万有引力的应用 培优专题训练-重庆市第一中学2025-2026学年高一下学期必修第二册

重庆市第一中学高一（下） 万有引力培优练习 一、单选题 1．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RA<RB，引力常量G已知，则下列说法正确的是（　　） A．星球A所受的向心力大于星球B所受的向心力 B．星球A的线速度一定等于星球B的线速度 C．星球A和星球B的质量之和为 D．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 2．2024年7月19日，我国成功发射高分十一号05卫星。如图，高分十一号05卫星和另一颗卫星分别沿圆轨道和椭圆轨道绕地球运行，圆轨道半径为，椭圆轨道的近地点和远地点间的距离为，两轨道位于同一平面内且A点为两轨道的一个交点，某时刻两卫星和地球在同一条直线上，线速度方向如图，只考虑地球对卫星的引力，下列说法正确的是（    ） A．在图示位置，高分十一号05卫星和卫星的加速度大小分别为、，则 B．在图示位置，两卫星的线速度大小关系为 C．从图示位置开始，卫星先运动到A点 D．高分十一号05卫星和卫星运动到A位置时的向心加速度大小分别为、，则有 3．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅱ的周期为 C．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 D．卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星发出电磁波信号的时间 4．中科院国家天文台的科学家观测到三颗星保持相对静止，相互之间的距离均为，且一起绕着某点做周期为的匀速圆周运动。已知，不计其它星体对它们的影响。关于这个三星系统，则（    ） A．三颗星的轨道半径之比为 B．三颗星的角速度大小之比为 C．若距离均不变，的质量均变为原来的3倍，则周期变为 D．若的质量不变，距离均变为，则周期变为 5．所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图所示，星球A、B绕O点做匀速圆周运动的周期为T，其中A星球表面重力加速度为g，半径为R，A星球的自转忽略不计，B星球的质量为m，引力常量为G，则A、B两星球间的距离L可表示为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 6．某宇航员到一个星球后想分析这个星球的相关信息，于是做了两个小实验：一是测量了该星球的一个近地卫星绕该星球做匀速圆周运动飞行N圈用了时间t；二是将一个小球从星球表面竖直上抛，测出上升的最大高度为h，第一次上升的时间为t1，第一次下降的时间为t2．设小球运动中受到的空气阻力大小不变，万有引力常量为G，不计星球自转．求： （1）该星球的密度． （2）该星球表面的重力加速度． 7．如图所示，两颗卫星绕某行星在同一平面内做匀速圆周运动，已知卫星一运行的周期为，行星的半径为R，卫星一和卫星二到行星中心的距离分别为，，引力常量为G。某时刻两卫星与行星中心连线之间的夹角为。求：（题干中、R、G已知） （1）行星的质量M； （2）行星的第一宇宙速度； （3）从图示时刻开始，经过多长时间两卫星第一次相距最远？ 8．在天文观测中，观测到质量相等的三颗星始终位于边长为L的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G，不计其他星球对它们的影响。 （1）求每颗星的质量m； （2）若三颗星两两之间的距离均增大为原来的2倍，求三颗星稳定运动时的线速度大小v。 9．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度v； (4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T。 10．已知某行星的半径为R，其表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，在不考虑自转的情况，求：（以下结果均用字母表达即可） （1）卫星环绕其运行的第一宇宙速度； （2）假设某卫星绕其做匀速圆周运动且运行周期为T，求该卫星距地面的高度； （3）假设其为一均匀球体，试求其的平均密度（球体积）。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】A．双星靠相互间的万有引力提供圆周运动的向心力，所以两个星球的向心力大小相等，选项A错误； B．双星的角速度相等，根据知，两星球半径不同，则线速度不相等，选项B错误； C．对于星球A，有 对于星球B，有 又 联立解得 选项C错误； D．根据，双星之间的距离增大，总质量不变，则转动的周期变大，选项D正确。 故选D。 2．C 【详解】A．设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r，根据牛顿第二定律，有 得 即r越大，a越小，，故A错误； B．根据万有引力提供向心力，有 得 即圆周运动的轨道半径r越大，v越小，以地心为圆心，卫星a到地心的距离为半径作圆，设该圆轨道上卫星的运行速度为，由于卫星a不能保持在这个高度而做近心运动，故，又因，故，即，故B错误； C．高分十一号05卫星的轨道半径和卫星a轨道半长轴相等，根据开普勒第三定律可知，二者的公转周期相等，设为T, 高分十一号05卫星由图示位置运动到A点所用时间大于，卫星a由图示位置运动到A点所用时间小于，即卫星先运动到A点，故C正确； D．根据 可知，高分十一号05卫星和卫星运动到A位置时的加速度大小相等，方向均由A位置指向地心，但高分十一号05卫星做匀速圆周运动，其向心加速度就等于实际的加速度，而卫星沿椭圆轨道运动，速度沿轨道切线方向，其向心加速度等于实际加速度沿垂直于速度方向的分量，即 故D错误。 故选C。 3．B 【详解】AB．设地球质量为，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为和，卫星Ⅰ为同步卫星，周期为，近地卫星Ⅱ的周期为。根据开普勒第三定律则有 由题图可得 可得卫星Ⅱ的周期为 对于卫星Ⅱ，根据牛顿第二定律可得 地球的密度为 联立以上各式，可得地球的平均密度为，故A错误，B正确； C．对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律可得 解得 所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为，故C错误； D．当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着地球的区域内，其对应圆心角为时，卫星II无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号，设这段时间为。若两卫星同向运行，则有 其中， 解得 若两卫星相向运行，则有，， 解得，故D错误。 故选B。 4．C 【详解】A．由于三颗星保持相对静止，一起绕着某点做圆周运动，三星角速度与周期相等，根据对称性，B、C轨道半径相等，作出三星运动轨迹，如图所示 对A星体有 对B、C星体，两星体各自所受引力的合力大小相等，令为，根据余弦定理有 对星体，两星体各自做圆周运动，轨道半径相等，令为 则有 解得 可知，三颗星的半径大小之比为，故A错误； B．三颗星的角速度相等，故三颗星的角速度大小之比为，故B错误； C．距离均不变，对A星体有 若的质量均变为原来的3倍，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径不变，则有 解得 故C正确； D．若的质量不变，距离均变为，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径均变为先前的2倍，则对A星有 解得 即若的质量不变，距离均变为，则周期变为，故D错误。 故选C。 5．A 【详解】设A星球质量为M，到O点的距离为r1，B星球到O点的距离为r2，则有： 又因为 物体在A星球表面受到的重力等于万有引力，有： 联立解得： 选项A正确，BCD错误。 故选A。 6．（1） （2） 【详解】（1）近地卫星周期 圆周运动 密度 解得 （2）上升 下降 解得 7．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）卫星一运行的周期为，由万有引力提供向心力，则有 解得 （2）行星的第一宇宙速度等于在行星表面做圆周运动的卫星的环绕速度，则有 结合上述解得 （3）根据开普勒第三定律有 解得 从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最远，则有 解得 8．（1）；（2） 【详解】（1）由受力分析可知，三颗星要稳定的运动，每颗星受到的合力一定指向圆心，由几何关系可知，轨道半径 它们两两之间的万有引力大小 每颗星的向心力由另两颗星对它的万有引力的合力提供，则 解得 （2）由万有引力提供向心力可知 可知 又 ， 解得 9．(1)；(2) ；(3) ；(4) 【详解】(1)设该星球表现的重力加速度为g，根据平抛运动规律： 水平方向 x=v0t 竖直方向 平抛位移与水平方向的夹角的正切值 得 (2)在星球表面有 所以 该星球的密度 (3)由 可得 v= 又 GM=gR2 所以 (4)绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即： 10．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由 又 解得第一宇宙速度 （2）由 其中 解得卫星距地面高度 （3）由 得 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $