专题03 复数（期中真题汇编，山东专用）高一数学下学期

专题03 复数 1大高频考点概览 考点01复数的概念及运算 地 城 考点01 复数的概念及运算 一、单选题 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义得，进而利用复数的乘法运算得，最后利用共轭复数的概念及虚部的概念求解即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点坐标为，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：D 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知（i为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出的一个周期，得出，即可化简，求出. 【详解】因，，，，， 则以，，，为一个周期， 因，则，故， 则. 故选：D 3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知是关于的方程的一个解，则（   ） A．4 B．8 C．6 D．0 【答案】B 【分析】将代入方程中化简，利用复数相等的概念得出即可. 【详解】由题意可得，，化简整理得， 则，得， 则. 故选：B 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）设是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法求解即得. 【详解】依题意，. 故选：A 二、多选题 5．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列有关复数的叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算､复数的概念､复数模的计算及几何意义判断各选项. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，则的虚部为，故B不正确； 对于C，设，由得，所以，故C正确； 对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确. 故选：ACD. 6．（24-25高一下·山东泰安·期中）复数，，的共轭复数为，则（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 【答案】BD 【分析】对于A若为纯虚数，则即可判断，对于B若，则，即，计算即可判断，对于C若，则，即，利用复数的除法即可判断，对于D若在复平面内对应的点位于第四象限，则解出即可判断. 【详解】对于A：若为纯虚数，则，故A错误； 对于B：若，则，所以，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则，故D正确； 故选：BD. 7．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知复数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．若为纯虚数，则， C．若，则在复平面内对应的点位于第三象限 D．若，则复平面内满足的点的集合构成区域的面积为 【答案】ABD 【分析】由变形求得，计算的模可判断A；根据纯虚数的定义可判断B；由得到，进而可知对应的点的所在的象限可判断C；求出满足的点的集合构成区域图形，再求面积可判断D. 【详解】由得， 所以，故A正确； 由是纯虚数，得，所以，故B正确； 由得，则， 所以在复平面内对应的点位于第二象限，故C不正确； 由，得满足的点的集合构成区域为以为圆心，半径为的圆及圆的内部， 所以面积为，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是复数，且为纯虚数，则（   ） A． B． C．在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】先设出复数的表达式，根据纯虚数的性质得到满足的条件，再据纯虚数的定义、复数的运算、复数的模以及复数的几何意义等知识逐一分析选项. 【详解】化简，设，，则. 为了将分母实数化，给分子分母同时乘以，得到： 因为为纯虚数，所以其实部为，虚部不为，即，整理可得且. 对于选项A，，由可知，所以选项A正确. 对于选项B，，，则，所以，选项B正确. 对于选项C，由且可知，在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点，选项C错误. 对于选项D，表示所对应的点到点的距离. 点到原点的距离为，因为的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点，所以的最小值为，选项D错误. 故选：AB. 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）在复平面内，若复数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，复数的虚部为 B．当时， C．当时，复数对应的点在第一象限 D．当时，为纯虚数 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合复数的概念和几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，复数的虚部为，所以A正确； 对于B中，当时，复数，可得，所以，所以B正确； 对于C中，当时，可得，此时复数对应的点为， 此时复数对应的点在第一象限或轴的正半轴上，所以C错误； 对于D中，当时，可得复数，此时复数为纯虚数，所以D正确. 故选：ABD. 10．（23-24高一下·山东烟台·期中）已知复数，是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可. 【详解】根据题意知，所以， 不妨令，， 则，， ，而， 故A、B、C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题 11．（24-25高一下·山东菏泽·期中）请写出一个满足的复数______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】写出符合题意的答案即可. 【详解】令，则， 故答案为：（答案不唯一） 12．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______． 【答案】 【分析】由复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，故所求为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用复数的乘法法则及复数相等的条件列式求解即可. （2）利用除法运算化简，根据纯虚数的概念知，则然后根据的周期性求和即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 所以，解得实数a的值为2. （2）由题意得， 因为是纯虚数，所以，解得或， 又因为a是正实数，所以，所以， 所以 14．（24-25高一下·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②存在，. 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、，. （2）（）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、， （）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点M的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）（ⅰ）设，，则， 设对应的复数为，则， 设对应的复数为，， （ⅰi）设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以. 15．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数四则运算即可求解； （2）先求出，然后由平方差公式即可求解. 【详解】（1） ， （2）解法一：因为复数是方程的一个根， 则复数是方程的另一个根， 由韦达定理得，解得.   则， ； 解法二：因为复数是方程的一个根， 所以有，整理得， 所以，解得.    则 . 16．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数为虚数. (1)若是实数，求复数的模； (2)若，是关于的方程的一个根，求. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）是实数得，即可求复数的模； （2）由是方程的一个根得，利用求根公式即可求解. 【详解】（1）由复数为虚数，则， 又因为， 因为是实数，所以，即，所以； （2）由是方程的一个根，所以，即，由， 所以. 17．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. 18．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得或； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数 1大高频考点概览 考点01复数的概念及运算 地 城 考点01 复数的概念及运算 一、单选题 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知（i为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知是关于的方程的一个解，则（   ） A．4 B．8 C．6 D．0 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）设是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列有关复数的叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 6．（24-25高一下·山东泰安·期中）复数，，的共轭复数为，则（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 7．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知复数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．若为纯虚数，则， C．若，则在复平面内对应的点位于第三象限 D．若，则复平面内满足的点的集合构成区域的面积为 8．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是复数，且为纯虚数，则（   ） A． B． C．在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆 D．的最小值为 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）在复平面内，若复数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，复数的虚部为 B．当时， C．当时，复数对应的点在第一象限 D．当时，为纯虚数 10．（23-24高一下·山东烟台·期中）已知复数，是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一下·山东菏泽·期中）请写出一个满足的复数______．（写出一个即可） 12．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______． 四、解答题 13．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 14．（24-25高一下·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 15．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 16．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数为虚数. (1)若是实数，求复数的模； (2)若，是关于的方程的一个根，求. 17．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 18．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $