20.1 勾股定理与动态几何问题、以勾股定理为背景的材料阅读类问题 专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理与动态几何问题、以勾股定理为背景的材料阅读类问题专项训练 勾股定理与动态几何问题、以勾股定理为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 勾股定理与动态几何问题 以勾股定理为背景的材料阅读类问题 考点一 勾股定理与动态几何问题 例1．（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点运动秒后，求的周长； (2)当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发秒后，，， ， ， ∴的周长为； （2）解：当点在上，时，为直角三角形， ∴， 即， 解得， ， ， ； 时，为直角三角形． 例2．（24-25八年级上·辽宁锦州·月考）如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径运动，到点停止运动，且点运动速度为，设出发时间为． (1)______cm； (2)当点运动到平分时，求出动点运动时间的值； (3)点运动过程中，使得，直接写出的值为______； (4)若动点在射线上运动，当为直角三角形时，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)4或 【详解】（1）∵，，， ∴ ∴的长度为：cm． （2）过点作于点 ∴ ∵平分 ∴ ∵在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． （3）①∵当运动到边时，， ∴点运动的路程为：， ∴． ②∵当运动到边时，， 如图，过点作 ∴， ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的运动距离为： ∴． 综上所述：点运动过程中，使得， 的值为或； （4）若动点在射线上运动，当为直角三角形时，如图： ①当点与点重合时，，, ②当时，设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：的值为或． 例3．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． (1)当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)线段的长为；的值为； (2)的值为或． 【详解】（1）解：当时，则， 由题意得，，， ∴， ∴线段的长为； 如图， 当时，由题意得，，，， ∴，， ∵平分时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：当时，由题意可得，，， 在中，， 如图，当时，即， ∴， 解得：； 如图，当时， ∴， ∴， 解得：； 综上可得：是以为腰的等腰三角形，的值为或． 变式1．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为，动点、分别从点、同时出发向右移动，点的运动速度为每秒个单位，点的运动速度为每秒个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动． (1)请在的网格纸图中画出运动时间为秒时的线段，并求出的长度． (2)在动点、运动的过程中，能否成为以为底的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)能， 【详解】（1）解：∵点的运动速度为每秒个单位和运动时间为秒， 由图中可知的位置如图， 则由已知条件可得，，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：； （2）解：能，理由如下： 作于点，由题意知，， 则、， ， ，则， 即， ， 当，即以为底时，， 解得：， 当时，能成为以为底的等腰三角形． 变式2．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)的长为_____； (2)若点在边的垂直平分线上，求此时的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：如图， 由题意知，， ∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴，即，解得； （3）解：存在，，理由如下， 过点B作于点D，如图， 则，解得， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∵点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得（负值已舍）． 变式3．（24-25八年级下·四川广安·月考）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒（），解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在的垂直平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，请直接写出当t为何值时，． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【详解】（1）解：若点在线段的垂直平分线上，则， ， ， 解得：， 答：当时，点在线段的垂直平分线上； （2）解：①若，则是直角三角形， ， ， ， ， ； ②若，则是直角三角形， ， ， ， ， 当或时，是直角三角形． （3）解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 则， 解得：． 变式4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，．动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止．连接，设运动时间为秒． (1)判断的形状，并说明理由； (2)记的面积为，请用含有的代数式来表示； (3)伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为直线．当直线经过点时，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)当时，；当时， (3) 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由题意可知，动点从点出发沿运动到终点所需时间为秒，动点从点出发沿运动到点所需时间为秒， ①当时，， 则的面积； ②当时，， 则的面积； 综上，当时，；当时，． （3）解：如图，连接， ①当时，，， ∴， ∵线段的垂直平分线为直线， ∴， 在中，，即， 解得，符合题设， 此时； ②当时，，， 同理可得：， 在中，，即， 解得（不符合题设，舍去）， 综上，的长为． 考点二 以勾股定理为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成． 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 请用含有的代数式表示以上面积： 大正方形的面积___________； 小正方形的面积个直角三角形的面积=___________； 从而得出数学等式：___________； 化简证得勾股定理． 【知识迁移】 （1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为___________； （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【拓展延伸】 如图4，中，平分是线段上一动点（不与点，点重合），是线段上一动点（不与点，点重合），直接写出的最小值． 【答案】探索新知：，，；知识迁移：（1）；（2）；拓展延伸： 【详解】解：探索新知： 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 大正方形的面积； 小正方形的面积个直角三角形的面积； 从而得出数学等式：； 化简证得勾股定理． 知识迁移： （1）由题意得： 空白部分的面积为． （2）∵， 设，依题意有 ， 解得：， ∴ ． 故该飞镖状图案的面积是24． 拓展延伸：如图，作关于角平分线的对称点，连接， ∴， 当三点共线且时，，此时最小； ∵中，， ∴， ∵， ∴. ∴的最小值为. 例2．（25-26八年级上·山西运城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，点的坐标是描述位置的重要工具．我们可以通过坐标来探究两点之间的距离公式． 如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 任务： (1)材料中的“依据”是指___________． (2)①已知，求两点间的距离． ②已知平面内三点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)勾股定理 (2)①；②是直角三角形，理由见解析 【详解】（1）解：根据阅读材料做法，， 材料中的“依据”是指勾股定理， 故答案为：勾股定理； （2）解：①由题意，得两点间的距离． ②是直角三角形，理由如下： 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以是直角三角形． 例3．（24-25八年级上·上海·期中）利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【详解】（1）解：大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）解：画图为 （3）证明：大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以整理得． （4）解：由（3）可知， 因为， 所以，， 利用完全平方公式，可得 所以直角三角形的面积为． 例4．（25-26八年级上·福建三明·期中）【阅读与思考】“解决问题之后，对解决问题的过程、方法和问题的变化等方面进行反思，可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，丰富解决问题的经验，提高解决问题的能力”．请你认真阅读，并解答相应问题． 在八年级上册第二章“认识实数”的学习中，同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）如图1，得到了一个大的正方形，在老师的引导下认识了无理数． 【问题与策略】问题1：能否利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形？ 对于上面的问题小聪进行了尝试并找到了图2和图3两种剪拼的方法： 问题2：一个边长为1和一个边长为3的正方形也能剪拼出一个大正方形吗？如果能，该如何剪拼呢？ 【解答与方案】 (1)请求出图1中拼成的大正方形的边长； (2)请求出图2和图3中拼成的大正方形的边长； (3)请参考材料中图2或图3的剪拼方法，在图4中画出剪切线并在图中仿照图2或图3标出相应线段的长度； (4)在图4右侧画出拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：图1中拼成的大正方形的边长为， （2）图2和图3中拼成的大正方形的边长为； （3）如图所示：方法（一） 方法（二） 方法（三） （4）如图所示即为所求． 变式1．（24-25八年级上·山西长治·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之间的数量关系是____． 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，， 且______， ∴____________． 整理，得， ∴． 任务： (1)补全材料中的填空． (2)如图3，在中，是边上的高，，，．设，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）证明：∵，，， 且， ∴． 整理，得， ∴． （2）解：由题意可得，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 即 解得 变式2．（24-25八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：根据梯形面积公式可得梯形面积为； 根据梯形面积等于三个直角三角形的面积可得梯形面积为， 故答案为：，； （3）证明：∵（2）中两种表示方法表示的梯形面积相等， ∴， ∴， ∴． 变式3．（24-25八年级下·山西临汾·期中）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”．通过观察常见勾股数“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想当一组勾股数中（），最小数为奇数时，另两个正整数和满足比且，解得，．任务： (1)请证明猜想成立，即证明，，构成勾股数． (2)若一组勾股数中，最小数为9，则另两个数分别是________和________． 【答案】(1)见解析 (2)40；41 【详解】（1）证明：， ∴，，构成勾股数. （2）根据最小数为奇数时，另两个正整数为，， 当a=9时， ， ， 故答案为：40,41． 2 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理与动态几何问题、以勾股定理为背景的材料阅读类问题专项训练 勾股定理与动态几何问题、以勾股定理为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 勾股定理与动态几何问题 以勾股定理为背景的材料阅读类问题 考点一 勾股定理与动态几何问题 例1．（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点运动秒后，求的周长； (2)当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 例2．（24-25八年级上·辽宁锦州·月考）如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径运动，到点停止运动，且点运动速度为，设出发时间为． (1)______cm； (2)当点运动到平分时，求出动点运动时间的值； (3)点运动过程中，使得，直接写出的值为______； (4)若动点在射线上运动，当为直角三角形时，则的值为______． 例3．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． (1)当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 变式1．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为，动点、分别从点、同时出发向右移动，点的运动速度为每秒个单位，点的运动速度为每秒个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动． (1)请在的网格纸图中画出运动时间为秒时的线段，并求出的长度． (2)在动点、运动的过程中，能否成为以为底的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间，若不能，请说明理由． 变式2．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)的长为_____； (2)若点在边的垂直平分线上，求此时的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 变式3．（24-25八年级下·四川广安·月考）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒（），解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在的垂直平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，请直接写出当t为何值时，． 变式4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，．动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止．连接，设运动时间为秒． (1)判断的形状，并说明理由； (2)记的面积为，请用含有的代数式来表示； (3)伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为直线．当直线经过点时，求的长． 考点二 以勾股定理为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成． 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 请用含有的代数式表示以上面积： 大正方形的面积___________； 小正方形的面积个直角三角形的面积=___________； 从而得出数学等式：___________； 化简证得勾股定理． 【知识迁移】 （1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为___________； （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【拓展延伸】 如图4，中，平分是线段上一动点（不与点，点重合），是线段上一动点（不与点，点重合），直接写出的最小值． 例2．（25-26八年级上·山西运城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，点的坐标是描述位置的重要工具．我们可以通过坐标来探究两点之间的距离公式． 如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 任务： (1)材料中的“依据”是指___________． (2)①已知，求两点间的距离． ②已知平面内三点，试判断的形状，并说明理由． 例3．（24-25八年级上·上海·期中）利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 例4．（25-26八年级上·福建三明·期中）【阅读与思考】“解决问题之后，对解决问题的过程、方法和问题的变化等方面进行反思，可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，丰富解决问题的经验，提高解决问题的能力”．请你认真阅读，并解答相应问题． 在八年级上册第二章“认识实数”的学习中，同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）如图1，得到了一个大的正方形，在老师的引导下认识了无理数． 【问题与策略】问题1：能否利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形？ 对于上面的问题小聪进行了尝试并找到了图2和图3两种剪拼的方法： 问题2：一个边长为1和一个边长为3的正方形也能剪拼出一个大正方形吗？如果能，该如何剪拼呢？ 【解答与方案】 (1)请求出图1中拼成的大正方形的边长； (2)请求出图2和图3中拼成的大正方形的边长； (3)请参考材料中图2或图3的剪拼方法，在图4中画出剪切线并在图中仿照图2或图3标出相应线段的长度； (4)在图4右侧画出拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线． 变式1．（24-25八年级上·山西长治·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之间的数量关系是____． 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，， 且______， ∴____________． 整理，得， ∴． 任务： (1)补全材料中的填空． (2)如图3，在中，是边上的高，，，．设，求x的值． 变式2．（24-25八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 变式3．（24-25八年级下·山西临汾·期中）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”．通过观察常见勾股数“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想当一组勾股数中（），最小数为奇数时，另两个正整数和满足比且，解得，．任务： (1)请证明猜想成立，即证明，，构成勾股数． (2)若一组勾股数中，最小数为9，则另两个数分别是________和________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $