河南禹州市第三高级中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

菁华校区高二第一次阶段性考试数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 测试范围：人教A版2019选择性必修第二册全部，第三册第一章。 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.若数列a}满是a=分，-1-女，则o}的前2026项和S%=（） A.2023 B.2025 C.2026 D.2137 2.已知(2x-1)”的二项式系数之和为32，则展开式中x2的系数为( A.-40 B.40 C.-80 D.80 3.函数y=e的单调递增区间是( ) A.（-0,1) B.(1,+oo C.（-o,0)和(0,1)D.（-o,0) 4.从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城 市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不 同的选择方案共有（) A.120种 B.96种 C.72种 D.48种 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S。<S2<S,则() A.数列{an}的公差大于0 B.Sn中S,最大 C.数列 的公差与数列{an}的公差相等 D.使得Sn<0的正整数n的最小值为24 6.已知函数f(x)=x+e,g(x)=x+x,若f(x)=g(x2)=1(1>0),则x+x2-lm的 取值范围为() A.（-o,l] B.(-0o,e] C.[l,+oo) D.[e,+co) 7.把10个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个不同的箱子中，每个箱子的 球的个数不少于其编号，则不同的放法种数为() A.10种 B.15种 C.20种 D.45种 高二下期第一次段考数学试卷202603 第1页（共4页） 8.记R上的可导函数f网的导函数为f,满足x=,-)(neN)的 f(x) 数列{，}称为函数f)的牛顿数列，若f)=2,数列{x}为牛顿数列，且x=1, x,≠0，数列{x,}的前n项和为S,则满足9<。≤33的所有n的和为() A.7 B.8 C.9 D.12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若(2x-1)°=a。+a,(x-1)+a2(x-1)2+a(x-1)3+a(x-1)+a,(x-1)°，则下列结 论正确的为() A.a=-1B.a4=80 C21a,卡35D.a,+a,+a,a,+a,+a)=3”- 10.已知函数f(x)=x3-3x2+1,则（) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(L,0)是曲线y=f(x)的对称中心 D.过点(O,1)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有两条 11.设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和.已知2Sn=3-0n,3bn=an,则 () A.{an}是等比数列B.亿n}是递减数列 c=3”1 D. Sn-2 9n2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2520的正因数有▲个. 13.已知过原点的直线/与函数∫(x)=血+1的图像相切，则直线/的方程为▲ 1 14.已知数列a}满足a=2,a=4+24,+行，++0，则数列a}的通项公式 n 为an= 高二下期第一次段考数学试卷202603 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤。 15.(满分13分)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取4个数字可以组成多少 个符合下列条件的无重复数字的四位数？ （1)该数是奇数： (2)不大于4210的偶数； (3)数字4和5至多出现一个 16.(满分15分)已知等差数列{a}满足a4=7,a6=11. (1)求{an}的通项公式： (2)设数列{b}的前n项和为Sn,且Sn+2=2b,n∈N.令cn=an+bn,求数列{cn} 的前n项和T,. 17.（满分15分)已知函数f(x)=-nx+2Wx+2x. (1)求f(x)在x=1处的切线方程； (2)当x∈(0,2]时，求f(x)的最值. 高二下期第一次段考数学试卷202603 第3页（共4页） 18.(满分17分)已知正项数列{a}的前n项和为Sn,且2Sn=a2+an，[x)表示 不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2]=2，[3.1=3. (1)求数列{an}的通项公式： 1 (2)记b,= ,n为奇数 a 求[b+b2++h0]的值： an,为偶数 (3)记cn=[1og2an],若G+c+…+cn≥2025，求n的最小值. 19.(满分17分)已知函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ax2+(a-1)x-1(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围； (3)若a∈Z,且不等式f(x)≤g(x)在(0，+o)上恒成立，求a的最小值. 高二下期第一次段考数学试卷202603 第4页（共4页） 菁华校区高二第一次阶段性考试 (数学参考答案) 一、二、选择题： 4 10 11 D A B C B B C BD ABD ABC 三、填空题： 2,n=1 12.48 13.y=±x 14 n,n≥2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(满分13分) 解：(1)先排个位，再排千位，最后排中间两位。共有AA4A?=3×4x12=144个. …(3分) (2)不大于4210的四位偶数可以分以下三类： ①千位是1或3的有A)A;A=72个：②千位是2的有A2A=24个；③千位是4的， 百位是0的有A;=3个，百位是1的有A2A?=6个，百位是2的仅有4210符合题意。 故不大于4210的四位偶数有72+24+3+6+1=106个.…(8分) (3)解法一：（间接法）所有的四位数有A,A?=300个，4和5同时出现的只需从0,1,2， 3中选2个按是否含0分两种情况，有CAA?+CA4=54+72=126个，所以数字4和5 至多出现一个的四位数有300-126=174个 解法二：（直接法）不出现4和5的，即由数字0,1,2,3组成的四位数有A,A?=18个， (4)4和5仅有-个出现的有C2(A+CA;A)=2×(24+54)=156个，所以数字4和5 至多出现一个的四位数有18+156=174个.…(13分) 16.(满分15分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d, 则%=4+3d=7 a=1 (a,=g+5d=l1,解得 =2. 以{an}的通项公式an=2n-1:…(6分) 高二下期第一次段考数学答案202603第1页（共4页） (2)数列{bn}满足Sn+2=2b,n∈N”,①. 当n=1时，b+2=2b,解得b=2:当n≥2时，Sn1+2=2b-1,②， ①-②得：bn=2bn-2bn-1,整理得b,=2bn-1, 故数列{b}是以2为首项，2为公比的等比数列：所以bn=2”:…(12分) 结合（1)知cn=an+b,=2”+2n-1, 所以数列和}的前n项和Z=2-2）+n1+2n--2+心-2.…(15分) 1-2 2 17.(满分15分) 解：(1)依题意，了()=-+人+ +2，x>0,则切线斜率为k=(I)=2, 又∫()=-ln1+2+2=4,即切点坐标为(1,4)， 故所求切线方程为：y-4=2(x-1),即2x-y+2=0.…(6分) 2由r间-t22+1.B-刊，0令的=0得r= 当xe0,宁时，f<0,当xe[4习时，f)20,则/在x∈0，宁上单调造诚。 [尽，2]小上单词诺。 …（10分) 放当x=时，取到最小值为得)=-好2 +2x2-32n2, 42 又当x→0时，f(x)→+o,f(x)无最大值 故f()在区间(0,2]上的最小值为2+2血2，无最大值。…(15分) 3 18.(满分17分) 解：（1)由2Sn=an2+an,当n≥2时，可得2Sn1=an-2+an- 两式相减可得：(an+an1)(an-an-1-1)=0 所以an-an1=1,（n22),又因为4=1， 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即an=n:…(5分) 高二下期第一次段考数学答案202603第2页（共4页） (2)由b。= 内数 n,n为偶数 (2+446+..+100) 因为2+4++100=50x2+100 =2550, 2 11 11,11 1 11,1 11 所以+京+++9l, 即[6+b2++b0]=2551.…(10分) (3)由cn=[log2n,则9=0，c3=c3=1,c=C5=c6=c,=2,g=c,=…=G15=3,， 可得：当2*≤n≤21-1时，Cn=k,k∈N, 当n=2+1-1时，记T=G+c2+G+.+cn=1×0+2×1+22×2+2×3+…+空×飞 则2T=22×1+23×2+24×3+..+2*×(k-1)+2+1×k 两武相减可得：-7=2+2+2+2++2-k2_20-2）-20xk=-2+2-k2 1-2 则T=2+(-1)2+, 因为k=7时，T,=6×28+2=1538<2025,2+1-1=28-1=255,所以 28≤n≤28+-1，则C+C2+C3+..+Cn=T,+C256+C257+…=1538+8×m≥2025 所以m≥4g7,因为m∈Z,所以m≥61，所以m。=255+61=316.…(17分) 8 19.(满分17分) 解：(1)由题意，x>0,f)=1-a 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，∴f(x)在(0，+o)单调递增： 当a>0时，令f=0,得x=】,当x∈0，马，f)>0,当x∈，o,f')<0 f)在(0，单调递增，在(，∞)单调递减…(4分) 高二下期第一次段考数学答案202603 第3页（共4页） (2)f(x)=hx-ax有两个零点，等价于nx-a心=0有两个实数根，即lnx=ax, 即a=血x,等价于y=a与)=血有两个交点. 由h=1-hx=0得，x=e, 2 当x∈(0，e),h(x)>0,当x∈(e,+o),H(x)<0, )在(0，e)单增，(e,o)单减.且h(x)=he)=,h0)=0, x→0，h(x)-→-o,x→+oo,h(x)→0，且x∈(e,+oo)时，h()>0,图象如图， ∴a的取值范围是 0, …(10分) (3)不等式f(x)≤g(x)为lnx-ax≤ax2+(a-1)x-1, 即(nx+x+1)≤arx2+2ar在(0，+o∞)上恒成立，所以a≥ 血x+x+1在(0，+0)上恒成立. x2+2x 设h(x)= Inx+x+1 则h)=-x+1x+2血) x2+2x (x2+2x)2 当x>0时，x+1>0,(x2+2x)2>0, 又p(x)=x+2l山x在(0，+o)上是增函数， =1-2h2<0,p0=1>0, 2 所以存在∈，)，使得0(，)=0， 当0<x<x时，p(x)<0,(x)>0:当x>时，p(x)>0,(x)<0, 即M闪在0x)上单调适增，在6化，四)上单调递减p)=+2山=0，血飞=-产 则树=)=血31+1 +2。。1,所以a2 1 x6+2x0x+2x02x0 图两气.嘴云吃。 又因为a∈Z,所以am=1,所以a的最小值为1.…(17分) 高二下期第一次段考数学答案202603第4页（共4页）