21.2.2 平行四边形的判定 教学设计 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 人教版(2024) 21.2.2平行四边形的判定(课时2) 一、教学目标 1.探索并证明平行四边形的判定定理——一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 2.能熟练运用平行四边形的判定定理进行计算和证明. 二、教学重点及难点 重点：掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 难点：能应用平行四边形的判定定理进行相关计算与证明. 三、教学过程 【知识回顾】 回顾已经学过的平行四边形的判定方法. 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 设计意图：系统回顾平行四边形的判定方法，夯实旧知，为后续综合运用与学习做好铺垫. 【新知导入】 教师提出：取两根长度相等的木棍，将它们平行放置，再用两根木棍将其固定，得到的四边形是平行四边形吗？ 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形. 如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 设计意图：借助直观教具操作引发猜想，从已有判定过渡到一组对边的探究，自然引出新课，激发学生思考与探究欲望. 【探究新知】 教师提出：对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑： 一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 学生回答：等腰梯形不是平行四边形，因此一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. 教师追问1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？ 学生回答：梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因此一组对边平行的四边形不一定是平行四边形. 教师追问2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 设计意图：通过递进式追问与反例辨析，层层排除错误认知，引导学生聚焦一组对边平行且相等的核心条件，自然引出新的判定猜想. 教师引导学生进行证明. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB//CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形. 思路1：条件中已有AB//CD，只需证明AD//BC即可. 证明：连接AC， ∵AB//CD，∴∠1=∠2. 又AB=CD，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA， ∴∠ACB=∠CAD， ∴AD//BC. 又AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 思路2：条件中已有AB=CD，只需证明AD=BC即可. 选取两个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答，作答完毕后教师进行校对，并规范解题步骤. 通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记. 平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 设计意图：通过猜想、多思路证明、学生板演，让学生自主推导并掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理，培养逻辑推理与规范书写能力. 教师提出：一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？ 学生同桌之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答. 不一定是，如等腰梯形，其中AD//BC，AB=CD. 设计意图：通过反例辨析与同桌讨论，纠正易错认知，加深对一组对边平行且相等这一判定条件的准确理解. 【例题练习】 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证：DE=BF且DE∥BF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 又EB=AB，DF=CD， ∴EB=DF且EB∥DF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴DE=BF且DE∥BF. 设计意图：运用一组对边平行且相等的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形性质得出结论，巩固新知并提升综合推理能力. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 2.运用平行四边形的判定定理进行计算和证明. 六、板书设计 平行四边形的判定（课时2） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 符号语言：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 人教版(2024) 21.2.2平行四边形的判定(课时1) 一、教学目标 1.探索并证明平行四边形的判定定理； 2.能熟练运用平行四边形的判定定理进行计算和证明. 二、教学重点及难点 重点：掌握平行四边形的判定定理. 难点：能应用平行四边形的判定定理进行相关计算与证明. 三、教学过程 【知识回顾】 回顾平行四边形的性质. 性质1：平行四边形的对边相等. 数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD. 性质2：平行四边形的对角相等. 数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC. 性质3：平行四边形的对角线互相平分. 数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO. 设计意图：回顾平行四边形的性质及规范数学语言，为后续新知学习做好知识铺垫. 【新知导入】 平行四边形的定义： . 这是平行四边形的判定方法1（定义法），除此之外，还有什么判定方法呢？ 教师提出：我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. 反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？ 也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 设计意图：由回顾定义过渡到逆向思考，通过性质与判定的互逆关系引发探究，自然地导入平行四边形判定的新知. 【探究新知】 教师提出：说出“如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边相等”的逆命题. 学生回答：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形. 教师提出：这个逆命题是真命题吗？ 教师引导学生进行证明 已知：四边形ABCD，AB=CD，AD=BC， 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：如图，连接AC. ∵AB=CD，AD=CB，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∴AB//CD，AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记. 平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 设计意图：引导学生经历逆命题推导、猜想验证、严谨证明、归纳总结的完整探究过程，掌握平行四边形“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理与规范几何语言，培养几何逻辑推理能力，深化对平行四边形性质与判定互逆关系的理解. 教师提出：说出“如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对角相等”的逆命题. 学生回答：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形. 教师提出：这个逆命题是真命题吗？ 教师引导学生进行证明 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°. ∴AD//BC， 同理可得AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记. 平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形. 设计意图：延续平行四边形性质与判定互逆的探究主线，引导学生完整经历逆命题提炼、猜想验证、严谨证明、归纳定型的探究过程，掌握“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理及规范几何语言. 教师通过ppt展示：如图，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？ 学生猜想：四边形ABCD一直是一个平行四边形，即对角线互相平分的四边形是平行四边形． 教师引导学生进行证明 已知：在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴△AOB≌△COD，∴∠OAB=∠OCD， ∴AB//CD，同理可得AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 教师提出：你还有其他证明方法吗？ 选取两个学生代表在黑板上进行作答，对照二者的解题步骤，探索不同的证明方法. 通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记. 平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AO=CO，DO=BO， ∴四边形ABCD是平行四边形. 设计意图：通过动态教具的直观演示创设探究情境，引导学生经历猜想提出、严谨推理论证、一题多解拓展的完整探究过程，借助学生板演规范几何证明书写，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理及规范几何语言，培养学生的逆向思维、逻辑推理与发散探究能力，凸显学生主体地位，完善平行四边形判定的知识体系. 教师通过表格梳理本节课所学知识. 图形 定理内容 几何语言 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=DC，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC， ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形 设计意图：用表格系统梳理平行四边形的三种判定定理，对比呈现文字与几何语言，帮助学生构建清晰的知识体系，便于记忆与应用. 【例题练习】 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 教师提出：你有什么解题思路吗？ 学生积极回答，教师提炼思路. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO. ∵AE=CF， ∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO. 又BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形. 设计意图：通过典型例题，巩固对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，训练学生结合平行四边形性质进行推理证明的能力，规范解题思路与书写. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.平行四边形的判定定理； 2.运用平行四边形的判定定理进行计算和证明. 六、板书设计 平行四边形的判定（课时1） 判定方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义). 判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 判定方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 判定方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $