专题01 平面向量（期中真题汇编，山东专用）高一数学下学期

专题01 平面向量 4大高频考点概览 考点01平面向量的基本概念 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的数量积 考点04 平面向量基本定理及坐标运算 地 城 考点01 平面向量的基本概念 一、单选题 1．（24-25高一下·山东威海·期中）下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 【答案】D 【分析】利用零向量、单位向量和相反向量的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A错误； 对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B错误， 对于C，因为的模长为，所以C错误， 对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D正确， 故选：D. 2．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 【答案】D 【分析】根据单位向量、共线向量的定义及零向量的性质判断各项的正误即可. 【详解】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错； B：若为零向量时，不一定共线，错； C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错； D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对. 故选：D 3．（24-25高一下·山东淄博·期中）下列说法中正确的是（    ） A．向量能作为平面内所有向量的一组基底 B．若，则 C．若，则与垂直的单位向量坐标为或 D．若，则与的夹角是钝角 【答案】C 【分析】利用基底定义判断A；举例说明判断B；求得与垂直的单位向量坐标判断C；利用向量夹角的定义判断D. 【详解】选项A，，即，向量不能作为平面内所有向量的一组基底，A错误； 对于B，当时，不共线，也满足，B错误； 对于C，设与垂直的向量，则，取，得， 因此与垂直的单位向量为，其坐标为或，C正确； 对于D，由，得与的夹角是钝角或平角，D错误. 故选：C 二、多选题 4．（24-25高一下·山东威海·期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用平面向量的坐标表示和模长公式即可判断A,B，利用平面向量的数量积即可判断C，利用三角形的面积公式即可判断D； 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：由选项A,B知，， 因为，故，故选项C正确； 对于D：由选项C知，且，， 所以，故D错误； 故选：BC 5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知非零向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与共线 D．若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于A，由数量积的定义即可判断，对于B，根据向量模的定义及向量相等定义判断，对于C，根据数量积的定义及向量共线定义判断，对于D，根据投影向量的计算公式可判断； 【详解】对于A，，可得，即，正确； 对于B，，但方向不定，故不一定相等，错误； 对于C，由得，可得， 即非零向量，方向相同，故与共线，正确； 对于D，因为，为非零向量， 所以在上的投影向量为，错误； 故选：AC 地 城 考点02 平面向量的线性运算 一、单选题 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知点是的外心，，若，，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】取边的中点，则.由题中条件分析可知点与点重合，为的中点.根据点是的外心，可得，利用向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】取边的中点，则. ∵，∴，即，∴点与点重合，为的中点. 又∵点是的外心，∴是以为斜边的直角三角形，∴. ∵，，∴，解得. 故选：D. 2．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】由，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：C. 3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 又，、不共线， 所以，所以. 故选：C 4．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，由题知， 所以，则， 故选：D 5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】作出草图，过作，又，可得四边形是平行四边形． ，根据．可得 ，又，可得，据此即可得出结果． 【详解】如图所示，过作，又． ∴四边形是平行四边形． ， 又， ， 又，则. 故选：B．    二、多选题 6．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若是的重心，则 C．若为的垂心，，则 D．若分别表示的面积，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由数量积的定义，可得夹角余弦值小于零，可得其正误；对于B，由重心的性质，根据平面向量的加法，可得其正误；由垂心的定义，根据数量积定义式以及锐角三角函数，可得其正误；对于D，由平面向量的加法与数乘，可得点的位置，根据三角形的等积变换，可得其正误. 【详解】对于A，由，则，即， 所以仅仅只可得一个角为锐角，故A错误； 对于B，由题意可作图如下： 则为的中点，且，所以，故B正确； 对于C，由题意可作图如下： 则，所以，故C正确； 对于D，由题意可作图如下： 则分别为的中点，， 可得为上靠近的三等分点，易知，即，故D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知外接圆圆心在上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据已知有为的中点，且，结合向量加法、数乘的几何意义判断A、B；再应用向量数量积的定义、运算律判断C、D. 【详解】由题设，如下图示，为外接圆的直径，故，即，A对； 易知为的中点，则，B对； ，C错； 若为的中点，则且， ，D错. 故选：AB 8．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量运算求得，，然后利用结合数量积运算律建立方程求解判断C，由向量线性运算得，然后结合数量积的运算律及模的运算求解判断D，利用平面向量基本定理和三点共线的向量推论求得判断A，利用向量的线性运算求得判断B. 【详解】因为，， 所以 ，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确； 设，则，又三点共线， 所以， 由平面向量基本定理得，解得，所以， 则， 所以，故A正确，B错误. 故选：ACD. 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．，则为内心 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 【答案】BD 【分析】利用重心向量公式判断A；利用数量积运算律及定义求解判断B；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断C；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断D. 【详解】对于A，由，得为重心，A错误； 对于B，由，得， 则，整理得，又 于是，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，则， 由，同理得，则为的垂心，C错误； 对于D，令的中点为，则，由正弦定理得， 令，则， 因此，点的轨迹经过的重心，D正确. 故选：BD 三、填空题 10．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，点为边长为1的正六边形的边上一点，若点与点重合，则______________，若点在边上（边除外）运动，则的取值范围为________________.    【答案】 2 【分析】转化，再转化，根据几何图形，求和的取值范围. 【详解】如图，延长交于点，则是等边三角形， 当点和点重合时，；    当点在边上（边除外）运动，则， 显然的最小值是点到的距离，为， 当点由点运动到点，变大，这段运动过程的最大值是， 中根据余弦定理可知，， 显然，所以由点运动到点的过程中，当点是的中点时，，此时最短，这段过程的最大值是， 由点到点的运算过程，显然变小，所以这段过程的最大值为， 所以点由点到点的过程中的最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：2； 四、解答题 11．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知是两个不共线向量，且的夹角为． (1)若，，，当三点共线时，求实数的值； (2)若，，那么当实数为何值时，的值最小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三点共线，利用共线向量基本定理即可求解； （2）先求，利用得，利用二次函数即可求解. 【详解】（1）由题意可得： ，                  因为三点共线，所以存在唯一实数，满足， 即有，因为不共线，                                所以，解得. （2）因为 ， 所以可求得，                     所以，          因为，当时，取得最小值， 此时的最小值也为. 12．（24-25高一下·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)已知，，，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用向量加减法的运算律化简即可； （2）由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求参数. 【详解】（1）原式. （2）， ， 即，解得， 所以实数k的值为. 13．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，平行四边形中，为上一点，，设，，为平行四边形内一点，且.    (1)证明：，，三点共线； (2)延长交于，用，表示出并求出. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论即可求证； （2）设，结合平面向量的线性运算及三点共线的推论可得，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，， 由于，则，，三点共线. （2）设，则， 由于三点共线，则，解得， 则. 而， ， 所以，即. 地 城 考点03 平面向量的数量积 一、单选题 1．（24-25高一下·山东济宁·期中）定义：为向量与的外积，且，其中θ为向量与向量的夹角，已知在中，若，，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【详解】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故， 则，故， 又因为，， 即，， 设，则，， 所以， 所以， 所以， 所以，故， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 2．（24-25高一下·山东日照·期中）在平行四边形中，，E为的中点．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用平行四边形中的向量相等，结合已知数量积等式，利用向量的线性运算法则以及向量数量积的运算得到关于的方程，解之即可． 【详解】 因为平行四边形中, ，，E为的中点， 设,由得， ， 即， 解得或（舍去）； 故选：C. 3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用在上的投影向量的公式可求解 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 二、多选题 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知向量是两个单位向量，则（    ） A．若不共线，则 B．若，且，则 C．若的夹角，则向量在向量上的投影向量是 D．若，向量的夹角为，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A证明即可；B先利用求出的值，再利用向量共线的坐标运算即可求出；C先计算，再利用公式计算即可；D根据得出，再结合的范围即可. 【详解】由题意可得，且，， 则，则，故A正确； 由题意可得，，得， 因，则，则，故B错误； 因的夹角为，则， 则向量在向量上的投影向量是，故C正确； 因，则，得， 因，则，则的最小值为，故D正确. 故选：ACD 5．（24-25高一下·山东济宁·期中）下列说法错误的为（    ） A．、为实数，若，则与共线 B．两个非零向量、，若，则与垂直 C．若且，则 D．O是内一点，若，则 【答案】ACD 【分析】举反例令可得A错误；由数量积的运算律结合模长和垂直的条件可得B正确；当可得C错误；由三角形中重心的向量表示先求出为的重心，再由面积比例关系可得D错误. 【详解】对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误； 对于B选项，易知，即， 即，所以，∴与垂直，故B正确； 对于C选项，如果，都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故C错误； 对于D选项，若，设，，可得为的重心，如下图： 设，，， 则，，，再由重心性质可得， 可所以，故D错误. 故选：ACD. 6．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．的面积为 D．是的图象的一个对称中心 【答案】AC 【分析】对于A，根据图象，即可判断；对于B，，，，根据题设可得，，，即可求解；对于C，结合图象，利用面积公式，即可求解；对于D，求出的解析式，再进行检验，即可求解. 【详解】对于选项A，由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以，故A正确； 不妨设，，，且， 易知. 则，， 所以， . 又，所以有， 整理可得. 因为，所以，. 根据正弦函数的性质可知， 所以，有，，， ∴，， 对于选项B，因为，所以，又，所以，故B错误； 对于选项C，由图可知的面积为，故C正确， 对于选项D，因为， 又函数图象过点，所以有， 所以有，解得，，即，. 又，所以，则， 所以， 所以不是的图象的一个对称中心.故D错误， 故选：AC. 7．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．最大值为3 C．的最大值为2 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】BD 【分析】对于A，验证数量积是否为0即可判断；对于B，求模先求平方，再开方即可求解；对于C，举出反例即可；对于D，在向量上的投影向量为，据此求解即可. 【详解】对于A，因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以 当共线时，有最大值为1，所以，故B正确； 对于C，若，，故C错误； 对于D，因为，所以，即， 所以在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 8．（24-25高一下·山东日照·期中）在等腰直角三角形ABC中，，点M为斜边BC的中点．以M为圆心，MA为半径作，点P在线段AB上，点Q在上，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，得到，先求出的范围，进一步即可求解. 【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由于所以， 由于点在，不妨设 ，， ，设， 所以， ， 由于， 所以， 当且仅当，， ， 当且仅当，或1，或0， 由于都是连续变化的，故所求范围为 故答案为：. 9．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 【答案】 【分析】延长AC，使得，进而得到B，G，D三点共线，再取取NC中点为H，得到得到求得最小值即可求解. 【详解】延长AC，使得， 令可知B，G，D三点共线， 时为AG最小值， 在中，，得， 又因为，所以是等边三角形，所以， 在中，， 取NC中点为H， ，, 所以 所以. 即求的最小值， 当时，有最小值， 在中，，， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】根据向量垂直的关系式求，再代入投影向量的公式，即可求解. 【详解】已知，则. 因为，根据向量垂直的性质可知，即. 将代入上式可得. 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为. 将，，代入可得： 在向量上的投影向量为. 故答案为：. 11．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是_______．    【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用表示即可求解. 【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    边，， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 12．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.    (1)设，用和表示，并求实数t的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合题意求得、、的坐标，然后求出，，结合平面向量基本定理求出和表示的式子，再根据B、P、D三点共线，列式算出实数t的值； （2）根据平面向量的坐标运算法则求出，然后根据向量模的公式，结合二次函数的性质求出求的取值范围. 【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，    则，，，， 可得，，， 则， 根据平面向量的加法法则，可得， 设， 可得，解得， 所以；若， 则根据B、P、D三点共线，可知存在实数m，使， 所以，解得. （2）因为，， 可得， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围为. 13．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角为，角的角平分线为在上. (1)用表示； (2)若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由. 【答案】(1) (2)为的中点，理由见解析 【分析】（1）先根据角平分线定理得出，由此推出，再利用向量加法和减法法则，将用与表示出来． （2）设，先求出关于与的表达式，再计算，得到一个含$λ$的式子．最后根据已知，建立方程求解，从而确定的位置． 【详解】（1）由角平分线定理得，所以， 所以 （2）设.因为， 所以 因为，所以，解得.故为的中点. 14．（24-25高一下·山东威海·期中）如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，，，设，.    (1)用，表示； (2)求； (3)若，，求实数t的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用表示出，即可得； （2）应用向量数量积的运算律求，即可得； （3）由，，再应用向量垂直及数量积的运算律列方程求参数值. 【详解】（1）； （2）由，，则，所以. （3）由，， 因为，所以，所以， 即，解得. 15．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围. （3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 同理可得，所以点是的外心． 因为且， 化简得， 所以． （2）由（1）知，点是的外心．设， ． 因为，所以 所以． （3）设，则， 因为，所以， 所以， 两边同时平方得，，所以， 令，当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值为． 16．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，. (1)求a； (2)求的面积； (3)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）由利用二倍角公式得，再由正弦定理即可得解； （2）由余弦定理和已知得，由等式两边的取值范围可得，，利用余弦定理得，从而可得三角形面积； （3）以B为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点轨迹方程，即（为变量），代入利用辅助角公式即可解决问题. 【详解】（1）根据题意，， 因为，所以， 由正弦定理得，所以； （2）由余弦定理，， 代入，得， 两边同除以2bc，， 由于，当且仅当时等号成立，而， 当且仅当时等号成立，即， 由余弦定理，即， 的面积； （3）由（1）（2）可知，，，所以， 以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则，，，， ， ， 故可设（为变量）， ，当且仅当 所以的最小值为. 17．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在中，，，点为和的交点，设，． (1)若，求，的值； (2)若，，与夹角为， ①求的面积； ②若在上且，求的值 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设，利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解； （2）(i)由面积公式求出，根据可得答案； （ii）由，，则，再求即可. 【详解】（1）设， 则， 所以， 所以，解得，所以， 又，所以； （2）(i)， 由（1）知，，所以， 所以的面积 （ii）由（1）知，， 所以. ， 则 . 地 城 考点04 平面向量基本定理及坐标运算 一、单选题 1．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，在基底下，（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】由图像可知：， 故选：C 2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，将绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设，根据旋转关系有，应用和角正余弦公式求其坐标即可. 【详解】由，且绕原点沿逆时针方向旋转到， 所以， 而， ， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在中，，是线段上的一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，再用基底表示，最后利用平面向量基本定理即可求解. 【详解】设， 由得， ， 又，则，， 解得，. 故选：C. 4．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量共线的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 故选：D 5．（24-25高一下·山东威海·期中）在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题:,变形即可. 【详解】由题:, 故, 故选:B. 二、多选题 6．（24-25高一下·山东日照·期中）如图，在和中，点D，E，F分别为BE，CF，AD的中点，P为内一点（含边界），且，下列说法正确的是（   ） A．和的面积相等 B．和的重心重合 C．延长BE交AC于点M，则 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】对于A，由中线的性质即可判断；对于B，由重心的性质即可判断；对于C，由面积关系可得，进一步即可判断；对于D，设，进而得出，将问题转化为求的最小值，通过建立平面直角坐标系即可求解. 【详解】对于A，因为点是的中点，所以和的底边，对应的高也相等，所以和的面积相等，故A正确； 对于B，设是的重心，则当且仅当， 因为点D，E，F分别为BE，CF，AD的中点， 所以， 三式相加可得， ， 所以，也就是说点也是的重心，故B正确； 对于C，如下图，因为分别为的中点， 连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M， 则，所以， 同理可得，且， 所以，这两个三角形同底边，所以点到的距离是点到的距离的两倍， 设所成角为，则，其中点到的距离，点到的距离分别为， 即，，C错误； 对于D，如图，过点分别作的平行线，交于点， ，设， 则，因为三点共线，故，要求的最小值，只需求的最小值即可， 设，则， 延长交于点，则， 现在我们按如下方式构造符号题意的三角形，来求， 设，则（理论上来说应该设）， 设，则， 因为是中点，所以， 因为是中点，所以， 类比C选项可知，点是线段的靠近点的三等分点， 从而 ， 故，即的最小值是，故D正确. 故选：ABD. 7．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，，在正方形网格中的位置如图，若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】建立平面直角坐标系，易得，，，进而结合平面向量的线性运算、模、共线的坐标表示求解判断各选项即可. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 易得，，， 对于A，，故A正确； 对于B，， 则，故B正确； 对于C，， 显然不存在实数使得，则不平行，故C错误； 对于D，， 则，即，故D正确. 故选：ABD.    8．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量.若向量，则定义有序数对叫做向量的广义坐标.若A，B两点的广义坐标分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若O，A，B三点共线，则 C．若，则P点的广义坐标为 D．若，，则 【答案】BC 【分析】对于A由，即即可判断，对于B若O，A，B三点共线，则存在实数使得，进行坐标运算即可，对于C设点，由得计算即可，对于D即可计算. 【详解】对于A： 由得， 所以 ，故A错误； 对于B：若O，A，B三点共线，则存在实数使得, 即得， 即，故B正确； 对于C：设点，则， 由得， 得，得点，故C正确； 对于D：得 ， 所以，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量，则__________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算可求的坐标，接着可求. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 10．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量.若与共线，则实数的值为________. 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标关系式求解即可. 【详解】因为； 所以，， 由于与共线，则， 解得. 故答案为： 11．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，若，则________. 【答案】/ 【分析】由条件，根据向量平行的坐标表示列方程求即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题 12．（24-25高一下·山东日照·期中）已知平面向量． (1)若，求的坐标和； (2)若，与共线，求实数m的值； (3)若在上的投影的数量为2，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由向量加法、模的坐标计算公式求解即可； （2）由向量共线的充要条件列式求解即可； （3）由投影数量的定义、数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 从而． （2）因为，所以 因为与共线，所以，即． （3）因为在上的投影的数量为2，，所以， 所以． 13．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，. (1)求； (2)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由向量的坐标运算及模长公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】（1）由，， 可得：， 所以 （2），， 因为与垂直， 所以， 所以 14．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知.，为单位向量，且与的夹角为. (1)求的值； (2)若，且，求向量的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据数量积和模的公式，计算，即可求解； （2）首先设向量，再根据条件转化为方程组，即可求解. 【详解】（1）因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以，∴， 则； （2）设，， ∵，∴， 又，， ∴， ∴或 ∴或. 15．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，. (1)若向量，求实数的值； (2)若向量满足，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，列出关于的等量关系，求解即可； （2）根据题意，列出满足的方程组，求解即可. 【详解】（1）由，， 得，， 因为， 所以，解得. （2）由，，， 则， 由，则， 解得，即，则. 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 4大高频考点概览 考点01平面向量的基本概念 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的数量积 考点04 平面向量基本定理及坐标运算 地 城 考点01 平面向量的基本概念 一、单选题 1．（24-25高一下·山东威海·期中）下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 2．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 3．（24-25高一下·山东淄博·期中）下列说法中正确的是（    ） A．向量能作为平面内所有向量的一组基底 B．若，则 C．若，则与垂直的单位向量坐标为或 D．若，则与的夹角是钝角 二、多选题 4．（24-25高一下·山东威海·期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知非零向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与共线 D．若，则在上的投影向量为 地 城 考点02 平面向量的线性运算 一、单选题 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知点是的外心，，若，，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 6．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若是的重心，则 C．若为的垂心，，则 D．若分别表示的面积，则 7．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知外接圆圆心在上，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．，则为内心 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 三、填空题 10．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，点为边长为1的正六边形的边上一点，若点与点重合，则______________，若点在边上（边除外）运动，则的取值范围为________________.    四、解答题 11．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知是两个不共线向量，且的夹角为． (1)若，，，当三点共线时，求实数的值； (2)若，，那么当实数为何值时，的值最小． 12．（24-25高一下·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)已知，，，求实数的值. 13．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，平行四边形中，为上一点，，设，，为平行四边形内一点，且.    (1)证明：，，三点共线； (2)延长交于，用，表示出并求出. 地 城 考点03 平面向量的数量积 一、单选题 1．（24-25高一下·山东济宁·期中）定义：为向量与的外积，且，其中θ为向量与向量的夹角，已知在中，若，，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 2．（24-25高一下·山东日照·期中）在平行四边形中，，E为的中点．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知向量是两个单位向量，则（    ） A．若不共线，则 B．若，且，则 C．若的夹角，则向量在向量上的投影向量是 D．若，向量的夹角为，则的最小值为 5．（24-25高一下·山东济宁·期中）下列说法错误的为（    ） A．、为实数，若，则与共线 B．两个非零向量、，若，则与垂直 C．若且，则 D．O是内一点，若，则 6．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．的面积为 D．是的图象的一个对称中心 7．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．最大值为3 C．的最大值为2 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 三、填空题 8．（24-25高一下·山东日照·期中）在等腰直角三角形ABC中，，点M为斜边BC的中点．以M为圆心，MA为半径作，点P在线段AB上，点Q在上，则的取值范围是_______． 9．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是______. 10．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______. 11．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是_______．    四、解答题 12．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.    (1)设，用和表示，并求实数t的值； (2)求的取值范围. 13．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角为，角的角平分线为在上. (1)用表示； (2)若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由. 14．（24-25高一下·山东威海·期中）如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，，，设，.    (1)用，表示； (2)求； (3)若，，求实数t的值. 15．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 16．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，. (1)求a； (2)求的面积； (3)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 17．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在中，，，点为和的交点，设，． (1)若，求，的值； (2)若，，与夹角为， ①求的面积； ②若在上且，求的值 地 城 考点04 平面向量基本定理及坐标运算 一、单选题 1．（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图，在基底下，（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，将绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东潍坊·期中）在中，，是线段上的一点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东威海·期中）在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一下·山东日照·期中）如图，在和中，点D，E，F分别为BE，CF，AD的中点，P为内一点（含边界），且，下列说法正确的是（   ） A．和的面积相等 B．和的重心重合 C．延长BE交AC于点M，则 D．的最小值是 7．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，，在正方形网格中的位置如图，若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量.若向量，则定义有序数对叫做向量的广义坐标.若A，B两点的广义坐标分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若O，A，B三点共线，则 C．若，则P点的广义坐标为 D．若，，则 三、填空题 9．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量，则__________. 10．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量.若与共线，则实数的值为________. 11．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，若，则________. 四、解答题 12．（24-25高一下·山东日照·期中）已知平面向量． (1)若，求的坐标和； (2)若，与共线，求实数m的值； (3)若在上的投影的数量为2，求． 13．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，. (1)求； (2)若与垂直，求实数的值. 14．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知.，为单位向量，且与的夹角为. (1)求的值； (2)若，且，求向量的坐标. 15．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量，. (1)若向量，求实数的值； (2)若向量满足，求的值. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $