8.5.2 直线与平面平行（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5空间直线、平面的平行 第2课时 直线与平面平行 学 习 目 标 1 2 3 理解直线与平面平行的定义，掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能准确用文字语言、符号语言、图形语言表示两个定理；能运用定理解决简单的线面平行判定与性质应用问题。 通过观察生活实例、动手操作、合作探究，经历定理的猜想、推导与验证过程，体会“空间问题转化为平面问题”“线线平行与线面平行相互转化”的思想，提升空间想象能力和逻辑推理能力。 通过对棱柱、棱锥、棱台的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。 新课引入 同学们，在我们的生活中，处处能看到直线与平面平行的身影： 教室的门扇绕着一边转动时，转动的那条边与墙面始终没有公共点，它们的位置关系就是直线与平面平行； 翻开课本，封面边缘所在的直线与桌面所在的平面也没有公共点，同样是线面平行； 再看长方体教具，A’B’与底面ABCD没有公共点，也是线面平行的典型例子。 新课引入 我们已经知道，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。 a a A a a a a 其中，直线与平面平行是一种重要的位置关系， 根据定义，“直线与平面没有公共点”就能判定线面平行，但直线和平面都是无限延展的，直接判断没有公共点并不方便。那么，有没有更简便、更严谨的方法来判定直线与平面平行呢？ 今天我们就一起来探究《8.5.2 直线与平面平行》，解锁线面平行的判定与性质。 直线与平面平行 互动探究 动手操作，感知线面平行 直线与平面平行 操作要求： 请同学们拿出课本和笔， ① 将课本平放在桌面上，把笔放在课本上，此时笔所在直线与桌面是什么位置关系？ ② 慢慢翻开课本封面，观察封面边缘所在直线与桌面的位置关系，思考：这条直线与桌面内的哪条直线平行？ ③ 改变翻开的角度，重复观察，说说你发现的规律。 ③ 改变翻开的角度，重复观察，说说你发现的规律。 互动探究 合作探究，推导判定定理 直线与平面平行 结合刚才的操作，小组合作讨论以下问题 ① 若一条直线与平面内的一条直线平行，这条直线一定与这个平面平行吗？ ② 要使直线与平面平行，除了“与平面内一条直线平行”，还需要什么条件？ ③ 尝试用文字语言、符号语言、图形语言表示你猜想的结论。 b α a 互动探究 逆向思考，探究性质定理 直线与平面平行 已知直线a与平面α平行（a∥α） ① 直线a与平面α内的直线是什么位置关系？ ② 若过直线a作一个平面β，与平面α相交于直线b，那么直线a与直线b是什么位置关系？为什么？ ③ 尝试总结这个规律，用三种语言表示出来。 平行 异面 互动探究 易错辨析，深化理解 直线与平面平行 给出4个命题，请同学们判断对错，并说明理由： ① 若直线a∥b，b⊂α，则a∥α； ② 若直线a∥α，b⊂α，则a∥b； ③ 若直线a∥α，过a的平面β与α相交于b，则a∥b； ④ 若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a∥α。 性质定理 还会异面关系。 构建体系 直线与平面平行的定义 直线与平面平行 如果直线与平面没有公共点，那么我们就说这条直线与这个平面平行。 直线与平面平行 符号表示 a∥α（a为直线，α为平面） 图形语言 α a 直线与平面平行时，直线一定在平面外（直线在平面内时，有无数个公共点，不可能平行）。 注意 构建体系 直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行 ① 前提：直线在平面外（a⊄α）；② 核心：与平面内一条直线平行（a∥b）；③ 作用：判定直线与平面平行，将空间线面平行转化为平面线线平行。 要点 形式 内容 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行简记：线线平行 ⇒ 线面平行 符号语言 ，，且 图形语言 构建体系 直线与平面平行的性质定理 直线与平面平行 ① 前提：直线与平面平行（a∥α）；② 条件：过该直线作一个平面与原平面相交（a⊂β，α∩β=b）；③ 作用：由线面平行推出线线平行，为求平行线、证明线线平行提供依据；④ 易错点：忽略“过直线作平面与原平面相交”这一条件，不能直接说“线面平行则线线平行”。 要点 形式 内容 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行简记：线面平行 ⇒ 线线平行 符号语言 ，， 图形语言 α a b 构建体系 核心思想方法 直线与平面平行 数学思想 核心内容 类比思想 类比平面几何中平行线的判定与性质，探究空间中线面平行的判定与性质 转化与化归思想 判定定理：空间线面平行问题 → 平面线线平行问题 2. 性质定理：线面平行 → 线线平行 3. 本质：空间问题→平面问题，实现线线平行 ↔ 线面平行的相互转化 典例分析 题型1 直线与平面平行的判定定理的应用 例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点， 求证：EF∥平面AD1G. 证明　连接BC1， 在△BCC1中， ∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1， 又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF⊄平面AD1G， AD1⊂平面AD1G，∴EF∥平面AD1G. 典例分析 题型1 直线与平面平行的判定定理的应用 例2.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分 别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD. 证明　如图，取PD的中点G，连接GA，GN. ∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点， ∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点， ∴AM∥GN，AM＝GN， ∴四边形AMNG为平行四边形， ∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 辅助线 MNGA平行四边形 平行判定三要素 典例分析 题型2 直线与平面平行的性质定理的应用 例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O， M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 证明　如图，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点，∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM， OM⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH. 辅助线 线线平行 线面平行 线面平行性质 典例分析 题型2 直线与平面平行的性质定理的应用 例4.如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体， 求证：截面MNPQ是平行四边形. 证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN， 且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN. 同理AB∥PQ，所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形. 线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行， 再通过线面平行得到线线平行. 典例分析 题型3 综合应用 例5 如右图的一块木料中，棱BC平行面A'C'. (1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开, 在木料表面应该怎样画线? (2) 所画的线与平面AC是什么位置关系? 解：(1)如右图，在平面A'C内，过点P作直线EF，使EF//B'C'，并分别交棱A'B', D'C' 于点E, F. 连接BE, CF, 则EF, BE, CF就是应画的线. (2)∵BC//平面A'C', 平面BC'∩平面A'C'=B'C', ∴BC//B'C'. 由(1)知，EF//B'C'，∴EF//BC. 而BC在平面AC内，EF 在平面AC外， ∴EF//平面AC， 显然BE, CF都与平面AC相交. 典例分析 题型4 有关计算 例6　如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交 α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝_____. 解析　A∉a，则点A与直线a确定一个平面， 即平面ABD. 因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG， (1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即 可求线段长度. (2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养. 举一反三 解：（1）所有二项式系数的和为 = 256； （2）奇数项二项式系数的和为 = 128。 1.下列命题正确的是 A.如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 B.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 C.如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 B解析　不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误； 一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面， 故C错误；直线也可能在平面内，故D错误. 举一反三 2.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D解析　由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行. 3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD， DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 A解析　∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC，∴EH∥平面BDC，又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC＝BD，∴EH∥BD. 举一反三 4.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝_____. 解析　因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN， 所以AB∥MN，又点M是AD的中点，AB∥CD，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5. O 学海拾贝 知识小结 本节课核心掌握“一个定义、两个定理”，重点突破“两个转化”： 类别 核心内容 一个定义 直线与平面平行：直线与平面无公共点 两个定理 ① 判定定理：线线平行→线面平行条件：直线在平面外、平面内一条直线与该直线平行② 性质定理：线面平行→线线平行条件：过直线作平面与原平面相交，直线与交线平行 两个转化 1. 空间线面平行→平面线线平行2. 线线平行↔线面平行相互转化 学海拾贝 易错点总结 定理/定义 常见错误 错误原因 判定定理 由 、 直接推出 忽略关键条件：直线在平面外（） 性质定理 由 直接推出 与平面 内所有直线平行 忽略条件：过直线作平面与原平面相交，平面内直线与该直线可能异面 平行定义 认为“直线与平面内无数条直线平行”就是线面平行 未排除直线在平面内的情况，直线在面内时也与面内无数条直线平行 学海拾贝 易错提醒和后续展望 本节课重点体会类比、转化与化归的数学思想，将空间问题转化为平面问题，为后续学习“平面与平面平行”的判定与性质奠定基础（平面与平面平行可转化为线面平行）。 后续需熟练掌握：① 判定定理的应用（找平面内的平行线，重点关注中点、中位线、平行四边形等条件）；② 性质定理的应用（由线面平行找交线，证明线线平行）；③ 判定与性质的综合应用（转化思想的灵活运用）。 感谢聆听! ∴GN∥DC，GN＝DC. ∴AM＝DC，AM∥DC， 所以a∥EG，即BD∥EG，所以＝. 证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又∵点M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵平面PAHG∩平面BDM＝GH， AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH. 5.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. $