平面向量的坐标运算 基础题训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题：平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 1、在平面直角坐标系内，设坐标A(,y),B(x2,y2) (1)向量AB:AB=(x2-,2-y) (2)向量AB的模长：AB=√(x2-x)2+(y2-) 2、设两个向量a和的坐标分别为a=(:,),b=(x2,y2) 1d=221 2a=(2x1,元x2 a+b=(x+x2,y+y2) a-b=(x-x2,y-2) a.b 两个平面向量的共线、垂直和夹角 设两个向量a和的坐标分别为a=(G,y),6=(x2,y2) (1)若a∥i,则xy2=乃x2 (2)若a⊥b,则xx2+yy2=0 (3)设0为向量a和b的夹角，则cos0= a.b xx2 y2 a. x2+y2x22+y22 6= 自 (4)向量a在石方向上的投影向量：厨 cos6·6 ((+x'x 1.M(1,3),N(-2,1),则MN的坐标是() A.(-3,2) B.(3,-2) C.(-3,-2) D.(-2,-3) 【答案】c 【分析】利用向量坐标的定义计算即得. 【详解】因M(1,3),N(-2,1),则M=(-2,1)-(1,3)=(-3,-2): 故选：C 2.平面向量=(3，-1，b=(x,1,且a-b=(1,-2),则x=() A.-1 B.2 C.5 D.3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为=(3，-1，b=(x,1),所以a-b=(3-x,-1-1)=(1,-2),所以3-x=1,解得 x=2. 故选：B. 3.已知向量a=(-2,4),6=(2,x),若a/6,则-=() A.4V5 B.4V6 C.3√6 D.2W万 【答案】A 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得x=-4,得到ā-b的坐标，结合向量模 的坐标运算公式，即可求解。 【详解】由向量a=-2,4),b=(2,x),因为a/1b,可得-2×x=4×2,解得x=-4, 所以6=(2,4)，则a-万=(-4,8)，所以a-=V-4)2+82=4v5. 4.已知向量=(1,2)，b=(2,m),若6-a与共线，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】b-a=(1,m-2), 因为b-a与共线，故1×m=2×(m-2),故m=4. 5.已知A-1,-1,Bx,3),C(2,5三点共线，则x=() A.1 B.3 c.-1 D.-2 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，AB=(x+1,4),AC=(3,6),且AB/1AC,则6x+1)=3×4, 所以x=1. 故选：A 6.已知向量a=(0,-25),6=1,V5),则向量a+6的模为() A.5+1 B.4 C.2 D.2W万 【答案】c 【分析】求出向量a+b的坐标，再求模长. 【详解】因为向量a=0,-23),6=1,5, 所以向量a+6=(0,-25+(1,3=1,-V5, 所以a+-+3=2. 故选：C 7.与向量a=(12,5)平行的单位向量为() A.2-5 13,-13 13'13 。 【答案】c 【分析】求出的模，再利用单位向量的定义求解. 【详解】向量a=(12,5),则a=V122+52=13, 所以与向量ā=12,5)平行的单位向量为-Q =(125 -13’-13)或=（13,13》、 故选：C 8.已知点A(-1,-1),B(2,-2),C(0,),则向量AB在向量AC方向上的投影的坐标为() V525 B.(5,25 12 A. 55 D.(1,2 5 【答案】C 【详解】因为A(-1,-1),B(2,-2),C(0,1),可得AB=(3,-1),AC=(1,2), 则向量AB在向量AC方向上的投影为 c4c-31是4c-2-5号引 P+22月 故选：C. 9.已知平面向量ā=(2,0)，万=1,5，则a-2= 【答案】25 【分析】先求出ā-2b的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为ā=(2,0)，万=1,3， 所以a-26=(2,0)-21,5)=(0,-25), 所以a-26=25. 故答案为：2√3. 10.已知向量a=(-1,6),b=(1,x),若a/b,则ā.b= 【答案】-37 【详解】由ā1b,可得-x=6,解得x=-6,则b=(1,-6), 故a.b=-1-36=-37. 11.已知向量a=(3,6),则与向量云平行的单位向量为 (填入其中一个向量的坐标) √525 【答案】 525 5’5 (或 5 5 【分析】根据平行向量和单位向量的定义求解即可. 【详解】因为a=(3,6),所以a=V32+6=35, 所以与向量。平行的单位向量为 a 故答案为： 59} 12.已知向量d=(3,0),b=(1,-2),则a在五上的投影向量的坐标是 【答案】 居副 【详解】结合题意可得：ab=1x3-2x0=3, 1=32+0=3,=-2+1P=5, 设与的夹角为0，则os9=a-63=V5 丽5×3=5， 故a在五上的投影向量为|cos0 b 故答案为： 13.已知向量a=(2,-1),万=(x,1)(x∈R).若a,的夹角为锐角，则x的取值范围为 【答案】 【详解】因为a与的夹角为锐角，则a.b>0且a,五与不共线， a.b=2x-1>0 ，解得 2,即x>2 x> 1 所以 21≠-1x x≠-2 故答案为： 14.己知向量m=(1,2),i=(m,1,且m1元. (1)求实数m的值； (2)求m与的夹角0的余弦值. 【答案】(1)-2 (20 【分析】(1)根据两向量垂直的坐标运算得解； (2)由m⊥n得解. 【详解】(1)由m⊥n,则1×m+2×1=0,解得m=-2· (2)由m1n,则m与7的夹角0=元，故c0s0=cosT=0. 2 15.已知向量a=(2,5),b=(1,x). (1)若x=2,求（ā-b)b的值； (2)若a,的夹角为锐角，求x的取值范围. 【答案】(1)7 a3+ 【分析】(1)由平面向量的数量积坐标表示求解即可； (2)由a,的夹角为锐角，则ab>0,且a,6不共线，建立 【详解】(1)若x=2,则b=(1,2),a=(2,5),所以a-b=(1,3) 所以a-bb=1x1+2×3=7. (2)向量=(2,5，b=(1,x), 若a,的夹角为锐角，则ab>0,且a,b不共线， 2+5x>0 故 2r-5≠0' 所以的取值范围为(》3口小 不等式组求解即可专题：平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 1、在平面直角坐标系内，设坐标A(x,y),B(x2,y2) (1)向量AB:AB=(x2-x,y2-) (2)向量AB的模长：AB=Vx-x)2+(-) 2、设两个向量a和b的坐标分别为a=(:,y),b=(x2,y2) ld=221 2a=（2x,2x2】 a+b=(x1+2,y+2) a-b=(x1-x2,y-y2) a.b 两个平面向量的共线、垂直和夹角 设两个向量a和的坐标分别为a=(x,y),i=(x2,y2) (1)若a∥b,则xy2=y2 (2)若a⊥b,则xx2+yy2=0 (3)设0为向量a和的夹角，则cos0= a.b x x2 +y y2 团x2+y7Vx2+2 (4)向量a在方向上的投影向量： 語-6-昌c0s06 自 xx2+y1y2 1.ML,3),N(-2,1),则M的坐标是() A.(-3,2) B.(3,-2) C.(-3,-2) D.(-2,-3) 2.平面向量d=(3,-1,b=(x,1,且ā-b=(1,-2),则x=() A.-1 B.2 C.5 D.3 3.已知向量a=(-2,4),6=(2,x),若a/16,则a-=() A.45 B.4V6 C.3√6 D.2√7 4.已知向量d=(1,2),b=(2,m),若6-a与共线，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知A-1,-1,B(x,3),C2,5三点共线，则x=() A.1 B.3 C.-1 D.-2 6.已知向量a=(0,-2⑤，=1，√5，则向量a+6的模为() A.V5+1 B.4 C.2 D.2√7 7.与向量a=12,5)平行的单位向量为（) A号) 号- c吕或哈品 125 D.1313 8.已知点A(-1,-1),B(2,-2),C(0,1)，则向量AB在向量AC方向上的投影的坐标为() V52W5 A. 5’5 B.5,25 c别 D.(1,2 9.已知平面向量ā=(2,0)，b=1,3),则a-2b= 10.已知向量a=(-1,6),b=(1,x),若a/6,则a.b= 11.已知向量=(3,6)，则与向量云平行的单位向量为（填入其中一个向量的坐标） 12.已知向量a=(3,0),b=(1,-2),则a在五上的投影向量的坐标是 13.已知向量ā=(2，-l),b=(x,1)(xeR).若a,的夹角为锐角，则x的取值范围为 14.已知向量m=(1,2),i=（m,1,且m1元. (1)求实数m的值； (2)求m与的夹角Θ的余弦值. 15.己知向量=(2,5)，b=(1,x). (1)若x=2,求ā-bb的值： (2)若a,的夹角为锐角，求x的取值范围.