2026年浙江省杭州市中考数学专题复习八：二次函数比较大小问题研究

2026年浙江省杭州中考专题复习八：二次函数比较大小问题研究 【知识点】已知函数值大小求参数范围 1.已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣2a﹣2（a为常数且a≠0）． （1）当函数图象经过点（0，﹣6）时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标； （2）求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点； （3）若函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1+x2＝3，且当x1＜x2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 【解答】（1）解：将点（0，﹣6）代入函数解析式得， ﹣2a﹣2＝﹣6， 解得a＝2， 所以函数的表达式为y＝2x2+4x﹣6． 则， 将x＝﹣1代入函数解析式得， y＝2﹣4﹣6＝﹣8． 所以函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8）． （2）证明：因为Δ＝（a+2）2﹣4a（﹣2a﹣2）＝9a2+12a+4＝9（）2， 又因为a， 所以Δ＞0， 所以二次函数的图象与x轴必有两个不同的交点． （3）解：将A，B两点坐标代入函数解析式得， ， ， 两式相减得， ， 又因为x1+x2＝3， 所以y1﹣y2＝2（2a+1）（x1﹣x2）． 又因为当x1＜x2时，总有y1＞y2， 所以2a+1＜0， 解得． 所以a的取值范围是：a． 2.已知二次函数， （1）若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． （2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 【答案】（1）①② （2）或 【小问1详解】 解：①由题意，得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为：； ∵时，，函数的最小值为， ∴， 解得：， ∴的最大值为； 【小问2详解】 解：∵当时，取值范围是， ∴当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大， ∵二次函数图象经过，两点，且， ∴， 解得：或； 故或． 3.已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）把（﹣1，4）代入函数解析式得， m+2m+3＝4， ∴m， ∴函数解析式为：yx2x+3； （2）∵抛物线开口方向向上， ∴m＞0， ∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m， ∴抛物线的顶点为（1，3﹣m）， ∴当x＜1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， ∴最低点N（1，3﹣m）， ∵当x＝﹣1时，y＝3m+3， 当x＝2时，y＝3， 且m＞0， ∴3m+3＞3， ∴最高点M（﹣1，3m+3）， ∴3m+3＝9， ∴m＝2， 代入M点和N点坐标得：M（﹣1，9），N（1，1）； （3）①当m＞0时， 则有当x≤1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a+2≤1， ∴a≤﹣1， ②当m＜0时， 则有当x≤1时y随x增大而增大， 当x≥1时，y随x增大而减小， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a≥1， 综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1． 4.已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式． （3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：． 【解答】（1）解：将y＝a（x﹣1）（x+2）展开得y＝a（x2+x﹣2）＝ax2+ax﹣2a， ∴根据顶点坐标公式，， ∴顶点坐标为（，）； （2）解：函数图象向上平移3个单位长度后，函数表达式变为y＝ax2+ax﹣2a+3， ∵平移后的函数经过（0，﹣3），把x＝0，y＝﹣3代入y＝ax2+ax﹣2a+3， ∴﹣3＝﹣2a+3，解得a＝3， ∴原二次函数表达式为y＝3（x﹣1）（x+2）＝3x2+3x﹣6； （3）证明∵A（x1，m）和（x2，n）在y＝ax2+ax﹣2a上，且x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，m＜n， ∴a（﹣1﹣a）2+a（﹣1﹣a）﹣2a＜a（2a）2+a×2a﹣2a， 化简得a3+a2﹣2a＜4a3+2a2﹣2a， 移项得3a3+a2＞0， ∵a＜0， 两边同时除以a得3a2+a＜0，因式分解得a（3a+1）＜0， ∴解得a＜0， 由（1）知二次函数顶点纵坐标为y， ∵a＜0， ∴0， ∵a＜0， 二次函数图象开口向下， ∴y． 5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴交于点A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴．（用含m的式子表示） （2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，形成图形G．M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上的两点． ①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由． ②若对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）对称轴为直线xm； （2）①y1＞y2，理由如下： 当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2，图形G如图1所示： 此时若x1＜x2，故y1＞y2； ②当m＞0时，如图2所示： 此时翻折后的图象解析式为y＝﹣x2+2mx+m2， 故当x1＝1时，y1＝﹣1+2m+m2，当x2＝2时，y2＝﹣4+4m+m2， ∵y1＞y2，即﹣1+2m+m2﹣（﹣4+4m+m2）＞0， 解得m， 即； 当m＝0时，显然对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2成立； 当m＜0时，对于x1＝1，x2＝2，恒有y1＜y2成立； 综上，m的取值范围为m． 6.在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+2mx﹣m+2（m是常数）． （1）若函数图象经过点（0，3），求该函数图象的顶点坐标． （2）若点A（﹣1，y1），B（﹣m+2，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，求m的取值范围． （3）若函数图象经过点（﹣1，p），（1，q），求证：pq≤12． 【解答】（1）解：由条件可知3＝﹣m+2． 解得m＝﹣1． ∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2． ∴函数图象的顶点坐标为（1，2）； （2）解：由条件可知二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝m，则点B（﹣m+2，y2）在对称轴右侧， ∵y1＜y2， ∴存在如下情况： ①当﹣m＜﹣1，即m＞1时，﹣1＜﹣m+2， 解得m＜3， ∴1＜m＜3； ②当﹣m≥﹣1，即m≤1时，﹣m+2﹣（﹣m）＞﹣m﹣（﹣1）， 解得m＞﹣1； ∴﹣1＜m≤1， 综上，m的取值范围为：﹣1＜m＜3； （3）证明：函数y＝x2+2mx﹣m+2的图象经过点（﹣1，p），（1，q）， ∴p＝1﹣2m﹣m+2＝﹣3m+3，q＝1+2m﹣m+2＝m+3． ∴pq＝（﹣3m+3）（m+3）＝﹣3m2﹣6m+9＝﹣3（m+1）2+12． ∴pq≤12． 7.已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m），m为实数． （1）若m＝1，求该函数图象的对称轴． （2）若该函数图象与y轴交于点（0，n），求证：n≥﹣1． （3）若点A（2m，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，求m的取值范围． 【解答】（1）解：若m＝1，则二次函数为y＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1， ∴该函数图象的对称轴为直线x＝2； （2）证明：x＝0时，y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝m2+2m， ∴抛物线与y轴交于点（0，m2+2m）， ∵该函数图象与y轴交于点（0，n）， ∴n＝m2+2m＝（m+1）2﹣1， ∴n≥﹣1． （3）∵y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）， ∴y1＝（2m﹣m）2﹣2（2m﹣m）＝m2﹣2m， y2＝（﹣2﹣m）2﹣2（﹣2﹣m）＝m2+6m+8， y2＝（6﹣m）2﹣2（6﹣m）＝m2﹣10m+24， ∵y1＜y2＜y3， ∴m2﹣2m＜m2+6m+8＜m2﹣10m+24， 解得﹣1＜m＜1． 8.设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3． （1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围． 【解答】解：（1）∵该函数的对称轴为直线x＝1， ∴1，解得a＝1， ∴y＝﹣x2+2x+2， ∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∴该函数的顶点坐标为（1，3）； （2）令二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3的最大值5， 整理得a2﹣a﹣2＝0， 解得a＝2或a＝﹣1， ∴该函数存在最大值5，此时a＝2或a＝﹣1； （3）∵点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上， ∴3﹣a＝﹣36+12a﹣a+3， 解得a＝3， ∴y＝﹣x2+6x， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x3， ∵当1≤x1≤4时，都有y1＞y2， ∴x2＜1或x2＞5． 9.已知二次函数（m是常数） （1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点； （2）若、是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和m的值； （3）若，在函数图象上，且，求的取值范围（结果可用含m的式子表示）. 【答案】（1）证明见详解； （2），； （3）m-3＜x0＜m+2. （1）由二次函数可得：，， 则：， ∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点； （2）∵、是该二次函数图象上的两个不同点， ∵A，B两点y值相同，即A，B两点是对称点， ∴抛物线的对称轴是：， ∴对称轴，， ∴， ∴二次函数解析式为：； （3）当h=0时，， 解得：，， 并根据抛物线的对称性，作出抛物线图像如下图所示： 当时，由图象得：x0的取值范围是． 10.设二次函数（a是常数，a≠0）． （1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标； （2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式； （3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数y＝（x+1）（x+4）＝x2+5x+4＝（x+）2﹣， ∴该函数的顶点坐标为（﹣，﹣）； （2）当x＝﹣1时，y＝0， 此时y＝0≠﹣1， ∴该抛物线图象不过点（﹣1，1）， 当时x＝﹣2，y＝﹣2， 此时y＝﹣2≠3， ∴该抛物线图象不过点（﹣2，3）， ∴该抛物线过点（0，﹣2），代入得：2a+2＝﹣2， 解得：a＝﹣2， 将a＝﹣2代入二次函数的表达式为：y＝（x+1）（﹣2x﹣2）， 整理得：y＝﹣2x2﹣4x﹣2， 故二次函数的表达式为：y＝﹣2x2﹣4x﹣2； （3）∵x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0， ∵二次函数（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（﹣2﹣2a，0）， ∴函数图象的对称轴为直线x＝﹣， 当a＞0时，函数图象开口向上， ∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2， ∴x2+＜﹣﹣x1， ∴2+3+2a＜0， 解得a＜﹣，舍去； 当a＜0时，函数图象开口向下， ∵x1＜x2时，y1＞y2， ∴x2+＞﹣﹣x1， ∴2+3+2a＞0， ∴2a＞﹣5， ∵a＜0， ∴a＜﹣， ∴a的取值范围是a＜﹣． 11.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y2的值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）； （2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的对称轴为x＝t， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵t﹣2≤x1≤t+1， ∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t， ∵y1的最小值是﹣2， ∴t＝2， ∴x2＝1﹣t＝﹣1，抛物线表达式为y＝x2﹣4x+2， ∴y2＝12﹣4×（﹣1）+2＝7； ②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上， ∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t， ∵对于x1，x2，都有y1＜y2， ∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0， ∴或， Ⅰ、当时， ∵x2﹣x1＞0， ∴x2＞x1， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴1﹣t≥t+1， ∴t≤0， ∵x2+x2t＞0， ∴x2+x1＞2t， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴﹣1＜x2+x1＜2， ∴2t≤﹣1， ∴t， 即t； Ⅱ、当时， 由x2﹣x1＜0得：x2＜x1， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴1﹣t≤t﹣2， ∴t， 由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴﹣1＜x2+x1＜2， ∴2t≥2， ∴t≥1， 即t； 即满足条件的t的取值范围为t或t． 12.已知二次函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）． （1）若函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（1，0），求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象经过点（k，m），求k﹣m的值； （3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2＝t+1，总有y1＜y2，求t的取值范围． 【解答】解：（1）∵函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴m＝﹣1， ∵经过点（1，0）， ∴（1+1）2+k＝0， ∴k＝﹣4， ∴二次函数表达式为y＝（x+1）2﹣4； （2）∵二次函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）图象经过点（k，m）， ∴m＝（k﹣m）2+k， ∴（k﹣m）2+k﹣m＝0，即（k﹣m）（k﹣m+1）＝0， ∴k﹣m＝0或k﹣m+1＝0， ∴k﹣m的值为0或﹣1； （3）∵二次函数为y＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∵二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2＝t+1，总有y1＜y2， ∴， ∴t． 【知识点】根据参数范围求函数值的大小 1.在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）在函数y＝ax2+bx+1（a＞0）的图象上． （1）求该函数图象的对称轴； （2）点B（m，y1），C（m+2，y2）在该函数的图象上，若m＞﹣2，求证：y1＜y2． （3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），满足1＜x2﹣x1＜2，求a的取值范围． 【解答】（1）解：∵A（﹣2，1）在函数y＝ax2+bx+1的图象上， ∴1＝4a﹣2b+1， ∴b＝2a， ∴对称轴为直线， （2）证明：∵点B（m，y1）C（m+2，y2）在该函数的图象上， ， ， ∴y2﹣y1＝4am+8a＝4a（m+2）， ∵m＞﹣2，a＞0， ∴4a（m+2）＞0， ∴y2﹣y1＞0，即y1＜y2． （3）解：如图，1＜x2﹣x1＜2，对称轴为x＝﹣1， ∴x1+x2＝﹣2， ∴﹣1＜2x2＜0， ∴﹣0.5＜x2＜0， ∴当x＝﹣0.5时，y＜0， 即， 解得． 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴交于点A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴．（用含m的式子表示） （2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，形成图形G．M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上的两点． ①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由． ②若对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）对称轴为直线xm； （2）①y1＞y2，理由如下： 当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2，图形G如图1所示： 此时若x1＜x2，故y1＞y2； ②当m＞0时，如图2所示： 此时翻折后的图象解析式为y＝﹣x2+2mx+m2， 故当x1＝1时，y1＝﹣1+2m+m2，当x2＝2时，y2＝﹣4+4m+m2， ∵y1＞y2，即﹣1+2m+m2﹣（﹣4+4m+m2）＞0， 解得m， 即； 当m＝0时，显然对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2成立； 当m＜0时，对于x1＝1，x2＝2，恒有y1＜y2成立； 综上，m的取值范围为m． 3.已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+4）（a为常数）． （1）当a＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a+1，求AB的长． （3）若1＜a＜3，点（2a﹣7，m），（4a﹣9，n）在该二次函数图象上，试说明m＞n． 【解答】解：（1）当a＝1时，函数为y＝（x﹣1）（x﹣1+4）＝（x﹣1）（x+3）， 展开并配方： y＝x2+3x﹣x﹣3 ＝x2+2x﹣3 ＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）； （2）由对称轴x＝a﹣2，设点A的横坐标为xA， 则a﹣2，解得：xA＝2（a﹣2）﹣（a+a）＝a﹣5， ∴AB的长为|（a+1）﹣（a﹣5）|＝6； （3）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+4）的对称轴为xa﹣2，且二次项系数为1＞0，即抛物线开口向上， ∵对于开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，函数值越大． 计算点（2a﹣7，m）到对称轴x＝a﹣2的距离：|（2a﹣7）﹣（a﹣2）|＝|a﹣5|＝5﹣a（因为1＜a＜3，a﹣5＜0）． 计算点（4a﹣9，n）到对称轴x＝a﹣2的距离：|（4a﹣9）﹣（a﹣2）|＝|3a﹣7|， 接下来比较两个距离的大小： （5﹣a）﹣|3a﹣7|， 当1＜a时，2a﹣2＞0（因为a＞1），即5﹣a＞7﹣3a， 当a＜3时，12﹣4a＞0（因为a＜3），即5﹣a＞3a﹣7， 综上，点（2a﹣7，m）到对称轴的距离更远，又因为抛物线开口向上， ∴m＞n． 4.已知二次函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 【答案】（1）①；②证明过程详见解析； （2） 【小问1详解】 解：①∵， ∴该函数解析式为． ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为； ②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题可知，，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 5.设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴． （2）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且．求证：y1﹣y2＞0． （3）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范围． 【解答】（1）解：由题意，二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过（1，0），（3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析y＝x2﹣4x+3， ∴抛物线对称轴是直线x2； （2）解：由题意，得y＝（x﹣h）2﹣3＝x2﹣2h+h2﹣3， 又∵y＝x2+bx+c， ∴b＝﹣2h，c＝h2﹣3 ∴b+c＝h2﹣2h﹣3＝（h﹣1）2﹣4， ∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4； （2）证明：在（1）的条件下，二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3， ∴y1﹣y2＝x4x1+3﹣（x4x2+3）＝x4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）， ∵， ∴x1+x2﹣4＜0，﹣2＜x1﹣x20， ∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0， 即y1﹣y2＞0； （3）解：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m）， ∵b+c＝﹣（2m+1）+（m2+m）＝m2+m﹣2m﹣1＝m2﹣m﹣1， ∴当m＝0时，b+c＝m2﹣m﹣1＝﹣1， 当m＝2时，b+c＝m2﹣m﹣1＝1， ∴b+c的取值范围为b+c＜1． 6.在直角坐标系中，设函数y1与函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）的图象交于点A（1，4），B（﹣2，t）． （1）求函数y1，y2的表达式． （2）当x＞2时，比较y1与y2的大小．（直接写出结果） （3）若点C在函数y2的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标． 【解答】解：（1）∵两个函数图象交于点A（1，4），B（﹣2，t）． ∴k1＝1×4＝﹣2t， ∴k1＝4，t＝﹣2， ∴y1， ∵点A（1，4），B（﹣2，﹣2）在直线y2＝k2x+b图象上， ，解得， ∴y2＝2x+2． （2）两个函数图象如图所示， 由图可知，当x＞2时，y1＜y2． （3）设点C坐标为（m，2m+2）， ∵将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D， ∴D（m﹣1，2m﹣4）， ∵点D恰好落在函数y1的图象上， ∴（m﹣1）（2m﹣4）＝4， 整理得m（m﹣3）＝0， ∴m＝3或m＝0， ∴C（3，8）或（0，2）． 7.二次函数是常数，，当时，函数有最小值． （1）若该函数图象的对称轴为直线，并且经过点，求该函数的表达式． （2）若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点． ①求该二次函数图象的顶点坐标． ②若是该二次函数图象上的两点，求证：． 【答案】（1）（或） （2）①(－1，－1)；②见解析 【小问1详解】 由题意得， ，解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 ①由题意可得，二次函数的顶点坐标为(，－1)，且， ∴二次函数的解析式化为顶点式为， ∵一次函数的图象经过二次函数图象的顶点， ∴，解得， ∵当时，二次函数有最小值， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，－1)； ②∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， 即对于是二次函数图象上的两点，满足 ． 8.已知二次函数，（，为常数，）． （1）若，求二次函数的顶点坐标． （2）若，设函数的对称轴为直线，求的值． （3）点在函数图象上，点在函数图象上．若函数图象的对称轴在轴右侧，当，时，试比较，的大小． 【答案】（1）（1，0）；（2）k=-2；（3）m＜n 【解析】 【分析】（1）化成顶点式即可求得； （2）根据对称轴公式即可求得； （3）根据题意求得a＜0，即可判断函数y2图象开口向下，令x2+ax+1=ax2+x+1，解得x=0或x=1，即可得出两抛物线交点的横坐标为0和1，据此函数图象，根据图象即可求得m＜n． 【详解】解：（1）若a=-2，则y1=x2-2x+1， ∵y1=x2-2x+1=（x-1）2， ∴二次函数y1的顶点坐标为（1，0）； （2）若b=4a，则y2=ax2+4ax+1， ∴对称轴为直线x= =-2， 设函数y2的对称轴为直线x=k，则k=-2； （3）∵函数y1图象的对称轴在y轴右侧， ∴＞0， ∴a＜0， ∴函数y2=ax2+bx+1图象开口向下， ∵b=1， ∴y2=ax2+x+1， 令x2+ax+1=ax2+x+1，整理得（a-1）x2-（a-1）x=0， 解得x=0或x=1， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当0＜x0＜1，m＜n． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州中考专题复习八：二次函数比较大小问题研究 【知识点】已知函数值大小求参数范围 1.已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣2a﹣2（a为常数且a≠0）． （1）当函数图象经过点（0，﹣6）时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标； （2）求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点； （3）若函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1+x2＝3，且当x1＜x2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 2.已知二次函数， （1）若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． （2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 3.已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 4.已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式． （3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：． 5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴交于点A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴．（用含m的式子表示） （2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，形成图形G．M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上的两点． ①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由． ②若对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2，直接写出m的取值范围． 6.在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+2mx﹣m+2（m是常数）． （1）若函数图象经过点（0，3），求该函数图象的顶点坐标． （2）若点A（﹣1，y1），B（﹣m+2，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，求m的取值范围． （3）若函数图象经过点（﹣1，p），（1，q），求证：pq≤12． 7.已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m），m为实数． （1）若m＝1，求该函数图象的对称轴． （2）若该函数图象与y轴交于点（0，n），求证：n≥﹣1． （3）若点A（2m，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，求m的取值范围． 8.设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3． （1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围． 9.已知二次函数（m是常数） （1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点； （2）若、是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和m的值； （3）若，在函数图象上，且，求的取值范围（结果可用含m的式子表示）. 10.设二次函数（a是常数，a≠0）． （1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标； （2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式； （3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求a的取值范围． 11.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y2的值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 12.已知二次函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）． （1）若函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（1，0），求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象经过点（k，m），求k﹣m的值； （3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2＝t+1，总有y1＜y2，求t的取值范围． 【知识点】根据参数范围求函数值的大小 1.在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）在函数y＝ax2+bx+1（a＞0）的图象上． （1）求该函数图象的对称轴； （2）点B（m，y1），C（m+2，y2）在该函数的图象上，若m＞﹣2，求证：y1＜y2． （3）若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），满足1＜x2﹣x1＜2，求a的取值范围． 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴交于点A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴．（用含m的式子表示） （2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，形成图形G．M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上的两点． ①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由． ②若对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2，直接写出m的取值范围． 3.已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+4）（a为常数）． （1）当a＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a+1，求AB的长． （3）若1＜a＜3，点（2a﹣7，m），（4a﹣9，n）在该二次函数图象上，试说明m＞n． 4.已知二次函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 5.设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴． （2）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且．求证：y1﹣y2＞0． （3）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范围． 6.在直角坐标系中，设函数y1与函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）的图象交于点A（1，4），B（﹣2，t）． （1）求函数y1，y2的表达式． （2）当x＞2时，比较y1与y2的大小．（直接写出结果） （3）若点C在函数y2的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标． 7.二次函数是常数，，当时，函数有最小值． （1）若该函数图象的对称轴为直线，并且经过点，求该函数的表达式． （2）若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点． ①求该二次函数图象的顶点坐标． ②若是该二次函数图象上的两点，求证：． 8.已知二次函数，（，为常数，）． （1）若，求二次函数的顶点坐标． （2）若，设函数的对称轴为直线，求的值． （3）点在函数图象上，点在函数图象上．若函数图象的对称轴在轴右侧，当，时，试比较，的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $