7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念 情景引入 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系. 回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？ 情景引入 今天真顺，可是我现在共捕了多少头野猪呢？ 有办法了，用结绳来计数！ 我真是天才！ 计数的需要 自然数 被“数”出来的自然数 远古时期的人类，用划痕、 石子、结绳记数，创造了自然数1，2，3，4， 5…… 情景引入 相反量的需要 负数 被“欠”出来的负数 东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法． 该如何记出入账呢? 情景引入 等额公平分配的需要，产生了分数 等额公平分配的需要 分数 被“分”出来的分数 分数的引入，解决了在整数中不能整除的矛盾. 情景引入 毕达哥拉斯（约公元前560—480年） 1 1 ? 度量计算的需要 无理数 边长为1的正方形的对角线长是多少? 被“推”出来的无理数 约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数，引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数. 随着社会发展，数系在不断扩充． 问题探究 （1）在自然数集中求方程 x+1=0的解； （2）在整数集中求方程 2x-1=0的解； （3）在有理数集中求方程 x2-2=0的解. （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；   （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ （1）在自然集中求方程x+1=0的解； N Z Q R 探究1 借助列方程，能否从解方程(数学)的角度来说明数系的扩充？ 数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． 问题探究 探究2 我们知道，方程 x²+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，能否适当扩充实数集，使这个方程有解呢? 瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出新数i，他用了“y”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的. 新数：i 规定 i2=-1 问题探究 探究3 将新引进的数i添加到实数集中，并希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并满足各种运算律，那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢? （2）把实数b与i相乘，结果记作bi； （3）把实数a与bi相加，结果记作a+bi. （1）把实数a与新引进的数i相加，结果记作a+i； 所有实数以及i都可写成a+bi的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 新知讲授 形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. i叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集. 复数的概念 复数的代数形式 通常用字母z表示，即 z=a+bi (a,b∈R) a叫做复数的实部 b叫做复数的虚部 注意：复数z的实部和虚部都是实数. 新知应用 例1(1)已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等， 则实数a＝（　　） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 (2)已知复数x＋y＋(2－x)i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是（　　） A. 2，－4 B. 2，5 C. －2，4 D. －2，5 D C 《三维设计》P32例1 新知应用 探究4 复数z=a+bi (a,b∈R)满足什么条件时分别为实数、虚数和纯虚数？ 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0； 当b≠0时，它叫做虚数； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 问题探究 探究5 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 实数集R是复数集C的真子集，即R⫋C. 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) 复数z=a+bi (a, b∈R)可以分类如下： 新知应用 例2 当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i 是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 例3 (1)若复数z＝(x2－100)＋(x－10)i为纯虚数，则实数x＝（ 　） A. －10 B. 10 C. 100 D. －10或10 (2)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值为 ⁠. 新知应用 《三维设计》P32训练2 问题探究 探究5 如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？ 在复数集C={a+bi | a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)， 即：a + bi = c + di ⇔ a = c且b = d. 特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d. 新知应用 例4 (1)已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，求实数m的值； (2)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x,y∈R，求x,y的值. 《三维设计》P33例3 新知应用 例5 (1)下列命题中，真命题的个数是（　　） ①若x,y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a,b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A. 0 B. 1 C.2 D. 3 (2)若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值为（　　） A. －1 B. ±1 C. 1 D. －2 B C 练习 (1)若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝ a＋bi的虚部为（　D　） A. －i B. －1 C. 2i D. 2 新知应用 (2)已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i（a，b∈R，i为虚数单位），且z1＝z2，则（　D　） A. a＝－1，b＝1 B. a＝2，b＝－3 C. a＝2，b＝3 D. a＝－2，b＝3 D D 《三维设计》P33训练3 课堂总结 $