专题07 空间向量与立体几何（7大考点）（江苏专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题07 空间向量与立体几何 7大考点概览 考点01点线面位置关系 考点02平行关系的判定与性质 考点03垂直关系的判定与性质 考点04空间几何体的表面积与体积 考点05角的计算 考点06空间距离的计算 考点07几何体的外接与内切球 ( 点线面位置关系 考点1 ) 1．（2026·江苏·一模）已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. ( 平行关系的判定与性质 考点 2 ) 2．（2026·江苏镇江·一模）（多选）如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（   ） A．当为的中点时， B．当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C．三棱锥体积的最大值为 D．当平面时，线段长度最大值为 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；由题意作出点的轨迹，计算可判断B；根据等体积法确定点的位置计算可判断C；取，，，，，的中点分别为，，，，，，连接，，，，，，，，，根据题意确定轨迹，计算可判断D. 【详解】对于A，当为的中点时， 因为是线段的中点，所以， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，连接，，以为圆心，为半径画，如图1所示， 当点在弧上时，直线与所成的角为， 长度，故点的轨迹长度为，故B错误： 对于C，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，故C正确； 对于D，取，，，，，的中点分别为，，，，，， 连接，，，，，，，，，如图2所示， 易知，面，平面， 故平面，，平面，平面， 故平面，又，，平面， 故平面平面，又，，， 故平面与平面是同一个平面，则点的轨迹为该正六边形，； 故，故长度的最大值为，故D正确. 3．（2026·江苏·一模）（多选）已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，.设，，则（   ） A．时，平面 B．时， C．四面体的体积为3 D．四棱锥的体积的最小值为4 【答案】BCD 【分析】由平面得到平面平面，与是平面和平面的交点矛盾即可判断A；由题设求出，进而得到D是平面与四棱锥的棱的交点即可分析判断B；由点P和点A到平面距离相等得到即可计算判断C；先由基底表示，进而结合共面定理得到，再由题设分析计算得到四棱锥的体积为，再由基本不等式即可计算求解判断D. 【详解】由题可知是平面和平面的交点， 当时，所以，又平面，在平面外， 所以平面，若平面， 则由、平面得平面平面， 则平面与平面无交点，与是平面和平面的交点矛盾，故A错误； 时，，因为为的中点，所以， 因为四边形是平行四边形，所以，则， 又因为平面、平面，则平面， 所以D是平面与四棱锥的棱的交点， 所以D与N重合，即，所以，故B正确； 因为为的中点，所以点P和点A到平面距离相等， 所以四面体的体积为， 所以四面体的体积为3，故C正确； 由题意可得， 因为共面，所以即， 设点P到平面的距离为d，则， 因为，， 所以点M到平面的距离为，点N到平面的距离为， 所以， ， 所以， 因为为的中点，所以点A和点P到平面的距离相等， 所以， 所以四棱锥的体积为， 当且仅当即时等号成立， 所以四棱锥的体积的最小值为4，故D正确. ( 垂直关系的判定与性质 考点 3 ) 4．（2026·江苏·一模）棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下结论错误的是（    ） A．平面； B．线段与线段的长度之和为定值； C．线段长度的最小值为； D．面积的最大值为； 【答案】D 【分析】对于A，结合图形，利用面面垂直的判定证得平面平面，再用其性质推得平面，得，利用，即可证得结论；对于B ，利用平行线分线段成比例性质可求得和，即可证明；对于D、C ，利用B的结论，借助于基本不等式可求得面积的最大值和的最小值，即可判断. 【详解】 对于A ：如图，在正方体中，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面， 平面且， 所以平面，又平面，所以， 又， ， 平面，所以平面，故A正确； 对于B：因为平面，平面， 所以，所以，所以，即得； 又由，，所以，所以，所以， 即得， 所以，即为定值1，故B正确； 对于D ，由A知平面，因平面，则有， 所以的面积，当且仅当时等号成立， 即当时，面积的最大值为，故D错误； 对于C，由D知，则，当且仅当时等号成立， 即当时，线段长度的最小值为，故C正确. 故选：D. 5．（2026·江苏南通·一模）如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直来证明面面垂直即可； （2）（方法一）利用线面平行来证明线线平行，再通过线段成比例，可求出线段长； （方法二）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，通过向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）（方法一）如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接． 因为平面平面， 平面平面，所以． 因为是的中点，所以是的中点，所以． 过点作，交于点，因为是的中点，所以， 因为是的中点，所以，所以． 因为，所以， 因为是的中点，，所以 所以， 则在直角中，可得，所以． （方法二）以为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 因为， 是的中点，是的中点，所以． 设， 所以． 因为平面的法向量平面，所以， 所以，即，所以，所以． ( 空间几何体的表面积与体积 考点 4 )6．（2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用球半径相等条件，建立圆锥母线、高、底面半径的关系等式，再根据侧面积公式，构造函数求导分析最值，确定高和底面半径，最后根据体积公式求得圆锥体积. 【详解】如图，圆锥顶点为，底面圆心为，底面圆周与顶点均在球心为的球面上. 先设参数确定圆锥侧面积，记，，，由，圆锥侧面积为， 由直角三角形和直角三角形可得，， 于是， 令，. 