7.1.2复数的几何意义课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.2复数的几何意义 复习回顾 2. 复数z=a+bi (a、bR)中a叫z的 、b叫z的 . 实部 虚部 1. 虚数单位i：i2= . -1 3. 复数的分类 4. 复数相等 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) a + bi = c + di ⇔ a = c且b = d. 情境引入 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示. 实数a 数轴上的点A (形) (数) 一一对应 能否类比实数的几何意义推理出复数的几何意义呢？ 问题探究 探究1 根据复数的代数形式，一个复数由什么唯一确定？ z=a+bi (a,b∈R) a叫做复数的实部 b叫做复数的虚部 任一复数z=a+bi都可由一个有序实数对(a,b)唯一确定. 根据复数相等的定义，反之也对. 问题探究 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 有序实数对(a,b) 平面直角坐标系中的点 一一对应 一一对应 一一对应 （数） （形） 探究2 复数的几何意义是什么？ 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系，因此可以用点表示复数. 新知讲授 复平面 Z:a+bi a b 实轴 虚轴 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数. 新知讲授 复数的几何意义——与点对应 每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 复数 复平面内的点. 一一对应 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应. 由此，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系 新知应用 例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)第二象限；(3)在直线y＝x上. 分别求实数m的值或范围. 《三维设计》P33例1 问题探究 探究3 在平面直角坐标系中，每一个向量都可以用一个有序实数对表示，而有序实数对与复数一一对应，能否用平面向量来表示复数呢？ a b Z:a＋bi 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量 复数的几何意义2 规定: 相等的向量表示同一个复数. 方便起见，常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量 Z(a,b) 新知应用 例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. 解：记O为复平面的原点， 由题意得 ＝(2,3)， ＝(3,2)， ＝(－2,－3). 设 ＝(x,y)，则 ＝(x－2,y－3)， ＝(－5,－5). 由题意知， ＝ ，所以 即 故点D对应的复数为－3－2i. 《三维设计》P34例2 新知讲授 复数的模 a b Z:a＋bi Z(a,b) 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值， 记作|z|或|a＋bi|. 几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|. 新知应用 例3 已知复数z1＝ －i，z2＝－ ＋ i. (1)求|z1|，|z2|的值并比较大小； (2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示. 《三维设计》P34例3 新知应用 例4 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i. (1) 在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量； (2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模大小. Z1(4,3) Z2(4,－3) 解：(1) 如图，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2. (2) |z1|=|4+3i|=5，|z2|=|4-3i|=5 思考 点 Z1，Z2 有怎样的关系？复数z1，z2有怎样的关系? 对应的向量分别为，. |z1|=|z2|. 新知讲授 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 共轭复数 表示：复数z的共轭复数用表示. 若z1,z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点关于实轴对称. 特别地，实数的共轭复数就是它自己本身. 如果z=a+bi，那么 ＝a-bi. 新知应用 例5 (多选)已知复数z＝4－3i，则下列命题中正确的为（　　） A. ||＝5 B. ＝4＋3i C. 的虚部为－3i D. 在复平面上对应的点在第二象限 《三维设计》P35例4 AB 新知应用 例6 已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数a＋i与－1＋bi互为共轭复 数，则（　　） A. a＝－1，b＝1 B. a＝－1，b＝－1 C. a＝1，b＝1 D. a＝1，b＝－1 《三维设计》P35训练4 B 课堂总结 $