2024-2025学年人教版数学七年级下册数学期中复习讲义——实数

2024-2025学年人教版数学七年级下册数学 期中复习讲义——实数 1.平方根、算术平方根和立方根 平方根 算术平方根 立方根 定义 若，则就叫做的平方根 正数正的平方根叫做的 算术平方根 的算术平方根是 若则就叫做的立方根 表示 非负数的平方根表示为“” 非负数的算术平方根表示为“” 数的立方根表示为“” 性质 正数有两个平方根，且互为相反数 的平方根是 负数没有平方根. 正数有一个正的算术平方根 的算术平方根是 负数没有算术平方根 正数有一个正的立方根 负数有一个负的立方根 的立方根为 比较大小 若，则 若，则 特殊数 平方根等于本身的数是 算术平方根等于本身的数是 和 立方根等于本身的数是 和 2.具有双重非负性，即且； 总结至此我们学过的三种非负数：；（为正整数）；. 若，则 3.无理数：无限不循环小数叫无理数 实数：有理数和无理数统称实数. 实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 4. 分类： 5．实数的估算法： （1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． ( 典型例题 ) 【例1】 ⑴ 已知在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． ⑵ 若是有理数，则一定是（ ） A．有理数 B．负的实数 C．完全平方数 D．完全平方数的相反数 ⑶ 若与它的绝对值之和为0，则的值是（ ） A． B． C． D． ⑷ 已知，则 ． 【例2】 ⑴用“☆”定义新运算：对于任意实数，都有☆=. 例如6☆7==48，那么5☆3= ；当m为实数时，m☆(m☆)= . ⑵如图，数轴上、两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ） A． B． C． D． ⑶ 计算：① ② ( 巩固练习 ) 一、选择题 1．的算术平方根为（ ） A． B． C． D． 2．下列说法中错误的是（ ） A．是0.25的一个平方根 B．正数a的两个平方根的和为0 C．的平方根是 D．当时，没有平方根 3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　） A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b 4．一个数的平方根与立方根相等，这祥的数有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 5．立方根等于它本身的有( ) A．0,1 B．-1,0,1 C．0, D．1 6．已知，，，则的值是（ ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 7．如图，在数轴上表示实数的点可能（ ）． A．点P B．点Q C．点M D．点N 8．如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A．2.8 B．2 C．2﹣1 D．2 9．一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2，则a的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 10．下列说法中正确的说法的个数为( ) （1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数包括正无理数,零,负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知a、b满足（a﹣1）2+=0，则a+b=_____． 12．已知一个数的平方根是3a+1和a+11，求这个数的立方根是______． 13．_____；______；______；______． 14．如果的小数部分为，的整数部分为，则=______ 15．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为___________． 16．已知，y是4的平方根，且则的值为________. 17．比较大小：_________1．（选填“<”“>”或“=”） 18．已知，若，则______；________；_________；若，则_______． 三、解答题 19．解方程． （1） （2） （3） 20．计算下列各题： （1）＋－ （2）. 21．解方程． （1）125－8x3＝0. （2） 22．已知5a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根为2. （1）求a与b的值；（2）求2a+4b的平方根． 23．（1）已知，求的立方根； （2）已知，求的平方根． 24．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值；（2）求的平方根． 25．观察下列各式及验证过程： ，验证：. ，验证：. ，验证：. （1）按照上述三个等式及验证过程的站本思路.猜想______，并进行验证； （2）针对上述反映的规律.写出用n（，且n为自然数）表示的等式，并进行验证. 参考答案 ( 典型例题 ) 【例题1】⑴；⑵D；⑶B；⑷. 【例题2】⑴ 8,80；⑵ A；⑶ ①；② 1． ( 巩固练习 ) 1.【答案】B 【解析】 【详解】 分析：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可． 详解：∵=2， 而2的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故选B． 点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误． 2.【答案】C 【解析】 【详解】 A选项中，因为“”，所以A中说法正确； B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中说法正确； C选项中，因为“的平方根是”，所以C中说法错误； D选项中，因为“当时，的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确； 故选C. 3.【答案】C 【解析】 【详解】 试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可： ∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|， ∴. 故选C． 考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴． 4.【答案】A 【解析】 【分析】 一个数的平方根与立方根相等的只有0． 【详解】 解：一个数的平方根与立方根相等的只有0． 故选A． 【点睛】 本题考查平方根和立方根的概念，熟记这些概念才能求解． 5.【答案】B 【解析】 【分析】 根据立方根性质可知，立方根等于它本身的实数0、1或-1． 【详解】 解：∵立方根等于它本身的实数0、1或-1． 故选B． 【点睛】 本题考查立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就称为a的立方根，例如：x3=a，x就是a的立方根；任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 6．已知，，，则的值是（ ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 【答案】C 【解析】 【分析】 根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答． 【详解】 解： =1.147×10=11.47． 故选C． 【点睛】 本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律． 7.【答案】C 【解析】 【分析】 确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题． 【详解】 解：∵9＜15＜16， ∴3＜＜4， ∴对应的点是M． 故选：C． 【点睛】 本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解． 8．解：由题意可得， AB=2，BC=2，AB⊥BC， ∴AC=2， ∴AD=2， ∴点D表示数为：2﹣1， 故选C． 9．【答案】B 【解析】 【分析】 根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】 解：根据题意可得：， 解得， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平方根的概念，正确理解一个正数的两个平方根的关系，求得a的值是关键． 10.【答案】B 【解析】 【分析】 （1）根据无理数的定义即可判定； （2）根据无理数的定义即可判定； （3）根据无理数的分类即可判定； （4）根据无理数和数轴上的点对应关系即可判定． 【详解】 （1）开方开不尽的数是无理数，但是无理数不仅仅是开方开不尽的数，故（1）说法错误； （2）无理数是无限不循环小数，故（2）说法正确； （3）0是有理数，故（3）说法错误； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示，故（4）说法正确． 所以共有2个正确. 故选B． 【点睛】 考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，开方开不尽的数，以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 11.【答案】﹣1 【解析】 【分析】 利用非负数的性质可得a-1=0，b+2=0，解方程即可求得a，b的值，进而得出答案． 【详解】 ∵（a﹣1）2+=0， ∴a=1，b=﹣2， ∴a+b=﹣1， 故答案为﹣1． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键. 12.【答案】4 【解析】 【分析】 根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3a+1+a+11=0，a=-3，从而得出答案． 【详解】 由已知得，3a+1+a+11=0，解得a=-3， 所以3a+1=-8，a+11=8， 所以，这个数是64， 它的立方根是4． 故答案是：4. 【点睛】 考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0． 13.【答案】 2 3.5 【解析】 【分析】 根据平方根的定义、算术平方根的定义以及立方根的定义，即如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根；一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根，记作：．计算即可． 【详解】 原式=2； 原式； 原式； 原式； 故答案为：2，，，． 【点睛】 本题主要考查了平方根，算术平方根以及立方根，熟记相关定义是解答本题的关键． 14.【答案】1 【解析】 【详解】 15．若(x﹣1)2=4，则x=_____． 【答案】x＝3或-1 【解析】 【详解】 根据题意，或， 解得或． 故答案为：3或−1． 15.【答案】8 【解析】 【分析】 先根据数轴的定义可得，从而可得，再计算算术平方根和立方根即可得． 【详解】 由数轴的定义得：， 则， 所以， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键． 16．或 【解析】由，y是4的平方根，得或，或， 因为， 所以， 所以，或． 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 故答案为或. 17． 【解析】解：∵ ∴ ∴＜1． 故答案为＜． 18.【答案】 214000 214 【解析】 【分析】 根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可． 【详解】 解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， 故答案为：214000，±0.1463，-0.1289，214． 【点睛】 本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键． 19.【答案】（1）；（2），；（3），． 【解析】 【分析】 （1）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可； （2）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可； （3）先移项，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】 解：（1）系数化为1得：， 两边同时开平方得：； （2）系数化为1得：， 两边同时开平方得：； 即或， 解得，； （3）移项得： 两边同时开平方得：； 即或， 解得，． 【点睛】 本题考查利用平方根解方程．解题思想是两边同时开平方，降次，将二次降为一次求解． 20.【答案】（1）1 （2） 【解析】 【详解】 试题分析：（1）先化简根式，再加减即可；（2）先化简根式，再加减即可； 试题解析： （1）原式＝； （2）原式＝－3－0－+0.5+ ＝ 21.【答案】x＝. 【解析】 【分析】 (1)先将原始变形为x3＝，再利用立方根的定义计算即可得到结果． （2）由得＝，再根据立方根定义即可解答． 【详解】 （1）解：125－8x3＝0. －8x3＝－125， x3＝， x＝. 故答案为x＝. （2）由得： ， ∵ ， ∴ ， 解得：． 【点睛】 本题考查利用立方根解方程，解答此题的关键是掌握有关立方根的概念的知识，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么就称这个数x为a的立方根(或三次方根表示为. 22.【答案】（1）a=2，b=3（2）±4 【解析】 【分析】 （1）根据算术平方根与立方根定义得出5a﹣1=32，3a+b﹣1=23，解之求得a、b的值； （2）由a、b的值求得2a+4b的值，继而可得其平方根． 【详解】 （1）由题意，得5a﹣1=32，3a+b﹣1=23， 解得a=2，b=3． （2）∵2a+4b=2×2+4×3=16， ∴2a+4b的平方根=±4． 【点睛】 本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键． 23.【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】 （1）先根据题意可得，由此求出a、b的值，即可求解； （2）先根据非负性的性质求出x、y的值，然后根据平方根的性质求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵27的立方根为3， ∴的立方根为3； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵16的平方根为±4， ∴的平方根为±4． 【点睛】 本题主要考查了平方根，立方根，非负数的性质，解不等式组，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24.【答案】（1）a=5，b=2，c=3 ；（2）±4. 【解析】 【分析】 (1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值. (2)将a、b、c的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】 (1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4， ∴5a+2=27，3a+b-1=16， ∴a=5，b=2， ∵c是的整数部分， ∴c=3， （2）∵a=5,b=2,c=3, ∴3a-b+c=16， 3a-b+c的平方根是±4． 【点睛】 考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 25.【答案】（1），验证详见解析；（2），验证详见解析 【解析】 【分析】 （1）类比题目所给的解题方法即可解答；（2）根据上述变形过程的规律，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系即可得出一般规律，再类比题目所给的解题方法验证即可. 【详解】 解：⑴ 验证：. (2) . 验证： . 【点睛】 本题考查了二次根式的性质及化简，同时也考查了学生由特殊到一般的归纳和推理能力． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$