求导，令，解得（舍去），，所以在上单调递增；在上单调递减. 所以时，取得最大值，即圆锥的侧面积最大， 此时，所以圆锥体积. 7．（2026·江苏南京·一模）（多选）在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【分析】对于A，由条件分别证明，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质即可证得；对于B，假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，排除B；对于C，结合锥体体积公式推出，由此可求体积，排除C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积. 【详解】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 8．（2026·江苏·一模）已知圆柱与圆锥的高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____， 【答案】 【分析】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为，则其体积，根据两者的高和半径的比得到体积之比，再由圆锥的体积为1，得到圆柱的体积. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为， 则其体积，所以， 所以. 答案为： ( 角 的计算 考点 5 )9．（2026·江苏·一模）如图，已知是圆锥的轴截面，，. (1)求圆锥的外接球的表面积； (2)若为弧的中点，求二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥轴截面的特征得到线面垂直，判断出球心位置，结合勾股定理求出球的半径，代入球的面积公式求解即可. （2）建立空间直角坐标系，结合二面角的向量求法及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】（1）因为是圆锥的轴截面，所以平面. 又平面，所以. 在中，，，所以. 设圆锥的外接球的球心为，半径为， 结合圆锥的定义及对称性易知球心在上. 在中，，则， 整理得，解得. 所以圆锥的外接球的表面积. （2）因为为弧的中点，所以. 因为平面，平面，所以. 又， 所以可以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，. ，， 设平面的法向量为， 则，，令，则，，所以. 因为，，，所以平面， 则即为平面的一个法向量，. 设二面角的平面角为， 则， ， 所以. 故二面角的正切值为. 10．（2026·江苏·一模）如图，在四棱锥中，，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可知平面，进而可得，，结合分析证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）因为，平面， 可得平面，由平面，所以， 且，所以， 又因为，为的中点，则， 且平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 可得. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 11．（2026·江苏镇江·一模）如图，在多面体中，底面是平行四边形，，，，为的中点，，，. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法即可求出答案. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，平面.所以， 由于，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 因为，， 所以，令，则，， 所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 12．（2026·江苏·一模）如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）先由余弦定理求出，进而，故⊥，结合⊥，得到线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，根据得到，，求出平面的法向量，设出线面角，得到， 因为，所以， 【详解】（1），，， 由余弦定理得， 故，故⊥， 直三棱柱中，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 点在平面上的射影为点，， ，， 设，， 故， ，故，整理得， 又，故，又，解得， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设直线与平面所成角大小为， 则， 因为，所以， 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 13．（2026·江苏南京·一模）在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】1）利用勾股定理证明垂直，再结合面面垂直的性质定理可证明线面垂直； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【详解】（1） 在矩形中，，，为的中点， 所以，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以． （2）取的中点，的中点，连接，则，所以平面， 由题可得，所以，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得，， 所以．设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 14．（2026·江苏·一模）如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面. (1)证明：； (2)设点是棱上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，再利用余弦定理和勾股定理来证明，再证明线面垂直，从而问题得证； （2）利用空间向量法，引入变量，来表示相关向量的坐标，再求线面角的正弦值，借助二次函数求出最值，则问题即可求解. 【详解】（1） 证明：如图，设点是的中点，连接. 由于，故. 又平面平面平面，平面平面， 故平面. 而平面，故，即， 在中，， 所以. 又，故，所以，即， 结合平面， 可得平面，又平面，因此. 又，故. （2） 由（1）知两两垂直，所以以为坐标原点建立如图空间直角坐标系. 于是， 点是棱上一点，设， 所以， ， 设向量是平面的一个法向量，则 ，令，则， 所以， 设直线与平面所成的角为， ， 所以当时，达到最大，直线与平面所成的角最大， 故. 15．（2026·江苏·一模）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点．    (1)若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB； (2)当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平面和平面平行可证线面平行或者 （2）利用线面角求出线段的长度，建立坐标系，求出法向量可求二面角 【详解】（1）解法一：取线段OB的中点N，连接MN，PN． 因为，，所以且， 因此四边形PCBN是平行四边形，所以． 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． 因为，，所以． 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． 而平面PMN， 所以平面平面CDB， 又平面PMN，所以平面CDB．    解法二:在线段BD上取点E，使得，连接CE，ME， 又，所以，且， 又，且，所以，且． 所以四边形PCEM是平行四边形，所以， 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．    （2）由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作于点F，连接PF， 因为平面平面ABD，平面平面，所以平面PAB， 所以就是直线PD与平面PAB所成的角，所以， 因为， 所以． 连接OD，则，即点F为OB的中点． 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，    则， 于是． 设平面APD的法向量为，则，得， 取，可得． 设平面PDB的法向量为，则，得， 取，可得． 所以， 故二面角的正弦值为． ( 空间距离的计算 考点 6 )16．（2026·江苏·一模）（多选）已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（   ） A．当时， B．当时，直线所成角为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积的最大值为3 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】过B点作，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，易知，， 若，则，由， 此时，所以； 对于A，易知，故A正确； 对于B，， 所以直线所成角为，故B正确； 对于C，易知， 则点到直线的距离 ，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D错误. 17．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. (1)证明：； (2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据勾股定理可证，根据等边三角形可证，由线面垂直的判定定理可证平面，故可证； （2）以向量，，所在方向建立空间直角坐标系，设，则可通过向量法求出面面角的余弦值，结合已知正切值可求，再根据点面距的向量法可求距离，我们也可以过做，垂足为，过做，垂足为，连接，则是二面角的平面角，根据已知正切值可求 【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以， 在中，由余弦定理得: ，所以， 因为为中点，所以， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 则，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以 （2）解法一：以向量，，所在方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为在线段上，设， 则，， 设平面的法向量为， 则即取. 又平面的法向量为， 因为二面角的正切值为， 所以， 整理得，解得或（舍去），所以， 设平面的法向量为，则即 取，则， 所以点到平面的距离. 解法二：过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 平面，故，所以是二面角的平面角， 而二面角的正切值为，故， 设，，所以， 在中，，，， 故，故为等腰直角三角形， 故，故， 所以，，故，故， 又， 设到平面的距离为，则可得， 故，故到平面的距离为. ( 几何体的外接与内切球 考点 7 ) 18．（2026·江苏南通·一模）已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间垂直关系证明线面垂直，再利用球被平面所截得到一个圆，然后利用已知条件计算交线长即可. 【详解】 在梯形中，因为， 所以，则，即， 因为平面平面所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 由点到直线的距离为2，可得， 再过点作，垂足为，则， 又因为平面，所以平面， 由，，可得， 则以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心的圆弧， 其半径为：， 又由，可得 则在直角中，由点到的距离等于， 所以直线与这个以为圆心的圆弧相离， 即与侧面的交线是以为圆心的圆弧长为， 故选：B 19．（2026·江苏·一模）（多选）如图，已知圆柱，底面半径为，，为上一点，正方形内接于，则（   ） A．平面 B．四棱锥的体积不为定值 C．四棱锥外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据线面平行的判定即可判断；对于B，先求正方形的面积，即可得到；对于C，四棱锥外接球即圆柱的外接球，再求表面积即可；对于D，过作底面，连接，故就是直线与平面所成角，根据即可求最小值． 【详解】对于A，是正方形，， 平面，平面， 平面，故A正确； 对于B，，， ，故B错误； 对于C，根据题意，四棱锥外接球即圆柱的外接球， 外接球半径，表面积，故C正确； 对于D，过作底面，连接， ，就是直线与平面所成角， ， 为底面直径，即时，最小， 此时，， 所以直线与平面所成角的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 20．（2026·江苏·一模）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)若在同一个球面上，求该球的半径； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【详解】（1）二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． （2）取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. （3）法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 空间向量与立体几何 7大考点概览 考点01点线面位置关系 考点02平行关系的判定与性质 考点03垂直关系的判定与性质 考点04空间几何体的表面积与体积 考点05角的计算 考点06空间距离的计算 考点07几何体的外接与内切球 ( 点线面位置关系 考点1 ) 1．（2026·江苏·一模）已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ( 平行关系的判定与性质 考点 2 ) 2．（2026·江苏镇江·一模）（多选）如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（   ） A．当为的中点时， B．当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C．三棱锥体积的最大值为 D．当平面时，线段长度最大值为 3．（2026·江苏·一模）（多选）已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，.设，，则（   ） A．时，平面 B．时， C．四面体的体积为3 D．四棱锥的体积的最小值为4 ( 垂直关系的判定与性质 考点 3 ) 4．（2026·江苏·一模）棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下结论错误的是（    ） A．平面； B．线段与线段的长度之和为定值； C．线段长度的最小值为； D．面积的最大值为； 5．（2026·江苏南通·一模）如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． ( 空间几何体的表面积与体积 考点 4 )6．（2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏南京·一模）（多选）在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 8．（2026·江苏·一模）已知圆柱与圆锥的高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____， ( 角的计算 考点 5 )9．（2026·江苏·一模）如图，已知是圆锥的轴截面，，. (1)求圆锥的外接球的表面积； (2)若为弧的中点，求二面角的正切值. 10．（2026·江苏·一模）如图，在四棱锥中，，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 11．（2026·江苏镇江·一模）如图，在多面体中，底面是平行四边形，，，，为的中点，，，. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 12．（2026·江苏·一模）如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 13．（2026·江苏南京·一模）在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 14．（2026·江苏·一模）如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面. (1)证明：； (2)设点是棱上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值. 15．（2026·江苏·一模）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点．    (1)若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB； (2)当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值． ( 空间距离的计算 考点 6 )16．（2026·江苏·一模）（多选）已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（   ） A．当时， B．当时，直线所成角为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积的最大值为3 17．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. (1)证明：； (2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. ( 几何体的外接与内切球 考点 7 ) 18．（2026·江苏南通·一模）已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏·一模）（多选）如图，已知圆柱，底面半径为，，为上一点，正方形内接于，则（   ） A．平面 B．四棱锥的体积不为定值 C．四棱锥外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的最小值为 20．（2026·江苏·一模）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)若在同一个球面上，求该球的半径； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $