精品解析：江西省南康中学等校（五市十校协作体）2026届高三下学期第二次联考数学试题

数学试卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合由不等式确定，解得，即. 集合由不等式确定，解得，即. 则. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数对应复平面内点，位于第二象限. 3. 已知，，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】， 因为，所以， 若，则，即， 若，则，即， 所以“”是“”的充要条件. 4. 将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得平移后的函数解析式，再结合对称中心求解即可. 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ， 此函数图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，. 5. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由是偶函数可知，又满足， 则. 6. 设数列满足，则的前2026项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 7. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2， 由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 令， 得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即， 所以的最小值为． 8. 已知实数，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，则已知等式通过整理得到，设，则，则通过整理得到，再构造函数，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到最小值，从而得到的最小值为，继而得到所求式子的最小值. 【详解】设，则， 则转化为， 即， 设，则， 则转化为， 即， 设，则转化为， 设，则为单调递减函数， 且，则有唯一的解， 即，又，，则，即， 设， 对称轴为，的最小值为， 则的最小值为， 将代入，得到， 设， ， 的解为， 的解为，则在上是单调递增函数； 的解为，则在上是单调递减函数； 则在处取得最小值，且最小值为， 即的最小值为， 则的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，18，20，22的第80百分位数为18 B. 若随机变量，满足，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若回归方程为，则变量y与x成负相关 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，由，所以第80百分位数为，错误； 对于B，已知随机变量，满足，由方差的性质可得，错误； 对于C，由正态分布的图象的对称性可得，正确； 对于D，由于，所以变量y与x成负相关，正确． 10. 若,且，数列的前n项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列 C. D. 数列的通项公式为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据中心对称计算即可；对于B和D，由计算通项公式分析即可；对于C，结合关于点成中心对称，且，进行分组求和即可. 【详解】对于A， ， 则， 又因为 所以上式 ， 故关于点成中心对称，A正确； 对于B 和D，由，得, 因为， 当时，， 则， 所以， 即， 当时，, 且， 故当时，是常数列成立， 故是常数列， 所以， 所以，故B正确，D项与通项公式矛盾，故错误； 对于C，因为关于点成中心对称， 所以， 又因为数列， 所以， 故， 所以 ，故C正确. 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，G是上的动点．则（ ） A. G为的中点时，平面平面 B. G为的中点时，异面直线EC与BG之间的距离为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 为所在直线上的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由几何体性质利用面面垂直的判定定理即可判断A正确，建立空间直角坐标系并求得平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法可得B不正确，利用空间向量法求出到平面距离的最大值，结合棱锥的体积公式即可判断C选项，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则由三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值为，可判断D正确. 【详解】A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内， 由圆柱性质可知平面，又平面，则， 为的中点， ， ，， ， ，即， 又，是平面内的相交直线， 平面，又平面， 平面平面，故A正确； B，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 当为中点时，，，， 设平面的一个法向量为，则； 取，则，，所以， 所求异面直线与之间的距离为，故B正确； C，由题可得， 设点，，，其中，0， 由射影定理知，，即，则 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以， 所以点到平面的距离， 设，所以， 则时，， 所以三棱锥体积的最大值为，故C不正确； D，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则中点（即弧所在圆的圆心）的坐标为，如图， 以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则平面平行于底面，且，， 则由三角形两边之差小于第三边可知，当，（在延长线上）三点共线时取得最大值为， 又弧所在圆圆心为，半径为， ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式定理及通项公式求解即可. 【详解】二项式通项公式为. 是的系数，令，则， 所以. 13. 已知向量，，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由平方化简得到，结合不等式，得到，解得，即可得到的最大值. 【详解】设，由，得到， 即， 即，即 因为，所以， 即，即，解得； 故的最大值是. 14. 已知是函数的极小值点，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据可求参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，， 故 因为为的极小值点，故存在含的区间， 使得，且在上为增函数，而恒成立， 设，则需使， 设，，， 则， ，， 故， 解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求角B的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及同角三角函数的平方关系，化简已知式，并利用正弦定理进行边角互化，得.再根据余弦定理可求得，从而求得角； （2）由（1）知，所以，代入，利用两角和与差的余弦公式，结合余弦函数在给定区间上的值域，可得的取值范围． 【小问1详解】 由，得， 整理得. 由正弦定理，得. 由余弦定理的推论，得. 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以，所以. 所以 . 由，得. 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以. 所以的取值范围是． 16. 2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 （1）是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； （2）用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关，利用独立性检验思想判断 （2）分布列： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）通过列联表计算出值，结合独立性检验与临界值比较即可. （2）确定随机变量的值，根据二项分布概率计算公式得到分布列，进而求出数学期望. 【小问1详解】 假设：喜欢观看“赣超”联赛与性别无关， ， 则假设不成立，即有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关. 【小问2详解】 喜欢观看“赣超”联赛的市民中女性的概率为：，则. 的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 17. 如图，在直三棱柱中，，，M为中点，已知， （1）求证：无论取何值，与不可能垂直； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出的坐标，然后利用向量法证明即可； （2）求出平面与平面的法向量，再运用平面夹角的向量公式列方程求解即可. 【小问1详解】 以点为原点，所在直线为轴，以过B点与平面垂直的直线为轴， 建立空间直角坐标系如图： 则， 所以，， 因为 因为，，所以， 即无论取何值，与不可能垂直； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 而，， 则由，可得， 取，则. 设平面的法向量为， 而，， 则有，即， 取，则 设平面与平面夹角的大小为， 则， 平方化简得，又因为，故，则. 18. 已知函数，， （1）求函数的极值； （2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，函数，若存在，，使得，求证：． 【答案】（1）当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，再分与讨论求解即可； （2）将问题转化为当时，恒成立，进而构造函数，分与讨论求解即可； （3）根据得，进而结合余弦和差角公式得，故将问题转化为证明，设，令，进一步转化为证明，最后构造函数即可证明. 【小问1详解】 解：，定义域为，， 当时，恒成立，故函数在单调递增，无极值； 当时，令得， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，无极小值. 综上，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 解：， 因为，当时，恒成立， 所以，当时，恒成立， 令，， ， 令， 则在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，单调递减，时，，单调递增， 故由可知，时，，满足在恒成立矛盾； 综上，当时，在恒成立，即恒成立. 【小问3详解】 解：，函数，， 因为存在，，使得， 所以，整理得， 所以 所以， 因为， 所以， 因为，，则， 故要证，只需证， 不妨设，令，故只需证 ，只需证， 令，则在上恒成立， 所以上单调递减， 所以，即 成立， 所以 成立. 19. 已知点A与关于直线对称，点A在抛物线上，点F是抛物线C的焦点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）直线AF与抛物线的另一个交点为B，直线与直线AB交于点P（异于A、B），与抛物线交于点D，连接DF并延长，交抛物线于点E，直线PE与x轴相交于点G，直线l与直线BE相交于点Q，线段BD的中点为M，线段QF的中点为N． （ⅰ）求证：G、M、N三点共线； （ⅱ）设的面积为，的面积为，若，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据点关于直线对称的特点列方程组求出，再代入抛物线方程即可求解； （2）（ⅰ）由（1）可得，，进而求出的坐标，再利用向量数乘关系求证即可； （ⅱ）结合（ⅰ）表示出，，再根据解不等式即可求解. 【小问1详解】 因为点A与关于直线对称，设， 所以，解得，即， 又点A在抛物线上，所以，即， 则抛物线C的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，抛物线C的标准方程为，则，， 联立，解得或，即，则， 所以直线的方程为， 联立，得， 则，则，故，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，即， 因为线段QF的中点为N，所以，即， 又线段BD的中点为M，则，即，而， 则，所以直线的方程为， 令，得，即， 则， ， 所以，因此， 又有公共点，则G、M、N三点共线. （ⅱ）由题意，， 设， 由（ⅰ）知，， 而 由，得， 则， 即， 则，即， 则，又，则， 因为直线不经过点，故， 所以k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设数列满足，则的前2026项和为（ ） A B. C. D. 7. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 8. 已知实数，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，18，20，22的第80百分位数为18 B. 若随机变量，满足，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若回归方程为，则变量y与x成负相关 10. 若,且，数列的前n项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列 C. D. 数列的通项公式为 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，G是上的动点．则（ ） A. G为的中点时，平面平面 B. G为的中点时，异面直线EC与BG之间的距离为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 为所在直线上的动点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则______（用数字作答）． 13. 已知向量，，则的最大值是________． 14. 已知是函数的极小值点，则实数m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求角B的大小； （2）求的取值范围． 16. 2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 （1）是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； （2）用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，（结果精确到0.001）． α 01 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 17. 如图，在直三棱柱中，，，M为的中点，已知， （1）求证：无论取何值，与不可能垂直； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 18. 已知函数，， （1）求函数极值； （2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，函数，若存在，，使得，求证：． 19. 已知点A与关于直线对称，点A在抛物线上，点F是抛物线C的焦点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）直线AF与抛物线的另一个交点为B，直线与直线AB交于点P（异于A、B），与抛物线交于点D，连接DF并延长，交抛物线于点E，直线PE与x轴相交于点G，直线l与直线BE相交于点Q，线段BD的中点为M，线段QF的中点为N． （ⅰ）求证：G、M、N三点共线； （ⅱ）设的面积为，的面积为，若，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $