2026届高考物理二轮复习培优专题：4 带电粒子在电磁组合场和复合场中的运动

高中物理培优专题 高考培优专题4 带电粒子在电磁组合场和叠加场中的运动 学习目标 1. 掌握带电粒子在电磁组合场中运动问题的解决方法； 2. 掌握带电粒子在电磁复合场中运动问题的解决方法； 【专题解读】 1.带电粒子在分离的电场、磁场中的常见运动及求法 2.带电粒子在叠加场中常见的运动形式及特点 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 电场力与重力平衡，即qE＝mg，洛伦兹力提供向心力 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律等 【典例剖析】（2026年3月四川部分学校联考）如图所示，在坐标系中，虚线与轴平行，距离为，在虚线与轴之间的第二象限内，有沿轴正方向的匀强电场，场强大小（未知）；在虚线与轴之间的第一象限内，有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知），在轴下方的足够大区域内，存在沿轴负方向的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，场强大小，磁感应强度大小。现有一电量为、质量为的粒子在点，坐标为，以的初速度向轴正方向射出，粒子第一次经过轴时的速度大小为，不计粒子重力。求： (1)场强大小； (2)要使粒子能够经过轴，需满足的条件； (3)如果，粒子第二次经过轴的位置坐标。 【答案】．(1) (2) (3) 【解析】（1）粒子在电场中，根据动能定理有 解得 （2）粒子第一次经过轴时，对速度进行分解，设速度与轴夹角为，则有 可得 在方向上，有 在方向上，有 联立解得 粒子在磁场中，根据牛顿第二定律有 解得 要使粒子能经过轴，临界状态轨迹如图所示 当轨迹圆恰好和轴相切时，有 得 联立解得 当轨迹圆恰好和虚线相切时，有 得 联立解得 故需满足的条件为： （3）当时，由 解得 轨迹如图所示，第一次经过轴的位置坐标为 粒子在轴下方的复合场中运动时，由配速法可得 解得，故粒子有沿轴负方向匀速的分运动， 由矢量三角形，如图所示，可知，故粒子还有匀速圆周运动的分运动。 由 解得 从粒子第一次经过轴到第二次经过轴，历时，匀速圆周运动的分运动，如图所示 由几何关系可得 粒子向轴负方向侧移 对沿轴负方向匀速的分运动，粒子向轴负方向侧移 故第二次经过轴， 粒子第二次经过轴的位置坐标为 课后巩固训练 1. (2023·江苏卷，16)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图1所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 图1 (1)求电场强度的大小E； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； (3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 答案　(1)Bv0　(2)　(3)90% 解析　(1)电子沿x轴正方向做直线运动，则电子受平衡力的作用，即 eE＝ev0B 解得E＝Bv0。 (2)电子在电场和磁场叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力做功，则电子的速度由到的过程中，由动能定理得 eEy1＝m－m 解得y1＝。 (3)设电子的入射速度为v1时刚好能到达纵坐标为y2＝的位置，此时电子在最高点的速度沿水平方向，且大小假设为v2，则 电子在最低点的合力为F1＝eE－ev1B 电子在最高点的合力为F2＝ev2B－eE 由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等， 即F2＝F1 整理得v1＋v2＝2v0 电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得 eEy2＝mv－mv 整理得v2－v1＝ 解得v1＝v0 又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大，则能到y2＝的位置的电子数占总电子数的比例为η＝＝×100% 解得η＝90%。 2.（2025·八省联考晋陕青宁卷）如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求： （1）电场强度的大小和P点距y轴的距离； （2）小球第一次到达最低点时速度的大小； （3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。 答案：（1）　　（2）（1＋）v0　（3） 解析：（1）依题意，小球从P点运动到坐标原点O，速率没有改变，即动能变化为零，由动能定理可知合力做功为零，所以，电场力与重力等大反向，可得qE＝mg 解得E＝ 可知小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图 根据qv0B＝m 解得r＝ 由几何关系，可得xP＝r＋rcos 30° 联立，解得xP＝。 （2）把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x轴负方向成45°的v0，如图 其中沿x轴正方向的v0对应的洛伦兹力恰好与小球重力平衡，即F洛＝qv0B＝mg，小球沿x轴正方向做匀速直线运动， 与x轴负方向成45°的v0对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运动的向心力，可知小球第一次到达最低点时速度的大小为v＝v0＋v0＝（1＋）v0。 （3）由第二问分析可知小球在撤去电场后做匀速圆周运动的分运动轨迹如图所示 由几何关系，可得小球从过坐标原点到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°，则所用时间为t＝T 根据q·v0·B＝m 又T＝ 联立，解得t＝。 3. 如图所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有两平行金属板之间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场（如图为俯视图），电场强度大小，磁感应强度大小，其下方有一边长的正方形区域，区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，a、c、d、f四点分别是正方形四条边的中点，c所在边界放置一荧光屏。沿方向上的g点固定一足够长的挡板，挡板与的夹角为，粒子打到挡板上会被吸收。在正方形之外、连线下方有一竖直向下的匀强电场，电场强度大小。现有一群质量的相同的带电粒子，以相同的速度从平行金属板中线射入，刚好沿直线从a点射入正方形磁场区域，并从f点水平向右射出，之后恰好没有打在挡板上，如图实线为其运动轨迹。不计粒子的重力和相互作用力。求： (1)粒子的电性（回答正电或负电）以及电荷量q； (2)fg之间的距离d； (3)将连线下方空间的电场换为方向垂直纸面向外的匀强磁场，其磁感应强度大小。当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏会发光，求荧光屏上可能发光区域的长度（，结果可以保留根式）。 【解析】（1）由于粒子沿直线经过两金属板，粒子在两金属板之间受到的电场力与洛伦兹力大小相等，结合题图以及左手定则可知，粒子带正电。 q=q 粒子在正方形区域内运动时，洛伦兹力提供向心力，由几何关系可知， 运动半径=L/2. 由q=m， 解得q=0.4C （2）当粒子恰好没有打在挡板上时，设速度方向与水平方向的夹角为θ，如图所示。 由几何关系 tanθ= 在电场中，沿电场线方向，qE=ma，-0=2ay 由几何关系 tanθ=， 联立解得 d=0.6m （3）当k=1时，=，此时粒子刚好打到c点，ca间的距离=0.6m，如图所示。 当粒子恰好与挡板相切时，如图。 由几何关系及数学知识，tan== 解得=2d=1.2m Oa之间的距离h=-L/2=0.6m pa之间的距离==0.6m 荧光屏上发光长度 △x==0.6（-1）m 4. ．(2025·云南模拟)如图所示，纸面内有直角坐标系xOy，直线PQ、MN与y轴平行，PQ与MN间的距离为，MN与y轴间的距离为d。直线PQ与MN之间足够大的区域内有大小为E1＝E、方向沿x轴正方向的匀强电场，直线MN与y轴之间足够大的区域内有大小为E2＝2E、方向沿y轴负方向的匀强电场。在圆心位于O1(d,0)、半径R＝d的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。现让一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，从直线PQ上某恰当位置A由静止释放，经两个电场区域后射入匀强磁场，到达x轴时沿x轴正方向离开匀强磁场。不计粒子重力，求∶ (1)粒子经过y轴时速度v的大小； (2)匀强磁场磁感应强度B的大小； (3)粒子从A点释放至离开磁场的时间t。 【答案】　(1)2　(2) (3) 【解析】　(1)设粒子在电场E1中运动的加速度为a1，离开电场E1时的速度为v1，经过电场E2的时间为t2，加速度为a2，离开电场E2时速度方向与x轴正方向成θ夹角，y轴方向的分速度为vy，粒子从出发到离开电场E1的过程中，由牛顿第二定律及匀变速直线运动公式有qE1＝ma1,2a1·＝v 粒子经过电场E2的过程中， x轴方向上有d＝v1t2 y轴方向上有qE2＝ma2，vy＝a2t2 联立可得v＝＝2。 (2)粒子运动轨迹如图 轨迹与y轴的交点为C，则有tan θ＝＝ 解得θ＝ 由题意可知粒子沿圆形磁场区域的半径方向射出磁场，则粒子必沿圆形磁场区域的半径方向射入磁场；设粒子在圆形区域内做匀速圆周运动的半径为r， 由几何关系可知r＝ 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时有qvB＝m 联立解得B＝。 (3)设粒子在电场E1中运动的时间为t1，根据牛顿第二定律及匀变速运动规律有 ＝a1t 设粒子从C点运动到圆形区域过程中的位移为s，时间为t3，则有 s＝－R＝vt3 在匀强磁场中运动，通过的圆弧长为s′，时间为t4，由几何知识及匀速圆周运动规律有s′＝rθ＝vt4 则粒子从A点释放至离开磁场的时间为t＝t1＋t2＋t3＋t4＝。 5. (2025·安徽合肥模拟)控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用。现有这样一个简化模型：如图所示，在xOy平面的第一象限存在沿y轴正方向的匀强电场，第四象限存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场。第二象限内M、N两个平行金属板之间的电压为U，一质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子(不计粒子重力)从靠近M板的S点由静止开始做加速运动，粒子从y轴上的P点垂直于y轴向右射出，然后从x轴上的a点(d,0)离开电场进入磁场，最后从y轴上的b点离开磁场区域，粒子在b点的速度方向与y轴正方向的夹角θ＝60°。求： (1)粒子运动到P点射入电场的速度大小和第一象限电场强度的大小； (2)第四象限内磁感应强度的大小； (3)粒子从P点运动到b点所经历的时间。 【答案】　(1)　　(2)　(3) 【解析】　(1)粒子在加速电场中由动能定理 qU＝mv 可得粒子运动到P点射入电场的速度大小为 v0＝ 粒子在第一象限的匀强电场中做类平抛运动，水平方向有d＝v0t1 竖直方向有＝at 根据牛顿第二定律qE＝ma 联立解得第一象限电场强度的大小为E＝＝。 (2)粒子离开电场的速度与x轴正方向的夹角为α，由几何关系tan α＝＝＝1 解得α＝45° 则粒子进入磁场时的速度大小为v＝＝v0 作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知rcos 60°＋rcos 45°＝d 解得r＝2(－1)d 由洛伦兹力提供向心力qvB＝m 解得B＝ 其中v0＝ 故第四象限内磁感应强度的大小为B＝。 (3)粒子做匀速圆周运动的周期为T＝＝ 根据几何关系可知，粒子从a到b运动的圆心角为θ＝165° 从a到b的时间t2＝T 综上所述粒子从P点运动到b点所经历的时间为t＝t1＋t2＝＋＝。 6. (2025·广东茂名模拟)在如图所示的竖直平面xOy中，一质量为m、电荷量为＋q(q>0)的带电小球沿x轴正方向以初速度v0＝从A点射入第一象限，第一象限有竖直向上的匀强电场E1＝，小球偏转后打到x轴上的C(L，0)点，x轴下方有匀强电场E2(图中未画出)，第三、四象限有垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场，小球在x轴下方做匀速圆周运动，已知第四象限匀强磁场的磁感应强度大小为B4＝，重力加速度大小为g。 (1)求x轴下方匀强电场的电场强度E2; (2)求带电小球在C点的速度vC; (3)若第三象限匀强磁场的磁感应强度大小为B3＝，求小球从C点运动到P(0，－3L)点所用的时间。 答案　(1)，方向竖直向上 　(2)，与x轴正方向成60°角斜向下　(3)或 解析　(1)小球在x轴下方做匀速圆周运动，则mg＝qE2 解得E2＝，方向竖直向上。 (2)小球在第一象限做类平抛运动，根据牛顿第二定律有mg－qE1＝ma 可得a＝ 水平方向有L＝v0t 可得t＝ 竖直方向有vy＝at 可得vy＝ 根据运动的合成可知vC＝ 根据几何关系有tan θ＝ 可得θ＝60°，即vC方向与x轴正方向成60°角斜向下。 (3)小球在第四象限内做匀速圆周运动，运动半径为r1，则qvCB4＝m 解得r1＝2L 设小球运动的周期为T1，则T1＝ 解得T1＝2π 小球第一次运动到P点的轨迹如图甲，由几何关系可知，小球从C到P偏转圆心角为，运动时间为t1＝T1＝ 小球经P点进入第三象限后，设运动半径为r2，则qvCB3＝m 解得r2＝L 设小球运动的周期为T2，则T2＝ 解得T2＝π 小球第二次运动到P点的轨迹如图乙，小球从P点再回到P点所用时间为 t2＝T1＋T2＝2π 小球从C点运动到P点所用的时间为t1＋t2＝ 故小球从C点运动到P点所用的时间为或。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理培优专题 高考培优专题4 带电粒子在电磁组合场和叠加场中的运动 学习目标 1. 掌握带电粒子在电磁组合场中运动问题的解决方法； 2. 掌握带电粒子在电磁复合场中运动问题的解决方法； 【专题解读】 1.带电粒子在分离的电场、磁场中的常见运动及求法 2.带电粒子在叠加场中常见的运动形式及特点 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 电场力与重力平衡，即qE＝mg，洛伦兹力提供向心力 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律等 【典例剖析】（2026年3月四川部分学校联考）如图所示，在坐标系中，虚线与轴平行，距离为，在虚线与轴之间的第二象限内，有沿轴正方向的匀强电场，场强大小（未知）；在虚线与轴之间的第一象限内，有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知），在轴下方的足够大区域内，存在沿轴负方向的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，场强大小，磁感应强度大小。现有一电量为、质量为的粒子在点，坐标为，以的初速度向轴正方向射出，粒子第一次经过轴时的速度大小为，不计粒子重力。求： (1)场强大小； (2)要使粒子能够经过轴，需满足的条件； (3)如果，粒子第二次经过轴的位置坐标。 课后巩固训练 1. (2023·江苏卷，16)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图1所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 图1 (1)求电场强度的大小E； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； (3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 2.（2025·八省联考晋陕青宁卷）如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求： （1）电场强度的大小和P点距y轴的距离； （2）小球第一次到达最低点时速度的大小； （3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。 3. 如图所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有两平行金属板之间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场（如图为俯视图），电场强度大小，磁感应强度大小，其下方有一边长的正方形区域，区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，a、c、d、f四点分别是正方形四条边的中点，c所在边界放置一荧光屏。沿方向上的g点固定一足够长的挡板，挡板与的夹角为，粒子打到挡板上会被吸收。在正方形之外、连线下方有一竖直向下的匀强电场，电场强度大小。现有一群质量的相同的带电粒子，以相同的速度从平行金属板中线射入，刚好沿直线从a点射入正方形磁场区域，并从f点水平向右射出，之后恰好没有打在挡板上，如图实线为其运动轨迹。不计粒子的重力和相互作用力。求： (1)粒子的电性（回答正电或负电）以及电荷量q； (2)fg之间的距离d； (3)将连线下方空间的电场换为方向垂直纸面向外的匀强磁场，其磁感应强度大小。当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏会发光，求荧光屏上可能发光区域的长度（，结果可以保留根式）。 4. ．(2025·云南模拟)如图所示，纸面内有直角坐标系xOy，直线PQ、MN与y轴平行，PQ与MN间的距离为，MN与y轴间的距离为d。直线PQ与MN之间足够大的区域内有大小为E1＝E、方向沿x轴正方向的匀强电场，直线MN与y轴之间足够大的区域内有大小为E2＝2E、方向沿y轴负方向的匀强电场。在圆心位于O1(d,0)、半径R＝d的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。现让一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，从直线PQ上某恰当位置A由静止释放，经两个电场区域后射入匀强磁场，到达x轴时沿x轴正方向离开匀强磁场。不计粒子重力，求∶ (1)粒子经过y轴时速度v的大小； (2)匀强磁场磁感应强度B的大小； (3)粒子从A点释放至离开磁场的时间t。 5. (2025·安徽合肥模拟)控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用。现有这样一个简化模型：如图所示，在xOy平面的第一象限存在沿y轴正方向的匀强电场，第四象限存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场。第二象限内M、N两个平行金属板之间的电压为U，一质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子(不计粒子重力)从靠近M板的S点由静止开始做加速运动，粒子从y轴上的P点垂直于y轴向右射出，然后从x轴上的a点(d,0)离开电场进入磁场，最后从y轴上的b点离开磁场区域，粒子在b点的速度方向与y轴正方向的夹角θ＝60°。求： (1)粒子运动到P点射入电场的速度大小和第一象限电场强度的大小； (2)第四象限内磁感应强度的大小； (3)粒子从P点运动到b点所经历的时间。 6. (2025·广东茂名模拟)在如图所示的竖直平面xOy中，一质量为m、电荷量为＋q(q>0)的带电小球沿x轴正方向以初速度v0＝从A点射入第一象限，第一象限有竖直向上的匀强电场E1＝，小球偏转后打到x轴上的C(L，0)点，x轴下方有匀强电场E2(图中未画出)，第三、四象限有垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场，小球在x轴下方做匀速圆周运动，已知第四象限匀强磁场的磁感应强度大小为B4＝，重力加速度大小为g。 (1)求x轴下方匀强电场的电场强度E2; (2)求带电小球在C点的速度vC; (3)若第三象限匀强磁场的磁感应强度大小为B3＝，求小球从C点运动到P(0，－3L)点所用的时间。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $