专项提升训练：运算律“思维拓展”（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年四年级下册数学苏教版

专项提升训练：运算律“思维拓展” （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、整数加法交换律和结合律 1 考点二、整数减法的性质 2 考点三、整数乘法交换律和结合律 2 考点四、整数乘法分配律 3 考点五、整数除法的性质 3 例题讲解 4 题型一、整数加法交换律和结合律 4 题型二、整数减法的性质 5 题型三、整数乘法交换律和结合律 6 题型四、整数乘法分配律 8 题型五、整数除法的性质 9 考点练习 10 练习一、整数加法交换律和结合律 10 练习二、整数减法的性质 13 练习三、整数乘法交换律和结合律 16 练习四、整数乘法分配律 18 练习五、整数除法的性质 24 考点梳理 考点一、整数加法交换律和结合律 1. 拓展定义 在基本交换律（a + b = b + a）和结合律（(a + b) + c = a + (b + c)）基础上，拓展为 多个数的有序组合与凑整技巧，通过调整加数顺序和分组方式，实现复杂算式的简便计算。 2. 核心拓展技巧 (1)等差数列求和：对于连续奇数/偶数或公差为固定值的数列（如35 + 37 + 39 + ··· + 85），通过首尾配对（和相等），计算组数与每组和的乘积。 (2)凑整拆分法：将接近整十、整百的数拆分为“整十/百数±补数”（如19999 = 20000 - 1），再利用结合律重组计算。 (3)基准数法：多个数相加时，以接近的整十/百数为基准（如都看作200），计算总偏差后调整结果。 3. 适用场景 (1)连续自然数/等差数列求和（如1 + 3 + 5 + ··· + 99）； (2)含多个接近整十/百数的加法（如19999 + 1999 + 199 + 19 + 4）； (3)符号交替的加减混合运算（如100 + 99 - 98 - 97 + ··· + 4 + 3 - 2 - 1）。 考点二、整数减法的性质 1. 拓展定义 在基本性质（a - b - c = a - (b + c)、a - b - c = a - c - b）基础上，拓展为 “凑整减补”与“分组抵消”技巧，通过拆分被减数或减数，简化计算。 2. 核心拓展技巧 (1)被减数拆分法：将被减数拆分为“整十/百数 + 尾数”（如1998 = 2000 - 2），再减去多个减数的和。 (2)分组抵消法：对于符号交替的算式（如(2 + 4 + ··· + 100) - (1 + 3 + ··· + 99)），分组相减得1，计算组数即可。 (3)减数重组法：将减数中能凑整的数优先组合（如1000 - 38 - 42 = 1000 - (38 + 42)）。 3. 适用场景 (1)被减数接近整千/万的连减运算（如19998 + 2997 + 4995 + 5994）； (2)含多个减数且部分可凑整的算式（如36000 ÷ 2 ÷ 4 ÷ 25转化为减法性质思路）； (3)奇偶数列相减（如(2026 + 2024 + ··· + 2) - (2025 + 2023 + ··· + 1)）。 考点三、整数乘法交换律和结合律 1. 拓展定义 在基本交换律（a×b = b×a）和结合律（(a×b)×c = a×(b×c)）基础上，拓展为 特殊数组合与因数拆分技巧，利用25×4=100、125×8=1000等固定组合简化计算。 2. 核心拓展技巧 (1)因数拆分法：将合数拆分为含特殊数的因数（如64 = 8×8、24 = 4×6），再与25、125等结合（如5×64×25×125 = 5×(8×8)×25×125）。 (2)符号搬家与抵消：乘除混合运算中，带符号交换位置实现抵消（如123×456÷789÷456×789÷123 = (123÷123)×(456÷456)×(789÷789)）。 (3)复杂数转化：将重复结构数拆分为“基数×10001…”（如202220222022 = 2022×100010001），实现抵消或提取公因数。 3. 适用场景 (1)含25、125、5等特殊因数的连乘（如2×4×8×10×5×25×125）； (2)多位数重复结构的乘除运算（如202220222022×2023 - 202320232023×2022）； (3)可通过拆分实现特殊数组合的算式（如888×24×125×25）。 考点四、整数乘法分配律 1. 拓展定义 在基本形式（(a + b)×c = a×c + b×c）基础上，拓展为 多维度拆分、逆运算及复杂数转化，包括“拆和为积”“拆积为和”“提取公因数”等深层应用。 2. 核心拓展技巧 (1)因数拆分法：将接近整十/百的因数拆分为“整十/百数±补数”（如999 = 1000 - 1、102 = 100 + 2），再用分配律展开（如999×999 + 1999 = 999×999 + 999 + 1000）。 (2)公因数提取：多个积相加时，提取相同因数（如333×125 + 111×625 = 111×375 + 111×625）。 (3)复杂数转化：将大数拆分为“基数×倍数”（如9999 = 3333×3），再用分配律简算（如9999×2222 + 3333×3334）。 (4)符号变形：将减法转化为分配律（如(a - b)×c = a×c - b×c），或多因数和的分配（如(a + b + c)×d = a×d + b×d + c×d）。 3. 适用场景 (1)含接近整十/百数的乘法（如102×35、99×47）； (2)多个积含相同因数的算式（如37×1111 + 7777×9）； (3)复杂数拆分后可提取公因数的运算（如123456×654321 - 123455×654322）。 考点五、整数除法的性质 1. 拓展定义 在基本性质（a÷b÷c = a÷(b×c)、a÷b÷c = a÷c÷b）基础上，拓展为 连除凑整与符号重组技巧，通过合并除数或调整顺序简化计算。 2. 核心拓展技巧 (1)除数合并凑整：将多个除数相乘凑整（如85000÷25÷5÷8 = 85000÷(25×5×8)），利用25×4=100、125×8=1000等组合。 (2)符号重组法：乘除混合运算中，调整除数顺序（如842÷56×64÷842×112÷16 = (842÷842)×(112÷56)×(64÷16)）。 (3)拆分被除数：将被除数拆分为“除数倍数 + 余数”（如74000÷125 = (74000×8)÷(125×8)），转化为整数除法。 3. 适用场景 (1)含25、125、5等除数的连除运算（如36000÷2÷4÷25）； (2)可通过调整顺序抵消的乘除混合算式（如50×27×77÷(25×11×9)）； (3)除数为合数且可拆分为特殊数的运算（如4800÷32 = 4800÷8÷4）。 例题讲解 题型一、整数加法交换律和结合律 【例题1】用简便方法计算。 35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 【答案】1560 【分析】观察这个算式，每个加数比前一个加数大2，第一个加数是35，最后一个加数是85，则一共有（85－35）÷2＋1＝26个加数。根据加法交换律和加法结合律可知，第一个加数与最后一个加数的和是35＋85＝120，第二个加数与倒数第二个加数的和是37＋83＝120。这26个加数可分成26÷2＝13组，每组的和是120，得数是120×13＝1560。 【详解】35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 ＝（35＋85）＋（37＋83）＋……＋（59＋61） ＝120×13 ＝1560 【点睛】熟记加法运算律是解题关键。 【练习1】想一想，算一算。 19999＋1999＋199＋19＋4 【答案】22220 【分析】观察算式，前4个加数，除最高位上是1外，其余都是9，把这4个加数分别加上1，就可以变成整十、整百、整千、整万的数，这样共需要4个1，算式最后的加数数字4正好可以拆成4个1，这样就把算式变成整十、整百、整千、整万的数相加，据此进行简便计算即可。 【详解】19999＋1999＋199＋19＋4 ＝（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1） ＝20000＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1） ＝20000＋2000＋（199＋1）＋（19＋1） ＝20000＋2000＋200＋（19＋1） ＝20000＋2000＋200＋20 ＝22000＋200＋20 ＝22200＋20 ＝22220 题型二、整数减法的性质 【例题2】计算1998＋2997＋4995＋5994。 【答案】15984 【分析】将1998写成2000－2，2997写成3000－3，4995写成5000－5，5994写成6000－6，然后去掉括号后，利用加法交换律以及减法的性质简便计算。 【详解】1998＋2997＋4995＋5994 ＝（2000－2）＋（3000－3）＋（5000－5）＋（6000－6） ＝2000－2＋3000－3＋5000－5＋6000－6 ＝（2000＋3000＋5000＋6000）－（2＋3＋5＋6） ＝（5000＋5000＋6000）－（5＋5＋6） ＝（10000＋6000）－（10＋6） ＝16000－16 ＝15984 【练习2】计算：（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） 【答案】101 【分析】通过仔细观察，此题可运用加法交换与结合律，两两结合，分成126÷5＝25组……1，每组的结果为4，最后加上剩余1，解决问题。 【详解】（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） ＝1＋（6－2）＋（11－7）＋（16－12）＋…＋（126－122） ＝1＋4×25 ＝1＋100 ＝101 题型三、整数乘法交换律和结合律 【例题3】计算：5×64×25×125×2022 【答案】2022000000 【分析】先把64化为2×4×8，再运用乘法交换律、结合律，把乘积是10（即5和2）、100（即4和25）、1000（即8和125）的两个数结合起来先乘；再把它们的积相乘。据此简算。 【详解】5×64×25×125×2022 ＝5×2×4×8×25×125×2022 ＝5×2×4×8×25×125×2022 ＝5×2×4×25×8×125×2022 ＝（5×2）×（4×25）×（8×125）×2022 ＝10×100×1000×2022 ＝1000×1000×2022 ＝1000000×2022 ＝2022000000 【练习3】简便计算。 9999×2222＋3333×3334        2014×20152015－2015×20142014 981＋5×9810＋49×981           123×456÷789÷456×789÷123 2＋4＋6＋……＋100           （2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999） 【答案】33330000；0 98100；1 2550；1000 【分析】（1）把9999拆成3333×3，然后运用乘法结合律把式子化为3333×6666＋3333×3334，再运用乘法分配律进行计算即可； （2）把20152015拆成2015×10001，20142014拆成2014×10001，再运用乘法结合律和乘法分配律进行计算即可； （3）把9810拆成981×10，再运用乘法交换律和乘法分配律进行计算即可； （4）同级运算可以带符号交换位置，把原式化为（123÷123）×（456÷456）×（789÷789）再进行计算即可； （5）观察算式由2＋4＋6＋……＋100，共有100÷2＝50个数，首位相加依次相加则共有25组102，再运用乘法分配律进行计算即可； （6）每个数列都有1000 项，因此我们可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到1000个差，再求出所有差的和。 【详解】9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×3334 ＝3333×（3×2222）＋3333×3334 ＝3333×6666＋3333×3334 ＝3333×（6666＋3334） ＝3333×10000 ＝33330000 2014×20152015－2015×20142014 ＝2014×（2015×10001）－2015×（2014×10001） ＝（2014×2015）×10001－（2015×2014）×10001 ＝（2014×2015）×（10001－10001） ＝（2014×2015）×0 ＝0 981＋5×9810＋49×981 ＝981＋5×981×10＋49×981 ＝981＋5×10×981＋49×981 ＝981＋50×981＋49×981 ＝（1＋50＋49）×981 ＝100×981 ＝98100 123×456÷789÷456×789÷123 ＝123÷123×456÷456×789÷789 ＝（123÷123）×（456÷456）×（789÷789） ＝1×1×1 ＝1×1 ＝1 2＋4＋6＋……＋100 ＝（2＋100）×50÷2 ＝（2＋100）×（50÷2） ＝（2＋100）×25 ＝2×25＋100×25 ＝50＋2500 ＝2550 （2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999） ＝（2－1）＋（4－3）＋（6－5）……＋（2000－1999） ＝1＋1＋1＋1……＋1 ＝1000 【点睛】熟记乘法运算律并灵活运用是解题关键。 题型四、整数乘法分配律 【例题4】用简便方法计算。 9999×2222＋3333×3334 【答案】33330000 【分析】把9999看作是3333与3的积，利用乘法结合律，把9999×2222变为：（3333×3）×2222＝3333×（3×2222）； 把3334看作是3333与1的和，利用乘法分配律，把3333×3334变为：3333×（3333＋1）＝3333×3333＋3333×1； 最后再利用乘法分配律，即可简算。 【详解】9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×（3333＋1） ＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（6666＋3333＋1） ＝3333×10000 ＝33330000 【点睛】根据数据的特点找出相同的因数再运用乘法分配律简便计算。 【练习4】用简便方法计算：123456×654321－123455×654322。 【答案】530866 【分析】根据乘法分配律，减法的性质：减去两个数的和等于分别减去这两个数，以及加法交换律等运算律进行简便计算。 【详解】123456×654321－123455×654322 ＝（123455＋1）×654321－123455×（654321＋1） ＝123455×654321＋1×654321－（123455×654321＋123455×1） ＝123455×654321＋1×654321－123455×654321－123455×1 ＝123455×654321－123455×654321＋1×654321－123455×1 ＝654321－123455 ＝530866 【点睛】除了熟悉几个常用的运算律，还要能结合题目本身数据特征，合理拆分算式，达到简便计算的效果。 题型五、整数除法的性质 【例题5】用简便方法计算。 36000÷2÷4÷25 【答案】180 【分析】在乘除混合运算中添“括号”的方法：乘号后面添括号，括号里面不变号；除号后面添括号，括号里面要变号。 【详解】36000÷2÷4÷25 ＝36000÷（2×4×25） ＝36000÷200 ＝180 【练习5】简便计算。 85000÷25÷5÷8 【答案】85 【分析】85000÷25÷5÷8根据除法的性质，将算式变为85000÷（25×5×8），再运用乘法交换律简便计算。 【详解】85000÷25÷5÷8 ＝85000÷（25×5×8） ＝85000÷（25×8×5） ＝85000÷（200×5） ＝85000÷1000 ＝85 考点练习 练习一、整数加法交换律和结合律 1．简算： 【答案】1225 【分析】根据加法交换律和加法结合律，将1和49，2和48，3和47，4和46……这样依次结合进行简算。 【详解】 ＝（1＋49）＋（2＋48）＋（3＋47）＋（4＋46）…＋（24＋26）＋25 ＝24×50＋25 ＝1200＋25 ＝1225 2．用简便方法计算。 100＋99－98－97＋96＋95－94－93…＋4＋3－2－1 【答案】100 【分析】观察算式，100－98＝2；99－97＝2；96－94＝2；95－93＝2；4－2＝2；3－1＝2；因此直接用2乘2的个数即可，每两个数为一组，先计算出1－100里面有多少组，100÷2＝50（组），因此直接用2乘50即可。 【详解】100＋99－98－97＋96＋95－94－93…＋4＋3－2－1 ＝（100－98）＋（99－97）＋（96－94）＋（95－93）＋…＋（4－2）＋（3－1） ＝2×50 ＝100 3．奇思巧算。      【答案】 600；377 【分析】（1）用到加法交换律（两个数相加，交换加数的位置，和不变。）和加法结合律（三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变）。通过观察数字特征，将能凑成整十、整百的数结合在一起计算。将算式重组为（96＋104）＋（98＋102）＋（34＋66）＋（89＋11），按照四则运算顺序计算即可。 （2）将121拆成66和55，再运用加法交换律和结合律算式重组为177＋（166−66）＋（155−55），按照四则运算顺序计算即可。 【详解】 4．用凑整法计算下面各题。 499999＋49999＋4999＋499＋49＋5      1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋20 【答案】； 【分析】本题可以运用加法运算定律进行简便计算。 第一个算式，从数中不难发现，499999、49999、4999、499和49分别接近500000、50000、5000、500、50，都只差1，而算式中的5正好可以拆成5个1，这样可以把算式变形为：499999＋49999＋4999＋499＋49＋1＋1＋1＋1＋1，再用加法交换律和结合律进行计算。 第二个算式中的20正好可以拆成2＋3＋4＋5＋6，2、3、4、5、6分别和1998、1997、1996、1995、1994相加，凑成5个2000，这样结合起来计算比较简便。 【详解】499999＋49999＋4999＋499＋49＋5 ＝499999＋49999＋4999＋499＋49＋1＋1＋1＋1＋1 ＝（499999＋1）＋（49999＋1）＋（4999＋1）＋（499＋1）＋（49＋1） ＝500000＋50000＋5000＋500＋50 ＝555550 1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋20 ＝1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋2＋3＋4＋5＋6 ＝（1998＋2）＋（1997＋3）＋（1996＋4）＋（1995＋5）＋（1994＋6） ＝2000＋2000＋2000＋2000＋2000 ＝10000 5．计算下面各题。 （1）9＋99＋999＋9999 （2）152＋637＋248＋72＋28—137 【答案】（1）11106 （2）1000 【分析】第（1）问，先把9、99、999、9999写成整十、整百、整千、整万的数，再把多算的减去；第（2）问，152和248凑整，637和137凑整，72和28凑整，然后再计算。 【详解】（1） （2） 练习二、整数减法的性质 1．计算19998＋39996＋49995＋69996。 【答案】179985 【分析】将19998写成20000－2，39996写成40000－4，49995写成50000－5，69996写成70000－4，去掉括号后然后利用加法交换律和减法的性质简便计算。 【详解】19998＋39996＋49995＋69996 ＝（20000－2）＋（40000－4）＋（50000－5）＋（70000－4） ＝（20000＋40000＋50000＋70000）－（2＋4＋5＋4） ＝（60000＋50000＋70000）－（6＋5＋4） ＝（110000＋70000）－（11＋4） ＝180000－15 ＝179985 2．你会算吗？ （2＋4＋6＋…＋98＋100）－（1＋3＋5＋…＋97＋99） 【答案】50 【分析】加法交换律是在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变；加法结合律是指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，减法的性质：连续减去两个数等于减去这两个数的和，据此将算式简便计算即可。 【详解】（2＋4＋6＋…＋98＋100）－（1＋3＋5＋…＋97＋99） ＝2＋4＋6＋…＋98＋100－1－3－5－……－97－99 ＝2－1＋4－3＋6－5＋……＋98－97＋100－99 ＝（2－1）＋（4－3）＋（6－5）＋……＋（98－97）＋（100－99） ＝1＋1＋1＋……＋1＋1 ＝1×50 ＝50 3．简便计算。 995＋996＋997＋998＋999          100－99＋98－97＋96－95＋…＋2－1 【答案】4985；50 【分析】第一组算式可以将每个加数先看成1000，对应减去原来数和1000之间的差，分别差5，4，3，2，1，再将5个1000合并计算，减去（5＋4＋3＋2＋1）的和，即可得出结果； 第二组算式可以先观察算式中的运算符号，依次是“＋，-，＋，-……”，所以可以两两为一组，100个数可以分成50组，每一组的结果都是1，据此计算。 【详解】 4．用简便方法计算下面各题。        【答案】22300；1600 【分析】本题可以运用加法运算定律或减法的性质进行简便计算。 第一个算式中10正好可以拆成 1、2、3、4，再把它们分别和19999、1998、197、96相加，凑成20000、2000、200、100，这样结合起来计算比较简便。 第二个算式中连续减去几个数，也就是减去这几个数的和，再观察数的特征，用加法交换律和加法结合律计算起来比较简便。 【详解】 5．计算。 （2026＋2024＋2022＋……＋4＋2）－（2025＋2023＋2021＋……＋3＋1） 【答案】1013 【分析】观察算式能够发现，两个括号里的加数从大到小一一对应，一个偶数对应一个比它小1的奇数，可以把两个括号里的加法算式先拆开，再组合起来，即（2026－2025）＋（2024－2023）＋（2022－2021）＋……＋（4－3）＋（2－1），每组得数为1，共有2026÷2＝1013（组），再用乘法计算即可解答。 【详解】（2026＋2024＋2022＋……＋4＋2）－（2025＋2023＋2021＋……＋3＋1） ＝（2026－2025）＋（2024－2023）＋（2022－2021）＋……＋（4－3）＋（2－1） ＝1＋1＋1＋……＋1＋1 ＝1×（2026÷2） ＝1×1013 ＝1013 6．动脑筋，巧算。 199998＋19997＋1996＋195＋14        199999＋19998＋1997＋196＋10 【答案】222200；222200 【分析】利用加法的运算定律和减法的性质，可以先把接近整百、整千、整万、整十万的数变成整百、整千、整万、整十万的数减一位数，再分别把整百、整千、整万、整十万的数相加，把所有减去的一位数相加，最后把各部分的和相加减。据此计算。 【详解】199998＋19997＋1996＋195＋14 ＝200000－2＋20000－3＋2000－4＋200－5＋14 ＝（200000＋20000＋2000＋200）＋14－（2＋3＋4＋5） ＝（220000＋2000＋200）＋14－（5＋4＋5） ＝（222000＋200）＋14－（9＋5） ＝222200＋（14－14） ＝222200＋0 ＝222200 199999＋19998＋1997＋196＋10 ＝200000－1＋20000－2＋2000－3＋200－4＋10 ＝（200000＋20000＋2000＋200）＋10－（1＋2＋3＋4） ＝(220000＋2000＋200）＋10－（3＋3＋4） ＝（222000＋200）＋10－（6＋4） ＝222200＋（10－10） ＝222200 练习三、整数乘法交换律和结合律 1．计算。 （1）   （2） 【答案】（1）12345432100；（2）100 【分析】（1）根据乘法的交换律进行计算； （2）根据除法的运算性质进行计算。 【详解】（1） （2） 2．你能用简便方法计算吗？ 2×4×8×10×5×25×125 【答案】10000000 【分析】乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为：a×b＝b×a； 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者是先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，积不变，用字母表示为：（a×b）×c＝a×（b×c）； 计算2×4×8×10×5×25×125时，2×5＝10，4×25＝100，8×125＝1000，因此应用乘法交换律和乘法结合律将原式变为（2×5）×（4×25）×（8×125）×10进行简便计算。 【详解】2×4×8×10×5×25×125 ＝2×5×4×25×8×125×10 ＝（2×5）×（4×25）×（8×125）×10 ＝10×100×1000×10 ＝1000×1000×10 ＝1000000×10 ＝10000000 3．用简便方法计算。 【答案】66600000 【分析】此题是四数连乘，并且有因数125和25，只要从其他两个因数中分解出8和4，便可以用乘法的结合律进行简化运算，因此将888分解成111×8，将24分解成4×6，再利用乘法的交换律和结合律，将8和125以及4和25先相乘得出整百和整千数。 【详解】888×24×125×25 ＝（8×111）×（4×6）×125×25 ＝（8×125）×（4×25）×6×111 ＝1000×100×6×111 ＝100000×666 ＝66600000 4．用简便方法计算。 842÷56×64÷842×112÷16 【答案】8 【分析】仔细观察算式及数据特点可知，第一个数是842，后面有“÷842”，可将“÷842”移动到算842的后面，先算842÷842。同时，算式中有“÷56”和“×112”，可以计算112÷56，再用前面的得数乘这个商。同时，算式中有“×64”和“÷16”，可以计算64÷16，再用前面的得数乘这个商。 【详解】842÷56×64÷842×112÷16 ＝（842÷842）×（112÷56）×（64÷16） ＝1×2×4 ＝8 【点睛】根据数据的特点灵活选择运算律进行简便计算。 5．巧算。 625×625×625×8×8×8×8×2×2×2×2×2 【答案】32000000000000 【详解】625×625×625×8×8×8×8×2×2×2×2×2 ＝（625×8×2）×（625×8×2）×（625×8×2）×（8×2×2） ＝10000×10000×10000×（16×2） ＝10000×10000×10000×32 ＝100000000×10000×32 ＝1000000000000×32 ＝32000000000000 6．简算： 202220222022×2023－202320232023×2022。 【答案】0 【分析】遇到较大数的简算题时，可将较大数转换成较小数；202220222022＝2022×100010001；202320232023＝2023×100010001，所以202220222022×2023－202320232023×2022＝2022×100010001×2023－2023×100010001×2022，再利用乘法交换律为2023×100010001×2022－2023×100010001×2022，结果是0。 【详解】202220222022×2023－202320232023×2022 ＝2022×100010001×2023－2023×100010001×2022 ＝2023×100010001×2022－2023×100010001×2022 ＝0 【点睛】把大数转化成两个数相乘的形式，并够熟练使用运算定律是解决本题关键。 练习四、整数乘法分配律 1．简便计算。 999×999＋1999 【答案】1000000 【分析】999×999＋1999把1999分解为999＋1000，然后运用乘法分配律进行简算即可。 【详解】999×999＋1999 ＝999×999＋999＋1000 ＝999×（999＋1）＋1000 ＝999×1000＋1000 ＝（999＋1）×1000 ＝1000×1000 ＝1000000 2．用简便方法计算。 9999×1111＋3333×6667 【答案】33330000 【分析】把9999看作是3333与3的积，利用乘法结合律，把原式变为：3333×3333＋3333×6667；再利用乘法分配律，即可简算。 【详解】9999×1111＋3333×6667 ＝3333×3×1111＋3333×6667 ＝3333×3333＋3333×6667 ＝3333×（3333＋6667） ＝3333×10000 ＝33330000 3．用简便方法计算。 333×125＋111×625 【答案】111000 【分析】把333看作是111与3的积，利用乘法结合律，把原式变为：111×375＋111×625；再利用乘法分配律，即可简算。 【详解】333×125＋111×625 ＝111×（3×125）＋111×625 ＝111×375＋111×625 ＝111×（375＋625） ＝111×1000 ＝111000 4．简算。 26×58＋52×21    360×51＋490×36 【答案】2600；36000 【分析】观察式子可发现52＝26×2，由此可根据乘法分配律和乘法结合律进行简便计算。 根据积不变的规律，将乘法算式360×51变成36×510，再运用乘法分配律进行简算。 【详解】26×58＋52×21 ＝26×58＋26×2×21 ＝26×58＋26×（2×21） ＝26×58＋26×42 ＝26×（58＋42） ＝26×100 ＝2600 360×51＋490×36 ＝36×510＋490×36 ＝（510＋490）×36 ＝1000×36 ＝36000 5．算一算。 22222×9999999             20252025×2024－20242024×2025 【答案】222219977778；0 【分析】观察22222×9999999 这个式子，将9999999转化为（10000000－1），然后利用乘法分配律（a－b）×c＝a×c－b×c进行计算。 观察20252025×2024－20242024×2025这个式子，先对20252025和20242024进行变形：20252025＝2025×10001，20242024＝2024×10001，进而发现减号两侧的算式相同，故结果为0。 【详解】22222×9999999 ＝22222×（10000000－1） ＝22222×10000000－22222×1 ＝222220000000－22222 ＝222219977778 20252025×2024－20242024×2025 ＝2025×10001×2024－2024×10001×2025 ＝2025×2024×10001－2024×2025×10001 ＝0​ 【点睛】通过对两个算式中进行数的转化，从而进行简算，是计算的关键。 6．简便计算。 123×1001001            56×43＋56×43－6×56＋20×56 【答案】123123123；5600 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，据此解答。 【详解】123×（1000000＋1000＋1） ＝123×1000000＋1000×123＋1×123 ＝123000000＋123000＋123 ＝123123123 56×43＋56×43－6×56＋20×56 ＝56×（43＋43－6＋20） ＝56×100 ＝5600 7．巧算下列题目： （1）9999×2222＋3333×3334 （2）98766×98768－98765×98769 【答案】（1）33330000 （2）3 【分析】（1）先将9999看成3333×3，再运用乘法结合律，将3333×3×2222写成3333×6666，然后运用乘法分配律进行运算。 （2）先将98766看成（98765＋1）、将98769看成（98768＋1），然后运用乘法分配律和减法的性质进行运算。 【详解】（1）9999×2222＋3333×3334 ＝3333×3×2222＋3333×3334 ＝3333×6666＋3333×3334 ＝3333×（6666＋3334） ＝3333×10000 ＝33330000 （2）98766×98768－98765×98769 ＝（98765＋1）×98768－98765×（98768＋1） ＝98765×98768＋98768－（98765×98768＋98765） ＝98765×98768＋98768－98765×98768－98765 ＝98768－98765 ＝3 【点睛】本题较有难度，需要熟悉运算律，同时能够把数字合理拆分。 8．巧算： 137×34＋137×23＋863×57 123456789×987654321－123456788×987654322 【答案】57000；864197533 【分析】计算137×34＋137×23＋863×57时，先根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式137×34＋137×23＋863×57变成137×（34＋23）＋863×57，再将算式变成（137＋863）×57，最后按照运算顺序计算即可。 计算123456789×987654321－123456788×987654322时，先将987654322写成987654321＋1的形式，即123456789×987654321－123456788×（987654321＋1），然后根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式123456789×987654321－123456788×（987654321＋1）变成123456789×987654321－123456788×987654321－123456788×1，再根据乘法分配律变成（123456789－123456788）×987654321－123456788×1，最后按照运算顺序计算即可。 【详解】137×34＋137×23＋863×57 ＝137×（34＋23）＋863×57 ＝137×57＋863×57 ＝（137＋863）×57 ＝1000×57 ＝57000 123456789×987654321－123456788×987654322 ＝123456789×987654321－123456788×（987654321＋1） ＝123456789×987654321－123456788×987654321－123456788×1 ＝987654321×（123456789－123456788）－123456788×1 ＝987654321×1－123456788×1 ＝987654321－123456788 ＝864197533 【点睛】本题注意需要找出算式中几个数之间的关系，比如加1或减1等于另一个数，根据乘法分配律先计算出第一步，再看下一步的数之间的关系，一直到最后按顺序计算即可。 9．用简便方法计算。 37×1111＋7777×9                          316×48－340×28＋24×48 99999×77778＋66666×33333 【答案】111100；6800； 9999900000 【分析】第一小题，把“7777×9”看作“1111×7×9”，利用乘法分配律即可简算； 第二小题，利用乘法分配律可以简算； 第三小题，把“66666×33333”看作“22222×99999”，利用乘法分配律可以简算。 【详解】37×1111＋7777×9 ＝37×1111＋1111×（7×9） ＝1111×（37＋63） ＝1111×100 ＝111100 316×48－340×28＋24×48 ＝（316＋24）×48－340×28 ＝340×48－340×28 ＝340×（48－28） ＝340×20 ＝6800 99999×77778＋66666×33333 ＝99999×77778＋22222×3×33333 ＝99999×（77778＋22222） ＝99999×100000 ＝9999900000 练习五、整数除法的性质 1．思考题。 1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99       【答案】（1）2500 （2）1 【分析】（1）运用加法交换律和加法结合律简便计算。 （2）根据除法的性质，把算式改写成1000÷（25×5×2×4），再运用乘法交换律和乘法结合律计算小括号里的乘法。 【详解】（1）1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99 ＝（1＋99）＋（3＋97）＋（5＋95）＋……（49＋51） ＝100×25 ＝2500 （2） 【点睛】此题考查了加法、除法中的巧算，解答此类题的关键是：认真审题，找出题中数的特点，灵活运用运算定律，进行简算。 2．用简便方法计算下列各题。 25×32×125       980000÷25÷25÷4÷4 【答案】100000；98 【分析】（1）把32拆分为4×8，再根据乘法的结合律简算； （2）按照除法的性质简算。 【详解】25×32×125 ＝（25×4）×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 980000÷25÷25÷4÷4 ＝980000÷[（25×4）×（25×4）] ＝980000÷[100×100] ＝980000÷10000 ＝98 3．除法的简便计算。 74000÷125÷8             4800÷32             2000÷25÷4÷2 【答案】74；150；10 【分析】根据整数除法的性质，连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，125和8正好可以凑整； 把32写成8乘4，除以两个数的乘积等于连续除以这两个数； 25和4可以凑整，2000先除以2，再除以25和4的乘积。 【详解】 4．计算下面各题，能简算的要简算。    【答案】3333300000；4；0.1 【分析】利用乘法结合律把算式变形为（11111×2×33333）＋77778×33333，再利用乘法分配律计算；利用除法的性质，把算式变形为（224466÷112233）×（446688÷223344），再计算。 【详解】 ＝（11111×2×33333）＋77778×33333 ＝22222×33333＋77778×33333 ＝（22222＋77778）×33333 ＝100000×33333 ＝3333300000； ＝（224466÷112233）×（446688÷223344） ＝2×2 ＝4 5．用简便方法计算下列各题。 50×27×77÷（25×11×9） 125×21×60÷（7÷8×15） 25×121÷2÷（11×5÷4） 【答案】42；12000；110 【分析】（1）在只有乘除运算的算式里，如果括号的前面是“÷”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都要改变，即“×”号变“÷”，“÷”变“×”；如果括号的前面是“×”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都不改变。 （2）带符号“搬家”：在只有乘除运算的算式里，每个数前面的运算符号是这个数的符号，不论数移动到哪个位置，它前面的运算符号不变。 【详解】50×27×77÷（25×11×9） ＝50×27×77÷25÷11÷9 ＝50÷25×27÷9×77÷11 ＝（50÷25）×（27÷9）×（77÷11） ＝2×3×7 ＝42 125×21×60÷（7÷8×15） ＝125×21×60÷7×8÷15 ＝125×8×21÷7×60÷15 ＝（125×8）×（21÷7）×（60÷15） ＝1000×3×4 ＝12000 25×121÷2÷（11×5÷4） ＝25×121÷2÷11÷5×4 ＝25÷5×121÷11×4÷2 ＝（25÷5）×（121÷11）×（4÷2） ＝5×11×2 ＝110 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练：运算律“思维拓展” （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、整数加法交换律和结合律 1 考点二、整数减法的性质 2 考点三、整数乘法交换律和结合律 2 考点四、整数乘法分配律 3 考点五、整数除法的性质 3 例题讲解 4 题型一、整数加法交换律和结合律 4 题型二、整数减法的性质 4 题型三、整数乘法交换律和结合律 5 题型四、整数乘法分配律 6 题型五、整数除法的性质 6 考点练习 7 练习一、整数加法交换律和结合律 7 练习二、整数减法的性质 8 练习三、整数乘法交换律和结合律 9 练习四、整数乘法分配律 11 练习五、整数除法的性质 13 考点梳理 考点一、整数加法交换律和结合律 1. 拓展定义 在基本交换律（a + b = b + a）和结合律（(a + b) + c = a + (b + c)）基础上，拓展为 多个数的有序组合与凑整技巧，通过调整加数顺序和分组方式，实现复杂算式的简便计算。 2. 核心拓展技巧 (1)等差数列求和：对于连续奇数/偶数或公差为固定值的数列（如35 + 37 + 39 + ··· + 85），通过首尾配对（和相等），计算组数与每组和的乘积。 (2)凑整拆分法：将接近整十、整百的数拆分为“整十/百数±补数”（如19999 = 20000 - 1），再利用结合律重组计算。 (3)基准数法：多个数相加时，以接近的整十/百数为基准（如都看作200），计算总偏差后调整结果。 3. 适用场景 (1)连续自然数/等差数列求和（如1 + 3 + 5 + ··· + 99）； (2)含多个接近整十/百数的加法（如19999 + 1999 + 199 + 19 + 4）； (3)符号交替的加减混合运算（如100 + 99 - 98 - 97 + ··· + 4 + 3 - 2 - 1）。 考点二、整数减法的性质 1. 拓展定义 在基本性质（a - b - c = a - (b + c)、a - b - c = a - c - b）基础上，拓展为 “凑整减补”与“分组抵消”技巧，通过拆分被减数或减数，简化计算。 2. 核心拓展技巧 (1)被减数拆分法：将被减数拆分为“整十/百数 + 尾数”（如1998 = 2000 - 2），再减去多个减数的和。 (2)分组抵消法：对于符号交替的算式（如(2 + 4 + ··· + 100) - (1 + 3 + ··· + 99)），分组相减得1，计算组数即可。 (3)减数重组法：将减数中能凑整的数优先组合（如1000 - 38 - 42 = 1000 - (38 + 42)）。 3. 适用场景 (1)被减数接近整千/万的连减运算（如19998 + 2997 + 4995 + 5994）； (2)含多个减数且部分可凑整的算式（如36000 ÷ 2 ÷ 4 ÷ 25转化为减法性质思路）； (3)奇偶数列相减（如(2026 + 2024 + ··· + 2) - (2025 + 2023 + ··· + 1)）。 考点三、整数乘法交换律和结合律 1. 拓展定义 在基本交换律（a×b = b×a）和结合律（(a×b)×c = a×(b×c)）基础上，拓展为 特殊数组合与因数拆分技巧，利用25×4=100、125×8=1000等固定组合简化计算。 2. 核心拓展技巧 (1)因数拆分法：将合数拆分为含特殊数的因数（如64 = 8×8、24 = 4×6），再与25、125等结合（如5×64×25×125 = 5×(8×8)×25×125）。 (2)符号搬家与抵消：乘除混合运算中，带符号交换位置实现抵消（如123×456÷789÷456×789÷123 = (123÷123)×(456÷456)×(789÷789)）。 (3)复杂数转化：将重复结构数拆分为“基数×10001…”（如202220222022 = 2022×100010001），实现抵消或提取公因数。 3. 适用场景 (1)含25、125、5等特殊因数的连乘（如2×4×8×10×5×25×125）； (2)多位数重复结构的乘除运算（如202220222022×2023 - 202320232023×2022）； (3)可通过拆分实现特殊数组合的算式（如888×24×125×25）。 考点四、整数乘法分配律 1. 拓展定义 在基本形式（(a + b)×c = a×c + b×c）基础上，拓展为 多维度拆分、逆运算及复杂数转化，包括“拆和为积”“拆积为和”“提取公因数”等深层应用。 2. 核心拓展技巧 (1)因数拆分法：将接近整十/百的因数拆分为“整十/百数±补数”（如999 = 1000 - 1、102 = 100 + 2），再用分配律展开（如999×999 + 1999 = 999×999 + 999 + 1000）。 (2)公因数提取：多个积相加时，提取相同因数（如333×125 + 111×625 = 111×375 + 111×625）。 (3)复杂数转化：将大数拆分为“基数×倍数”（如9999 = 3333×3），再用分配律简算（如9999×2222 + 3333×3334）。 (4)符号变形：将减法转化为分配律（如(a - b)×c = a×c - b×c），或多因数和的分配（如(a + b + c)×d = a×d + b×d + c×d）。 3. 适用场景 (1)含接近整十/百数的乘法（如102×35、99×47）； (2)多个积含相同因数的算式（如37×1111 + 7777×9）； (3)复杂数拆分后可提取公因数的运算（如123456×654321 - 123455×654322）。 考点五、整数除法的性质 1. 拓展定义 在基本性质（a÷b÷c = a÷(b×c)、a÷b÷c = a÷c÷b）基础上，拓展为 连除凑整与符号重组技巧，通过合并除数或调整顺序简化计算。 2. 核心拓展技巧 (1)除数合并凑整：将多个除数相乘凑整（如85000÷25÷5÷8 = 85000÷(25×5×8)），利用25×4=100、125×8=1000等组合。 (2)符号重组法：乘除混合运算中，调整除数顺序（如842÷56×64÷842×112÷16 = (842÷842)×(112÷56)×(64÷16)）。 (3)拆分被除数：将被除数拆分为“除数倍数 + 余数”（如74000÷125 = (74000×8)÷(125×8)），转化为整数除法。 3. 适用场景 (1)含25、125、5等除数的连除运算（如36000÷2÷4÷25）； (2)可通过调整顺序抵消的乘除混合算式（如50×27×77÷(25×11×9)）； (3)除数为合数且可拆分为特殊数的运算（如4800÷32 = 4800÷8÷4）。 例题讲解 题型一、整数加法交换律和结合律 【例题1】用简便方法计算。 35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 【练习1】想一想，算一算。 19999＋1999＋199＋19＋4 题型二、整数减法的性质 【例题2】计算1998＋2997＋4995＋5994。 【练习2】计算：（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） 题型三、整数乘法交换律和结合律 【例题3】计算：5×64×25×125×2022 【练习3】简便计算。 9999×2222＋3333×3334        2014×20152015－2015×20142014 981＋5×9810＋49×981           123×456÷789÷456×789÷123 2＋4＋6＋……＋100           （2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999） 题型四、整数乘法分配律 【例题4】用简便方法计算。 9999×2222＋3333×3334 【练习4】用简便方法计算：123456×654321－123455×654322。 题型五、整数除法的性质 【例题5】用简便方法计算。 36000÷2÷4÷25 【练习5】简便计算。 85000÷25÷5÷8 考点练习 练习一、整数加法交换律和结合律 1．简算： 2．用简便方法计算。 100＋99－98－97＋96＋95－94－93…＋4＋3－2－1 3．奇思巧算。      4．用凑整法计算下面各题。 499999＋49999＋4999＋499＋49＋5      1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋20 5．计算下面各题。 （1）9＋99＋999＋9999 （2）152＋637＋248＋72＋28—137 练习二、整数减法的性质 1．计算19998＋39996＋49995＋69996。 2．你会算吗？ （2＋4＋6＋…＋98＋100）－（1＋3＋5＋…＋97＋99） 3．简便计算。 995＋996＋997＋998＋999          100－99＋98－97＋96－95＋…＋2－1 4．用简便方法计算下面各题。        5．计算。 （2026＋2024＋2022＋……＋4＋2）－（2025＋2023＋2021＋……＋3＋1） 6．动脑筋，巧算。 199998＋19997＋1996＋195＋14        199999＋19998＋1997＋196＋10 练习三、整数乘法交换律和结合律 1．计算。 （1）   （2） 2．你能用简便方法计算吗？ 2×4×8×10×5×25×125 3．用简便方法计算。 4．用简便方法计算。 842÷56×64÷842×112÷16 5．巧算。 625×625×625×8×8×8×8×2×2×2×2×2 6．简算： 202220222022×2023－202320232023×2022。 练习四、整数乘法分配律 1．简便计算。 999×999＋1999 2．用简便方法计算。 9999×1111＋3333×6667 3．用简便方法计算。 333×125＋111×625 4．简算。 26×58＋52×21    360×51＋490×36 5．算一算。 22222×9999999             20252025×2024－20242024×2025 6．简便计算。 123×1001001            56×43＋56×43－6×56＋20×56 7．巧算下列题目： （1）9999×2222＋3333×3334 （2）98766×98768－98765×98769 8．巧算： 137×34＋137×23＋863×57 123456789×987654321－123456788×987654322 9．用简便方法计算。 37×1111＋7777×9                          316×48－340×28＋24×48 99999×77778＋66666×33333 练习五、整数除法的性质 1．思考题。 1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99       2．用简便方法计算下列各题。 25×32×125       980000÷25÷25÷4÷4 3．除法的简便计算。 74000÷125÷8             4800÷32             2000÷25÷4÷2 4．计算下面各题，能简算的要简算。    5．用简便方法计算下列各题。 50×27×77÷（25×11×9） 125×21×60÷（7÷8×15） 25×121÷2÷（11×5÷4） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $