高考数学272个方法技巧全归纳（知识清单）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

高考数学方法技巧全归纳（272） 目录 方法技巧01 集合的概念 1 方法技巧02 集合间的基本关系 1 方法技巧03 集合的运算 1 方法技巧04 Venn图的应用及创新性问题 2 方法技巧05 充分、必要条件的判定 2 方法技巧06 充分、必要条件的探求 3 方法技巧07 充分、必要条件的应用 4 方法技巧08 含量词命题的否定 4 方法技巧09 含量词命题的真假判断 5 方法技巧10 含量词命题的应用 5 方法技巧11 数(式)的大小比较 6 方法技巧12 不等式的性质 6 方法技巧13 不等式性质的应用 7 方法技巧14 直接用基本不等式求和或积的最值 7 方法技巧15 配凑法求最值 8 方法技巧16 常数代换法求最值 8 方法技巧17 消元法求最值 9 方法技巧18 不等式法求最值 9 方法技巧19 多次运用基本不等式 10 方法技巧20 利用基本不等式求参数的值或范围 10 方法技巧21 基本不等式的实际应用 11 方法技巧22 不含参的不等式的解法 12 方法技巧23 含参数的一元二次不等式的解法 13 方法技巧24 根据一元二次不等式的解集求参数 13 方法技巧25 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 14 方法技巧26 一元二次不等式恒成立问题 15 方法技巧27 一元二次方程根的分布问题 15 方法技巧28 同一函数的判断 16 方法技巧29 求函数的定义域 17 方法技巧30 求函数的值域 17 方法技巧31 求函数的解析式 20 方法技巧32 分段函数 20 方法技巧33 确定函数的单调性(单调区间) 21 方法技巧34 函数单调性的应用 21 方法技巧35 求函数的最值 22 方法技巧36 函数奇偶性的判断 23 方法技巧37 函数奇偶性的应用 24 方法技巧38 函数的周期性 25 方法技巧39 轴对称问题 25 方法技巧40 中心对称问题 26 方法技巧41 两函数图象间的对称问题 26 方法技巧42 幂函数的图象及性质 26 方法技巧43 二次函数的图象与解析式 27 方法技巧44 二次函数的单调性与最值 28 方法技巧45 指数幂的运算 28 方法技巧46 指数函数的图象及应用 29 方法技巧47 比较指数式的大小 29 方法技巧48 解简单的指数方程或不等式 30 方法技巧49 指数函数性质的综合应用 30 方法技巧50 对数的运算 31 方法技巧51 对数函数的图象及应用 31 方法技巧52 对数函数的性质及应用 32 方法技巧53 函数图象的辨识 33 方法技巧54 函数图象的应用 34 方法技巧55 判定函数零点所在的区间 34 方法技巧56 确定函数零点的个数 35 方法技巧57 根据函数零点个数求参数 35 方法技巧58 根据函数零点范围求参数 36 方法技巧59 用函数图象刻画实际问题 36 方法技巧60 已知函数模型的实际问题 37 方法技巧61 构建函数模型的实际问题 38 方法技巧62 变化率问题 39 方法技巧63 导数的运算 40 方法技巧64 导数几何意义的应用 41 方法技巧65 两曲线的公切线问题 42 方法技巧66 导函数与原函数性质关系问题 42 方法技巧67 不含参数的函数的单调性 43 方法技巧68 含参数的函数的单调性 43 方法技巧69 函数单调性的应用 44 方法技巧70 根据函数的图象判断函数的极值 45 方法技巧71 求已知函数的极值 46 方法技巧72 已知函数的极值(点)求参数 46 方法技巧73 利用导数研究函数的最值 47 方法技巧74 导数型构造函数 47 方法技巧75 依据数值特征构造具体函数 48 方法技巧76 地位同等同构 49 方法技巧77 指对混合型的同构 49 方法技巧78 移项构造法证明不等式 50 方法技巧79 分拆构造双函数法证明不等式 51 方法技巧80 放缩法证明不等式 51 方法技巧81 端点效应 52 方法技巧82 洛必达法则 53 方法技巧83 单变量不等式恒成立问题 54 方法技巧84 单变量不等式能成立问题 54 方法技巧85 双变量不等式恒(能)成立问题 55 方法技巧86 数形结合法探究函数零点问题 55 方法技巧87 借助函数的性质探究函数的零点问题 55 方法技巧88 构造函数法研究函数零点 56 方法技巧89 隐零点问题 56 方法技巧90 极值点偏移问题 57 方法技巧91 任意角 58 方法技巧92 扇形的弧长及面积公式 59 方法技巧93 三角函数的概念及应用 59 方法技巧94 同角三角函数的基本关系“知一求二”问题 60 方法技巧95 正余弦齐次式的计算 60 方法技巧96 sinα±cosα和sinαcosα之间的关系 61 方法技巧97 诱导公式的应用 62 方法技巧98 和、差、倍角公式的直接应用 62 方法技巧99 和差角公式的逆用与变形 63 方法技巧100 角的变换问题 63 方法技巧101 三角函数式的求值 64 方法技巧102 三角函数的定义域和值域 64 方法技巧103 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 65 方法技巧104 求三角函数的单调区间 66 方法技巧105 根据三角函数的单调性求参数 66 方法技巧106 比较三角函数值的大小 67 方法技巧107 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 67 方法技巧108 由图象确定三角函数的解析式 68 方法技巧109 三角函数图象与性质的综合应用 69 方法技巧110 三角函数模型的应用 70 方法技巧111 三角函数中ω的范围问题 71 方法技巧112 复杂三角函数性质判断 72 方法技巧113 利用正、余弦定理解三角形 73 方法技巧114 判断三角形的形状 73 方法技巧115 三角形面积的计算 74 方法技巧116 三角形的中线问题 75 方法技巧117 三角形的角平分线问题 75 方法技巧118 三角形的高线问题 76 方法技巧119 已知三角形的一角求取值范围 76 方法技巧120 已知三角形的一角及其对边求取值范围 76 方法技巧121 已知三角形的一角及其邻边求取值范围 77 方法技巧122 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围 77 方法技巧123 测量距离问题 78 方法技巧124 测量高度问题 78 方法技巧125 测量角度问题 79 方法技巧126 和差正切公式在解三角形的应用 80 方法技巧127 平面向量的概念 81 方法技巧128 平面向量的线性运算 81 方法技巧129 向量共线定理的应用 82 方法技巧130 平面向量基本定理的应用 83 方法技巧131 平面向量的坐标运算 84 方法技巧132 向量共线的坐标表示 85 方法技巧133 平面向量数量积的运算 85 方法技巧134 平面向量数量积的应用 86 方法技巧135 平面向量的应用 87 方法技巧136 极化恒等式求数量积 88 方法技巧137 极化恒等式求数量积的最值 89 方法技巧138 复数的有关概念 89 方法技巧139 复数的四则运算 90 方法技巧140 复数的几何意义 90 方法技巧141 由an与Sn的关系求通项公式 91 方法技巧142 由数列的递推关系求通项公式 92 方法技巧143 数列的周期性 92 方法技巧144 数列的单调性 93 方法技巧145 数列的最值 93 方法技巧146 等差数列基本量的运算 94 方法技巧147 等差数列的判定与证明 94 方法技巧148 等差数列性质的应用 95 方法技巧149 等差数列的前n项和及其最值 96 方法技巧150 等比数列基本量的运算 96 方法技巧151 等比数列的判定与证明 97 方法技巧152 等比数列性质的应用 98 方法技巧153 分组求和与并项求和 99 方法技巧154 裂项相消法求和 99 方法技巧155 错位相减法求和 100 方法技巧156 数列模型的应用 101 方法技巧157 数列中的不等式证明 102 方法技巧158 数列中的不等式恒成立 102 方法技巧159 数列奇偶项问题 103 方法技巧160 数列增减项问题 103 方法技巧161 数列新情境、新定义问题 104 方法技巧162 基本立体图形结构特征 104 方法技巧163 空间几何体的直观图 105 方法技巧164 空间几何体的展开图 105 方法技巧165 空间几何体的表面积与体积 106 方法技巧166 简单几何体的外接球 107 方法技巧167 简单几何体的内切球 108 方法技巧168 与球有关的截面问题 109 方法技巧169 基本事实的应用 110 方法技巧170 空间两直线位置关系的判定 110 方法技巧171 异面直线所成的角 111 方法技巧172 空间几何体的截面、截线问题 112 方法技巧173 截面分割体积比问题 113 方法技巧174 直线与平面平行的判定 114 方法技巧175 线面平行性质定理的应用 115 方法技巧176 平面与平面平行的判定与性质 116 方法技巧177 平行关系的综合应用 117 方法技巧178 直线与平面垂直的判定与性质 118 方法技巧179 平面与平面垂直的判定与性质 118 方法技巧180 垂直关系的综合应用 119 方法技巧181 三垂线定理及其逆定理 120 方法技巧182 空间向量的线性运算 121 方法技巧183 空间向量数量积的应用 122 方法技巧184 利用向量证明平行与垂直 123 方法技巧185 异面直线所成的角 124 方法技巧186 直线与平面所成的角 125 方法技巧187 平面与平面的夹角 127 方法技巧188 求空间距离 128 方法技巧189 立体几何中的探索性问题 129 方法技巧190 立体几何中的翻折问题 130 方法技巧191 动态空间位置关系的判定 131 方法技巧192 立体几何轨迹问题 132 方法技巧193 立体几何最值(范围)问题 133 方法技巧194 直线的倾斜角与斜率 134 方法技巧195 直线方程的求法 134 方法技巧196 直线方程的综合应用 135 方法技巧197 两条直线位置关系的判断及应用 135 方法技巧198 两条直线的交点与距离问题 136 方法技巧199 直线的对称问题 137 方法技巧200 圆的方程 138 方法技巧201 与圆有关的最值问题 138 方法技巧202 与圆有关的轨迹问题 139 方法技巧203 直线与圆的位置关系 140 方法技巧204 圆与圆的位置关系 141 方法技巧205 圆的切线问题 142 方法技巧206 圆的弦长问题 143 方法技巧207 与圆有关的综合问题 143 方法技巧208 椭圆的定义及应用 144 方法技巧209 椭圆的标准方程 144 方法技巧210 椭圆的简单几何性质 145 方法技巧211 椭圆的离心率问题 146 方法技巧212 与椭圆有关的最值(范围)问题 147 方法技巧213 椭圆的蒙日圆及其性质 147 方法技巧214 直线与椭圆的位置关系 148 方法技巧215 椭圆的弦长问题 149 方法技巧216 椭圆的中点弦问题 149 方法技巧217 直线与椭圆的综合问题 150 方法技巧218 圆锥曲线的非对称韦达问题 151 方法技巧219 双曲线的定义及其应用 151 方法技巧220 双曲线的标准方程 152 方法技巧221 双曲线的渐近线 153 方法技巧222 双曲线的离心率 154 方法技巧223 与双曲线有关的最值、范围问题 154 方法技巧224 直线与双曲线的位置关系 155 方法技巧225 抛物线动点轨迹的判定 156 方法技巧226 抛物线上的点到定点的距离及最值 156 方法技巧227 抛物线的标准方程与几何性质 157 方法技巧228 直线与抛物线的位置关系 157 方法技巧229 抛物线中的阿基米德三角形 158 方法技巧230 圆锥曲线中的四点共圆问题 159 方法技巧231 圆锥曲线中的定点问题 160 方法技巧232 圆锥曲线的定值问题 161 方法技巧233 圆锥曲线的定直线问题 162 方法技巧234 圆锥曲线的等角定理 163 方法技巧235 圆锥曲线中的范围、最值问题 164 方法技巧236 圆锥曲线中的证明、探索性问题 166 方法技巧237 圆锥曲线的极点、极线 167 方法技巧238 两个计数原理及综合应用 170 方法技巧239 排列、组合问题 171 方法技巧240 分组、分配问题 172 方法技巧241 二项展开式的通项公式的应用 173 方法技巧242 二项式系数和与系数和 173 方法技巧243 二项式系数与系数最值 174 方法技巧244 二项式定理的应用 175 方法技巧245 随机事件与样本空间 175 方法技巧246 随机事件的频率与概率 176 方法技巧247 古典概型 177 方法技巧248 事件的相互独立性 178 方法技巧249 条件概率 179 方法技巧250 全概率公式的应用 180 方法技巧251 离散型随机变量分布列的性质 180 方法技巧252 离散型随机变量的分布列及数字特征 181 方法技巧253 离散型随机变量数字特征在决策中的应用 183 方法技巧254 二项分布的期望 184 方法技巧255 二项分布的性质 185 方法技巧256 超几何分布 187 方法技巧257 正态分布 188 方法技巧258 二项分布与超几何分布的区别 190 方法技巧259 简单随机抽样 191 方法技巧260 分层随机抽样 191 方法技巧261 分层随机抽样的均值与方差 192 方法技巧262 统计图表 193 方法技巧263 总体百分位数的估计 196 方法技巧264 总体集中趋势的估计 197 方法技巧265 总体离散程度的估计 198 方法技巧266 成对数据的相关性 199 方法技巧267 一元线性回归模型 200 方法技巧268 非线性回归模型 202 方法技巧269 独立性检验 204 方法技巧270 以统计图表为载体的概率、统计问题 206 方法技巧271 概率、统计与数列的综合问题 208 方法技巧272 概率、统计与函数的交汇问题 209 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 方法技巧01 集合的概念 解决集合含义问题的注意点 一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【典例1】(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为(　　) A．－1，2 B．－3 C．－1，－3，2 D．－3，2 【典例2】(2024·江苏南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________． 方法技巧02 集合间的基本关系 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加． 提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 【典例1】(2024·江苏南通三模)已知集合M＝，N＝，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ 【典例2】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． 方法技巧03 集合的运算 解决集合运算问题的注意点 (1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值． (2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了． (3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图． (4)端点值验证． 【典例1】(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1，4} 【典例2】(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A． B． C． D． 【典例3】全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________． 方法技巧04 Venn图的应用及创新性问题 Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题． 【典例1】定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－的子集个数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【典例2】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． 方法技巧05 充分、必要条件的判定 判断充要条件的三种方法 (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． (3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 【典例1】(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】(2025·江苏扬州模拟)已知集合A＝，B＝{1，a＋1，a－1}，则“a＝1”是“A⊆B”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧06 充分、必要条件的探求 探求充分条件、必要条件的方法 （1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，即p⊆q； （2）寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，即q⊆p； （3）寻求q的充要条件p，即寻求使q成立的条件p（p⇒q），同时又要寻求以q为条件可推出p成立（q⇒p），即p＝q. 【典例1】“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　) A．－1<x<－　　　　　 B．x>0 C．－1<x<0 D．x<0 【典例2】(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a＝－1 B．a＝b C．b＝1 D．ab＝1 方法技巧07 充分、必要条件的应用 用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． (3)充分必要条件与集合包含之间的关系． 【典例1】(多选)(2024·山西太原模拟)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　) A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是－2<a<4 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4 【典例2】已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧08 含量词命题的否定 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 【典例1】命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　) A．∀x<0，x＋2>2x B．∃x≥0，使得x＋2>2x C．∀x<0，x＋2≤2x D．∃x≥0，使得x＋2≤2x 【典例2】（2024·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例3】已知命题：，使得且，则为（    ） A．，使得且 B．，使得或 C．，使得或 D．，使得且 方法技巧09 含量词命题的真假判断 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 【典例2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 方法技巧10 含量词命题的应用 由命题的真假求参数的策略 （1）巧用三个转化：①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在量词命题可转化为存在性问题；③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. （2）准确计算：通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围. 【典例1】若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________．【典例2】若命题“∃x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是________． 方法技巧11 数(式)的大小比较 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． (4)找中间量比较大小(如1，－1，0，2，…)． 【典例1】若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c　　　　　 B．c<b<a C．c<a<b　　 D．b<a<c 【典例2】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________． 方法技巧12 不等式的性质 判断不等式正误的常用方法 (1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件． (2)利用特殊值法排除错误不等式． (3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较． 【典例1】(多选)(2024·安徽淮北一模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>c，则a＋b>c B．若a>b>|c|，则a2>b2>c2 C．若a<b<c<0，则> D．若a>b>c>0，则< 【典例2】(多选)已知实数a，b，c满足0<a<b<c，则下列说法正确的是(　　) A．>　　　　 B．> C．> D．ab＋c2>ac＋bc 方法技巧13 不等式性质的应用 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围． 提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，如“a＜b，c＜d⇒a＋c＜b＋d”，反之不成立． 【典例1】(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则(　　) A．x的取值范围为(－1，2) B．y的取值范围为(－2，1) C．x＋y的取值范围为(－3，3) D．x－y的取值范围为(－1，3) 【典例2】已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　) A．(1，3) B． C． 【典例3】已知－1＜2s＋t＜2，3＜s－t＜4，则5s＋t的取值范围为________． 方法技巧14 直接用基本不等式求和或积的最值 利用基本不等式求最值的原则及注意点 (1)原则：积定和最小，和定积最大； (2)注意点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备． 【典例1】(2025·湖北武汉模拟)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则(　　) A．ab≥ B．ab> C．0<ab≤ D．0<ab< 【典例2】(2025·浙江台州模拟)已知a，b为正实数，＝1，则(　　) A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 【典例3】已知0<x<2，则x2的最大值为(　　) A．8 B．16 C．2 D．4 方法技巧15 配凑法求最值 　常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x＞0)，当且仅当x＝时等号成立； (2)模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x＞a)，当且仅当x－a＝时等号成立． 【典例1】若x<，则函数f (x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 【典例2】已知0＜x＜，则x的最大值为________． 【典例3】(2024·河北唐山一模)已知函数f ＝，则f 的最小值为(　　) A．0 B．2 C．2 D．3 【典例4】(2025·湖南长沙模拟)若实数x>2y>0，则的最小值为________，此时＝________． 方法技巧16 常数代换法求最值 “1”的妙用 (1)乘“1”法是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知x＋y＝t(t为非零常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值． (2)常数“1”的代换，即把求解目标中的常数代数化，化为形如求“的最值”问题，进而可以使用基本不等式达到解题的目的． 【典例1】（2024春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.  【典例3】已知正数a，b满足a＋2b＝3，则的最小值为________． 方法技巧17 消元法求最值 消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围 【典例1】已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 【典例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例3】(2024·浙江嘉兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　　) A． C．2 D．2 方法技巧18 不等式法求最值 当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值. 【典例1】(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是(　　) A.a＋b≤8 B.ab≥16 C.a＋3b≥4＋6 D.≥ 【典例2】（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D． 【典例3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 方法技巧19 多次运用基本不等式 在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可. 【典例1】（2024·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【典例2】（2022·天津·一模）设，那么 的最小值是 . 方法技巧20 利用基本不等式求参数的值或范围 对于不等式恒(能)成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值． (1)∃x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)max≥a； (2)∃x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)min≤a； (3)∀x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)min≥a； (4)∀x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)max≤a． 【典例1】(2025·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． C． 【典例2】若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式<m2＋m有解，则实数m的取值范围是________． 方法技巧21 基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的注意点 (1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性． (4)在实际问题中利用基本不等式求最值时，必须指明等号成立的条件． 【典例1】某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2． (1)求S与x之间的函数关系式； (2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价． 【典例2】(2025·湖南长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心．假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比．经测算，如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元．要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为(　　) A．5 km B．6 km C．7 km D．8 km 方法技巧22 不含参的不等式的解法 1.解一元二次不等式的方法和步骤 2.一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正． 如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿． 3.简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 4.绝对值不等式： |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 5.简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a>1，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； 若0<a<1，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． (2)若a>1，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0； 若0<a<1，logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)． 【典例1】(多选)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 【典例2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集： (1) (2) (3)． 方法技巧23 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式的步骤 【典例1】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 【典例2】解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)． 方法技巧24 根据一元二次不等式的解集求参数 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 【典例1】(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.a＋b＋c>0 C.bx＋c>0的解集是 D.cx2－bx＋a<0的解集是 【典例2】(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是(　　) A.x1＋x2＝2 B.x1x2<－3 C.－1<x1<x2<3 D.x2－x1>4 方法技巧25 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 1.定开口与判别式 先确定二次项系数符号，判断抛物线开口方向；计算判别式，确定不等式有解的前提，保证解集为连续区间。 2.求根并标区间 解出对应一元二次方程的两根 ，结合不等号写出解集区间 或 ，只关注有限连续区间内的整数。 3.画数轴锁定整数 在数轴上标出区间端点，根据题目“整数解个数”，圈出所有符合条件的整数，确定端点必须夹在哪两个整数之间。 4.列不等式组求参数 根据区间端点与整数的位置关系，列出关于参数的不等式组，注意等号能否取到（端点是否包含整数），解出参数范围。 【典例1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【典例2】关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧26 一元二次不等式恒成立问题 恒成立问题求参数的取值范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． (3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式． 【典例1】若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，－2) C．(－2，2) D．(－2，2] 【典例2】若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________．【典例3】若∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为________． 方法技巧27 一元二次方程根的分布问题 解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤： （1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。 （2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组： ①开口方向( 的符号)； ②判别式 ,保证有实根) ; ③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)； ④ 对称轴位置 （3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。 通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。 【典例1】若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则a的取值范围是(　　) A.－<a< B.a> C.a<－ D.－<a<0 【典例2】已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 方法技巧28 同一函数的判断 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 【典例1】下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例3】与函数有相同图象的一个函数是（    ） A． B． C．，其中 D．，其中 方法技巧29 求函数的定义域 求函数的定义域的策略 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求抽象函数的定义域： ①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由mg(x)n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域． ②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由mxn得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域． 【典例1】已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5) C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3] 【典例2】(2025广东东莞模拟)函数y＝＋的定义域为________． 【典例3】)(2025山东青岛模拟)若函数f (x)＝的定义域为R，则常数k的取值范围是(　　) A．(0，4) B．[0，4) C．[0，4] D．(0，4] 方法技巧30 求函数的值域 （1）观察法(有界函数）——“拼图” 第一步，观察函数中的特殊函数； 第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域． （2）配方法 以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题 第一步，将二次函数配方成； 第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围） (注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。） （3） 图象法 通过数形结合方式，将图象投影到y轴上，看值域时，记得由下往上看。 （4）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法） 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法： 主要的分式函数有：等 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。 第一步，观察函数类型，型如； 第二步，对函数变形成形式； 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域． （5）换元法 第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域． 如：函数，可以令，得到，函数 可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． （6）判别式法 第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域． （7）单调性法 第一步，求出函数的单调性； 第二步，利用函数的单调性求出函数的值域． （8）基本不等式法 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等” （9）导数法 先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域. 【典例1】函数的值域为__________ 【典例2】函数的值域为______． 【典例3】函数的值域为______. 【典例4】函数，的值域为 ． 【典例5】已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 方法技巧31 求函数的解析式 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围． (4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)． 【典例1】求下列函数的解析式： (1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式； (2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式； (3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式； (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式． 【典例2】(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________． (2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________． (3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________． 方法技巧32 分段函数 分段函数的几类题型及解决方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 【典例1】(2025湖北武汉模拟)已知f (x)＝则f ＝(　　) A．2 B． C． D．1 【典例2】函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝f (a－1)，则f ＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【典例3】(2024湖北十一校一模)已知函数f (x)＝则关于x的不等式f (x)1的解集为________．【典例4】设函数则满足的x的取值范围是______． 方法技巧33 确定函数的单调性(单调区间) 确定函数单调性的方法 (1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论． (2)性质法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易画出，可由图象直观地判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． 提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集． 【典例1】(2025浙江绍兴模拟)函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(2，＋∞) 【典例2】(2024广东深圳三模)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是________． 【典例3】试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 方法技巧34 函数单调性的应用 函数单调性应用问题的解题策略 (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式． 【典例1】已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 【典例2】(2025广东佛山模拟)已知函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)<f (2－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(－∞，1) C．(0，1) D．(1，＋∞) 【典例3】(2024新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 【典例4】设f (x)是定义在R上的增函数，且f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (－2)＞1的解集为________． 方法技巧35 求函数的最值 求函数最值的五种常用方法 【典例1】(2024湖南湘东名校期中)已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为(　　) A．0 B．±1 C．± D．±2 【典例2】（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2025高二·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 方法技巧36 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的两个必备条件及方法 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称； (2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立． (3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法． 【典例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝； (2)f (x)＝(1＋x)； (3)f (x)＝ (4)f (x)＝log2(x＋)． 【典例2】已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2，则函数f (x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 方法技巧37 函数奇偶性的应用 1.求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 2.(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题． 【典例1】(2023新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 【典例2】(2024山西大学附中期中)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x3＋x＋1，则f (x)在R上的解析式为________． 【典例3】(2025湖南师大附中模拟)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式(2x－5)f (x－1)＜0的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪ B．(4，＋∞) C．∪(4，＋∞) D．(－∞，－2) 方法技巧38 函数的周期性 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小． 【典例1】(2025福建三明期中)若偶函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，当x∈(0，1)时，f (x)＝＋1，则f ＝(　　) A．2 B． C． D． 【典例2】定义在R上的函数f 满足f ＝f －2，则下列函数中是周期函数的是(　　) A．y＝f －x B．y＝f ＋x C．y＝f －2x D．y＝f ＋2x 【典例3】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______. 方法技巧39 轴对称问题 轴对称的几种表述形式 (1)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (a－x)＝f (a＋x)； (2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称． 【典例1】已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝(　　) A．29 B．11 C．3 D．5 【典例2】已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　) A．－4 B．0 C．4 D．8 方法技巧40 中心对称问题 中心对称的几种表述形式 (1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点对称． (2)双曲线型函数f (x)＝的图象的对称中心为． 【典例1】(2024河北重点中学二模)已知函数y＝f (x－1)为奇函数，则函数y＝f (x)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称 C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称 【典例2】(2024四川泸州三模)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＋f (4－x)＝0，若函数f (x)与y＝图象的交点的横坐标分别为x1，x2，…，xn，则＝(　　) A．4n B．2n C．n D．0 方法技巧41 两函数图象间的对称问题 函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称． 【典例1】(2025江苏扬州模拟)定义在R上的函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　) A．(2，1) B．(－2，－1) C．(－2，1) D．(2，－1) 【典例2】设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，则实数m的值为________． 方法技巧42 幂函数的图象及性质 与幂函数有关问题的解题思路 (1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0． (3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【典例1】已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【典例2】幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4 B．f (x)是减函数 C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数 【典例3】如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m，n是偶数，且>1 方法技巧43 二次函数的图象与解析式 研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 【典例1】已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________．【典例2】(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 方法技巧44 二次函数的单调性与最值 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 【典例1】(2024山东济南期中)已知函数y＝的定义域与值域均为[0，1]，则实数a的取值为(　　) A．－4 B．－2 C．1 D．－1 【典例2】(2024江苏常州期中)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，恒有f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，f (0)＝－2． (1)求函数f (x)的解析式； (2)设g(x)＝f (x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值； (3)若h(x)＝[f (x)－x2＋2]|x－a|，a∈R，若函数h(x)在[－2，2]上是单调函数，求a的取值范围． 方法技巧45 指数幂的运算 指数幂运算的一般原则 (1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一． 【典例1】(2025湖南长沙模拟)计算－(－1)0＋＝________． 【典例2】(多选)下列计算正确的是(　　) A．＝ B． ( )÷( )＝－9a(a>0，b>0) C．＝ D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2 方法技巧46 指数函数的图象及应用 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系． (3)定点与渐近线是作图的关键． 【典例1】(多选)(2025山西晋中模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 【典例2】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________． 方法技巧47 比较指数式的大小 【典例1】(2023天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 【典例2】若2x＋5y2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y0 B．x＋y0 C．x－y0 D．x－y0 方法技巧48 解简单的指数方程或不等式 指数方程或不等式的解法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 【典例1】(2024江苏宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式f (x2)<f (2x＋3)的解集为(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 【典例2】已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________． 方法技巧49 指数函数性质的综合应用 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【典例1】(多选)(2024浙江温州期末)已知函数f (x)＝，则(　　) A．不等式<的解集是(－1，1) B．∀x∈R，都有f (－x)＝f (x) C．f (x)是R上的减函数 D．f (x)的值域为(－1，1) 【典例2】若函数f (x)＝的值域是，则f (x)的单调递增区间是________． 【典例3】已知函数f (x)＝x3(a2x－2－x)是偶函数，则a＝________． 【典例4】(2023新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 方法技巧50 对数的运算 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 【典例1】(2025·四川成都模拟)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＝2，则t＝(　　) A．2 B．12 C． D． 【典例2】(2025·天津武清模拟)设a＝lg 20＋lg ，b＝log95，则a＋3b的值为(　　) A．2＋ B．1＋ C．27 D．26 方法技巧51 对数函数的图象及应用 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【典例1】已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1 C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1 【典例2】当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，2) 【典例3】已知函数f (x)＝|ln x|，若0<a<b，且f (a)＝f (b)，则a＋2b的取值范围是________． 方法技巧52 对数函数的性质及应用 【典例1】已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f (log2a)＋≤2f (1)，则a的取值范围是(　　) A．[1，2] B． C． D．(0，2] 【典例2】已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【典例3】(多选)(2025·广东深圳中学模拟)已知函数f (x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　) A．当a＝0时，f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f (x)一定有最小值 C．当a＝0时，f (x)的值域为R D．若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 【典例4】(多选)已知函数f (x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A．f (x)为奇函数 B．f (x)为偶函数 C．f (x)在上单调递减 D．f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) 方法技巧53 函数图象的辨识 辨析函数图象的入手点 (1)从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置． (2)从函数的奇偶性判断图象的对称性． (3)从函数的特殊点排除不合要求的图象． (4)从函数的单调性判断图象的变化趋势． (5)从函数的周期性判断图象的循环往复． 【典例1】函数f (x)＝的图象大致为(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 【典例2】若函数f (x)＝的部分图象如图所示，则f (5)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 方法技巧54 函数图象的应用 (1)注意函数性质与图象特征的对应关系． (2)某些方程和不等式的求解问题，可转化为图象的交点问题，体现了数形结合的思想． 【典例1】(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的是(　　) A．函数F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有3个根 C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D．函数F(x)有4个单调区间 【典例2】(2024·北京朝阳区三模)已知函数f (x)＝log2x－x＋1，则不等式f (x)<0的解集是(　　) A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(0，2) D．(0，1)∪(2，＋∞) 【典例3】已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________． 方法技巧55 判定函数零点所在的区间 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0，若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点． 【典例1】(2025·河北邯郸模拟)函数f (x)＝2x＋x3－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，2) 【典例2】已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 方法技巧56 确定函数零点的个数 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f (x)＝0，方程有多少个解，则f (x)有多少个零点． (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【典例1】函数f (x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 【典例2】设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】已知函数f＝则关于x的函数y＝4f2－13f＋9的零点的个数为(　　) A．8 B．7 C．5 D．2 方法技巧57 根据函数零点个数求参数 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【典例1】已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝m有3个不相等的实数根，则m的取值范围是________．【典例2】(多选)已知函数f (x)＝ 函数g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a，则下列说法错误的是(　　) A．若a<－，则g(x)恰有2个零点 B．若1≤a<2，则g(x)恰有4个零点 C．若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0，1) D.若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是∪(2，＋∞) 【典例3】函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 方法技巧58 根据函数零点范围求参数 已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解． 【典例1】函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞)　　　　　 B．[2，＋∞) C． D． 【典例2】若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________． 方法技巧59 用函数图象刻画实际问题 判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况． 【典例1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f的大致图象是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 【典例2】(2024·云南师大附中期末)如图是根据某调查绘制的某地区7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x(单位：岁)变化规律的函数模型是(　　) A．y＝mx＋n(m>0) B．y＝m＋n(m>0) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1) 方法技巧60 已知函数模型的实际问题 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 【典例1】(2025·山东泰安模拟)青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1，V2，则的值所在区间是(　　) A．(1.5，2) B．(2，2.5) C．(2.5，3) D．(3，3.5) 【典例2】英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过t min物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90 ℃的物体，若放在10 ℃的空气中冷却，经过10 min物体的温度为50 ℃，则若使物体的温度为20 ℃，需要冷却(　　) A．17.5 min　　　　 B．25.5 min C．30 min D．32.5 min 方法技巧61 构建函数模型的实际问题 构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤 【典例1】　(2024·江苏南通二模)某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4<x≤10时，y＝5－x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4) 【典例2】(多选)(2025·浙江嘉兴模拟)常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型： ①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg . 根据如图所示的标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是(　　) (参考数据：10-0.2≈0.6，10-0.15≈0.7，10-0.1≈0.8，10-0.05≈0.9) A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5.0，则小明视力的小数记录数据为0.9 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8 方法技巧62 变化率问题 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解． 【典例1】(多选)环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 则下列结论正确的是(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强 【典例2】(多选)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的关系为r(V)，r′为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1<V2≤3，则下列结论正确的是(　　) A．< B．r′>r′ C．r< D．存在V0∈，使得r′＝ 方法技巧63 导数的运算 导数的运算方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【典例1】(2025·河北冀州中学模拟)已知函数f (x)满足f (x)＝f ′sin x－cos x，则f ′的值为(　　) A． C．－ D．－ 【典例2】(2025·广东肇庆模拟)已知函数f (x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f ′(2)＝(　　) A．0　　 B．－12 C．－120 D．120 方法技巧64 导数几何意义的应用 导数几何意义的应用要点 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)函数f (x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题． 【典例1】(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x　　 B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 【典例2】(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|经过坐标原点的两条切线方程分别为________，________． 【典例3】(2024·浙江绍兴二模)曲线f (x)＝x＋a ln x在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　) A．1　　 B．2 C．－1 D．－2 【典例4】(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______． 【典例5】若点P是曲线y＝x2－2ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－3的距离的最小值为________． 方法技巧65 两曲线的公切线问题 曲线公切线的求解策略 设直线与曲线y＝f (x)相切于点(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)相切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2． 所以解出x1，x2，从而可得公切线方程． 【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 【典例2】(2025·福建泉州模拟)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为(　　) A． C．(－∞，0) D．(－∞，0) 【典例3】若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　) A．(0，2e]　　　　　　 B． C． D．[2e，＋∞) 方法技巧66 导函数与原函数性质关系问题 1．导函数与原函数对称性、周期性的关系 性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称． 性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称⇔导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称． 性质3：f (x)的图象是周期为T的周期函数⇔f ′(x)的图象是周期为T的周期函数． 2．导函数与原函数奇偶性的关系 性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数． 性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数． 【典例1】已知定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (2＋x)＝－f (2－x)，f ′(x)是f (x)的导数，则(　　) A．f ′(x)是奇函数，且是周期函数 B．f ′(x)是偶函数，且是周期函数 C．f ′(x)是奇函数，且不是周期函数 D．f ′(x)是偶函数，且不是周期函数 【典例2】(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f (0)＝0　　 B．g＝0 C．f (－1)＝f (4) D．g(－1)＝g(2) 方法技巧67 不含参数的函数的单调性 利用导函数求函数单调区间的注意点 (1)先求函数定义域，单调区间是定义域的子集． (2)正确求导函数． (3)当f ′(x)＝0无解时，可根据f ′(x)的结构特征确定f ′(x)的符号． (4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”“或”连接，要用“，”“和”隔开． 【典例1】函数f (x)＝的单调递增区间为________． 【典例2】已知函数f (x)＝8x－，x∈，讨论f (x)的单调性． 方法技巧68 含参数的函数的单调性 (1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个： 分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f ′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论； 分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，但不清楚f ′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论； 分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，f ′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论． (2)求出f ′(x)后，先观察f ′(x)的解析式的特征(当参数取某些特殊值或在某一范围内时，f ′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式． 【典例1】已知函数f (x)＝－a ln x(a∈R)，讨论f (x)的单调性． 【典例2】已知函数f (x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f (x)的单调性． 【典例3】(2024·山东青岛一模)已知函数f (x)＝x2－ax＋ln x，讨论f (x)的单调性． 方法技巧69 函数单调性的应用 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f (x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 【典例1】(2025·四川成都模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数y＝f (x)的导函数为y＝f ′(x)，当x>0时，xf ′(x)＋f (x)<0，且f (2)＝3，则不等式f (x－1)>的解集为__________． 【典例2】已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　) A．c<b<a　　 B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 【典例3】已知函数g(x)＝2x＋ln x－． (1)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围． 【典例4】已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足xf ′(x)－f (x)>0，且f (1)＝2，则f (ex)>2ex的解集为(　　) A．(0，＋∞)　　 B．(ln 2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，1) 方法技巧70 根据函数的图象判断函数的极值 1.根据原函数图象判断极值的解题策略 先在原函数图象上寻找峰顶、谷底或导数不存在的尖点，这些是候选极值点；再观察每个点左右两侧的单调性：若左边递增、右边递减，则为极大值点；若左边递减、右边递增，则为极小值点；若两侧单调性不变，则该点不是极值点，判断时只关注局部升降变化，不与整体最值混淆。 2.根据导函数图象判断极值的解题策略 先找出导函数图象与x轴的交点及导数不存在的点，这些是临界点；再看临界点左右两侧导函数的符号：若左正右负，则原函数在该点取极大值；若左负右正，则原函数在该点取极小值；若两侧符号相同，则该点无极值。 【典例1】　(2025·江苏常州模拟)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)＝(x－6)3·f ′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)有极小值f (6)，极大值f (1) B．f (x)仅有极小值f (6)，极大值f (10) C．f (x)有极小值f (1)和f (6)，极大值f (3)和f (10) D．f (x)仅有极小值f (1)，极大值f (10) 【典例2】已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A．在上有增也有减 B．有2个极小值点 C． D．有1个极大值点 方法技巧71 求已知函数的极值 求函数f (x)极值的步骤 ①确定函数的定义域． ②求导数f ′(x)． ③解方程f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0在定义域内的所有根． ④列表检验f ′(x)在f ′(x)＝0各个根的左、右两侧值的符号． 【典例1】已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)当a＝时，求f (x)的极值； (2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数． 【典例2】已知函数f (x)＝和g(x)＝＋b有相同的极大值，则b＝(　　) A．0　　　 B．2　　　 C．－1　　　 D．－3 方法技巧72 已知函数的极值(点)求参数 根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性．不满足题意可能有两种情况：一是函数在定义域内单调，二是函数在极值点左、右两侧的单调性相反，即极值相反． 【典例1】(2024·湖北武汉期中)已知函数f (x)＝b ln x＋x2＋2ax＋a2－3a在x＝1处取得极小值，则的值为________． 【典例2】(2025·八省联考)已知函数f (x)＝a ln x＋－x． ①设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f (x)的斜率为2的切线方程； ②若x＝1是f (x)的极小值点，求b的取值范围． 【典例3】已知函数f＝x3－ax2＋x在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　　) A． C． 【典例4】已知函数f (x)＝(ln x)2－ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 方法技巧73 利用导数研究函数的最值 求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 【典例1】(2022·全国乙卷)函数f＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　) A．－　　 B．－ C．－＋2 D．－＋2 【典例2】函数f (x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________． 【典例3】)设实数a>0，求函数f (x)＝在[a，2a]上的最小值． 方法技巧74 导数型构造函数 (1)出现xf ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝． (2)出现nf (x)＋xf ′(x)形式，构造函数F (x)＝xnf (x)． (3)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝． (4)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造函数F (x)＝enxf (x)． (5)与sin x，cos x有关的导函数存在一定的特殊性，其常见考查形式如下： F (x)＝f (x)sin x，F ′(x)＝f ′(x)sin x＋f (x)cos x； F (x)＝，F ′(x)＝； F (x)＝f (x)cosx，F ′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x； F (x)＝，F ′(x)＝． 【典例1】设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) 【典例2】已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足2xf (x)＋x2f ′(x)<0，f (2)＝，则关于x的不等式x2f (x)>3的解集为________． 【典例3】(2025·江苏常州模拟)已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，f (1)＝e，且对任意的x满足f ′(x)－f (x)<ex，则不等式f (x)>xex的解集是(　　) A．(－∞，1)　　 B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 【典例4】已知f ′(x)是函数f (x)的导函数，f (x)－f (－x)＝0，且对于任意的x∈满足f ′(x)cos x＋f (x)sin x>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．f<fcos B．f>f C．f (－1)<fcos 1 D．f>f 方法技巧75 依据数值特征构造具体函数 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 【典例1】设a＝999ln 1 001，b＝1 000ln 1 000, c＝1 001ln 999，则下列选项正确的是(　　) A．a>c>b　　 B．c>b>a C．b>a>c D．a>b>c 【典例2】已知a，b，c∈，且＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，则(　　) A．b<c<a　　 B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c 方法技巧76 地位同等同构 地位同等同构策略 对于含有地位同等的两个变量x1，x2(或x，y，或a，b)的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有： 原式 转化 构造函数 ＞k(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＜kx1－kx2 构造y＝f (x)－kx，为增函数 ＜(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＞ 构造y＝f (x)＋，为减函数 【典例1】(多选)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则(　　) A．ea－eb<ln a－ln b　　 B．b ln a<a ln b C．<ea－b D．<1 【典例2】已知函数f (x)＝ax2＋(a＋1)ln x＋1(a≤－1)，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有≥4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－e2]　　 B．(－∞，－e] C．[－2，－1] D．(－∞，－2] 方法技巧77 指对混合型的同构 1．指对同构的本质：指、幂、对三种函数的互相转化，即alogax＝x＝logaax(a＞0且a≠1)． 2．三种基本模式： ①积型： aea≤b ln b 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知． ②商型： < ③和差型： ea±a>b±ln b 如：eax＋ax＞ln (x＋1)＋x＋1⇔eax＋ax＞eln (x+1)＋ln (x＋1)⇔ax＞ln (x＋1)． 特别地，若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再用上述方式变形．常见的有： ①aeax>ln x⇒axeax>x ln x； ②ex>a ln (ax－a)－a⇒ex>ln [a(x－1)]－1⇒ex－ln a－ln a>ln (x－1)－1 ⇒ex－ln a＋x－ln a>ln (x－1)＋x－1＝eln (x-1)＋ln (x－1)； ③ax>logax⇒ex ln a>⇒(x ln a)ex ln a>x ln x． 【典例1】设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<b ln b，则(　　) A．ab>e　　 B．b>ea C．ab<e D．b<ea 【典例2】若关于x的不等式ex－a≥ln x＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．　　 B．(－∞，e] C．(－∞，1] D．(－∞，2] 【典例3】已知当x≥e时，不等式xa＋－≥a ln x恒成立，则正实数a的最小值为 ________． 方法技巧78 移项构造法证明不等式 一般地，待证不等式的两边含有同一个变量时，可以直接构造“左减右”(或“右减左”)的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值进行证明． 提醒：对复杂的式子可以先进行变形，再移项构造函数进行证明． 【典例1】(教材经典)证明以下不等式： (1)ex≥x＋1； (2)ln x≤x－1； (3) ln x≥1－． 【典例2】证明：当x>1时，x2＋ln x<x3． 【典例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x． (1)讨论f (x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f (x)＞2ln a＋． 方法技巧79 分拆构造双函数法证明不等式 在同时含ln x与ex的不等式证明中，常采用把对数单独分离的方式，把待证不等式分离．构造两个函数，分别计算它们的最值，借助最值进行证明． 【典例1】设函数f (x)＝aexln x＋，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2． (1)求a，b； (2)求证：f (x)>1． 【典例2】已知函数f (x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f (x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf (x)－ex＋2ex≤0． 方法技巧80 放缩法证明不等式 1．利用导数证明不等式时，若所证明的不等式中含有ex，ln x，sin x，cos x，tan x或其他多项式函数中的两种或以上，可考虑先利用不等式进行放缩，使问题简化，然后再构造函数进行证明． 2．常见的放缩有：(1)tan x>x>sin x，x∈；(2)切线放缩：ex≥x＋1>x－1≥ln x，利用切线放缩可把指数式、对数式转化为一次式，有利于后续的求解． 3．导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式． 【典例1】已知函数f (x)＝ln x＋－1． (1)求函数f (x)的最小值； (2)当x∈(0，π)时，证明：ex＞(1－ln x)sin x． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)证明：当时，在上恒成立. 方法技巧81 端点效应 端点效应法是一种必要性探路法，是指对某些与函数有关的恒成立问题，通过选取函数定义域内的某些特殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内进行讨论，或去验证其充分性，进而得到参数的准确范围的方法. 1.如图(1)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上单调，f(x)≥0恒成立，则f(a)≥0且f(b)≥0. 2.一阶端点效应：如图(2)，如果连续函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，则当x≥x0时，f(x)≥0成立的一个必要条件为端点x0处的导数值f'(x0)≥0.因为如果f'(x0)<0，那么函数会在x0右侧的一个小区间内先单调递减，此时函数f(x)在x≥x0时不恒为非负值，不满足要求，如图(3). 这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应. 类似地，如果连续函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，当x>x0时，f(x)<0成立的一个必要条件为x0处的导数值f'(x0)<0. 3.二阶端点效应：如图(4)，如果连续函数f(x)在区间[a，b]上，f(x)≥0恒成立，且f(a)＝0，f'(a)＝0，则f″(a)≥0. 端点效应的核心思想是必要性探路，充分性护航.我们在解决一类恒成立问题时，可以利用端点处需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而往往得到的范围即为所求，再去做充分性论证即可. 【典例1】设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf'(x)，x≥0，其中f'(x)是f(x)的导函数.若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围. 【典例2】设函数f(x)＝ex－e－x.若对任意x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围. 【典例3】设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 【典例4】(2024·全国甲卷改编)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 方法技巧82 洛必达法则 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则． 洛必达法则： 法则1　型 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1) f(x)＝0及 g(x)＝0； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3) ＝l， 那么 ＝ ＝l. 法则2　型 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1) f(x)＝∞及 g(x)＝∞； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3) ＝l，那么 ＝ ＝l. 注意： 1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立． 2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题． 3．在着手求极限前，首先要检查是否满足，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． 4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ＝ ＝ ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 【典例1】设函数f(x)＝.如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围． 【典例2】已知函数f(x)＝ax－a－xln x．若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 方法技巧83 单变量不等式恒成立问题 导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类． 【典例1】(2024·安徽安庆二模节选)已知函数f (x)＝2ln x－x＋(m∈R)，若不等式f (x)≤0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围． 【典例2】(2024·全国甲卷)已知函数f (x)＝(1－ax)·ln (1＋x)－x． (1)当a＝－2时，求f (x)的极值； (2)当x≥0时，f (x)≥0恒成立，求a的取值范围． 方法技巧84 单变量不等式能成立问题 能成立问题一般是通过分离参数或移项作差构造函数来解决，能成立问题中的等价转化有以下几种形式： (1)存在x∈[a，b]，f (x)≥a成立⇔f (x)max≥a． (2)存在x∈[a，b]，f (x)≤a成立⇔f (x)min≤a． (3)存在x1∈[a，b]，对任意x2∈[a，b]，f (x1)≤g(x2)成立⇔f (x)min≤g(x)min． 【典例1】已知函数f (x)＝x2ln x． (1)讨论f (x)的单调性； (2)若存在x>0，使得f (x)≤ax成立，求实数a的取值范围． 【典例2】已知函数f (x)＝ex－x，若对任意x>0，f (x)>ax2＋1有解，求a的取值范围． 方法技巧85 双变量不等式恒(能)成立问题 双变量恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转换，常见的等价转换有： (1)∀x1，x2∈D，f (x1)>g(x2)⇔f (x)min>g(x)max． (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f (x1)>g(x2)⇔f (x)min>g(x)min． (3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f (x1)>g(x2)⇔f (x)max>g(x)max． 【典例1】设f (x)＝＋x ln x，g(x)＝x3－x2－3． (1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t∈，都有f (s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 【典例2】(2025·云南曲靖模拟)已知函数f (x)＝x＋x cos x－2sin x． (1)求曲线y＝f (x)在x＝π处的切线方程； (2)g(x)＝x2－3x＋a(a∈R)，若对任意x1∈，均存在x2∈，使得f (x1)<g(x2)，求实数a的取值范围． 方法技巧86 数形结合法探究函数零点问题 含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来后，用x表示含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数，即转化为一条直线(平行于x轴)与一个复杂函数图象交点个数问题． 【典例1】(2024·湖北武汉模拟节选)已知函数f (x)＝ln x－ax2(a∈R )，讨论函数f (x)在区间上零点的个数． 【典例2】(2024·广东汕头三模)已知函数f (x)＝x(ex－ax2)，若f (x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a的值． 方法技巧87 借助函数的性质探究函数的零点问题 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用，解题中注意零点存在定理的灵活应用． 【典例1】　(2022·全国乙卷)已知函数f (x)＝ln (1＋x)＋axe－x． (1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若f (x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 【典例2】已知函数f (x)＝x sin x－．判断函数f (x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明． 方法技巧88 构造函数法研究函数零点 解决此类问题的关键是构造函数F (x)，将函数零点(方程的根)、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 【典例1】已知a＞0且a≠1，函数f (x)＝(x＞0)．若曲线y＝f (x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【典例2】已知函数f (x)＝ex＋x＋4ln(2－x)． (1)求函数f (x)的图象在点(0，f (0))处的切线方程； (2)判断函数f (x)的零点个数，并说明理由． 方法技巧89 隐零点问题 在解导数综合题时，经常会碰到这种情形：导函数存在零点，但是不能求出具体的解，这种零点我们称之为隐零点，相应的问题称为隐零点问题．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题． 【典例1】已知函数f (x)＝xex－ln x－1，若f (x)≥mx恒成立，求实数m的取值范围． 【典例2】(2024·山东济南二模)已知函数f (x)＝ax2－ln x－1，g(x)＝xex－ax2(a∈R)． (1)讨论f (x)的单调性； (2)证明：f (x)＋g(x)≥x． 方法技巧90 极值点偏移问题 1.极值点偏移的判定定理 对于可导函数y＝f (x)在区间(a，b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f (x)＝0的解分别为x1，x2，且a＜x1＜x2＜b． (1)若0＝f (x1)＜f (2x0－x2)，则＜(＞)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0右(左)偏； (2)若0＝f (x1)＞f (2x0－x2)，则＞(＜)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0左(右)偏． 2.证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： (1)证明x1＋x2＜2a(或x1＋x2＞2a)： ①构造函数g(x)＝f (x)－f (2a－x)，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性； ②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f (2a－x1)＝f (x2)－f (2a－x1)与零的大小关系； ③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与2a－x1的大小关系，从而证明相应问题． (2)证明x1x2＜a2(或x1x2＞a2)(x1，x2都为正数)： ①构造函数g(x)＝f (x)－f，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性； ②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f＝f (x2)－f与零的大小关系； ③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与的大小关系，从而证明相应问题． (3)应用对数平均不等式＜＜证明极值点偏移： ①由题中等式产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题． 3.极值点偏移问题的常用策略 首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式． 【典例1】已知函数f (x)＝xe－x． (1)求函数f (x)的单调区间和极值； (2)若x1≠x2且f (x1)＝f (x2)，求证：x1＋x2>2． 【典例2】(2022·全国甲卷节选)已知函数f (x)＝－ln x＋x－a．证明：若f (x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1． 【典例3】已知函数f (x)＝ln x－ax2，若x1，x2是方程f (x)＝0的两个不等实根，求证：＞2e． 方法技巧91 任意角 确定mα，(m∈N*)的终边位置的步骤 (1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围． (2)写出mα或的范围． (3)根据k的可能取值确定mα或的终边所在的位置．技巧：分母m是几，对k连取几个值判断，k＝0，1，2，…. 【典例1】(多选)与－835°终边相同的角有(　　) A．－245°　　B．245°　　C．－115°　　D．－475° 【典例2】若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第三象限角 C．＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上 方法技巧92 扇形的弧长及面积公式 应用弧度制解决问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题． (3)在解决弧长、面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【典例1】在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为(　　) A．4　　　B．2　　　C．2　　　D．1 【典例2】机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB的长为1，则莱洛三角形的周长是________，其面积是________． 方法技巧93 三角函数的概念及应用 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，可以求出角α终边的位置． (2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0 【典例2】(2024·浙江五校联盟模拟)已知角α的终边过点P(－3，2cos α)，则cos α＝(　　) A． B．－ C．± D．－ 方法技巧94 同角三角函数的基本关系“知一求二”问题 这类知一求二问题，注意判断角的范围，另外熟记以下常见勾股数，可以提高解题速度：①32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，…；②52＋122＝132，82＋152＝172，72＋242＝252，… 【典例1】(2025·重庆模拟)已知sin ＝，α∈，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 【典例2】(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________． 方法技巧95 正余弦齐次式的计算 （1）形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解. 如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α. （2）已知 ①分式齐1次式 = ②分式齐2次式 ③齐2次整式 【典例1】已知，则__________ 【典例2】若，则的值是_____________． 【典例3】已知向量，，若，则的值为______. 方法技巧96 sinα±cosα和sinαcosα之间的关系 对于已知sinα±cosα的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有： (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα＝2sin2α 注：利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化；利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的关系可实现和积转化． 【典例1】　(多选)已知 sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　) A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝ C．sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－ . 【典例2】（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧97 诱导公式的应用 常见的互余和互补的角 互余的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α 互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ 【典例1】已知cos ＝，则sin cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 【典例2】(2025·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P(1，－2)，则＝________． 【典例3】（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023·山西阳泉·统考三模）已知，且，则_______． 方法技巧98 和、差、倍角公式的直接应用 应用公式化简求值的策略 (1)要记住公式的结构特征和符号变化规律． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 【典例2】已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则＝________． 【典例3】已知tan (α＋β)＝2(tan α＋tan β)，且tan α＋tan β≠0，cos ＝，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 方法技巧99 和差角公式的逆用与变形 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． (3)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等数值时，一定要考虑引入特殊角，把值变角以便构造适合公式的形式． 【典例1】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 【典例2】(多选)下列等式成立的有(　　) A．sin2＝ B．tan80°－tan 35°－tan 80°tan 35°＝1 C．cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝ D．＝ 方法技巧100 角的变换问题 三角公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，即拆角或凑角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝. (2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 【典例1】设α∈，满足sin α＋cos α＝. (1)求cos 的值； (2)求cos 的值． 【典例2】(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知cos 2α＝，tan β＝－，其中0<α<<β<π. (1)求sin 的值； (2)求β－2α的值． 方法技巧101 三角函数式的求值 三角函数式求值的三种题型 (1)给角求值：一般给出的角都不是特殊角，需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角，最后消除特殊角三角函数而得解． (2)给值求值：解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系． (3)给值求角：一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角． 【典例1】＝________．【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 【典例3】(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 方法技巧102 三角函数的定义域和值域 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型 (1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数，可先化为y＝A sin (x＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)，注意求t的范围． 【典例1】函数y＝的定义域为________． 【典例2】(2024·全国甲卷)函数f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________． 【典例3】当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________． 【典例4】(2025·云南昭通模拟)已知f＝sin x＋cos x＋2sin x cos x，x∈，则f的值域为________． 【典例5】已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________． 方法技巧103 三角函数的周期性、对称性与奇偶性 (1)奇偶性的判断方法： 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx. (2)求函数周期的两种常见方法： ①公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的周期为. y＝|A sin (ωx＋φ)|，y＝|A cos (ωx＋φ)|的周期T＝，y＝|A tan (ωx＋φ)|的周期T＝. ②图象法． (3)对称轴和对称中心的计算，本质是解方程，计算时要注意：①对称中心是点，最终要写成坐标的形式．②对称轴是直线，方程最终要写成“x＝…”的形式． 【典例1】(2024·湖南雅礼中学一模)f (x)＝的最小正周期是(　　) A．π　　　B．　　　C．　　　D．2π 【典例2】(2024·北京高考)已知f＝sin ωx，f＝－1，f＝1，|x1－x2|min＝，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】当x＝时，函数f (x)＝A sin (x＋φ)(A>0，－π＜φ＜0)取得最小值，则函数y＝f是(　　) A．奇函数且图象关于直线x＝对称 B．偶函数且图象关于直线x＝对称 C．奇函数且图象关于点对称 D．偶函数且图象关于点对称 【典例4】已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则f ＝________． 方法技巧104 求三角函数的单调区间 与三角函数的单调性有关的问题 （1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得． （2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为 ，将变形为，再求函数的单调区间． （3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆． 【典例1】函数f (x)＝sin 在[0，π]上的单调递减区间为________． 【典例2】函数y＝|tan x|的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 方法技巧105 根据三角函数的单调性求参数 已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. (3)若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．　 【典例1】已知ω＞0，函数f (x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A．(0，2] B． C． D． 【典例2】(2024·河北唐山二模)函数f＝sin (2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　) A． B． C． D． 方法技巧106 比较三角函数值的大小 比较三角函数值大小的步骤： ①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小． 【典例1】(多选)(2024·石家庄调研)下列不等式成立的是(　　) A．sin<sin B．cos 400°>cos (－50°) C．sin <sin D．sin 3<sin 2 【典例2】设a＝sin33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 方法技巧107 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度．注意：不是向左平移φ个单位长度，相位变换是针对“x”． (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负值时应先变成正值． 【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 【典例2】(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 【典例3】为得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 方法技巧108 由图象确定三角函数的解析式 确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 【典例1】(2024·安徽A10联考)已知函数f (x)＝4sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f (x)＝(　　) A．4sin B．4sin C．4sin D．4sin 【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________． 【典例3】函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝________． 方法技巧109 三角函数图象与性质的综合应用 与三角函数性质有关的综合题的求解策略 (1)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． 【典例1】(多选)已知函数f＝sin (ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若ω＝1，则是f的图象的对称中心 B．若f≤f恒成立，则ω的最小值为2 C．若f在上单调递增，则0<ω≤ D．若f在上恰有2个零点，则≤ω≤ 【典例2】已知偶函数f ＝sin 的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________． 方法技巧110 三角函数模型的应用 三角函数模型的应用体现在两方面 一是已知函数模型求解数学问题； 二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 【典例1】某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________米(用α表示)；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________平方米． 【典例2】(2024·广东佛山二模)近年来，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2π rad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB＝，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即t＝0秒时，点A位于圆心正下方，则t＝________秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f＝________． 方法技巧111 三角函数中ω的范围问题 1.先依据题设信息，确定函数的单调区间，再根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围． 2.三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为.所以可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而研究“ω”的范围． 3.利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围． 4.三角函数相邻两个零点之间的距离为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围． 【典例1】已知函数f＝cos ，其中ω>0.若f在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【典例2】(2025·山东威海模拟)已知函数f＝在上单调递增，则ω的取值范围是________． 【典例3】(2025·广东实验中学模拟)已知函数f＝cos 的图象关于原点中心对称，则ω的最小值为(　　) A． B． C． D． 【典例4】(2024·浙江温州一模)若函数f＝2sin ，ω>0，x∈的值域为[－，2]，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【典例5】(2025·山东日照模拟)已知函数f (x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，且f (x)在区间上只取得一次最大值，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【典例6】已知函数f (x)＝sin πωx－cos πωx(ω＞0)在[0，1]内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是________． 方法技巧112 复杂三角函数性质判断 1.判断定义域时，必须注意分母不为0，排除使函数无意义的点，这是判断单调性、对称性的关键前提。 2.周期判断要结合化简后的解析式，用周期公式直接计算；对称性可代入特殊点或对称轴公式验证。 【典例1】【多选】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）下列关于函数的说法中正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的最小正周期为 C．函数在其一个周期内是单调递减函数 D．函数图象关于对称 【典例2】【多选】（2026·广东梅州·一模）关于函数，以下结论正确的有（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点 【典例3】【多选】（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数列，则（    ） A．在区间上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．的最大值为1 【典例4】（2026·山西朔州·一模，T11）已知，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 方法技巧113 利用正、余弦定理解三角形 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到． 【典例1】　(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． 【典例2】(2025·福建厦门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A＝(　　) A．－ B． C．－ D． 【典例3】(2025·河北邢台模拟)在△ABC中，已知A＝，a＝2，若△ABC有两解，则边b的取值范围为________． 方法技巧114 判断三角形的形状 判定三角形形状的两种常用途径 【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【典例2】在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 方法技巧115 三角形面积的计算 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【典例1】(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为(　　) A．6 B．8 C．24 D．48 【典例2】(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. ①求B； ②若△ABC的面积为3＋，求c. 【典例3】在平面四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则四边形ABCD的面积等于________． 方法技巧116 三角形的中线问题 解答三角形的中线问题的三种思路 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了算“两次”的思想． (2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccos A)． (3)借助角的关系：在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0. 【典例1】(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c.【典例2】(2025·江苏泰州模拟)△ABC的三边分别为a，b，c，则边BC上的中线长为________． 【典例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，a cos B－b cos A＋b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为________． 方法技巧117 三角形的角平分线问题 解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法． 已知AD是△ABC的角平分线，则 (1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. 【典例1】　(2025·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin ＋cos A＝0. (1)求角C的大小； (2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积． 【典例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，D为AC边上一点，BD＝2，且BD为∠ABC的平分线，求△ABC的面积． 方法技巧118 三角形的高线问题 (1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度． (2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 【典例1】(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 【典例2】在①a sin C－c cos B cos C＝b cos2C；②5c cosB＋4b＝5a；③cos C＝c cos A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足________． (1)求sin C； (2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h. 方法技巧119 已知三角形的一角求取值范围 借助三角形内角和定理把待求问题转化为某一角的三角函数取值范围问题，进而借助三角函数的性质求解． 【典例1】(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－a＝0. (1)求角B的大小； (2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围． 【典例2】(2025·江苏南通模拟)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin (A－B)＝cos C. (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 方法技巧120 已知三角形的一角及其对边求取值范围 一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围． 【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 【典例2】△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，2sin A＝a cos B. (1)求角B的大小； (2)求AC边上高的最大值． 方法技巧121 已知三角形的一角及其邻边求取值范围 锐角三角形中求最值或范围尽量向角转化，因为用基本不等式无法转化锐角三角形这个条件． 【典例1】　(2025·江苏高邮中学模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2， (ⅰ)求角C的取值范围； (ⅱ)求△ABC面积的取值范围． 【典例2】在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝，则a＋b的取值范围是________． 方法技巧122 已知三角形中角(或边)的关系求取值范围 【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围为(　　) A．(3，4] B． C． D．(2，5] 【典例2】(2025·山东烟台模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，BD＝1且b＝2，则△ABC周长的最小值为________． 方法技巧123 测量距离问题 距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 【典例1】(2025·山东青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝8 n mile，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________ n mile. 【典例2】如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，在四边形ABCD中，测得AB＝50 m，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°. (1)试求B，D之间的距离及B，C之间的距离； (2)求应开凿的隧道CD的长． 方法技巧124 测量高度问题 解决高度问题的三个注意事项 (1)要理解仰角、俯角的定义． (2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形． (3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【典例1】(2024·广东湛江二模)为测量某大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得BC＝102 m，∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ(tan θ＝2)，在点C处测得点A的仰角为45°，则该大厦的高度OA＝________m. 【典例2】(2024·浙江台州期末)如图所示，A，B，P，Q在同一个铅垂面上，在山脚A测得山顶P的仰角∠QAP为60°，∠QAB＝30°，斜坡AB长为m，在B处测得山顶P的仰角∠CBP为α，则山的高度PQ为(　　) A． B． C． D． 方法技巧125 测量角度问题 解决角度问题的三个注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点． 提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键． 【典例1】一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为12 n mile，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则此时灯塔C位于游轮的(　　) A．正西方向 B．南偏西75°方向 C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向 【典例2】(2025·广东广州模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 km的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 km/h的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以14 km/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为________ h，角α的正弦值为________. 方法技巧126 和差正切公式在解三角形的应用 和角正切核心公式： 基础变形形式： 1. 2. （） 【典例1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，（    ） A．1 B．3 C． D． 【典例2】（2025·河南许昌·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（2026·山东青岛·一模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 方法技巧127 平面向量的概念 向量有关概念的四个关注点 (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的． (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)是与非零向量a同方向的单位向量． 【典例1】(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．与共线 C．与是相反向量 D．＝|| 【典例2】(2025·江苏扬州模拟)下列命题中，正确的是(　　) A．若＝，则a＝b B．若a＝b，则a∥b C．若a≠b，则a与b不是共线向量 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb 方法技巧128 平面向量的线性运算 平面向量线性运算的求解策略 (1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则． (2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值． 【典例1】若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　) A．[3，7] B．(3，7) C．[3，11] D．(3，11) 【典例2】如图，O是▱ABCD两条对角线的交点，则下列等式成立的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【典例3】(2024·山东济南二模)在△ABC中，E为边AB的中点，＝，则＝(　　) A．－ B． C． D． 【典例4】在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝(　　) A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1 【典例5】(2025·广东中山模拟)在平行四边形ABCD中，＝＝．若＝m＋n，则m＋n＝(　　) A． B． C． D． 方法技巧129 向量共线定理的应用 利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据． (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔共线． 【典例1】(2025·浙江杭州模拟)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【典例2】(2024·广东广州二模)已知向量a与b不共线，若a＋kb与a＋b共线(k∈R)，则k的值是________． 【典例3】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设＝x＝y，则的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【典例4】在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM上一点，若＝＋m，则实数m的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 方法技巧130 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． 【典例1】(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 【典例2】如图，在△ABO中，已知＝a，＝b，＝a，＝b，AN与BM交于点P，则＝________(用向量a，b表示)． 【典例3】(2024·上海浦东新区三模)给定平面上的一组不共线向量，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是(　　) A．2e1＋e2和e1－e2 B．e1＋3e2和e2＋3e1 C．3e1－e2和2e2－6e1 D．e1和e1＋e2 方法技巧131 平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解． (3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有时更简单． 【典例1】在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A．　 B． C． D． 【典例2】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 【典例3】在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝BC＝CD，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B． C． D．2 方法技巧132 向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1． (2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 【典例1】 (2024·贵州贵阳二模)已知向量a＝，b＝，若∥，则实数x＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－4 【典例2】(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若连接AB，BC，AC能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 【典例3】已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． 【典例4】在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 方法技巧133 平面向量数量积的运算 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (3)利用基底法求数量积． (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义． 【典例1】(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 【典例2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________【典例3】在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，＝2＝2，则＝(　　) A．4　　　B．　　　C．　　　D．3 方法技巧134 平面向量数量积的应用 1．求平面向量模的方法 (1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝． (2)利用|a|＝． 2．求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]． (2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝． (3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中． 【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 【典例2】若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　) A． B． C． D． 【典例3】若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【典例4】(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【典例5】(2024·浙江温州一模)已知向量a＝，b＝，则a在b上的投影向量的坐标是(　　) A． B． C． D． 【典例6】(多选)已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，3)，则下列说法中正确的是(　　) A．若|a＋b|＝，则m＝4 B．若|a＋b|＝|a－b|，则m＝ C．若a∥b，则m＝－6 D．若向量a，b的夹角为钝角，则m的取值范围是 方法技巧135 平面向量的应用 1．用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 2．用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 【典例1】(多选)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　) A．若＝＝，则P是△ABC的垂心 B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心 C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心 D．若＝0，则N是△ABC的重心 【典例2】在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S＝(　　) A． B．5 C．10 D．20 方法技巧136 极化恒等式求数量积 1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则 (1)平行四边形模式：＝(||2－||2)； (2)三角形模式： ＝||2－||2． 2.利用极化恒等式求数量积的步骤 (1)取第三边的中点； (2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值． 【典例1】设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．5 【典例2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，＝4，＝－1，则的值为________． 【典例3】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若＝－7，则＝________． 方法技巧137 极化恒等式求数量积的最值 利用极化恒等式求数量积的最值(范围)的关键在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解． 【典例1】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 【典例2】(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] 方法技巧138 复数的有关概念 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 【典例1】(2024·山东菏泽一模)已知复数z满足z(1＋i)＝i2 024，其中i为虚数单位，则z的虚部为(　　) A．－ B． C．－i D． 【典例2】(多选)(2024·广东惠州调研)已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　) A．z的虚部为1 B．|z|＝2 C．z2为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限 【典例3】(多选)已知z1，z2是两个虚数，则下列结论中正确的是(　　) A．若z1＝，则z1＋z2与z1z2均为实数 B．若z1＋z2与z1z2均为实数，则z1＝ C．若z1，z2均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则z1，z2均为纯虚数 方法技巧139 复数的四则运算 (1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数． 【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 【典例2】(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－i D．－i 【典例3】(多选)若z1，z2是方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两个虚数根，则(　　) A．a的取值范围为[－2，2] B．z1的共轭复数是z2 C．z1z2＝1 D．z1＋为纯虚数 方法技巧140 复数的几何意义 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 【典例1】(2024·山西晋城一模)设z在复平面内对应的点为(1，－2)，则在复平面内对应的点为(　　) A． B． C． D． 【典例2】复平面内复数z满足|z－2|－|z＋2|＝2，则|z－i|的最小值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 【典例3】复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2) B．(－3，－2) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－3) 方法技巧141 由an与Sn的关系求通项公式 1．已知Sn求an的三个步骤 (1)利用a1＝S1求出a1． (2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式． (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝ 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差、等比数列，或用累加、累乘等方法求解． 【典例1】(2025·山东菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝(　　) A．4 B．4 C．3 D．4(3n－1) 【典例2】已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________． 【典例3】(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(　　) A．an＝ B．an＝ C．Sn＝－ D．数列是等差数列 方法技巧142 由数列的递推关系求通项公式 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 【典例1】设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 【典例2】在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 【典例3】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 【典例4】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝________． 【典例5】已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 方法技巧143 数列的周期性 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解． 【典例1】(2024·山东济宁三模)已知数列中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1，则a2 025＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【典例2】(2025·福建厦门模拟)数列满足an＋1＝，a3＝3，则a2 025＝________． 方法技巧144 数列的单调性 判断数列单调性的两种方法 (1)作差(商)法． (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 【典例1】已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 【典例2】已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 方法技巧145 数列的最值 求数列中最大(小)项的两种方法 (1)根据数列的单调性求解． (2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． 【典例1】已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·，则数列{an}的最大项为(　　) A．a8或a9 B．a9或a10 C．a10或a11 D．a11或a12 【典例2】(2025·辽宁锦州模拟)数列{an}的通项公式为an＝，该数列的前50项中最大项是(　　) A．a1 B．a44 C．a45 D．a50 方法技巧146 等差数列基本量的运算 解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过列方程组达到“知三求二”． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． 【典例1】(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　) A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5 C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2 【典例2】(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25　　 B．22　　 C．20　　 D．15 【典例3】“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影长为15.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是________尺． 方法技巧147 等差数列的判定与证明 判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1． (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 【典例1】已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1． 【典例2】记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2． (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 【典例3】已知数列{an}的前n项积为Tn，且满足＝，证明：数列{Tn}为等差数列． 方法技巧148 等差数列性质的应用 利用等差数列的性质解题的三个关注点 (1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分． (2)在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化． (3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m． 【典例1】(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2 B． C．1 D． 【典例2】(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　) A．120　　 B．140　　 C．160　　 D．180 【典例3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝10，则S30＝(　　) A．0 B．－10 C．－30 D．－40 【典例4】有两个等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn． ①若＝，则＝________； ②若＝，则＝________． 【典例5】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，＝6，则S2 025＝________． 方法技巧149 等差数列的前n项和及其最值 处理等差数列前n项和Sn的最值的两类观点 (1)函数观点：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象，利用求二次函数的最值的方法求解．特别提醒，n∈N*． (2)邻项变号观点： ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm． 【典例1】在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值． 【典例2】(多选)(2024·辽宁名校联考二模)设是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d≤0 B．a7＝0 C．S6与S7均为Sn的最大值 D．满足Sn<0的n的最小值为14 方法技巧150 等比数列基本量的运算 等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． 提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解． 【典例1】(2022·全国乙卷)已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 【典例3】《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长3尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0．1．参考数据：lg 2≈0．30，lg 3≈0．48)(　　) A．2.9天 B．3.9天 C．4.9天 D．5.9天 方法技巧151 等比数列的判定与证明 判定一个数列为等比数列的常见方法 【典例1】(2024·湖南名校质检)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*)． (1)证明：{an＋1＋3an}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．【典例2】已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0． (1)求an及Sn； (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【典例3】已知数列{an}和{bn}满足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn． (1)证明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比数列； (2)求{anbn}的前n项和Sn． 方法技巧152 等比数列性质的应用 应用等比数列性质的两个关注点 【典例1】(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 【典例2】 (2025·山东青岛模拟)等比数列的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12 B．10 C．5 D．2log35 【典例3】(多选)(2024·湖北武汉二模)下列命题正确的是(　　) A．若均为等比数列且公比相等，则也是等比数列 B．若为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列 C．若为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 D．若数列的前n项和为Sn，则“an>0”是“为递增数列”的充分不必要条件 【典例4】(多选)(2025·湖南长沙模拟)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B．0<a7a8<1 C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6 方法技巧153 分组求和与并项求和 分组求和与并项求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． (3)如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．对n分奇数、偶数讨论，建议先求n是偶数时Sn的值，当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋cn． 【典例1】　(2025·河南信阳模拟)已知数列是等差数列，其前n项和为Sn，且2a2＋a4＝13，S7＝49． (1)求的通项公式； (2)设bn＝，求数列的前n项和Tn． 【典例2】在数列{an}中，a1＝－1，an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*)． (1)求证：数列{an＋3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn． 【典例3】(2025·辽宁实验中学模拟)已知数列的前n项和为Sn，且4Sn＝5an－2． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设bn＝(－1)n·log5，求数列的前100项和T100． 方法技巧154 裂项相消法求和 裂项相消法求和的基本步骤 【典例1】(2024·河南郑州二模)在数列中，a1＝2，对任意正整数n，均有an＋1－an＝2n＋2．数列满足：＋…＋＝n2，n∈N*． (1)求数列和的通项公式； (2)若cn＝，求数列的前n项和Sn． 【典例2】(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋…＋<2． 【典例3】已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝(Sn为数列{an}的前n项和)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2 025． 方法技巧155 错位相减法求和 错位相减法求和的具体步骤 【典例1】(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn． 【典例2】(2023·全国甲卷)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＝nan． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn． 【典例3】(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜． 方法技巧156 数列模型的应用 数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定且不为零的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1有递推关系，还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间有递推关系． 一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或依次减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列． 【典例1】某牧场今年年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1 200，则c10大约为(　　) (参考数据：1．18≈2．144，1．19≈2．358，1．110≈2．594，1．111≈2．853) A．1 429 B．1 472 C．1 519 D．1 571 【典例2】(多选)小明向银行贷款A0元创业，并与银行约定：每个月还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为r．设小明每个月所要还款的钱数为x元，则下列说法正确的是(　　) A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法” C．小明第一个月还款的现值为 元 D．x＝ 方法技巧157 数列中的不等式证明 与数列有关的不等式证明问题的求解常用两种方法：一是放缩法；二是借助函数的单调性证明． (1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式．放缩时要研究通项，放缩是为了能化简． (2)常见的放缩技巧： ①＜＝； ②＜＜； ③2()＜＜2()； ④＜＜＜． 【典例1】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求证：＜Tn＜． 【典例2】(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝． (1)证明：数列为等比数列； (2)求{an}的通项公式； (3)令bn＝，证明：bn<bn＋1<1． 方法技巧158 数列中的不等式恒成立 数列与不等式的恒成立的问题可借助数列的单调性或转化为函数的最值问题解答． 【典例1】　(2021·浙江高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn．若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 【典例2】已知数列的前n项和为Sn，2an＋1＝3Sn，若tSn<2n对任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围． 方法技巧159 数列奇偶项问题 该递推数列属于数列奇偶项的问题，主要考查综合知识与探究问题能力，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差或公比等，特别注意分类讨论等思想在解题中的灵活运用． 【典例1】(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn． 方法技巧160 数列增减项问题 1．解决数列中增减项问题的关键是通过阅读理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征． 2．两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列，且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数，一个等差与一个等比数列的公共项，则要通过其项数之间的关系来确定． 【典例1】(2024·江苏南京期末)已知数列满足a1＝4，且an＋1 ＋an＝8n＋4． (1)求数列的通项公式； (2)已知bn＝2n，在数列中剔除与的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列，求数列的前192项和T192． 【典例2】 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3． (1)求数列{an}的通项公式； (2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和． 方法技巧161 数列新情境、新定义问题 对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，依据题目提供的信息，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 【典例1】(2024·江西南昌一模)对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“k-比分数列”．已知数列满足a1＝b1＝1，且的“1-比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列． (1)若是公比为2的等比数列，求数列的前n项和Sn； (2)若是公差为2的等差数列，求an． 【典例2】(2025·湖北武汉模拟)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3．设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，所有项的和为Sn． (1)若a＝2，b＝3，c＝4，求P2，S2； (2)若Pn≥2 024，求正整数n的最小值； (3)是否存在数列a，b，c，使得数列为等比数列？请说明理由． 方法技巧162 基本立体图形结构特征 空间几何体结构特征的判断技巧：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． 【典例1】(多选)下列说法中正确的是(　　) A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【典例2】(多选)下列说法中正确的是(　　) A．长方体是直四棱柱 B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．平行六面体不是棱柱 方法技巧163 空间几何体的直观图 在斜二测画法中，平行于x轴或在x轴上的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴或在y轴上的线段平行性不变，长度减半． 【典例1】如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是(　　) A．AB＝2 B．A′D′＝2 C．四边形ABCD的周长为4＋2＋2 D．四边形ABCD的面积为6 【典例2】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A．a2　　B．a2　　C．a2　　D．a2 方法技巧164 空间几何体的展开图 在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化． 【典例1】如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．2 C．4 D．4 【典例2】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C． D． 方法技巧165 空间几何体的表面积与体积 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体，再求解 等体 积法 通过选择合适的底面来求几何体的体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面均可作为三棱锥的底面，进行等体积变换) 【典例1】(2024·山东枣庄一模)已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为(　　) A．6π B．16π C．26π D．32π 【典例2】为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为(　　) A． B． C． D． 【典例3】(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 【典例4】(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(　　) A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈 方法技巧166 简单几何体的外接球 求解外接球问题的方法 (1)解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置． (2)对于特殊的多面体还可通过补成正方体、长方体或直棱柱的方法找到球心的位置． (3)到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是球的半径，列关系式求解即可． (4)分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心． 【典例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(　　) A．4π　　　B．8π　　　C．12π　　　D．20π 【典例2】(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 【典例3】已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为(　　) A．π B．π C．π D．π 【典例4】在四面体P-ABC中，已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则该四面体的外接球的体积为(　　) A．π　　　B．π　　　C．2π　　　D． 【典例5】已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________． 方法技巧167 简单几何体的内切球 “切”的问题处理规律 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决． (2)体积分割是求内切球半径的通用方法． (3)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1．(a为该正四面体的棱长) (4)等体积法求内切球半径． 【典例1】已知圆台的上、下底面的半径之比为，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为(　　) A．3π B．5π C．8π D．9π 【典例2】 (2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【典例3】若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________． 方法技巧168 与球有关的截面问题 巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤 (1)确定球心O和截面圆的圆心O′． (2)探求球的半径R和截面圆的半径r． (3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量． 【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　) A． B． C．1 D． 【典例2】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高是8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 方法技巧169 基本事实的应用 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面重合)． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【典例1】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q． 求证：(1)D，B，E，F四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 【典例2】如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　) A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 方法技巧170 空间两直线位置关系的判定 空间中两直线位置关系的判定方法 【典例1】已知三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是(　　) A．b，c是异面直线 B．b∩c＝P C．b∥c D．a与c没有公共点 【典例2】在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线长AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则(　　) A．AE＝CF，AC与EF是共面直线 B．AE≠CF，AC与EF是共面直线 C．AE＝CF，AC与EF是异面直线 D．AE≠CF，AC与EF是异面直线 【典例3】(2023·上海春季高考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　) A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C 方法技巧171 异面直线所成的角 求异面直线所成角的方法 (1)平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解． (2)补体法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． (3)坐标法：如果几何图形便于建系，可以将问题坐标化，借助向量求解． 提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 【典例1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【典例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝60°，则异面直线AB1与BC所成角的余弦值等于(　　) A． B． C． D．0 【典例3】如图，圆台OO1的上底面半径O1A1＝1，下底面半径OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为________． 方法技巧172 空间几何体的截面、截线问题 1.空间几何体的截面作图的常用方法 (1)平行线法．用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面有一条直线与截面上某点所在的几何体的某一个表面平行． (2)延长线法．用延长线法解决截面问题的关键是：截面上至少有两个点在一个几何体的一个表面上，那么这两点的连线一定在截面内． 2.作交线的两种方法 (1)利用基本事实3作交线． (2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 【典例1】(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α．平面α截此正方体所得截面有如下四个结论，其中正确的是(　　) A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状不可能是正五边形 D．截面面积的最大值为3 【典例2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________． 【典例3】　(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 【典例4】如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为(　　) A． B．π C． D． 方法技巧173 截面分割体积比问题 1.截面定位法：利用中点、平行、垂直、共面条件，先确定截面的形状与边界，是解题前提 2.等体积转化法：不改变几何体体积，通过换顶点、换底面简化计算，适用于棱锥分割题型 3.体积割补思想：将不规则多面体拆分为棱锥、棱台，分别计算再求和，化不规则为规则 【典例1】已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【典例2】正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，过点作一个与侧棱垂直的平面，则平面被此正四棱锥所截的截面面积为______，平面将此正四棱锥分成的两部分，则较小部分体积与较大部分体积的比值为______. 【典例3】已知正四棱台分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为__________． 方法技巧174 直线与平面平行的判定 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 【典例1】如图，在长方体中，，点是棱的中点.求证：平面. 【典例2】如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE． 方法技巧175 线面平行性质定理的应用 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 【典例1】如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG． 证明：FG∥平面AA1B1B． 【典例2】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 【典例3】在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧176 平面与平面平行的判定与性质 证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线． 【典例1】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG． 【典例2】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l． 【典例3】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． 方法技巧177 平行关系的综合应用 三种平行关系的转化 提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明． 【典例1】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点． (1)求证：平面MNQ∥平面PCD； (2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【典例2】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． 方法技巧178 直线与平面垂直的判定与性质 判定线面垂直的四种方法 【典例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE． 【典例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝． 方法技巧179 平面与平面垂直的判定与性质 证明面面垂直的两种方法 提醒：在已知两个平面垂直时，一般要在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 【典例1】如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC的中点．求证： (1)PA⊥BC； (2)平面BEC⊥平面PDC． 【典例2】如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1．求证： (1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB； (2)BC1⊥AB1． 方法技巧180 垂直关系的综合应用 三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 【典例1】如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点． (1)求证：AF∥平面SEC； (2)求证：平面ASB⊥平面CSB； (3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【典例2】如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若AC＝BC＝PA，求二面角A-PB-C的大小． 【典例3】如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，四边形PACQ是矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD．求： (1)直线BP与平面PACQ所成角的正弦值； (2)平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小； (3)点C到平面BPQ的距离． 方法技巧181 三垂线定理及其逆定理 1．三垂线定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 【典例1】　(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为正方体所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 【典例2】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是BC的中点，求平面C1DE与平面CDE所成二面角的正切值． 方法技巧182 空间向量的线性运算 空间向量线性运算中的三个关键点 【典例1】(2025·广东广州模拟)如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝，N为BC的中点，则＝(　　) A．a＋b－c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．－a＋b－c 【典例2】如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A．＝a＋b＋c B．＝a＋b＋c C．＝－a＋b－c D．＝b－c 【典例3】已知＝＝＝，若P，A，B，C四点共面，则λ＝(　　) A．3 B．－3 C．7 D．－7 方法技巧183 空间向量数量积的应用 空间向量数量积的应用 【典例1】如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． (1)求AC1的长； (2)求证：AC1⊥BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值． 【典例2】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝，C1B1＝1，点P为线段B1C上一点，则的最大值为________． 方法技巧184 利用向量证明平行与垂直 1．利用向量法证明平行问题 (1)线线平行：方向向量平行． (2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直． (3)面面平行：两平面的法向量平行． 2．利用向量法证明垂直问题 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． (2)线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直． (3)面面垂直：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直． 【典例1】如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点． (1)求证：OM∥平面BCF； (2)求证：平面MDF⊥平面EFCD． 【典例2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD． 方法技巧185 异面直线所成的角 用坐标法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【典例1】(2025·辽宁沈阳模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝CC1＝2，BC＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【典例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　) A． B． C． D． 【典例3】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ(0＜λ＜1)，若异面直线D1E与A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________． 方法技巧186 直线与平面所成的角 利用空间向量求线面角的解题步骤 【典例1】(2024·福建厦门一模)如图，在四棱锥E-ABCD中，AD∥BC，2AD＝BC＝2，AB＝，AB⊥AD，EA⊥平面ABCD，过点B作平面α⊥BD． (1)证明：平面α∥平面EAC； (2)已知F为棱EC的中点，若EA＝2，求直线AD与平面FBD所成角的正弦值． 【典例2】(2022·浙江高考)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F -DC -B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点． (1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． (2024·山东青岛一模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距离为，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2． (1)证明：平面A1ABB1⊥平面ABC； (2)若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值． 方法技巧187 平面与平面的夹角 利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤 【典例1】(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足＝，求二面角D-AB-F的正弦值． 【典例2】(2024·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2． (1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD； (2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 方法技巧188 求空间距离 求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离． (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求． (3)等体积法． (4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意一点，则点P到平面α的距离d＝． 【典例1】(2025·江苏淮安模拟)如图，圆锥是由直角△AOB旋转而成，母线AB＝2，底面圆的半径为1，D是AB的中点，C为底面圆周上的一点且∠COB＝． (1)求点O到平面ABC的距离； (2)求点O到直线CD的距离． 【典例2】(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝，则下列说法正确的是(　　) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离是 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【典例3】(2025·浙江金华模拟)已知在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝． (1)求点C到直线AE的距离； (2)求点C到平面AED1的距离； (3)在此正方体中，AB⊥BC，AB⊥AA1，则称线段AB的长为异面直线BC与AA1的公垂线段长，也称为异面直线BC与AA1的距离．试求异面直线CD与AE的距离． 方法技巧189 立体几何中的探索性问题 (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题． (2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数． 【典例1】(2024·山东聊城三模)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，D，E，F分别是棱AC，CC1，C1B1的中点，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]． (1)当λ＝μ＝时，求证：DP∥平面A1EF； (2)当λ＝1时，是否存在点P，使得平面ACP与平面A1EF的夹角的余弦值是？若存在，指出点P的位置，若不存在，请说明理由． 【典例2】如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点． (1)求证：AC⊥平面A1BO； (2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为？若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由． 方法技巧190 立体几何中的翻折问题 三步解决平面图形翻折问题 【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝＝．将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4． (1)证明：EF⊥PD； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【典例2】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2． (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图2中的平面BCGE与平面ACGD的夹角的大小． 方法技巧191 动态空间位置关系的判定 空间位置关系的动点问题的解法 (1)应用线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理进行转化； (2)利用向量法或建立空间直角坐标系进行计算． 【典例1】(多选)如图，四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折至△PAE的位置(点P∉平面AECD)，设线段PD的中点为F．则在翻折过程中，下列选项正确的是(　　) A．CF∥平面AEP B．CF的长度恒定不变 C．AE⊥DP D．异面直线CF与PE所成角的大小恒定不变 【典例2】(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点．下列叙述正确的是(　　) A．若＝，则异面直线BP与C1D所成角的余弦值为 B．若＝λ(λ∈[0，1])，三棱锥P-A1BC的体积为定值 C．若＝λ(λ∈[0，1])，有且仅有一个点P，使得A1C⊥平面AB1P D．若＝λ(λ∈[0，1])，则异面直线BP与C1D所成角的取值范围是 (多选)(2025·湖南益阳模拟)如图1，矩形ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，且BC＝2AB＝2，BF∩AE＝O，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，如图2，则在翻折过程中，下列结论正确的是(　　) A．CF⊥OP B．存在点P，使得PE∥CF C．存在点P，使得PE⊥ED D．三棱锥P-AED的体积的最大值为 方法技巧192 立体几何轨迹问题 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定． (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代数法进行计算． (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除． 【典例1】(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是(　　) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 【典例2】在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝3，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB＝，AD＝2，直线PM与平面ABCD所成的角为，则点M的轨迹长度为(　　) A． B．π C．π D． 【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，若总是保持EP∥平面BDD1B1，则动点P的轨迹长度为________；若总是保持AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为________． 方法技巧193 立体几何最值(范围)问题 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，有如下常用的思路． (1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在什么位置时，所求的量有相应最大值、最小值，即可求解． (2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值． 【典例1】(多选)(2025·重庆模拟)如图所示，一个圆锥SO的底面是一个半径为3的圆，AC为直径，且∠ASC＝120°，点B为圆O上一动点(异于A，C两点)，则下列结论正确的是(　　) A．∠SAB的取值范围是 B．二面角S-BC-A的平面角的取值范围是 C．点A到平面SBC的距离的最大值为3 D．点M为线段SB上的一动点，当SA⊥SB时，AM＋MC＞6 【典例2】已知正四面体ABCD的棱长为3，点E满足＝λ(0＜λ＜1)，过点E作平面α平行于AC和BD，设α分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则四边形EFGH的周长为________，四棱锥A-EFGH的体积的最大值为________． 方法技巧194 直线的倾斜角与斜率 斜率取值范围的两种求法 数形 结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数 图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分与两种情况讨论．一般要用到y＝tan x的单调性，y＝tan x在上都是单调递增的． 【典例1】(2025·湖南长沙模拟)设点A(4，－3)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－ C．－4≤k≤1 D．－≤k≤1 【典例2】若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 【典例3】已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 方法技巧195 直线方程的求法 求直线方程的两种方法 【典例1】　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程． 【典例2】过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为________． 【典例3】若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0 方法技巧196 直线方程的综合应用 处理直线方程综合应用的两大策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”． 提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式． 【典例1】已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 【典例2】若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为________． 方法技巧197 两条直线位置关系的判断及应用 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 【典例1】已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1∥l2，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．6 D．1或2 【典例2】已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝(　　) A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2 方法技巧198 两条直线的交点与距离问题 1．求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程． 2．点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【典例1】经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________． 【典例2】若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 【典例3】直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________． 【典例3】(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 【典例4】已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为________，此时两平行直线方程分别为________． 方法技巧199 直线的对称问题 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题． 【典例1】直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 【典例2】已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则的最小值为(　　) A． B．2 C． D．2 【典例3】 两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　) A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0 【典例4】已知A(0，2)，B(3，－1)，点P为x轴上一动点，则|PA|－|PB|的最大值是(　　) A． B．3 C．2 D． 【典例5】(2025·河南信阳模拟)如图，从光源P发出的一束光，遇到平面镜(y轴)上的点B后，反射光线BC交x轴于点C(，0)，若光线PB满足的函数关系式为：y＝kx＋1，则k的值为(　　) A． B． C．1 D．－1 方法技巧200 圆的方程 求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【典例1】(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝13 C．＋＝22 D．＋(y－1)2＝ 【典例2】(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为(　　) A．(x＋)2＋(y－)2＝ B．(x－)2＋(y＋)2＝2　 C．(x－)2＋(y＋)2＝ D．(x＋)2＋(y－)2＝2 【典例3】已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________． 【典例4】已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 方法技巧201 与圆有关的最值问题 1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)斜率型：形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题． (2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题． (3)距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 2．建立函数关系式求最值问题的解题策略 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值． 3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【典例1】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 【典例2】设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________． 【典例3】已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．　　　B．　　　C．2　　　D．3 方法技巧202 与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解． (4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 提醒：注意特殊点的取舍． 【典例1】已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 【典例2】已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝|PM|． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程． 【典例3】(多选)(2024·海南中学模拟)已知在平面直角坐标系Oxy中，A，B．点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(　　) A．C的方程为＋y2＝16　 B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10 C．在C上存在点M，使得＝2　 D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9 【典例4】(2024·江苏南京模拟)已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有(　　) A．|PA|·|PB|＝10 B．＝3 C．|PA|2＋|PB|2＝10 D．|PA|2－|PB|2＝10 方法技巧203 直线与圆的位置关系 1．判断直线与圆的位置关系的常用方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题 该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d． 如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t． 如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t． 由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t． 若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t． 【典例1】直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【典例2】(2024·安徽黄山三模)直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的公共点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 【典例3】圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4】若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　) A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) 方法技巧204 圆与圆的位置关系 1．判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法 先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，弦长的一半，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解，且l＝2． 【典例1】(多选)已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，则下列说法正确的是(　　) A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交 B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离 C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m> D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝ 【典例2】(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 【典例3】(2025·山东济南模拟)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是(　　) A．y＝－x＋1 B．y＝－x＋1或y＝x＋5 C．y＝－x＋5 D．y＝x＋1或y＝2x＋5 【典例4】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围为________． 方法技巧205 圆的切线问题 过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线，特别注意斜率不存在的情况． 【典例1】已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．求： (1)过点P的圆C的切线方程； (2)过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 【典例2】由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D．3 方法技巧206 圆的弦长问题 对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误． 【典例1】设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 【典例2】(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2 方法技巧207 与圆有关的综合问题 立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度． 【典例1】已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． (1)求圆C的方程； (2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例2】已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围； (2)若k＝，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点． 方法技巧208 椭圆的定义及应用 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． (3)定义法求轨迹方程，或利用定义实现距离转化． 【典例1】(2024·广东江门二模)已知圆A：(x＋1)2＋y2＝1内切于圆P，圆P内切于圆B：(x－1)2＋y2＝49，则动圆P的圆心的轨迹方程为________． 【典例2】已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为________． 【典例3】动点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和动点M到定直线l：x＝9的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程为________． 【典例4】已知点P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 B．12 C． D．2 【典例5】(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 【典例6】已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 方法技巧209 椭圆的标准方程 1．利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 2．椭圆的标准方程的两个应用 (1)方程＝1与＝λ(λ>0)有相同的离心率． (2)与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 【典例1】　(多选)(2024·福建龙岩期中)已知曲线C：＝1，则(　　) A．当m＝8时，C是圆 B．当m＝10时，C是焦距为4的椭圆 C．当C是焦点在x轴上的椭圆时，5<m<8 D．当C是焦点在y轴上的椭圆时，8<m<11 【典例2】已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，()，则椭圆的标准方程为________． 【典例3】过点(，－)，且与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________． 方法技巧210 椭圆的简单几何性质 解决椭圆几何性质问题，核心是紧扣椭圆的定义与标准方程，先根据题目条件（如焦点式、一般式、参数式等）确定椭圆的焦点位置、标准方程形式，再精准提取三个核心参数（满足），进而推导长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率等几何性质；若涉及最值、范围、对称性等问题，可结合参数方程、几何意义或代数换元法分析，同时注意区分焦点在轴与轴上的椭圆方程差异，避免参数混淆，通过“定方程、求参数、推性质、验选项”的流程，高效解决各类椭圆几何性质相关题目。 【典例1】(2025·广东广州模拟)已知椭圆E的方程为＝8，则椭圆E(　　) A．长轴长为16 B．短轴长为4 C．焦距为2 D．焦点为(－2，0)，(2，0) 【典例2】(2024·山东潍坊二模)已知椭圆C：＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则(　　) A．C的焦距为2　 B．C的离心率为 C．△F1PF2的周长为3＋　 D．△F1PF2面积的最大值为2 方法技巧211 椭圆的离心率问题 求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c．利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率．利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e． 【典例1】(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 【典例2】已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 若椭圆＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________． 方法技巧212 与椭圆有关的最值(范围)问题 利用椭圆几何性质求值或范围的思路 (1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解． 【典例1】设A，B是椭圆C：＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 【典例2】(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 方法技巧213 椭圆的蒙日圆及其性质 过椭圆＝1上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质： 性质1：PM⊥PN． 性质2：PO平分切点弦MN． 性质3：S△MON的最大值为，S△MON的最小值为． 【典例1】(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：＝1的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则(　　) A．椭圆Γ的离心率为 B．△MPQ面积的最大值为a2 C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为a D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－ 【典例2】加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：＝1相切，则下列说法错误的是(　　) A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10 C．若G为正方形，则G的边长为2 D．长方形G的面积的最大值为18 方法技巧214 直线与椭圆的位置关系 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆是否有交点． 【典例1】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 【典例2】(2025·江苏南通模拟)已知动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)在E上是否存在一点使得它到直线4x－5y＋40＝0的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 【典例3】(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1，则下列结论正确的是(　　) A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B．若C与l有且仅有两个公共点，则<2 C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 方法技巧215 椭圆的弦长问题 求弦长的前提是直线和椭圆相交，可利用弦长公式计算弦长； 对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用“根与系数的关系”时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与椭圆是否相交． 【典例1】已知椭圆C：x2＋2y2＝2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点． (1)求弦AB的长和△ABF2的周长； (2)求△ABF2的面积． 【典例2】已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点，且＝，求出直线l的方程． 方法技巧216 椭圆的中点弦问题 点差法适用范围：涉及弦中点的轨迹问题或弦所在直线的斜率问题时，可考虑点差法． 【典例1】若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．【典例2】已知椭圆C：＝1，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点平分．求： (1)直线l的方程； (2)△F1AB的面积． 【典例3】已知直线x－y＋1＝0与椭圆C：＝1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点为M，若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 方法技巧217 直线与椭圆的综合问题 1．求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求、整体代入的方法，如弦长公式中|x1－x2|＝＝，其中x1，x2是ax2＋bx＋c＝0的两根． 2．涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 【典例1】已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝． (1)求椭圆E的方程； (2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围． 【典例2】已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k． 【典例3】已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足||＝4，||||－2＝0． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知过点(2，0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 方法技巧218 圆锥曲线的非对称韦达问题 对于某些圆锥曲线大题，在联立直线与圆锥曲线的方程时，常常会涉及一元二次方程，它的两个根x1，x2满足根与系数的关系．一般来说，在应用题设条件解决问题时，常常能凑出x1＋x2和x1x2，但有些时候无法直接凑出这两个式子，进而无法直接代入根与系数的关系，这就是所谓的“非对称”的根与系数的关系问题． 【典例1】已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上一点，且PF1与x轴垂直． (1)求椭圆E的方程； (2)设过点F2的直线l与E交于A，B两点，已知点M(0，1)，且△MAF2的面积为△MBF2面积的2倍，求直线l的方程． 【典例2】已知A，B分别为双曲线C：x2－＝1的左、右顶点，过双曲线的右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点(异于A，B)，求直线AP，BQ的斜率的比值． 【典例3】已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆的左焦点F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为x＝－2a，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E． (1)求椭圆C的标准方程； (2)①求证：直线EN必过定点P，并求定点P的坐标； ②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值． 方法技巧219 双曲线的定义及其应用 双曲线定义的应用 (1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支． (2)在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系． 【典例1】已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 【典例2】(2024·钦州开学)已知点A(1，0)，B(－1，0)．动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是(　　) A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1) C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1) 【典例3】“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】(2025·江苏南京模拟)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，且∠F1PF2＝120°，若△F1PF2的面积为4，则a＝________． 【典例5】已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为(　　) A．4＋6　　 B．4＋6 C．6＋6 D．6＋6 方法技巧220 双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2． (2)待定系数法： “先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 【典例1】(2025·山东济南模拟)已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为(　　) A．＝1　　　 B．＝1 C．＝1 D．＝1 【典例2】(2025·广东海珠区模拟)已知双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)，四点A(6，)，B，C(5，2)，D(－5，－2)中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为________． 【典例3】已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．x2－＝1 方法技巧221 双曲线的渐近线 求双曲线渐近线方程的方法 求双曲线＝1(a>0，b>0)或＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令＝0，得y＝±x；或令＝0，得y＝±x． 【典例1】(2025·广东深圳模拟)如图，F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若A是BF2的中点且BF1⊥BF2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 【典例2】(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________． 方法技巧222 双曲线的离心率 求双曲线的离心率或其取值范围的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e． (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． 【典例1】(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A．　　B．　　C．　　D． 【典例2】若斜率为的直线与双曲线＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞) 【典例3】已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，若双曲线不存在以点(2a，a)为中点的弦，则双曲线离心率e的取值范围是(　　) A． B． C． D． 方法技巧223 与双曲线有关的最值、范围问题 解决双曲线相关的最值、范围问题，核心是“坐标化转化+方程消元+代数分析”：先由双曲线标准方程确定焦点坐标与参数，将向量数量积、距离、斜率等几何条件转化为坐标代数式，再利用双曲线方程消去一个变量，得到仅含单个变量的函数式，最后结合双曲线中或的取值范围（如、），通过函数单调性、不等式（如基本不等式、二次函数值域）等代数方法求解最值或取值范围，同时注意区分焦点在轴与轴上的双曲线的变量范围差异，避免遗漏定义域限制。 【典例1】已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【典例2】已知双曲线C：＝1的焦点是F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是(　　) A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为－4 D．的最小值为－2 方法技巧224 直线与双曲线的位置关系 解决与直线和双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷． 【典例1】(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1，1) B．(－1，2) C．(1，3) D．(－1，－4) 【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C． ①求C的方程； ②设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 方法技巧225 抛物线动点轨迹的判定 【典例1】在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　) A．y2＝2x　 B．y2＝4x C．y2＝－4x D．y2＝－8x 【典例2】(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________． 【典例3】动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 方法技巧226 抛物线上的点到定点的距离及最值 抛物线定义的应用规律 【典例1】(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 【典例2】已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________． 【典例3】(2025·云南大理模拟)已知P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　) A．6 B．10 C．4 D．8 【典例4】(2025·浙江金丽衢十二校模拟)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，则拋物线x2＝4y上一动点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D． 方法技巧227 抛物线的标准方程与几何性质 1．求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法． (2)待定系数法．当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)． 2．抛物线性质的应用要树立两个意识 (1)转化意识：见准线想焦点，见焦点想准线． (2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算． 【典例1】(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．【典例2】(2025·广东佛山模拟)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则|AF|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 方法技巧228 直线与抛物线的位置关系 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法． 提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． (3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用． 【典例1】(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 【典例2】(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．|OP|·|OQ|＞|OA|2 D．|BP|·|BQ|＞|BA|2 方法技巧229 抛物线中的阿基米德三角形 如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p＞0), 过抛物线准线y＝－上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则在由点P和两切点A，B围成的△PAB中，有如下的常见结论： (1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y＋y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y＋y2)，直线AB的方程：x0x＝2p＝p(y0＋y)； (2)直线AB过抛物线的焦点； (3)过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线； (4)PF⊥AB； (5)AP⊥PB； (6)线段AB的中点为M，则PM平行(或重合)于抛物线的对称轴． 【典例1】　(多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交抛物线的准线于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是(　　) A．点P(，－2) B．PC⊥x轴 C．PA⊥PB D．PF⊥AB 【典例2】　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4． (1)求p的值； (2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 方法技巧230 圆锥曲线中的四点共圆问题 1.证明圆锥曲线中四点共圆的核心思路是代数化转化，将几何上的共圆问题转化为代数条件的验证，常用两种核心方法：一是曲线系方程法，构造过四点的曲线系方程，通过调整参数使方程满足圆的特征（与系数相等、无交叉项）；二是直径圆法/垂直法，证明四点中两点的连线为直径，且另外两点对该直径的张角为直角（即斜率乘积为-1），利用“直径所对圆周角为直角”判定共圆。 2.曲线系方程法的适用场景：四点分别在两条直线与圆锥曲线的交点上，构造形式为“直线1·直线2+λ·圆锥曲线=0”的曲线系，只需通过系数条件求解λ，即可验证是否为圆，步骤固定，适合椭圆、双曲线、抛物线的通用共圆证明。 3.垂直法的适用场景：已知某条线段为潜在直径，或能通过斜率关系、向量数量积证明垂直，该方法计算量更小，尤其适合抛物线的四点共圆证明（如典例1中利用直线斜率乘积为-1证明垂直）。 4.辅助方法：外接圆方程法，若四点中有三点的外接圆易求（如对称点、特殊点），可求出圆的方程后验证第四点在圆上，适合有明显几何特征的四点（如举一反三椭圆题中利用对称性设圆心求外接圆）。 【典例1】（2026·广东汕头·一模，T18）已知椭圆，点M为动直线被椭圆截得的弦的中点． (1)求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程； (2)设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆． 【典例2】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点． (1)求C的方程； (2)若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补． （ⅰ）求直线所过定点的坐标； （ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆． 【典例3】（2025·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)直线l经过点F，且与交于A、B两点． ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程． 方法技巧231 圆锥曲线中的定点问题 求解直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)或斜截式y＝kx＋b来证明． 【典例1】已知点P(4，3)在双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，|PM|·|PN|＝4． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个，证明：直线l过定点． ①k1＋k2＝1；②k1k2＝1． 【典例2】(2025·广东广州一模)设A，B两点的坐标分别为(－，0)，(，0)． 直线AH，BH相交于点H，且它们的斜率之积是－． 设点H的轨迹方程为C． (1)求C； (2)不经过点A的直线l与曲线C相交于E，F两点，且直线AE与直线AF的斜率之积是－，求证：直线l恒过定点． 【典例3】(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 【典例4】已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，|PA|＝，△PAQ的面积为3． (1)求双曲线C的方程； (2)证明：以PQ为直径的圆经过定点． 方法技巧232 圆锥曲线的定值问题 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得长度的解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得； (4)定值问题可由特殊情况先寻求定值，再推广到一般情况，这样方向和目标明确． 【典例1】已知直线l1：y＝2x和直线l2：y＝－2x，过动点E作平行于l2的直线交l1于点A，过动点E作平行于l1的直线交l2于点B，且四边形OAEB(O为原点)的面积为4． (1)求动点E的轨迹方程； (2)当动点E的轨迹的焦点在x轴上时，记轨迹为曲线E0，过点M(1，0)的直线m与曲线E0交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若＝λ＝μ，求$null