6.3 平面向量的基本定理及其坐标表示 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量的基本定理及其坐标表示 目录 题型01 平面向量基本定理 4 题型02 平面向量的线性运算 5 题型03 平面向量的平行与垂直 7 题型04 平面向量的数量积 8 题型05 平面向量的模长 9 题型06 平面向量的夹角 10 建体系 新知廊 知识点1： 平面向量的基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点2： 平面向量的坐标表示 1．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 2．在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 知识点3： 平面向量的线性运算 1．向量加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． 2．向量减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)． 3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 4．若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)． 知识点4： 平面向量的平行与垂直 1．a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线． 3．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 知识点5： 平面向量的数量积 1．a·b＝x1x2＋y1y2． 2．平面向量的模长：若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝． 3．平面向量的模长：若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝． 4．平面向量的夹角：cosθ＝＝． 求甚解 1．基底的判断． (1)看两向量是否不共线． (2)平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 2．平面向量坐标运算的技巧． (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 3．向量共线的判定． (1)充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断． (2)利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 4．数量积运算． (1)a·b＝x1x2＋y1y2． (2) |a|2＝a·a． (3) (a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2． (4) (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2． 5．向量a＝(x，y)的求解． (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2) a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 6．向量夹角的求解． (1)由cosθ＝＝直接求出cosθ． (2)由cos θ求θ时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°． (3)由cosθ＝判断θ时：当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°． (4)由cosθ＝判断θ时：当cos θ>0时，有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°． 练题型 题型01 平面向量基本定理 典型例题 典例 01 （2025秋•长安区校级期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，由平面向量的线性运算法则，推导出，根据P、C、D三点共线建立关于λ的等式，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：根据，可得， 因为，所以， 结合P、C、D三点共线，可得，解得λ． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•铁西区校级期中）在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，点P在线段BD上．若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2025秋•上海期中）设平面向量，，若不能组成平面上的一个基，则x＝　　　　． 【变式练3】（2025秋•诸暨市校级期中）已知x、y是实数，向量，不平行，若，则x+y＝　　　　． 题型02 平面向量的线性运算 典型例题 典例 02 （2025春•喀什市期中）已知向量，，则（　　） A．（10，5） B．（1，8） C．（5，10） D．（7，6） 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得． 【解答】解：因为， 所以． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025秋•南岗区校级期中）已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，Q为AO的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设，其中m＞0，n＞0，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．2m+n＝3 D．的最小值为 【变式练2】（2025春•浦东新区校级期中）若向量，，则　　　　． 【变式练3】（2025春•东兴区校级期中）已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段AB上，且，则P的坐标为　　　　． 题型03 平面向量的平行与垂直 典型例题 典例 03 （2025•湖南学业考试）已知向量，，若，则实数λ的值为（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【答案】D 【分析】直接根据向量的数乘运算求解即可． 【解答】解：∵，，且， ∴（﹣3，﹣6）＝（λ，2λ），∴λ＝﹣3． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025秋•南京月考）已知向量（1，2），（k，﹣1），且⊥（），则实数k为（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣2 【变式练2】（多选）（2025秋•10月份月考）已知向量，，则下列命题为真命题的是（　　） A．∃x∈R， B．∀x∈R，x≠0， C．∃x∈R， D．∀x∈R，x≠0， 【变式练3】（2025秋•化州市期中）已知向量，若，则t＝　　　　． 题型04 平面向量的数量积 典型例题 典例 04 （2025•内乡县校级二模）已知向量（0，1），（1，0），则•（）＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】B 【分析】由平面向量的坐标运算计算即可． 【解答】解：因为向量（0，1），（1，0），所以， 所以•（）＝0×（﹣1）+1×1＝1． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025秋•海淀区校级月考）已知向量，则（　　） A．1 B． C．0 D． 【变式练2】（2025秋•海淀区期中）若向量，，则　　　　；　　　　． 【变式练3】（2025秋•遂宁校级期中）已知向量，则的最小值为　　　　． 题型05 平面向量的模长 典型例题 典例 05 （2025秋•山西期中）已知向量（2，﹣1），（x，﹣3），若与垂直，则||＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的性质求得x，进而求解结论． 【解答】解：因为向量（2，﹣1），（x，﹣3），与垂直， 可得（）••0， 即22+（﹣1）2﹣（2x+3）＝0，解得x＝1， 故（1，﹣3），可得||． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025秋•上月考）已知平面向量，下列说法正确的是（　　） A．若，则x＝1 B．存在x∈R，使得 C．若x＝0，则 D．若x＝﹣1，则在上的投影向量的坐标为 【变式练2】（2025•杨浦区校级模拟）已知向量，若2与垂直，则||等于　　　　　． 【变式练3】（2025春•山阳县校级期中）已知向量，且与垂直． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数k的值． 题型06 平面向量的夹角 典型例题 典例 06 （2025春•梧州月考）已知向量． （1）若∥，求实数m的值； （2）若，求实数m的值； （3）若，且m＞0，求向量的夹角． 【答案】（1）m＝﹣30； （2）m＝﹣4； （3）． 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式计算． （2）利用向量垂直的坐标表示，列式求解． （3）利用模的坐标表示求出m，再利用夹角公式求解． 【解答】解：（1）由，（6，m），（﹣1，5），得6×5+m＝0， 所以m＝﹣30． （2）依题意，， 由，得， 所以m＝﹣4； （3）依题意，，则， 而m＞0，解得， 则， ，因此， 又，所以． 即学即练 【变式练1】（2025春•上饶月考）已知，，则　　　　． 【变式练2】（2025春•厦门校级期中）已知平面向量（1，x），（2x+3，﹣x），（﹣3，5），x∈R． （1）若，求x的值； （2）若与的夹角是钝角，求x的取值范围． 【变式练3】（2025春•商丘期末）已知平面向量（2，﹣3），（3，m），m∈R． （1）若（7，﹣5），且x，求x和m的值； （2）若，求|2|的值； （3）若与的夹角为锐角，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量的基本定理及其坐标表示 目录 题型01 平面向量基本定理 4 题型02 平面向量的线性运算 6 题型03 平面向量的平行与垂直 9 题型04 平面向量的数量积 11 题型05 平面向量的模长 13 题型06 平面向量的夹角 15 建体系 新知廊 知识点1： 平面向量的基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点2： 平面向量的坐标表示 1．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 2．在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 知识点3： 平面向量的线性运算 1．向量加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． 2．向量减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)． 3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 4．若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)． 知识点4： 平面向量的平行与垂直 1．a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线． 3．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 知识点5： 平面向量的数量积 1．a·b＝x1x2＋y1y2． 2．平面向量的模长：若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝． 3．平面向量的模长：若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝． 4．平面向量的夹角：cosθ＝＝． 求甚解 1．基底的判断． (1)看两向量是否不共线． (2)平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 2．平面向量坐标运算的技巧． (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 3．向量共线的判定． (1)充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断． (2)利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 4．数量积运算． (1)a·b＝x1x2＋y1y2． (2) |a|2＝a·a． (3) (a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2． (4) (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2． 5．向量a＝(x，y)的求解． (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2) a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 6．向量夹角的求解． (1)由cosθ＝＝直接求出cosθ． (2)由cos θ求θ时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°． (3)由cosθ＝判断θ时：当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°． (4)由cosθ＝判断θ时：当cos θ>0时，有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°． 练题型 题型01 平面向量基本定理 典型例题 典例 01 （2025秋•长安区校级期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，由平面向量的线性运算法则，推导出，根据P、C、D三点共线建立关于λ的等式，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：根据，可得， 因为，所以， 结合P、C、D三点共线，可得，解得λ． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•铁西区校级期中）在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，点P在线段BD上．若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设（0≤m≤1），结合向量的线性运算将用和表示出来即可求解． 【解答】解：如图， 因为点P在线段BD上．所以设（0≤m≤1）， 所以， 又，所以λ＝﹣m，，故． 故选：B． 【变式练2】（2025秋•上海期中）设平面向量，，若不能组成平面上的一个基，则x＝　　　　． 【答案】2． 【分析】根据向量不能组成平面上的一个基，可知两个向量平行，利用向量平行的坐标表示建立关于x的方程，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：若不能组成平面上的一个基，则， 结合，，可得2x﹣4＝0，解得x＝2． 故答案为：2． 【变式练3】（2025秋•诸暨市校级期中）已知x、y是实数，向量，不平行，若，则x+y＝　　　　． 【答案】3． 【分析】借助向量基本定理可得，计算即可得． 【解答】解：因为向量，不平行，且， 所以，解得，故x+y＝3． 故答案为：3． 题型02 平面向量的线性运算 典型例题 典例 02 （2025春•喀什市期中）已知向量，，则（　　） A．（10，5） B．（1，8） C．（5，10） D．（7，6） 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得． 【解答】解：因为， 所以． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025秋•南岗区校级期中）已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，Q为AO的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设，其中m＞0，n＞0，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．2m+n＝3 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，利用三点共线可得即可判断；对于D，由C知，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可． 【解答】解：对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即2m+n＝3，故C正确； 对于D，由C知，且m＞0，n＞0， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D错误． 故选：ABC． 【变式练2】（2025春•浦东新区校级期中）若向量，，则　　　　． 【答案】（﹣1，3）． 【分析】应用向量线性关系的坐标运算求即可． 【解答】解：（1，1）+2（﹣1，1）＝（﹣1，3）． 故答案为：（﹣1，3）． 【变式练3】（2025春•东兴区校级期中）已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段AB上，且，则P的坐标为　　　　． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解． 【解答】解：设点P（x，y），又A（2，3），B（4，﹣3）， 则， 由点P在线段AB上，，得， 于是，解得，， 所以P的坐标为． 故选：． 题型03 平面向量的平行与垂直 典型例题 典例 03 （2025•湖南学业考试）已知向量，，若，则实数λ的值为（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【答案】D 【分析】直接根据向量的数乘运算求解即可． 【解答】解：∵，，且， ∴（﹣3，﹣6）＝（λ，2λ），∴λ＝﹣3． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025秋•南京月考）已知向量（1，2），（k，﹣1），且⊥（），则实数k为（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣2 【答案】C 【分析】根据向量垂直，数量积为0即可求解． 【解答】解：因为向量（1，2），（k，﹣1），且⊥（）， 所以•（）••12+22+k﹣2＝0， 解得k＝﹣3． 故选：C． 【变式练2】（多选）（2025秋•10月份月考）已知向量，，则下列命题为真命题的是（　　） A．∃x∈R， B．∀x∈R，x≠0， C．∃x∈R， D．∀x∈R，x≠0， 【答案】ACD 【分析】结合向量共线的坐标运算，举例判断AB；利用向量垂直的坐标运算判断CD． 【解答】解：当x＝0时，，，，故，故A正确； 向量，，则，，所以x≠0时，与不共线，故B错误； 向量，，则，即x2＝25，所以当x＝5或x＝﹣5时，，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 【变式练3】（2025秋•化州市期中）已知向量，若，则t＝　　　　． 【答案】﹣1． 【分析】根据两个向量垂直的条件，建立关于t的方程，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：根据，且， 可得，解得t＝﹣1． 故答案为：﹣1． 题型04 平面向量的数量积 典型例题 典例 04 （2025•内乡县校级二模）已知向量（0，1），（1，0），则•（）＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】B 【分析】由平面向量的坐标运算计算即可． 【解答】解：因为向量（0，1），（1，0），所以， 所以•（）＝0×（﹣1）+1×1＝1． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025秋•海淀区校级月考）已知向量，则（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由平面向量的数量积运算求解即可． 【解答】解：因为向量， 则（1，0）+（0，）＝（1，）， （，0）+（0，1）＝（，1）， 可得（）•（）＝（1，）•（，1）＝1×（）0． 故选：C． 【变式练2】（2025秋•海淀区期中）若向量，，则　　　　；　　　　． 【答案】﹣5；． 【分析】根据数量积的坐标运算及夹角公式直接计算可得． 【解答】解：由题可得：． 又，， 所以，且， 所以． 故答案为：﹣5；． 【变式练3】（2025秋•遂宁校级期中）已知向量，则的最小值为　　　　． 【答案】． 【分析】由数量积运算可得x+2y＝2，再由“1”的技巧及基本不等式，即可求解． 【解答】解：由题意可知，，且x＞0，y＞0． 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 题型05 平面向量的模长 典型例题 典例 05 （2025秋•山西期中）已知向量（2，﹣1），（x，﹣3），若与垂直，则||＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的性质求得x，进而求解结论． 【解答】解：因为向量（2，﹣1），（x，﹣3），与垂直， 可得（）••0， 即22+（﹣1）2﹣（2x+3）＝0，解得x＝1， 故（1，﹣3），可得||． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025秋•上月考）已知平面向量，下列说法正确的是（　　） A．若，则x＝1 B．存在x∈R，使得 C．若x＝0，则 D．若x＝﹣1，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，可判定A正确；根据共线向量的坐标表示，列出方程，可判定B错误；结合向量的模的计算公式，可判定C正确；根据向量投影向量的计算公式，可判定D正确． 【解答】解：对于A，若，平面向量，则，解得x＝1，所以A正确； 对于B，若，则﹣1×1＝2x（x+1），可得2x2+2x+1＝0，因为Δ＝22﹣4×2×1＜0，此方程无解，故不存在x∈R，，所以B错误； 对于C，若x＝0，可得，所以，所以C正确； 对于D，若x＝﹣1，则，，则，且，所以在上的投影向量，所以D正确． 故选：ACD． 【变式练2】（2025•杨浦区校级模拟）已知向量，若2与垂直，则||等于　　　　　． 【答案】2． 【分析】先根据平面向量线性运算的坐标表示求出，再根据平面向量垂直的坐标公式求出m，再根据平面向量的模的坐标公式即可得解． 【解答】解：因为向量，所以， 因为与垂直，所以，即m2﹣3＝0，解得， 所以． 故答案为：2． 【变式练3】（2025春•山阳县校级期中）已知向量，且与垂直． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】（1）；（2）k＝﹣2． 【分析】（1）根据即可求出m＝0，然后可得出的坐标，进而得出答案； （2）根据向量垂直的充要条件即可求出k的值． 【解答】解：（1），∴，m＝0， ∴，且， ∴，； （2），且与互相垂直， ∴， 即k＝﹣2． 题型06 平面向量的夹角 典型例题 典例 06 （2025春•梧州月考）已知向量． （1）若∥，求实数m的值； （2）若，求实数m的值； （3）若，且m＞0，求向量的夹角． 【答案】（1）m＝﹣30； （2）m＝﹣4； （3）． 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式计算． （2）利用向量垂直的坐标表示，列式求解． （3）利用模的坐标表示求出m，再利用夹角公式求解． 【解答】解：（1）由，（6，m），（﹣1，5），得6×5+m＝0， 所以m＝﹣30． （2）依题意，， 由，得， 所以m＝﹣4； （3）依题意，，则， 而m＞0，解得， 则， ，因此， 又，所以． 即学即练 【变式练1】（2025春•上饶月考）已知，，则　　　　． 【答案】． 【分析】根据向量的夹角公式即可求解． 【解答】解：由，， 可得，，， 则． 故答案为：． 【变式练2】（2025春•厦门校级期中）已知平面向量（1，x），（2x+3，﹣x），（﹣3，5），x∈R． （1）若，求x的值； （2）若与的夹角是钝角，求x的取值范围． 【答案】（1）﹣1或3． （2）． 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算即可求解； （2）结合平面向量数量积的运算及向量共线的坐标运算求解即可． 【解答】解：（1）若， 则（1，x）•（2x+3，﹣x）＝1×（2x+3）+x（﹣x）＝0， 整理得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3， 故x的值为﹣1或3． （2）因为与的夹角是钝角，则0， 即1×（﹣3）+5x＜0，得， 又当与共线时，有1×5＝﹣3x，得，不合题意，则， 综上，x的取值范围为． 【变式练3】（2025春•商丘期末）已知平面向量（2，﹣3），（3，m），m∈R． （1）若（7，﹣5），且x，求x和m的值； （2）若，求|2|的值； （3）若与的夹角为锐角，求m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）结合向量的坐标运算法则，即可求解； （2）结合向量垂直的性质，即可求解； （3）结合向量的数量积运算法则，即可求解． 【解答】解：（1）因为x， x（2，﹣3）+（3，m）＝（2x+3，﹣3x+m）＝（7，﹣5）， 所以； 解得x＝2，m＝1； （2）若，则•（2，﹣3）•（3，m）＝6﹣3m＝0，解得m＝2， 所以（3，2），（2，﹣3）+2（3，2）＝（8，1）， |2|； （3）因为与的夹角为锐角，所以•0且，不同向， 即解得m＜2且； 故m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $