专题02 解三角形（期中真题汇编，山东专用）高一数学下学期

专题02 解三角形 2大高频考点概览 考点01正弦定理与余弦定理 考点02正弦定理与余弦定理的实际应用 地 城 考点01 正弦定理与余弦定理 一、单选题 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别为．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（    ） A． B． C．3 D． 8．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，，则角（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则（    ） A． B．若，且有两解，则b的取值范围是 C．若，则 D．若且，则是等边三角形 10．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，，则周长的最大值为6 D．若，，，则有两解 11．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（    ）. A．若，，，则的面积为. B．若，则为钝角. C．若为锐角三角形，则. D．若，，且有两解，则b的取值范围是. 三、填空题 12．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 13．（24-25高一下·山东济南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，面积为，且，若，则面积的取值范围是_______ 四、解答题 14．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是的三个内角的对边，且满足． (1)求； (2)若，的面积为，求． 15．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求B； (2)设D为的中点，；求：（i）面积的最大值；（ii）的最大值. 16．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知分别是的内角的对边，. (1)求； (2)若，的面积为，求. 17．（24-25高一下·山东济宁·期中）的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)求； (2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长； (3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 18．（24-25高一下·山东泰安·期中）在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且. (1)求的大小； (2)若，，求，的值. (3)若，，求的面积 19．（24-25高一下·山东泰安·期中）在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 20．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. (1)求B； (2)若，，求a、c. 21．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 22．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求C； (2)若，，求内切圆的半径； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 地 城 考点02 正弦定理与余弦定理的实际应用 一、单选题 1．（24-25高一下·山东济宁·期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（   ）米. A．54 B．30 C． D． 二、填空题 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）如图，的内角的对边分别为，且满足，，设，，则四边形面积的最大值为______.    三、解答题 3．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面． 则两点在复平面内对应的复数分别为． (1)求的值； (2)求的正弦值； (3)点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值． 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围． 5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知. (1)求，的值； (2)若，为锐角，且，求. 6．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知是偶函数，且其图象关于点对称. (1)求的解析式； (2)若将图象上的所有点向右平移个单位，再将得到的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，证明：有且只有一个零点，且. 7．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量集（且），记向量，若存在向量，使得，则称是的“平衡向量”. (1)已知向量，，，若是向量集的平衡向量，求实数的取值范围； (2)若向量集，，且，则中是否存在平衡向量？若存在，求出所有的平衡向量，若不存在，请说明理由； (3)已知向量，，均为向量集的平衡向量，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，其中，且，，，求. 8．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A、B之间的距离是，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A、C之间的距离是6km，先要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． (1)判断村庄C在村庄B的什么方向上？并说明理由． (2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形 2大高频考点概览 考点01正弦定理与余弦定理 考点02正弦定理与余弦定理的实际应用 地 城 考点01 正弦定理与余弦定理 一、单选题 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理，即，解得， 又，所以，所以. 故选：B 2．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理由正弦定理，将问题转换为三角方程根的个数求参数问题即可. 【详解】由正弦定理有，即，即有两解， 因为，所以，从而，解得. 故选：C. 3．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在原图形中，由勾股定理求出，根据斜二测画法得到，，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】根据题意，中，，，， 由勾股定理得， 在直观图中， ，， 故的面积. 故选：B 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理, 即. 故选：C 5．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得. 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 所以，解得，则， 所以 因为， 所以 因为，所以，所以， 即的取值范围是． 故选：D． 6．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别为．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 所以（负值舍去）. 故选：A 7．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的大小是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理化简，可设，再根据化简求解即可. 【详解】∵， ∴由正弦定理得， 即， 令，，，显然， ∵， ∴，即， 故，由，解得， ∴. 故选：D 8．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，，则角（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得：， 所以， 因为，所以， 所以或， 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则（    ） A． B．若，且有两解，则b的取值范围是 C．若，则 D．若且，则是等边三角形 【答案】ABD 【分析】A利用角的范围解三角方程即可；B利用正弦定理即可；C利用余弦函数的单调性；D利用余弦定理求出，再解方程组即可. 【详解】由得，， 由，得，解得，选项A正确； 对于B，因为，， 则在中由正弦定理可得，，即， 又有两解，则,得， 则b的取值范围是，故B正确； 对于C，因，根据余弦函数的单调性可知，，故C错误； 对于D，因，，则由余弦定理可得，，得， 故， 所以是等边三角形，故D正确. 故选：ABD 10．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，，则周长的最大值为6 D．若，，，则有两解 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理、三角函数性质以及三角形解的个数判断等知识，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得，. 若，则，即.在三角形中，大边对大角，所以； 反之，若，则，那么，即. 所以“”是“”的充要条件，选项正确. 对于B选项，已知，根据三角函数性质可知或. 当时，，此时为等腰三角形； 当时，，则，此时为直角三角形. 所以不一定为等腰三角形，B选项错误. 对于C选项，已知，，由余弦定理可得： . 根据基本不等式则有：. 即，所以（当且仅当时取等号）. 那么周长，即周长的最大值为，C选项正确. 对于D选项，已知，，，由正弦定理可得： . 因为，所以，，则可能为锐角也可能为钝角， 所以有两解，D选项正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（    ）. A．若，，，则的面积为. B．若，则为钝角. C．若为锐角三角形，则. D．若，，且有两解，则b的取值范围是. 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A、B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】A.在中，若，，， 则由正弦定理得，解得， 因为，所以或，故或， 所以的面积或，故A错误. B.在中，若，则， 因为，所以为钝角，故B正确. C.因为是锐角三角形，所以，故， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，故C正确. D.如图所示， 若有两解，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由得，根据正弦定理、余弦定理化简可得的外接圆半径为，根据向量数量积几何意义可知当点与点重合时，有最小值. 【详解】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时，，. 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·山东济南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，面积为，且，若，则面积的取值范围是_______ 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，代入面积公式结合角C的范围运算求解. 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由题意可得：，解得， 由正弦定理可得， 则面积， 因为，则，可得， 所以面积. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理、余弦定理得出面积的表达式，再结合求出面积的取值范围. 四、解答题 14．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是的三个内角的对边，且满足． (1)求； (2)若，的面积为，求． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用正弦定理边化角运算求解； （2）由（1）结合三角形面积公式得，利用余弦定理及运算得解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，， 又，解得，                                                         因为，所以或. （2）由（1）得：，所以. 又，所以.                                             由余弦定理及得：.   当时，，所以.                             当时，，所以.                            所以或. 15．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求B； (2)设D为的中点，；求：（i）面积的最大值；（ii）的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角； （2）（i）利用余弦定理和基本不等式求出三角形面积的最大值；（ii）通过向量运算和已知条件求出的最大值. 【详解】（1）由正弦定理可化为， 即， 所以，， 所以，， 因为，所以，，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）（i）由余弦定理、基本不等式可得 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； （ii）因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，， 由（i）知，可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 16．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知分别是的内角的对边，. (1)求； (2)若，的面积为，求. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，从而有，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，由三角形面积公式得，再结合（1）中结果，由余弦定理得到，即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 即，由正弦定理得，即. （2）由，得， 又，得， 由余弦定理，且由（1）知 所以，整理得， 即，解得或（舍）， 所以，. 17．（24-25高一下·山东济宁·期中）的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)求； (2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长； (3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求； （2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求； （3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，又，故， 所以，因为，故， 所以，故， 所以； （2）因为的面积为，又的面积，， 由（1），所以， 因为为角的角平分线，故， 又， 所以，即， 所以； 所以的长为； （3）在中由正弦定理可得， 由（1），又，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，， 所以，故， 所以， 在中由余弦定理可得， 又，，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 18．（24-25高一下·山东泰安·期中）在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且. (1)求的大小； (2)若，，求，的值. (3)若，，求的面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得，结合正弦定理边化角以及同角三角函数关系即可求得答案； （2）由余弦定理、三角形边角关系，结合已知求得. （3）由余弦定理可求得c，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）因为，，且， 所以， 由正弦定理，得， 又， 所以，从而， 因为，所以. （2）， 又，即， ,解得. （3）由余弦定理，得， 而,,，得，即， 因为，所以， 故的面积. 19．（24-25高一下·山东泰安·期中）在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. （3）根据三角形面积公式得到与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理，， 因，则. （2）由余弦定理，，即， 又，由条件知，所以， 所以，，. 所以周长为. （3）由可得： 由正弦定理，，即得：， 则 由为锐角三角形可得，，解得：， 则，，故得， 即面积的取值范围为. 20．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. (1)求B； (2)若，，求a、c. 【答案】(1) (2)，或， 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式求出，即可得解； （2）首先求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理求出，最后解得即可. 【详解】（1）因为， 即， 即， 由正弦定理可得， ，， ，，， ，. （2）由（1）可得. ，， ，又， 即， ，由，解得或. 21．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. （2）在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 22．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求C； (2)若，，求内切圆的半径； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （2）首先根据余弦定理求边，再根据等面积转化求内切圆半径； （3）首先根据求得，再根据正弦定理求角的三角函数值. 【详解】（1）因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以 由正弦定理可知， 所以， 整理可得. 又因为，即， ∴ 且∵∴ 解得. 地 城 考点02 正弦定理与余弦定理的实际应用 一、单选题 1．（24-25高一下·山东济宁·期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（   ）米. A．54 B．30 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可. 【详解】根据题意，，， 所以， 在中由正弦定理可知， 所以， 在中， 所以. 故选：B． 二、填空题 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）如图，的内角的对边分别为，且满足，，设，，则四边形面积的最大值为______.    【答案】 【分析】根据条件，利用正弦定理边角转换得到，从而有，由余弦定理得到，再利用三角形面积公式，得到，即可求解. 【详解】由，得到， 整理得到， 所以，得到， 所以，又，所以， 又，，所以， 则， 所以四边形的面积为， 又，则，当，即时，四边形的面积最大，最大值为， 故答案为：. 三、解答题 3．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面． 则两点在复平面内对应的复数分别为． (1)求的值； (2)求的正弦值； (3)点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值． 【答案】(1)60 (2) (3)点是圆弧的中点， 【分析】（1）根据复数的几何意义得点的坐标，法1，求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求解；法2，求出及的夹角，利用数量积的定义求解； （2）法1，由题求出向量的坐标，利用向量夹角公式求出，进而求得答案；法2，由余弦定理求得，再由正弦定理求得答案； （3）因为的面积是定值，所以只需求的面积的最大值，即点是圆弧的中点时，由运算得解. 【详解】（1）解法一： 因为两点在复平面内对应的复数分别为， 所以,                                                 从而，                                          因此.                                      解法二： 因为两点对应的复数分别为， 所以,                                                 从而，                                        因此. （2）解法一： 由（1）知，，从而可得： .                                              所以，                           可得.                                     解法二：由（1）知，, 由余弦定理得： ，所以.                            由正弦定理得：, 所以得：. （3）由题意可知，的面积是定值，因为点与点关于直线对称， 所以只需求的面积的最大值即可. 在中，的长度是定值，故只需求点到直线的距离的最大值， 因为曲线为圆弧，所以当点是圆弧的中点时，点到直线的距离最大， 从而的面积达到最大.                                                连接,因为， 可知,    又因为,                        五边形的面积为，则有 . 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可； （2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围. 【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 方程在上有两个不等实根， 则与在上有两个不同的交点， 由，令，有， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 又，，， 结合图象可知，，则实数的取值范围为. 5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知. (1)求，的值； (2)若，为锐角，且，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简条件求得，然后化切为弦，结合列方程求解即可； （2）利用两角和的正切公式求得，然后利用角的范围及特殊角的正切值即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即，又， 所以，则或； （2）由，， 可得， 因为，为锐角，所以，所以． 6．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知是偶函数，且其图象关于点对称. (1)求的解析式； (2)若将图象上的所有点向右平移个单位，再将得到的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，证明：有且只有一个零点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数是偶函数得出，再根据函数的对称中心得出，即可得出解析式； （2）根据函数的平移伸缩得出，再结合零点存在定理及单调性值域证明零点个数，根据函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）函数是上的偶函数， ∴又∵∴， ∴，∵图象关于点对称， ∴. ∴，∴，， ∴，所以； （2）若将图象上的所有点向右平移个单位得出， 再将得到的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数， 所以，， 因为单调递增，， 所以，所以只有一个零点， 当，所以无零点， 当，所以无零点， 故函数有且只有一个零点， 因为，且单调递增，所以. 7．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量集（且），记向量，若存在向量，使得，则称是的“平衡向量”. (1)已知向量，，，若是向量集的平衡向量，求实数的取值范围； (2)若向量集，，且，则中是否存在平衡向量？若存在，求出所有的平衡向量，若不存在，请说明理由； (3)已知向量，，均为向量集的平衡向量，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，其中，且，，，求. 【答案】(1) (2)存在；. (3). 【分析】（1）根据平衡向量的定义，列不等式，求的取值范围即可得； （2）利用三角函数的周期性可得，对两边同时平方，解方程即可得出答案； （3）由定义，结合模长公式可得，由此求出，由条件列式，变形为，求出，即可求出． 【详解】（1）因为，，， 故，， 由于是向量集的平衡向量，所以 即，即， 解得：， （2）因为，由于均为周期函数， 且周期为，而, 故， 若中是存在平衡向量，则存在，使得 故， 即， 故，故, 解得，，， 当时，；当时，；当时，， 即, 故存在平衡向量，平衡向量为. （3）向量，，均为向量集的平衡向量，故， 即，， 即，同理，， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由，，， 得，所以，设,， 因为，，， 则依题意得：， 即， 得， ，……， ， 以上个式子相加化简得：， 又， 所以， ，所以， . 8．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A、B之间的距离是，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A、C之间的距离是6km，先要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． (1)判断村庄C在村庄B的什么方向上？并说明理由． (2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 【答案】(1)村庄在村庄的正西方向，理由见解析 (2)千米 【分析】（1）由余弦定理求得，由正弦定理求得，知村庄在村庄的正西方向； （2）由题意得出，再用余弦定理可求得，从而得距离之和． 【详解】（1）由题意可得，，， 在中，由余弦定理可得， 则，故， 即村庄，之间的距离为干米， 在中，由正弦定理可得， 则，从而， 故村庄在村庄的正西方向； （2）因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 解得或（舍去），则， 故， 即农贸市场到村庄､的距离之和为千米. 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $