lu0,1 D.-,0U(0,1 2.(2425高二下-江苏镇江期中已知函数/=m-血x在区间山，+切)上为增函数，则实数m的取值范围 为() A.（-0,-2] B.（-0,-刂 C.2,+j D.l,+∞j 3.(2425高三下江苏扬州中学期中)已知函数的定义域为R,0)=2,若对任意x∈R,都有 f>1-fd,则不等式)<1+e 的解集为() A.(0,+o∞) B.（-∞，0) c.(0,) D.10 4.24-25高二下江苏徐州期中)已知f八是定义在-0,0U0+切)上的奇函数，若对于任意的 x∈0，+o,都有fx+可<0成立，且/1=l,则不等式f八-<0解集为() A.（-0,-U(0,) B.（-,0u(0, c.（-0,-lU1,+oj D.（-1,0U1,+∞j 下江苏沭阳建陵高级中学期中)已知函数fx)=x+r+在2上单调递增 的取值范围为() A.+∞) B.[-L,+o) C.8+o) D.3,+) 6。(2425高二江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学期中)尼知函数=2-+3r在区间 5/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1,3] 上单调递减，则实数的取值范围是() A.B.) c.[32,+ 7.2425高二江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学期中设川是函数/定义在0，+o)上 的导函数，满足寸"(+2f刘= ,则下列不等式一定成立的是() fe、fe) f(2)、f(3) e2 e B.94 f(e)f(3) 12.1o C.e2 9 D.e2 4 8.(2425高二下江苏徐州第二中学期中若函数f心)=e-m在区间-小上单调递减，则m的取值范围 是() A.（-o,e] B.[e,+o) D.) 9.(24-25高二下江苏无锡宜兴期中)已知函数)=e-(x+m）,若f)>0恒成立，则正整数m的 最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 10.(24-25高二下·江苏高邮期中)若函数 )=sinl-cos)+w在《←o,+o） 存在单调减区间，则实数a 的取值范围为() B.（-0,2) 9 -0,8】 D.(2,+o) 1.24-25高二下江苏锡山高级中学期中)已知定义在R上的函数(d,其导函数为)，且满足 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (+矿(<0，则不等式(x到>的解集是() A.（-0,01 B.-0 C.(-o,1 D.10) 二、多选题 12.2425高二江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学期中已知函数f=r-3+4,直线 少=与函数 的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，，5，则下列说法正确的有 () A.a∈0,4 B.过点0,4)作函数八的切线，有且只有三条 C.若m+”=2,则有m+f(川=4 D. Xx2x3=a-4 13.2425高二下江苏无锡第中学期中)已知函数八的定义域是R,八是f的导函数，若对 任意的*∈R,都有(+f到> ,则下列结论正确的是() A.J(1)<0 B.(1)<2f(2) C.f(In2)<f(21n2) D.当x>0时，ef(刘-2f(2x>0 a>e,b>e b(1+Ina)=ealn(1+b) 14.(24-25高二下·江苏雕宁县菁华高级中学·期中)已知 ，且 其中 e=2.718…为自然对数的底数，则() A.a-ebse In(b+1)-Ina>1 B. C.a(b+1)se D.200+46>10 7/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 y=f(x) 15.(24-25高二下·江苏苏州期中)若函数 ,其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则 下列叙述正确的是() v=f(x) -10 A.f在=-与= 在 处的瞬时增长率相同 B.在- 上不单调 C.=f(r) 能为奇函数 f1.2)+f0)>2f1.1) D. 三、填空题 16.24-25高二下-江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学期中)设函数()=sinx+e-e-x+3, f(x)+f(3-2x)<6 则满足 的x的取值范围是 17.24-25高二下江苏阜宁中学期中)已知定义在R上的可导函数'=f刊的导函数为，满足 f闭-2<fd且f0=3,则不等式)-2>e 的解集为一 18.2425高二下江苏无锡第-中学)已知函数f=e+。+1,且f1+a+f1-a)>2,则实数。 e" 的取值范围是 目目 考点05 极值问题 一、单选题 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.24-25高二下江苏南京雨花台中学期中)若函数=x-a 在x=3处取得极小值，则实数a的值为 () A.3 B.6 C.9 D.3或9 f(x) f'(x) f(x) 2.(2425高二下·江苏南京六校联合体期中)已知的导函数图象如图，则的极大值点为 () y=f(x) A.七 B. C D.七 3.24-25高二下-江苏南京秦淮中学、玄武高中、深水二高等五校联盟期中)若函数fm)=)2-x+anx 有两个不同的极值点，则实数的取值范围为() 0 B.0 c.04 4.(24-25高二下-江苏徐州铜山区期中)函数f)=2x++2x存在大于1的极值点，则实数，的取值范 围是() A.a<3 B.a>3 C.a<3 2 D.as 2 5.2425高二下江苏高邮期中)设定义在R上的函数①的导函数为)，若对x∈R,均有 )=(x+/四，且f0=e,则() f(0)=1 A. B.f-2)=0 C.f(2)>3f0 D.一。是函数f)的极小值点 9/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 二、解答题 6.(24.25高二江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学期中)已知函数)-=(r-ar-ae在 (0,fo 处的切线垂直于直线2x+y+1=0」 (1)求a的值： ②求八的极值. 7.2425高三下江苏徐州第三中学期中)已知函f八=r+ar2-3aeR) (若=-1为 的一个极值点，求“的值： 2)诺a=1 f(x) ,求 的极值； (x) 4,f(I) (3)若函数 的图象关于点 》对称，求“的值， 8。(24-25高二下江苏苏州苏州工业园区星海实验高级中学期中)设函数)=心 ()求曲线在x=1处的切线方程： 2求的单调区间与极值。 x (-0,-1) -1 (-1,+∞) f(x) 0 f(x) 极小 单调递减 单调递增 值 9.2425高二下江苏雕宁县菁华高级中学期中)已知函数八=ex-川c2。 ④求曲线'=在点0，f(0)处的切线方程： 2求在0，+o)上的极值点 专题01 导数基础篇（7大考点65题）（解析版） 7大高频考点概览 考点01导数的概念 考点02导数的运算 考点03切线问题 考点04 单调性 考点05 极值问题 考点06 最值问题 考点07 导数与不等式 地 城 考点01 导数的概念 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据条件，利用导数的定义，即可求解. 【详解】根据导数的定义可知， ， 故选：D 2．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)设函数在处存在导数为，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】. 故选：C. 3．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)函数在区间上的平均变化率为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】因为，则，， 所以函数在区间上的平均变化率为. 故选：C 4．(24-25高二下·江苏苏州·期中)若函数，则当自变量由1变化到1.1时，函数的平均变化率是（   ） A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3 【答案】B 【分析】利用平均变化率的定义求解即可. 【详解】当自变量由1变化到1.1时， ，， 则，则平均变化率是. 故选：B 二、填空题 5．(24-25高二下·江苏高邮·期中)设定义在R上的函数的导函数为_________． 【答案】4050 【分析】根据导数的定义得到. 【详解】. 故答案为：4050 6．(24-25高二下·江苏镇江·期中)已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用平均变化率的定义计算即可. 【详解】设， 则， 令，解得. 所以可以取任意实数，不妨取， 则从1到的平均变化率为. 故答案为：（答案不唯一）. 地 城 考点02 导数的运算 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)如果质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则该质点在的瞬时速度（单位：m/s）为（   ） A．6 B．18 C．54 D．81 【答案】C 【分析】利用导数的物理意义求解. 【详解】因为，. 又瞬时速度就是位移对时间的导数. 所以该质点在的瞬时速度为 m/s. 故选：C 2．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，设切点为，依题意可得，即可求出，从而求出切点坐标，再代入切线方程计算可得. 【详解】由，则，设切点为，则，解得， 所以切点为，则，解得. 故选：C 3．(24-25高二下·江苏无锡江阴六校·期中)若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A．4 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】设切点，求导，根据导数几何意义得到方程，求出，得到切线方程，故，所以，求出最小值. 【详解】设切点为，， 故，所以， 所以切线方程为， 又，故切线方程为，即， 所以， 所以， 故当时，的最小值为2. 故选：D 4．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的运算法则逐一验证即可. 【详解】由，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 5．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)已知函数，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】求导再求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 6．(24-25高二下·江苏徐州·期中)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先对函数求导，结合已知定义即可求解． 【详解】因为，， 所以，，， 若， 由，解得 故选：C 7．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)定义方程的实数根x叫做函数的“新驻点”.若函数. h(x)= lnx的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出给定的各函数的导数，再根据给定条件确定，，的值或所属区间即可得解. 【详解】由得，解方程，即，即； 由得，解方程，即，得，即； 由得，解方程，即，令，显然在单调递增， ，则存在，使得，即； 所以. 故选：D 8．(24-25高二下·江苏镇江中学·期中)若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小， 由，可得， 令，解得或（舍去），则， 所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 10．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心．若函数，则__________． 【答案】 【分析】利用题中给出的定义，得到的拐点为，从而得到的对称中心为，即，由此分析计算即可． 【详解】因为函数， 则，， 令，解得，且， 由题意可知，的拐点为， 故的对称中心为， 所以， 所以． 又， 所以 故答案为：. 11．(24-25高二下·江苏扬州第一中学·期中)若函数，则__________. 【答案】 【分析】根据导数的加法法则得出，再求其在处的函数值. 【详解】因，则， 则. 故答案为： 12．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)已知函数满足，则________． 【答案】 【分析】先求，将代入可求解，进而得到的解析式，令即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 所以，所以. 故答案为：. 地 城 考点03 切线问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】求导函数，把点的横坐标代入导函数即可求解． 【详解】由， 可得， 故在点P处切线的斜率为 故选：B 2．(24-25高二下·江苏高邮·期中)设，则直线能作为下列函数图象的切线的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数导数的几何意义，逐一判断选项即得. 【详解】由直线可知，其斜率为. 对于A，由可得，即该曲线上的任何点的切线斜率均为非负数，故A错误； 对于B，由可得，原因同上可知B错误； 对于C，由可得，因有解，故C正确； 对于D，由可得，即无解，故D错误. 故选：C. 二、填空题 3．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)若函数，则曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】利用导函数求得即为切线斜率，写出直线点斜式方程，整理得到结果. 【详解】由，得， 则点处的切线的斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为： 4．(24-25高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数______. 【答案】 【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得. 【详解】易知，，且， 所以直线， 它与两坐标轴的交点坐标分别为和， 可得，又， 解得. 故答案为： 5．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)已知函数，则在处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】先求函数定义域，再用导数几何意义求出切线斜率，之后求出点坐标，点斜式解出切线方程并化为直线的一般式即可. 【详解】由题意知：，， ，则切线斜率， 又，所以， 所以在点处的切线方程为：， 即. 故答案为：. 地 城 考点04 单调性 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏常州五校·调研)函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得， 函数的单调减区间是， 故选：A 2．(24-25高二下·江苏镇江·期中)已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，不等式对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数在区间上为增函数， 所以，不等式对任意的恒成立，即， 当时，，所以，， 即实数的取值范围是. 故选：D. 3．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数可判断函数得单调性，由已知条件可得函数的零点，由此可解得不等式. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以，即在上单调递增， 又，所以， 故当时，，即， 整理得，两边同除以，即可得， 所以当且仅当时，， 所以的解集为. 故选：B. 4．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设函数，结合导数与单调性关系先判断的单调性，然后判断奇偶性，即可求解． 【详解】设函数，则， 因为是上的奇函数，所， 所以是上的偶函数，， 因为当时，， 所以，即在上单调递减， 因此在上单调递增， 所以，， 当，原不等式可化为，即，解得， 当，原不等式可化为，即，解得， 综上所述，. 故选：D 5．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)已知函数 在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本道题目先计算导数，然后结合题意，构造新函数，计算最大值，即可． 【详解】，在恒成立， 故得到在上恒成立，故单调递减，. 所以，故的范围为， 故选：D． 6．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 由函数在区间上单调递减，可得在上恒成立， 则要使在上恒成立，只需， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 7．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件考虑构造函数，利用导数证明函数在上单调递增，结合单调性判断BD，因为，由此可得，取，判断的单调性，判断A，取，判断的单调性，判断C. 【详解】因为， 又， 所以， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 因为，所以，所以，B错误， 因为，所以，所以，D正确， 因为， 故， 又， 所以， 所以 ，故， 所以， 当时，，所以函数在上单调递增， 又，所以，所以，所以A不一定正确； 因为，所以， 所以， 设，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 所以若，则， 取，可得当时，， 所以当，时，，函数在上单调递减， 所以，所以C不一定正确； 故选：D. 8．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，则在上恒成立，结合指数函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 依题意在上恒成立， 所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时， 所以，即的取值范围是. 故选：B 9．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用公切线与隐零点，将问题转化为关于公切点的对勾函数求值域问题，即可得到答案. 【详解】原不等式等价于，由图可知    若满足题意，只需小于与两个函数相切时的的值即可， 设公切点为，因为，， 所以，所以，所以， 令，所以，所以单调递增， 因为，， 所以存在，使得， 所以，令，则， 根据对勾函数的性质知单调递减， 所以，所以正整数的最大值为. 故选：. 10．(24-25高二下·江苏高邮·期中)若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意有解，分离参数利用有解法则化为，结合，利用二次函数性质求得，即可得解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在存在单调减区间，所以有解， 即有解，则， 又，且， 当时，， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 故选：B 11．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)已知定义在上的函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】因为，所以， 令，则，所以在上单调递减， 不等式， 当时，等价于，即， 所以，解得； 当时，等价于，即， 所以，解得； 当时，即成立； 综上可得不等式的解集是. 故选：C 二、多选题 12．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知函数，直线与函数的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有（    ） A． B．过点作函数的切线，有且只有三条 C．若，则有 D． 【答案】ACD 【分析】A通过导函数研究函数单调性，结合图象即可判断；B设切点，求出切线方程，将点代入，求其方程根的个数即可判断；C计算即可判断；D化简即可判断 【详解】，则， 则或；， 故在上单调递增，在单调递减， ， 因为直线与函数的图像有3个不同的交点，所以，故A正确； 设切点为，斜率， 则切线方程为， 将点代入得，得或， 则过点作函数的切线有2条，故B错误； ，则C正确； 由题意得的三个不同的根为， ， 则，故D正确. 故选：ACD 13．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】BC 【分析】构造，根据条件，判断函数的单调性，再结合函数的单调性得到相应的不等式以判断各个选项的正确性. 【详解】设，. 则. 所以在上单调递增. 对A：由，故A错误； 对B：由，故B正确； 对C：由，故C正确； 对D：当时，，所以，故D错误. 故选：BC 14．(24-25高二下·江苏睢宁县菁华高级中学·期中)已知，且，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】原式变形为，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合不等式的性质逐项分析判断. 【详解】由，，得，则， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 不等式，因此， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，由，得，，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D正确. 故答案为：BCD 15．(24-25高二下·江苏苏州·期中)若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ） A．在与处的瞬时增长率相同 B．在上不单调 C．可能为奇函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定的导函数图象及性质，结合瞬时增长率、单调性判断AB；举例说明判断C；借助导数在上的单调性质确定在上的凹凸性判断D. 【详解】对于A，由函数的导函数为偶函数，得， 因此在与处的瞬时增长率相同，A正确； 对于B，当时，，因此在上单调递减，B错误； 对于C，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，C正确； 对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数， 因此，即，D正确. 如图，在凹函数定义域内，观察图象得. 故选：ACD 三、填空题 16．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)设函数，则满足的x的取值范围是__________. 【答案】 【分析】构造函数，确定函数单调性及奇偶性，利用函数性质来解不等式即可得答案. 【详解】， 设， 又，为上的奇函数， ， 在上单调递增， 又， ， ，， 又∵为上的奇函数， ， 又在上单调递增，，即， 故的取值范围是． 故答案为： 17．(24-25高二下·江苏阜宁中学·期中)已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以函数是上的增函数， 因为，所以， 则不等式等价于， 即，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 18．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·)已知函数，且，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【分析】令，先求出为奇函数，再求导，然后令，求导分析其单调性进而得到的单调性，最后解抽象函数不等式即可. 【详解】令，定义域为， ， 所以为奇函数， 又， 当时，令， 则有， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现为奇函数，并利用导数来分析其单调性. 地 城 考点05 极值问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若函数在处取得极小值，则实数a的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．3或9 【答案】A 【分析】先求，由题意得解得，根据的值检验在处取得极小值即可. 【详解】由得 函数在处取得极小值， 解得或 ①当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极小值，所以符合题意. ②当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极大值，不合题意. 故选：A. 2．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点. 【详解】由图知上，上且仅有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：D 3．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意有两个不同正根，即有两个不同正根，则，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根（不妨设为）， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 4．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数导数，将问题转化为存在大于1的根，即存在大于1的解，即存在大于1的解，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为， 则， 由存在大于1的极值点，可知存在大于1的根， 即存在大于1的解，即存在大于1的解， 而时，随x增大而增大，故， 故， 故选：B 5．(24-25高二下·江苏高邮·期中)设定义在上的函数的导函数为，若对，均有，且，则（   ） A． B． C． D．是函数的极小值点 【答案】C 【分析】由，取可求，当时，化简可得，由此可得，结合原式和求，再求导数判断B，求判断C，求极值点判断D. 【详解】因为， 所以当时，由可得，，A错误； 当时，， 所以当时，， 所以当时，，为常数， 所以当时，， 因为，所以， 所以，故当时，， 因为满足关系， 所以，，又， 所以，， 所以，故，B错误； 因为，，所以，， 所以，C正确； 因为，令可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以是函数的极小值点，D错误； 故选：C. 二、解答题 6．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)已知函数在处的切线垂直于直线． (1)求的值； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）求直线的斜率，根据切线与直线垂直可得切线斜率，再结合导数的几何意义及导数运算列方程求. （2）由（1）确定函数及其导函数，求的零点，分区间确定导数的取值规律，再确定极值. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 又函数在处的切线垂直于直线， 所以函数在处的切线斜率为， 所以， 由， 所以， 解得； （2）由（1）知，， 则， 令，可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故当时，取极大值，极大值为， 当时，函数取极小值，极小值为． 7．(24-25高二下·江苏徐州第二中学·期中)已知函 (1)若为的一个极值点，求的值； (2)若，求的极值； (3)若函数的图象关于点对称，求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，求出参数的值，再检验即可； （2）求出函数的导函数，即可得到单调区间，从而求出函数的极值； （3）依题意可得，从而得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，所以， 依题意，解得， 此时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意； （2）当时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递增， 所以在处取得极大值，即， 在处取得极小值，即； （3）因为，则， 又函数的图象关于点对称， 所以，即， 即， 所以，解得. 8．(24-25高二下·江苏苏州苏州工业园区星海实验高级中学·期中)设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间与极值． 【答案】(1)； (2)单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值. 【分析】（1）利用导函数求得切点处切线的斜率，结合切点坐标，可得切线的点斜式方程，整理成一般式方程即可； （2）利用导函数值的正负得到函数的单调区间，并求出极值. 【详解】（1） ，又， 曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，得. 列表如下          0    单调递减 极小值     单调递增 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 的极小值为，无极大值. 9．(24-25高二下·江苏睢宁县菁华高级中学·期中)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在上的极值点． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先求解函数的单调性，进而求解极值点． 【详解】（1）由， 得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，，得， 当时，，函数在上单调递增，无极值点； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，无极大值点. 综上所述，当时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有极小值点，无极大值点. 地 城 考点06 最值问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】通过分析与的符号情况，结合临界值，进行、、三类讨论，即可得出恒成立，等价于，然后构造函数，利用导数即可求解. 【详解】要使得在上恒成立，则，且无变号零点， 分析与的符号情况如下： 当时，，当时，，令，即， ①当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ②当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ③当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； 综上，当时，在上恒成立. 所以，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即 故选：C 2．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)已知对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先同构不等式，并构造函数，根据函数的单调性，转化为，再根据参变分离转化为最值问题. 【详解】由，可知，，， 则，即， 设，，得， 当时，，单调递增， ，，则，则， 则，恒成立， 设，，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 则. 故选：B 3．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，构造并用导数研究函数的单调性得，将目标式化为，再构造，最后应用导数求其最大值，即可得. 【详解】因为，分别是函数与的零点， 所以，则，即， 又，，所以，． 设，则， 所以在上单调递增，所以，则， 所以，则． 设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，， 所以的最大值为． 故选：B 4．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分离参数可得，设，，，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】由对于任意正实数，都有， 可得， 设，，， 则，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 故时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 二、填空题 5．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围. 【详解】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 6．(24-25高二下·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数，的导函数为，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用导数的运算法则对求导，设，由，只需，采用分离参数法可得，只需即可求解. 【详解】由 所以 根据题意，只需 ，则 令，即，即在上单调递增， 令，即或，即在上单调递减， 又，故，所以， 故b实数的取值范围： . 故答案为：. 7．(24-25高二下·江苏溧阳中学、常州高级中学·期中)若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意得到恒成立，通过参变分离，求最值即可求解. 【详解】∵在R上是增函数， ∴在R上恒成立， ∴， 令，则， 则 ， 令，， 则， 易得时，，时，， 所以时，， ∴当，取得最小值为 ， 所以，取得最小值为 ， ∴，即. 故答案为： 8．(24-25高二下·江苏徐州铜山区·期中)直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据曲线的切线的求法，把问题转化为方程有两解.再利用导数分析函数单调性，根据函数零点个数求参数的取值范围. 【详解】因为，所以函数在点处的切线方程为：，即. 因为，所以函数在处的切线方程为：，即. 由曲线和曲线的公切线有两条， 则方程组有两组解. 即方程有两解. 设，. 则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为， 当且时，，当时，. 所以方程有两解，可得，即. 故答案为： 地 城 考点07 导数与不等式 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，再根据极值点列式计算结合零点存在定理判断A，代入计算判断B，C，结合近似值判断D. 【详解】因为函数，所以单调递增，, 选项A：计算 而在时趋向，故A错. 选项B：因为 得B错. 选项C：计算 C错. 选项D：计算 ， 函数， 所以，得D正确. 故选：D. 2．(24-25高二下·江苏常州·期中)设，则（    ） A．的极大值为1 B．与有不同的极大值 C．时， D．时， 【答案】D 【分析】通过对函数求导，即可判断函数的单调性，进而可判断其极大值，可得A错误；由可得的解析式，求导判断其单调性，进而可得极大值与相同，故B错误；根据函数的单调性，可判断C错误，D正确. 【详解】由，得， 令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为，故A错误； 由，得，得， 令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为， 与的极大值相同，故B错误； 当时，函数单调递增， 又时，，所以， 而时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D正确. 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，函数有三个零点 B．当时，函数有两个极值点 C．当时，函数关于点对称 D．当时，若，则 【答案】BCD 【分析】对于A，利用导数分析函数的单调性，进而结合极值点的函数值及单调性判断即可；对于B，求导，由即可判断；对于C，利用验证即可判断；对于D，利用导数易得函数在上单调递减，可得时，，进而判断即可. 【详解】对于A，当时，， 则，令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，，且时，， 则函数只有一个零点，故A错误； 对于B，由，，则， 由于， 则有两个不同的实数根，根据极值点的定义， 函数有两个极值点，故B正确； 对于C，当时，，则，， 则， 则， 所以函数关于点对称，故C正确； 对于D，当时，由， 则， 当时，， 则函数在上单调递减， 即时，， 若，则，则，故D正确. 故选：BCD. 4．(24-25高二下·江苏南京第二十九中学、常州中学、南菁中学·期中)已知函数的两个零点分别为且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据满足，数形结合分析判断AB；证明对数均值不等式，再化简判断C；根据有两根且判断即D. 【详解】对于A，，即，设相切时切点为， 则对求导有，又切点与原点确定直线的斜率与该点处的导数值相等，即， 解得，则切点，此时，当函数有两个零点时，，A正确；      对于B，由图象得，，B错误； 对于C，先证明：当时，， 构造函数，则， 函数在上单调递增，又，故， 即，化简可得，即， 又，则，于是，， 因此，即，C正确； 对D，依题意，即有两根且，令，则， 令函数，求导得，即在上递减， 又，因此，，D正确. 故选：ACD 5．(24-25高二下·江苏锡山高级中学·期中)已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（    ） A． B．为定值 C．为定值 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，构造函数，利用导数判断出单调性即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，即可判断；对于C，根据斜率相等可得，点为两切线的交点代入化简得，再计算可得答案；对于D，根据计算即可判断. 【详解】对于A，令，则， 故时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以，且时， 因为直线与曲线相交于，两点， 所以与图象有2个交点，所以，故A正确； 对于B，，不妨设，可得， 在点，处的切线程分别为， 得， 即， 因为，所以，即是变化的，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为两切线的交点， 所以，即 ，所以， 所以 ， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 又因为，， 所以，所以， 得，即， 因为①，所以， 所以，即， 故D正确. 其中不等式①的证明如下：不妨令， 由得， ，令，则即证， 构造函数，， 所以在上单调递减，所以， 所以不等式成立，即①成立. 故选：ACD. 三、填空题 6．(24-25高二下·江苏徐州·期中)若恒成立，则实数______． 【答案】/ 【分析】设，则原式等价于，进而得到恒成立，再根据切线不等式得解． 【详解】因为恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，则恒成立， 又，则在上单调递增， 可得恒成立，即恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立（当且仅当时取等号）， 所以，解得 故答案为： 四、解答题 7．(24-25高二下·江苏扬州邗江区·期中)已知函数． (1)求的最小值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若是函数的极值点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，得出函数的单调区间，进而求得函数最小值； （2）根据题意，转化为在恒成立，令，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可得到答案. 令，解得， （3）由函数，求得，令，求得在上恒成立，得到函数在上单调递增，根据是的极值点，得到，结合，即可证得. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以. （2）解：由，其中 可得，即， 由对任意恒成立，即在恒成立， 令，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）解：由，可得， 令，可得在上恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 因为是的极值点，所以存在使得，即， 又由，所以， 则， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $