第八章 实数【期中复习讲义培优版】 2025-2026学年数学人教版七年级下册

2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 实数【期中复习讲义】-培优版 （导图+知识梳理+20个题型讲练+能力提升训练 共55题） 解析版 类型 分析 教学目标 （1）系统梳理平方根、算术平方根、立方根的概念、性质及表示方法；掌握实数的分类、相反数、绝对值及简单运算；能用有理数估计一个无理数的大致范围；理解实数与数轴上的点一一对应. （2）经历知识梳理和体系建构的过程，学会用思维导图等方式整理知识；通过典型例题的探究，进一步感悟分类讨论、类比、数形结合等数学思想方法. （3）在复习过程中体会知识之间的内在联系，感受数系扩充的和谐美；通过解决综合问题，培养严谨细致的学风和学习数学的自信心. 目标分析 （1）强调知识系统的完整性和基本技能的熟练掌握.学生需要能够准确区分平方根与算术平方根，熟练进行实数的分类和简单运算. （2）侧重于思想方法的提炼和内化。通过知识梳理和综合应用，让学生感悟数学思想方法的普适性和重要性. （3）通过知识网络的构建和问题的解决，让学生体会数学的条理性和内在统一性，增强学习兴趣. 知识点一 平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二 平方根的性质 知识点三 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点四 立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点五 立方根的性质 知识点六 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点七 无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点八 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点九 实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 题型讲练一 已知一个数的平方根，求这个数 【例1】（25-26八年级上·四川达州·期末）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根的应用，根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再代入求出一个平方根，进而根据平方根求出这个正数即可，掌握平方根的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 【答案】小达的解法不正确．理由见解析 【思路引导】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算． 【规范解答】解：小达的解法不正确．理由如下： 依题意可知，为，两数中的一个． 当时， 解得，则，这个正数为； 当时， 解得，则，这个正数为． 综上所述，这个正数为或． 【考点剖析】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论． 题型讲练二 利用平方根解方程 【例2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）（1）解方程：； （2）求满足的的值． 【答案】（1）；（2）或． 【思路引导】（1）先去分母，去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为即可； （2）根据平方根的定义解答即可． 【规范解答】解：（1） 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． （2）， ∴或， 解得：或． 【考点剖析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数，避免漏解． 【变式】已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即 的整数部分是3， ， 解得 故答案为：，， （2）把代入， 3的平方根是， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查平方根的概念和平方根的性质，解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负． 题型讲练三 利用算术平方根的非负性解题 【例3】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． (1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； (2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 【答案】(1)③，算术平方根不能为负数． (2)25或 【思路引导】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键． （1）错误的在第③部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． （2）根据一个数的算术平方根是，平方根是，即或，求出m的值，即可解答． 【规范解答】（1）解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为16； （ii）当时， 解得， ， 由这个数的算术平方根为，得 ， ∴不符合题意，舍去． 故答案为：③，算术平方根不能为负数． （2）∵一个数的算术平方根是，平方根是， ∴或． （i）当时， 解得， ， ， ∴这个数为25； （ii）当时， 解得， ， ， ∴这个数为； 综上所述，这个数为或． 【变式】探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【思路引导】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【考点剖析】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 题型讲练四 估计算术平方根的取值范围 【例4】若，则___________． 【答案】 【思路引导】先根据非负数的性质求出，，，代入所求式子计算即可得出结果． 【规范解答】解：∵，且，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 【答案】(1)64 (2)－7 (3)点D表示的数是0或4 【思路引导】（1）根据非负数的性质即可确定出、的值，然后代入进行计算即可得； （2）根据是最小的正整数，确定出点、点的对称点所表示的数，通过计算即可得出与点重合的点表示的数； （3）分点在点的左边、点在点，之间、点在点的右边三种情况进行讨论即可得． 【规范解答】（1）解：（1）∵， ∴，， 解得，， ∴． （2）解：∵是最小的正整数， ∴． ∵， ∴，， ∴与点重合的点表示的数是． （3）解：设点表示的数为．分以下三种情况讨论： 若点在点的左侧，则，解得（不合题意，舍去）； 若点在点，之间，则，解得； 若点在点的右侧，则，解得． 综上所述，点表示的数是0或4． 【考点剖析】本题考查的是非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系是解决此题的关键． 题型讲练五 与算术平方根有关的规律探索题 【例5】根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.6，1.89 (3) 【思路引导】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）若m为正整数，且满足，的值是_____ 【答案】16 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键． 通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答． 【规范解答】解：∵ ， ，且， ∴， ∵ ∴，即． 故答案为：16． 题型讲练六 算术平方根的实际应用 【例6】（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【思路引导】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【规范解答】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 【答案】（1）3  ，0.5 ， 7 ， ， 0 （2）①不一定等于a，当时，；当时， ②，   【思路引导】（1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）①从（1）中可以得到规律：非负数的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；②利用①中总结的规律化简即可． 【规范解答】解：（1）计算：，，，，． （2）①不一定等于， 当时，； 当时，． ②， ，， ；． 【考点剖析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律解决问题是解决第（2）小题的关键． 题型讲练七 已知一个数的立方根，求这个数 【例7】（25-26七年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长___________． 【答案】20 【思路引导】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和． 根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【规范解答】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：20． 【变式】（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【思路引导】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 题型讲练八 与立方根有关的规律探索 【例8】已知的算术平方根是5，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【思路引导】根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再根据平方根的定义进行求解即可. 【规范解答】解：由题意，， ∴， ∴的平方根为. 【变式】（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【思路引导】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【规范解答】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 题型讲练九 立方根的实际应用 【例9】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【思路引导】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【思路引导】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【规范解答】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 题型讲练十 算术平方根和立方根的综合应用 【例10】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【规范解答】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 【变式】（23-24七年级下·湖北宜昌·月考）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【思路引导】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【规范解答】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 题型讲练十一 计算器-平方根和立方根 【例11】已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【思路引导】（）根据立方根、算术平方根的定义可得方程组，解方程组即可求解； （）由，可得，求的平方根即可求解； 本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，根据立方根、算术平方根的定义求出的值是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， 即， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【变式】（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【思路引导】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【规范解答】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【考点剖析】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 题型讲练十二 无理数的大小估算 【例12】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到数字变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、 ，得出规律即可解决． 【规范解答】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是， ∵ ∴表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 同理可得， 可知以，两个数循环出现， ∵， ∴， 故选：B． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小，确定出被覆盖数的范围并化为带根号的数是解题的关键． 根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解． 【规范解答】解：设被墨迹覆盖住的无理数为， 由图可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型讲练十三 无理数整数部分的有关计算 【例13】（25-26七年级下·全国·周测）设的整数部分为，的整数部分为，则_________． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 估算和的整数部分，通过比较相邻平方数确定和的值，最后代入，进行计算即可． 【规范解答】解：∵，即， ∴的整数部分； ∵ ，即， ∴ 的整数部分； 则． 故答案为：． 【变式】我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算． （1）先估算出所在的范围，进而作答即可； （2）先估算出所在的范围，进而求出的值，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴． 题型讲练十四 实数的性质 【例14】（1）计算：                 （2） 已知：，求x的值． 【答案】（1） （2）或 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，求一个数的平方根，根据平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）先根据绝对值化简，然后根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据平方根的定义解方程即可求解． 【规范解答】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， 解得：或． 【变式】（23-24七年级下·福建莆田·月考）【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】（1）；； （2）． 【思路引导】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题目给出的规律解答； 归纳：根据，则，满足的数量关系为则； （2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：， 归纳：若，则，满足的数量关系为则； 故答案为：； （2）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴． 题型讲练十五 实数与数轴 【例15】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴；根据开方估算出在哪两个整数之间，再结合数轴得出答案即可． 【规范解答】解：， ， 数轴上表示实数的可能是Q点； 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）在下列说法中： 是的平方根；的平方根是； 的算术平方根是；是一个负数； 的相反数和倒数都是；； 已知是实数，则；全体实数和数轴上的点一一对应． 正确的是______（填序号）． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了实数有关概念，分别利用平方根以及算术平方根和二次根式的性质、实数与数轴分别分析得出即可． 【规范解答】解：是的平方根，故此选项错误； 没有平方根，故此选项错误； 的算术平方根是，故此选项错误； 无意义； 没有倒数，故此选项错误； ，故此选项错误； 已知是实数，则，正确； 全体实数和数轴上的点一一对应，正确． 故答案为：． 题型讲练十六 实数的大小比较 【例16】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长： (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为，她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．小明的说法不正确．理由见解析 【思路引导】本题考查平方根的实际应用，熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，算术平方根定义，是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，由题意得到，求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：大正方形边长； 故大正方形纸片的边长为； （2）解：不同意小明的说法．不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由：∵长方形纸片的长、宽之比为且面积为， ∴设长为，则宽为， ∴， ∵， ∴， ∴长为， ∴不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．小明的说法不正确． 【变式】比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【思路引导】此题考查了实数的大小比较，掌握是解决问题的关键． 通过比较分子的大小，由于分母相同，将问题转化为比较与3的大小，进一步比较与2的大小，利用平方比较法得出结论． 【规范解答】∵与1比较大小，且， ∴比较分子与3的大小， ∵（理由：）， ∴， ∴． 故答案为：． 题型讲练十七 实数的混合运算 【例17】（25-26七年级下·重庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）先计算乘方，除法转化为乘法，再从左到右依次计算乘除运算，最后计算减法； （2）先分别计算乘方、立方根、绝对值和算术平方根，再进行加减运算，注意，故，去掉绝对值后前面加负号需变号． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）小明在一本数学资料上看到这样一道题：计算． 小明的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小明检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算． 【答案】(1)小明在取绝对值符号时出错了， 结果应该是1 (2) 【思路引导】本题考查了绝对值的化简计算，掌握判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． （1）先判断绝对值内表达式的正负，再根据绝对值的性质正确去掉绝对值符号，进而计算式子的正确结果； （2）依次判断每个绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后，通过式子的抵消进行化简，最终计算出结果． 【规范解答】（1）解：小明的错误：小明在取绝对值符号时出错了，结果应该是． 原式 ． （2）解：原式 ． 题型讲练十八 程序设计与实数运算 【例18】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【思路引导】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【规范解答】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 【变式】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为10时，则输出的y值为________． 若输出的y值是且，则输入的x的值为________． 【答案】 19或 【思路引导】本题主要考查了实数的混合运算，程序图，解题的关键是理解题目所给程序的运算顺序以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． （1）把代入进行计算即可； （2）根据题意可得：或25，根据，即可得出结论． 【规范解答】解：输入的x值为10时，，取算术平方根为是有理数， 则返回是有理数，返回取算术平方根为，无理数则输出， 则y的值为， 故答案为：； 按数值转换器，进行逆运算， 输出的y是，且， 上一步应该是5或25， 当或25时，或或19或， ， 或， 故答案为：19或． 题型讲练十九 新定义下的实数运算 【例19】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【思路引导】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【规范解答】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 【变式】（24-25七年级下·山东临沂·期末）任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为______． 【答案】6或7 【思路引导】本题考查了新定义运算，由新定义得，，结合不等式的基本性质及新定义，即可求解． 【规范解答】解： ，， ， ， ， 或； 故答案为：6或7． 题型讲练二十 与实数运算相关的规律题 【例20】（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【规范解答】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 【变式】现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 【答案】(1)， (2)和为，共有个数的平方相加得到 【思路引导】（1）根据每六个数一循环解答即可； （2）根据每六个数的平方和等于，利用循环规律解答即可． 【规范解答】（1）， 第个数在这六个数中排在第，即， ， 第个数是这六个数中排在第，即， 故答案为：，； （2），，，，这六个数的平方加起来是， 且， 和为是由前个循环组的平方和再加上得到， 而，由个数平方相加得到， 和为，共有个数的平方相加得到． 【考点剖析】本题考查数字变化类规律探究，解答时涉及平方根的性质，解题的关键是探究出循环规律，利用规律解答问题． 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【思路引导】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【规范解答】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 2．下列命题：①等角的余角相等；②任何实数都有一个立方根；③同旁内角相等，两直线平行；④的算术平方根是．真命题的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【规范解答】解：①若两个角相等，它们的余角均为减去该角，结果相等，故①是真命题； ②根据立方根的定义，任何实数都有且只有一个立方根，故②是真命题； ③两直线平行的判定定理是同旁内角互补，两直线平行，并非同旁内角相等，故③是假命题； ④算术平方根为非负数，的算术平方根是，不是，故④是假命题； 综上，真命题共有个． 3．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【思路引导】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【规范解答】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【规范解答】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 5．（25-26七年级下·全国·周测）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 225 228.01 231.04 234.09 x 15.4 15.5 15.6 15.7 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了算术平方根的计算与表格数据的分析，掌握算术平方根的定义及平方差公式的应用是解题的关键 依次对四个结论进行判断，结合表格中与的对应关系，利用算术平方根的定义、平方数大小比较及平方差公式推导，统计错误结论的个数，从而确定答案． 【规范解答】解：① ∵表格中当时，，∴ 正确； ②∵，∴，故错误； ③∵，∴，故错误； ④，故错误； 综上所述，错误结论有②、③、④，共3个． 故选：C． 6．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 【答案】，， 【思路引导】根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数即可判断． 【规范解答】解：， 、、、、、0、中，无理数有，，． 7．（25-26七年级上·山东威海·期末）已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，确定出最接近它的正整数和，再代入计算的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， 又∵，为相邻的两个正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．已知，．请根据已知条件填空： （1）_________； （2）若，则_________． 【答案】 24.77 0.006137 【思路引导】（1）利用算术平方根的性质：被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点就向右移动一位； （2）利用立方根的性质：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，其立方根的小数点就向左（或向右）移动一位． 【规范解答】解：（1）已知 ∵， ∴． （2）已知． ∵， ∴． 故答案为：①②． 【考点剖析】本题考查了算术平方根与立方根的小数点移动规律，解题关键是掌握：算术平方根：被开方数小数点每移动两位，结果小数点移动一位；立方根：被开方数小数点每移动三位，结果小数点移动一位． 9．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似的，对只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查算术平方根的估算，核心是理解“表示不超过的最大整数”的含义，思路为逆推法：从第三次操作的结果1出发，依次确定第二次操作、第一次操作的输入范围，最终找到满足条件的最大正整数．关键在于每次逆推时，根据取整的定义确定数的取值区间，再通过平方得到对应的整数范围． 【规范解答】解：设第三次操作的输入为，由，根据定义可知，两边平方得，因此的最大正整数值为3； 设第二次操作的输入为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为； 设原正整数为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为． 验证：对进行操作：，符合题意；而需4次操作变为1，不符合． 故答案为：． 10．一个正数的平方根分别是和，则的值是________． 【答案】49 【思路引导】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 【规范解答】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 整理得：， 解得：， 当 时， ，， ∴ ， 故答案为：． 11．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【思路引导】（1）利用乘法分配律简便运算即可； （2）先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 12．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，； (2)的算术平方根为． 【思路引导】本题考查了平方根，算术平方根，立方根概念，无理数估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值即可； （）把，，的值代入，然后通过算术平方根定义即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， 综上可得：，，； （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴， 即的算术平方根为． 13．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【思路引导】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可； （2）画一个面积为的正方形，类比（1），根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设，由图形面积可得， ． 因为x值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 故答案为：，，； （2）解：如图，设， 由图形面积可得，． 因为y值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 14．已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式有意义的条件及平方根的计算，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式组，通过解不等式组求出的值； （2）将（1）中求出的值代入原式，求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根． 【规范解答】（1）解：∵二次根式的被开方数需非负， ∴​， 解得． （2）解：把，代入原式得， 即， 解得 ∴， 的平方根是， 即的平方根是． 15．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【思路引导】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 实数【期中复习讲义】-培优版 （导图+知识梳理+20个题型讲练+能力提升训练 共55题） 原卷版 类型 分析 教学目标 （1）系统梳理平方根、算术平方根、立方根的概念、性质及表示方法；掌握实数的分类、相反数、绝对值及简单运算；能用有理数估计一个无理数的大致范围；理解实数与数轴上的点一一对应. （2）经历知识梳理和体系建构的过程，学会用思维导图等方式整理知识；通过典型例题的探究，进一步感悟分类讨论、类比、数形结合等数学思想方法. （3）在复习过程中体会知识之间的内在联系，感受数系扩充的和谐美；通过解决综合问题，培养严谨细致的学风和学习数学的自信心. 目标分析 （1）强调知识系统的完整性和基本技能的熟练掌握.学生需要能够准确区分平方根与算术平方根，熟练进行实数的分类和简单运算. （2）侧重于思想方法的提炼和内化。通过知识梳理和综合应用，让学生感悟数学思想方法的普适性和重要性. （3）通过知识网络的构建和问题的解决，让学生体会数学的条理性和内在统一性，增强学习兴趣. 知识点一 平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二 平方根的性质 知识点三 平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点四 立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点五 立方根的性质 知识点六 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点七 无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点八 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点九 实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 题型讲练一 已知一个数的平方根，求这个数 【例1】（25-26八年级上·四川达州·期末）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 题型讲练二 利用平方根解方程 【例2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）（1）解方程：； （2）求满足的的值． 【变式】已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 题型讲练三 利用算术平方根的非负性解题 【例3】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确． 解：这个数的算术平方根为．平方根为． 或．① （i）当时，解得，，，∴这个数为16；② （ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③ 综上所述，这个数为16或4． (1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________； (2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数． 【变式】探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 题型讲练四 估计算术平方根的取值范围 【例4】若，则___________． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 题型讲练五 与算术平方根有关的规律探索题 【例5】根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【变式】（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）若m为正整数，且满足，的值是_____ 题型讲练六 算术平方根的实际应用 【例6】（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 题型讲练七 已知一个数的立方根，求这个数 【例7】（25-26七年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长___________． 【变式】（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 题型讲练八 与立方根有关的规律探索 【例8】已知的算术平方根是5，的立方根是3，求的平方根． 【变式】（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 题型讲练九 立方根的实际应用 【例9】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 题型讲练十 算术平方根和立方根的综合应用 【例10】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【变式】（23-24七年级下·湖北宜昌·月考）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 题型讲练十一 计算器-平方根和立方根 【例11】已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式】（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　 ； ②=　 ；③=　 ． 题型讲练十二 无理数的大小估算 【例12】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________． 题型讲练十三 无理数整数部分的有关计算 【例13】（25-26七年级下·全国·周测）设的整数部分为，的整数部分为，则_________． 【变式】我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 题型讲练十四 实数的性质 【例14】（1）计算：                  （2） 已知：，求x的值． 【变式】（23-24七年级下·福建莆田·月考）【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 题型讲练十五 实数与数轴 【例15】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【变式】（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）在下列说法中： 是的平方根；的平方根是； 的算术平方根是；是一个负数； 的相反数和倒数都是；； 已知是实数，则；全体实数和数轴上的点一一对应． 正确的是______（填序号）． 题型讲练十六 实数的大小比较 【例16】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长： (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为，她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【变式】比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”）． 题型讲练十七 实数的混合运算 【例17】（25-26七年级下·重庆·月考）计算： (1) ； (2)． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）小明在一本数学资料上看到这样一道题：计算． 小明的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小明检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算． 题型讲练十八 程序设计与实数运算 【例18】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【变式】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为10时，则输出的y值为________． 若输出的y值是且，则输入的x的值为________． 题型讲练十九 新定义下的实数运算 【例19】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【变式】（24-25七年级下·山东临沂·期末）任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为______． 题型讲练二十 与实数运算相关的规律题 【例20】（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【变式】现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 2．下列命题：①等角的余角相等；②任何实数都有一个立方根；③同旁内角相等，两直线平行；④的算术平方根是．真命题的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·周测）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 225 228.01 231.04 234.09 x 15.4 15.5 15.6 15.7 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 6．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 7．（25-26七年级上·山东威海·期末）已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 8．已知，．请根据已知条件填空： （1）_________； （2）若，则_________． 9．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似的，对只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是___________． 10．一个正数的平方根分别是和，则的值是________． 11．计算 (1)； (2)． 12．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 13．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 14．已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 15．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $