卷20 专题线段的垂直平分线、角平分线&卷21 专题等腰三角形中的分类讨论&卷22 专题最值问题-【真题圈】2024-2025学年七年级下册数学真题天天练（北师大版·新教材）

(2)如图，过点E作EF⊥AB于点F,D 因为BD平分LABC,∠ACB=90°， EF⊥AB,CE=2,所以CE=EF=2. 因为AB=6,所以Sm=34B· EF=3×6x2=6 B 第11题答图 12.【解(1)因为AB=AC,AE⊥BC,所以∠BAC=2∠BAE. 因为OA=OB,所以∠ABD=∠BAE,所以∠BAC=2∠ABD. (2)①当BD=BC时，∠C=∠BDC. 因为LABD=∠BAE=∠CAE,∠BDC+∠ADB=I8O°，∠ADB+ ∠ABD+∠BAC=18O°，所以∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD. 设∠ABD=a,则∠BAC=2a, 所以2a+3a+3a=180°，所以2a=45°，所以∠BAC=45°. ②当BC=CD时，∠CBD=∠CDB, 所以∠CBD=∠CDB=3∠ABD 设LABD=a,则∠BAC=2a,∠CBD=∠CDB=3a, 所以∠ABC=∠C=4a 因为∠ABC+∠C+∠BAC=180°， 所以4a+4a+2a=180°，所以2a=36°，所以∠BAC=36° 综上，若△BCD是等腰三角形，∠BAC的度数为45°或36°， 卷20专题线段的垂直平分线、角平分线 1.B【解析】因为点P在线段AB的垂直平分线上， 所以PA=PB. 因为BC=PC+BP,所以BC=PC+AP故选B. 2.65【解析】因为在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°， 所以∠BAC=180°-55°-30°=95°. 因为直线MN是线段AC的垂直平分线，所以∠C=∠CAD=30°， 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=95°-30°=65°.故答案为65. 3.8【解析】因为DE是线段AB的垂直平分线，GF是线段BC 的垂直平分线，所以EB=EA,GB=GC. 因为△BEG的周长为10，所以EB+GB+EG=10, 所以EA+GC+EG=10,所以GA+EG+EG+EC+EG=10, 所以AC+2EG=10. 因为EG=1,所以AC=8.故答案为8. 4.【解】如图，连接AP并延长到点D, 因为边AB,AC的垂直平分线交 于点P,所以AP=BP=CP, 所以∠ABP=∠BAP,∠CAP= ∠ACP,所以∠BPD=180°- ∠APB=∠BAP+∠ABP=2∠BAP, ∠CPD=180°-∠APC=∠CAP+ "'D B ∠ACP=2∠CAP 第4题答图 因为∠BPC=100°， 所以∠BPD+∠CPD=100°， 所以2∠BAP+2∠CAP=100°，所以∠BAP+∠CAP=50°， 所以∠BAC=50°. 5.C【解析】如图，过点E作EF⊥AB,垂足为F,过点E作 EG⊥AC,垂足为G, 因为BE平分LABC,ED⊥BC, EF⊥AB,所以EF=ED=1. 因为CE平分∠ACB,ED⊥BC, EG⊥AC,所以ED=EG=1, B 所以SAARC=SAABE+SABEC+SAAEC 第5题答图 真题圈数学七年级下12N ABEF+BC ED AC EG =3×1×(4B+BC+MC=12. 所以AB+BC+AC=24,即△ABC的周长为24.故选C. 6.4【解析】因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°，所以CD =DE.因为DE=3,所以CD=3,所以BD=BC-CD=7-3 =4.故答案为4 7.【解(1)图形如图所示. (2)125° 分析：由题意知LABC+∠ACB =180°-∠A=110°， 因为BO平分∠ABC,CO平分LACB, 所以∠OBC+∠OCB ABC+ACB 第7题答图 =∠Ac+∠ACB)=55, 所以∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=125°. (3)由题意知∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a, 因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠OBC+∠0CB=ABC+ACB =(∠aC+∠ACB)=90-ia, 所以∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=90°+）a 卷21专题等腰三角形中的分类讨论 1.B【解析】因为△ABC为等腰三角形，所以AB=AC或AC= BC.当AC=BC=4时，AD+CD=AC=4,此时无法构成三 角形，不符合题意；当AC=AB=3时，能构成三角形，符合题 意，所以AC=3.故选B. 2.D【解析】分两种情况讨论： ①若∠A<90°，如图①所示 因为BD⊥AC,所以LA+∠ABD=90°. 因为∠ABD=50°，所以∠A=90°-50°=40°， 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=7×(180°-40°)=70°。 D ① ② 第2题答图 ②若∠BAC>90°，如图②所示. 同①可得∠DAB=90°-50°=40°， 所以∠BAC=180°-40°=140°. 因为4B=4C,所以∠ABC=∠C=3×(180°-140)=20°. 综上，等腰三角形底角的度数为70或20° 故选D. 3.B【解析】如图所示，分别以A,B为圆心，AB长为半径画圆， 则圆经过的格点C1,C2,C,C4,C,C6,C,即第三个顶点的位置； 作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点， 故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作 答案与解析 出7个.故选B. C. B 第3题答图 第4题答图 4.11或5【解析】如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC,AH= CH,BC=8.设AH=CH=x,则AB=AC=2x, 当AB+AH-(BC+CH)=3时，即2x+x-(8+x)=3, 解得x=5.5,所以AB=AC=11; 当BC+CH-(AB+AH)=3时，即8+x-（2x+x)=3, 解得x=2.5,所以AB=AC=5.故答案为11或5 5.15或75°【解析】因为AB=AC,∠ABC=70°， 所以∠ACB=∠ABC=70°， 所以∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°. 分情况讨论：如图所示， ①当点P在点B的左侧时， 因为CA=CP, 所以∠CAP,=∠CPA =180°-∠AC=180°-70 2 2 P B =55°， 第5题答图 所以∠BAP=∠CAP-∠BAC =55°-40°=15°. ②当点P在点C的右侧时， 因为CA=CP,所以∠CAL,=∠CP,A=(180°-∠ACP,) =5∠ACB=7×70=35°， 所以∠BAP,=∠CAP,+∠BAC=35°+40°=75°. 综上，∠BAP的度数是15或75°.故答案为15或75° 649或36°或19【解析11)射线BA与射线CB交于点E, 此时分三种情况：①当B'E=B'A时，如图①，因为AB=AC, 所以∠B=∠BCA.由折叠得∠B=∠B',∠BCA=LBCA. 设∠B=x,则∠B'=∠BCA=∠BCA=x,∠BAE=∠BEA= 180°-∠AEC=∠B+∠BCE=3x. 在△4EB中，由内角和定理得3x+3x+x=180°，所以x=180, 7, 即∠B=180,所以∠BAC=180°-2×180°=900° 7 7 7 90°>90°，故△4BC为钝角三角形，不符合题意，故舍去； B ① ② ③ 第6题答图 ②当EB'=AE时，如图②，因为AB=AC,所以∠B=∠BCA 由折叠得∠B=∠B',∠BCA=∠BCA 设∠B=x,则∠B'=∠BCA=∠B'CA=x,∠AEB'=180°- ∠AEC=∠B+∠BCE=3x. 在△AEB中，由内角和定理得x+x+3x=180°，所以x=36°， 即∠B=36°，所以∠BAC=180°-2×36°=108°. 108°>90°，故△ABC为饨角三角形，不符合题意，故舍去； ③当B'A=B'E时，如图③，因为AB=AC,所以∠B=∠BCA. 由折叠得∠B=∠ABC,∠BCA=∠BCA. 设LB=x,则LAB'C=∠BCA=∠BCA=x, ZAEB'=](180-ZABE)=7ZABC=x. ∠EAC=180°-∠BAC=∠B+∠ACB=2x. 在△ABC中，由内角和定理得x2x+)x=180°，所以x 39,即∠B-3%,所以∠B4C=180-2×39=59 7 7 39<90,54矿<90，故△1BC为锐角三角形，符合题意； 7 ⑤ 第6题答图 (2)射线AB与射线BC交于点E,由于AE>AB=AB, 此时分两种情况：①当B'E=EA时，如图④，则∠BAB'=∠B', 因为AB=AC,所以LABC=∠ACB. 由折叠得LABC=∠B',∠BAC=∠B'AC 设∠BAC=x,则∠BAB'=∠BAC+∠BAC=2x=∠B, 所以∠ABC=∠ACB=∠B'=2x 在△ABC中，x+2x+2x=180°，所以x=36°， 所以∠BAC=36°，∠ABC=∠ACB=72°， 36°<90°，72°<90°，故△ABC为锐角三角形，符合题意； ②当AB=EB时，如图⑤，由折叠得∠ABC=∠B,∠BAC=∠BAC 设∠BAC=x,则∠BAB'=∠BAC+∠B'AC=2x=∠E,∠ABC =1809-x=∠B.在△4EB中，2x+2x180-x=180, 2 2 所以x-1%,所以∠BAC-19,∠ABC=∠4CB- 7 1℃<90,540<90°，放△1BC为锐角三角形，符合题意： 因为△ABC为锐角三角形，所以∠BAC=540°或36°或180 7 综上，∠BAC=540°或36°或180° 7 7 故答案为540°或36°或180°. 7 7 7.【解(1)由题意得t×1+12=2t,解得t=12, 所以当t=12时，M,N两点重合，此时两点在点C处重合。 (2)存在. 如图，当AN=AM时， ∠AMN=∠ANM, 所以∠AMC=∠ANB. 因为△ACB是等边三角形， 所以AC=AB,∠C=∠B, 所以△ACM≌△ABN(AAS), 所以CM=BN 第7题答图 由题意知CM=t-12,NB=36-2t. 因为CM=NB,所以t-12=36-2t,解得t=16. 经检验1=16符合题意， 所以当点M,N在BC边上运动时（不包括B,C点），存在使AM =AN的位置，此时运动时间为16s. 卷22专题最值问题 1.A【解析】如图，点A'是点A关于直线a的对称点，连接'B, 则A'B与直线a的交点即点P的位置，此时PA+PB最短， 因为A'B与直线a交于点C,所以点P应选在C点.故选A. Ap… B (P) ◆ Q A2 A OM 第1题答图 第2题答图 2.C【解析】如图，作Q关于AP的对称点O,则PQ=PO,所以 O,P,C三点共线时，PC+PQ=PC+PO=CO,此时PC+PQ 取得最小值.因为当CO垂直AB即CO移到CM的位置时， CO的长度最小，所以PC+PQ的最小值即CM的长度. 因为Sx=34B·CM=方4CCB,所以CM=08=48, 即PC+PQ的最小值为4.8.故选C. 3.A【解析】如图，作点P关于OB的对称点P,关于OA的对称 点P",连接NP',MP",OP', D OP",P'P",I NP'=NP,MP" MP,OP'=OP=3,OP"= N OP=3,故△PMN的周长= NP+MN+MP NP'+MN+MP" 当P',N,M,P"四点共线时， 0 NP'+MN+MP"有最小值，其最 小值=PP"=3. 因为OP=3,OP"=3,P'P" 第3题答图 =3,所以OP'=OP"=P'P",即△P'OP"是等边三角形，所以 ∠POP"=60°. 由对称可得∠P'ON=∠PON,∠P"OM=∠POM,所以a= ∠PON4∠POM=(LPOP+∠POP")=∠POP"=30°. 故选A. 4.号【解析】如图，作点F关于AC的对称点F,连接AF,延长 AF与BC的延长线交于点B',则∠BAB=30°，EF=EF, 所以FE+EB=BE+EF',所以当B,E,F'三点共线且所在直线 与AB'垂直时，BE+EF长度最小 作BD LAB于点D,在△ABD中，BD=)AB=多， 则FE+EB的最小值为故答案为号 D M N F:E 0 B D 第4题答图 第5题答图 5.40°【解析】如图，作点N关于OB的对称点D,作点P关 于OA的对称点E,连接OD,OE,DQ,ME,则PM+MQ+QN 真题圈数学七年级下12N =ME+MQ+DQ,所以当E,M,Q,D在一条直线上时，PM4 MQ+QW的值最小，由对称性可知，∠OQN=∠OQD. 因为∠AOB=20°，所以∠OQD=180°-∠OQM=∠AOB+ ∠OMQ=∠AOB+180°-∠AMQ=200°-∠AMQ=∠OQN. 在△NOQ中，∠NOQ+∠ONQ+∠OQN=180°， 所以20°+∠ONQ+200°-∠AMQ=180°， 所以∠AMQ-∠ONQ=40°.故答案为40°、 6.【解】如图，连接PB,因为AB=AC,BD=CD,A 所以AD⊥BC,所以PB=PC, 所以PC+PE=PB+PE. 因为PE+PB≥BE, 所以当P,B,E共线时，PB+PE的 值最小，最小值为BE的长度， D 所以PC+PE的最小值是6. 第6题答图 第六章变量之间的关系 卷23现实中的变量 1.B2.D 3.C【解析】在这个变化过程中，BC的长和△ABC的面积是变 量，底边BC上的高6cm是常量，故②③④正确；随着BC长的 变化，AC的长也变化，故①不正确.叙述正确的有3个，故选C. 4.气温5.①③ 6.【解】(1)题表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水 的温度是因变量 (2)水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定. (3)时间推移2min,水的温度增加14℃，到第10min时恒定。 (4)根据表格，16min和18min时水的温度均为100℃. (5)为了节约能源，应在第10min时停止烧水. 卷24用表格、关系式表示变量之间的关系 1.C【解析]Q=50-00×10=50-0.故选C 2.B【解析】A.支撑物高度在增加，时间在减小，故支撑物高度 是自变量，故A正确，不符合题意； B.支撑物高度h第一次增加10cm,下滑时间减少0.24s;第二 次增加10cm,下滑时间减少0.2s,故B错误，符合题意； C.当h=40cm时，t为2.66s,故C正确，不符合题意； D.随着支撑物高度h的增加，下滑时间越来越短，故D正确， 不符合题意.故选B. 3.100【解析】把x=120代入y=6x,得y=20,所以在月球 上质量减少了120-20=100(kg).故答案为100. 4.30【解析】根据表格可知，重物的质量每增加0.5kg,弹簧 伸长1cm,则重物的质量每增加1kg,弹簧伸长1÷0.5×1= 2(cm),根据“弹簧总长=原长+伸长量”，得L=15+2x. 当x=7.5时，L=15+2×7.5=30,所以当重物质量为7.5kg（在 弹性限度内)时，弹簧的总长是30cm.故答案为30. 5.7【解析】因为输入x的值是3，输出y的值是-3， 所以-3=2x3+b,所以b=-3. 3 当x=-5时，-5<2，故y=-2x+b=-2×(-5)-3=7. 故答案为7. 6.【解1(1)由题意得y=(x+15)×8,化简得y=4x+60, 、所以该梯形的面积y与上底长x之间的关系式为y=4x+60. ∠(2)当x=3时，y=4×3+60=12+60=72;当x=6时，y卷20专题 线段的 类型1线段的垂直平分线 1.如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在 MN外，且与A点在MN的同一侧，连接BC 交MN于点P,连接AP,则( A.BC>PC+AP B.BC=PC+AP C.BC<PC+AP D.BC≤PC+AP 第1题图 第2题图 2.(期末·济南槐荫区)如图，在△ABC中，∠B =55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆 心，大于)4C的长为半径画弧，两弧相交于 点M,N,作直线MN交BC于点D,连接AD, 则∠BAD的度数为 3.（期末·沈阳铁西区)如图，在△ABC中，AB 边的垂直平分线DE 分别与AB边和AC边 交于点D和点E,BC G 边的垂直平分线FG 第3题图 分别与BC边和AC边交于点F和点G,若 △BEG的周长为10，且GE=1,则AC的长 为 4.(期中·吉林大学附中改编)如图，在锐角 △ABC中，边AB,AC的垂直平分线交于点 P连接BP,CP若∠BPC=100°，求∠A的 度数. 第4题图 真题天天练 垂直平分线、角平分线 类型2角平分线 5.(期末·西安交大附中)如图，AE,BE,CE分 别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,ED⊥BC于点 D,ED=1,△ABC的面积为12，则△ABC 的周长为( A.4 B.6 C.24 D.12 D 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E, 若BC=7,DE=3,则BD的长为 7.(期末·河南省实验中学改编)如图，已知在 △ABC中，若∠A=70°. (1)分别作∠B,∠C的平分线，它们交于点O (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)。 (2)当∠B=60时，∠BOC的度数为 精(3)当∠A=a时，求∠BOC的度数 第7题图 27 真题圈数学七年级下12N 卷21专题 等腰 1.(中考·河北)四边形ABCD的边长如图所 示，对角线AC的长度随四边形形状的改变 而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线 AC的长为( A.2 B.3 C.4 D.5 第1题图 第3题图 2.（期末·武汉硚口区)等腰三角形一腰上的 高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的度 数为( ) A.25° B.20° C.25或65° D.20或70° 3.如图，在4×4的网格中，点A,B在格点上， 以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等 腰三角形可以作出( )个 A.6 B.7 C.8 D.9 4.（期末·西安交大附中)已知等腰三角形的 底边长为8，一腰上的中线把三角形分为两 部分，其中一部分的周长比另一部分长3，那 么这个三角形的腰长为 5.（期末·沈阳铁西区)在△ABC中，AB= AC,∠ABC=70°，在直线BC上取一点P, 使CP=CA,连接AP,则∠BAP的度数 为 6.在锐角△ABC中，AB=AC,将△ABC沿AC 翻折得到△ABC,直线AB与直线B'C相交 于点E,若△AEB'是等腰三角形，则∠BAC的 度数为 28 三角形中的分类讨论 7.如图，在等边△ABC中，AB=12cm,现有M, N两，点分别从点A,B同时出发，沿△ABC的 边按顺时针方向运动，已知点M的速度为 1cm/s,点N的速度为2cm/s,当点N第一次 到达B点时，M,N同时停止运动，设运动时 间为t(s). (1)当t为何值时，M,N两点重合？两点重 合在什么位置？ (2)当点M,N在BC边上运动时（不包括B, C点)，是否存在使AM=AN的位置？若存 在，请求出此时点M,N运动的时间；若不存 在，请说明理由· W 第7题图 卷22专题 1.在如图4×4的正方形网格中，有A,B两点， 在直线a上求一点P,使PA+PB最短，则点 P应选在( A.C点 B.D点 C.E点 D.F点 A… R E D C 第1题图 第2题图 2.(期末·济南市中区)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB= 10,AD是∠BAC的平分线，若P,Q分别是 AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值 是( ) A.2.4 B.4 C.4.8 D.5 3.(期末·天津耀华中学改编)如图，∠AOB的 大小为a,点P位 B 于∠AOB内，OP= 3,点M,N分别是 射线OA,OB边上 0 M 的动点，若△PMW 第3题图 周长的最小值等于3，则a=( A.30° B.45 C.60° D.90° 4.(月考·重庆八中)如图，已知在Rt△ACB 中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5,点E 为边AC上的动点，点F为边AB上的动点， 则线段FE+EB的最小值是 .(提示： 在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直 角边是斜边的一半) 第4题图 真题天天练 最值问题 5.(期末·青岛大学附中)如图，已知∠AOB =20°，点P,N分别是射线OB,OA上的定 点，M为射线OA上的一动点，Q为射线OB 上的一动点，当PM+MQ+QN的值最小时， ∠AMQ-∠ONQ的度数为 M B 第5题图 6.(期末·郑州中原区改编)如图，在△ABC中， AB=AC,AD,BE是△ABC的两条中线， AD=5,BE=6,P是AD上的一个动点， 连接PE,PC,求PC+PE的最小值 D 第6题图 精品图书 29