第四章 三角形 章节（18知识详解+41典例分析）同步讲义与测试2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 章节（18知识详解+41典例分析） 【知识点01】三角形及相关元素的定义 1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示法：用符号“△”表示三角形.如图4.1-1，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC， 读作“三角形ABC”. 2. 三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图4.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. 如图4.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC 的三条边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图4.1-1，∠A，∠B，∠C 是△ABC的三个内角. 【知识点02】三角形的内角和 1. 三角形三个内角的和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 三角形内角和的说明思路 思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角. 如图4.1-3 ①② . 思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角. 如图4.1-3 ③. 【知识点03】直角三角形的性质 1. 三角形按内角的大小分类 分类示意图如图4.1-4. 2. 直角三角形的表示 通常，我们用符号“Rt △ABC”表示 “直角三角形ABC”. 注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”. 3. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在△ABC中， 因为∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝90°. 【知识点04】三角形的三边关系 1. 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 如图4.1-6 . 2. 等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形. 3. 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形任意两边之和大于第三边 a＋b﹥c，b＋c﹥a，a＋c﹥b 两点之间线段最短 三角形任意两边之差小于第三边 a－b﹤c，b－c﹤a，a－c﹤b (a﹥b﹥c) 【知识点05】三角形中三条重要的线段 1. 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 三角形的三条高所在的直线交于一点. 几何语言：如图4.1-7，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D. 线段AD是△ABC中BC边上的高. 2. 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心. 几何语言：如图4.1-8， (1)AD是△ABC中BC边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD＝DC＝BC. 3. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于一点. 几何语言：如图4.1-8， (1)AD是△ABC的角平分线； (2)AD平分∠BAC交BC于点D； 【知识点06】全等三角形 1. 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2. 全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形是全等图形中的特例 【知识点07】全等三角形的性质 1. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：因为△ABC≌△DEF， 所以 2. 全等三角形的对应元素相等 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线、周长、面积等. 【知识点08】三角形全等的条件——边边边 1. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 2. 书写格式 如图4.3-1， 在△ABC和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(SSS). 【知识点09】已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段a，b，c(如图4.3-3 所示) 求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a. 作法与图形： 作法 图形 (1)作一条线段BC＝a； (2)分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A； (3)连接AB，AC.△ABC就是所求作的三角形. 【知识点10】三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性 只要三角形三边的长度确定了， 这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 四边形具有不稳定性. 2. 三角形的稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等. 【知识点11】三角形全等的条件——角边角 1. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 2. 书写格式 如图4.3-8， 在△ABC和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(ASA). 【知识点12】已知两角及其夹边作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下：已知：∠α，∠β，线段c(如图4.3-10 所示). 求作：△ABC，使∠A＝∠α ，∠B＝∠β ，AB＝c. 作法与图形： 作法 图形 (1)作∠DAF＝∠α； (2)在射线AF上截取线段AB＝c； (3)以B为顶点，以BA 为一边，作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C. △ABC就是所求作的三角形. 【知识点13】三角形全等的条件——角角边 1. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 2. 书写格式 如图4.3-13，在△ABC和△A′B′C′中，所以△ABC≌△A′B′C′(AAS). 3. “ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 将夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 将两角相等写在一起，边相等放在最后 【知识点14】三角形全等的条件——边角边 1. 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2. 书写格式 如图4.3-15， 在△ABC和△A′B′C′中 ，所以△ABC≌△A′B′C′(SAS). 【知识点15】已知两边及其夹角作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的步骤如下：已知：线段a，c，∠α(如图4.3-17). 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α . 作法与图形如下： 作法 图形 (1)作一条线段BC＝a； (2)以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α； (3)在射线BD上截取线段BA＝c； (4)连接AC. △ABC就是所求作的三角形. (3)∠BAD＝∠CAD＝∠BAC. 【知识点16】倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【知识点17】垂直模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 【知识点18】截长补短模型 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 【题型一】三角形的识别与有关概念 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是____________，以为一个内角的三角形是________；在中，的对边是________． 【题型二】三角形的个数问题 3．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）如图所示，以为一个内角的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型三】三角形内角和定理的证明 4．（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【题型四】与平行线有关的三角形内角和问题 5．如图，，，，求的度数． 【题型五】三角形的分类 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【题型六】直角三角形的两个锐角互余 8．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【题型七】构成三角形的条件 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，5，8 D．4，5，10 10．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，点在上，点在上，观察图形发现：与的关系（   ） A． B． C． D．不能确定 【题型八】确定第三边的取值范围 11．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）中，，，且的周长为偶数，求整数的长． 12．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【题型九】等腰三角形的定义 13．（25-26七年级·山东青岛·期中）定义：一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若等腰是“倍角三角形”，求它顶角的度数． 【题型十】画三角形的高 14．（25-26七年级·江苏镇江·期末）如图，，点A在线段上，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 15．（23-24七年级·福建福州）作三角形中边上的高． 【题型十一】三角形角平分线的定义 16．（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【题型十二】重心的概念 17．（24-25七年级·山东泰安·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【题型十三】三角形三边关系的应用 18．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（  ） A．1 B．5 C．8 D．12 【题型十四】与三角形的高有关的计算问题 19．（25-26七年级上·山东淄博·月考）在中，、分别是的高，且，，则（    ） A． B． C． D． 【题型十五】利用网格求三角形面积 20．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 【题型十六】重心的有关性质 21．（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是______． 【题型十七】全等三角形的概念 22．（23-24七年级·云南昆明）两个面积相等的三角形，一定能拼成一个平行四边形．( ) 23．（2023七年级下·全国·课后作业）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上． 【题型十八】全等三角形的性质 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为10cm的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则BC的长为（    ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 25．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则________． 【题型十九】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 26．（24-25七年级下·全国·期中）请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 【题型二十】用SSS证明三角形全等 27．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【题型二十一】用SSS间接证明三角形全等 28．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型二十二】全等的性质和SSS综合 29．已知：如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【题型二十三】尺规作图——作三角形 30．如图，已知和线段a，求作，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型二十四】三角形的稳定性及应用 31．（25-26七年级·山东烟台·期末）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【题型二十五】四边形的不稳定性 32．图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 【题型二十六】用ASA（AAS）证明三角形全等 33．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 34．如图，与相交于点，，，求证：． 【题型二十七】全等的性质和ASA（AAS）综合 35．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 36．如图，在中，，于点，于点，与交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【题型二十八】用SAS证明三角形全等 37．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【题型二十九】用SAS间接证明三角形全等 38．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【题型三十】全等的性质和SAS综合 39．（25-26七年级下·全国·周测）如图，甲工程队在湖旁边的开阔地取一点，连接，，以为边在左侧作，在射线上截取，连接．欲知，间的距离，需要测量的线段是（   ） A． B． C． D． 【题型三十一】灵活选用判定方法证全等 40．下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 41．如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 【题型三十二】结合尺规作图的全等问题 42．（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 43．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 【题型三十三】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 44．（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【题型三十四】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 45．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 46．如图，，请你再补充一个条件_________，使得．（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母） 【题型三十五】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 47．（2025七年级下·全国·专题练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 【题型三十六】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 48．在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 【题型三十七】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 49．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【题型三十八】其他模型(全等三角形的辅助线问题) 50．如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【题型三十九】证一条线段等于两条线段和差 51．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【题型四十】全等三角形综合问题 52．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 53．（24-25七年级下·陕西西安·月考）【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 章节（18知识详解+41典例分析） 【知识点01】三角形及相关元素的定义 1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示法：用符号“△”表示三角形.如图4.1-1，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC， 读作“三角形ABC”. 2. 三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图4.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. 如图4.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC 的三条边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图4.1-1，∠A，∠B，∠C 是△ABC的三个内角. 【知识点02】三角形的内角和 1. 三角形三个内角的和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 三角形内角和的说明思路 思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角. 如图4.1-3 ①② . 思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角. 如图4.1-3 ③. 【知识点03】直角三角形的性质 1. 三角形按内角的大小分类 分类示意图如图4.1-4. 2. 直角三角形的表示 通常，我们用符号“Rt △ABC”表示 “直角三角形ABC”. 注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”. 3. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在△ABC中， 因为∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝90°. 【知识点04】三角形的三边关系 1. 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 如图4.1-6 . 2. 等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形. 3. 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形任意两边之和大于第三边 a＋b﹥c，b＋c﹥a，a＋c﹥b 两点之间线段最短 三角形任意两边之差小于第三边 a－b﹤c，b－c﹤a，a－c﹤b (a﹥b﹥c) 【知识点05】三角形中三条重要的线段 1. 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 三角形的三条高所在的直线交于一点. 几何语言：如图4.1-7，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D. 线段AD是△ABC中BC边上的高. 2. 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心. 几何语言：如图4.1-8， (1)AD是△ABC中BC边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD＝DC＝BC. 3. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于一点. 几何语言：如图4.1-8， (1)AD是△ABC的角平分线； (2)AD平分∠BAC交BC于点D； 【知识点06】全等三角形 1. 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2. 全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形是全等图形中的特例 【知识点07】全等三角形的性质 1. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：因为△ABC≌△DEF， 所以 2. 全等三角形的对应元素相等 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线、周长、面积等. 【知识点08】三角形全等的条件——边边边 1. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 2. 书写格式 如图4.3-1， 在△ABC和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(SSS). 【知识点09】已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段a，b，c(如图4.3-3 所示) 求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a. 作法与图形： 作法 图形 (1)作一条线段BC＝a； (2)分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A； (3)连接AB，AC.△ABC就是所求作的三角形. 【知识点10】三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性 只要三角形三边的长度确定了， 这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 四边形具有不稳定性. 2. 三角形的稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等. 【知识点11】三角形全等的条件——角边角 1. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 2. 书写格式 如图4.3-8， 在△ABC和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(ASA). 【知识点12】已知两角及其夹边作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下：已知：∠α，∠β，线段c(如图4.3-10 所示). 求作：△ABC，使∠A＝∠α ，∠B＝∠β ，AB＝c. 作法与图形： 作法 图形 (1)作∠DAF＝∠α； (2)在射线AF上截取线段AB＝c； (3)以B为顶点，以BA 为一边，作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C. △ABC就是所求作的三角形. 【知识点13】三角形全等的条件——角角边 1. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 2. 书写格式 如图4.3-13，在△ABC和△A′B′C′中，所以△ABC≌△A′B′C′(AAS). 3. “ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 将夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 将两角相等写在一起，边相等放在最后 【知识点14】三角形全等的条件——边角边 1. 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2. 书写格式 如图4.3-15， 在△ABC和△A′B′C′中 ，所以△ABC≌△A′B′C′(SAS). 【知识点15】已知两边及其夹角作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的步骤如下：已知：线段a，c，∠α(如图4.3-17). 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α . 作法与图形如下： 作法 图形 (1)作一条线段BC＝a； (2)以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α； (3)在射线BD上截取线段BA＝c； (4)连接AC. △ABC就是所求作的三角形. (3)∠BAD＝∠CAD＝∠BAC. 【知识点16】倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【知识点17】垂直模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 【知识点18】截长补短模型 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 【题型一】三角形的识别与有关概念 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接得到的封闭图形是三角形解题即可． 【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项， 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是____________，以为一个内角的三角形是________；在中，的对边是________． 【答案】 ，， ，， 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 【题型二】三角形的个数问题 3．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）如图所示，以为一个内角的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的个数问题，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 将图中以为一个内角的三角形全部列举出来，即可得出答案． 【详解】解：以为一个内角的三角形有、、、，共4个． 故选：C． 【题型三】三角形内角和定理的证明 4．（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 【题型四】与平行线有关的三角形内角和问题 5．如图，，，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 【题型五】三角形的分类 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 【题型六】直角三角形的两个锐角互余 8．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°． 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角的关系． 【题型七】构成三角形的条件 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，只需检查较小两边之和是否大于最大边. 【详解】解：A、∵ ，不大于3， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴ 能构成三角形，符合题意； C、∵ ，不大于， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； 故选：B. 10．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，点在上，点在上，观察图形发现：与的关系（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】该题考查了三角形三边关系，在和中，根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：在中，， 在中，， ， ， ， 故选：A． 【题型八】确定第三边的取值范围 11．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）中，，，且的周长为偶数，求整数的长． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再满足周长为偶数即可． 【详解】解：中，，， ，即，且为整数， ∴或或， 的周长为偶数， . 12．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握和运用三角形三边之间的关系是解决本题的关键．根据三角形三边之间的关系可得，再逐一分析即可． 【详解】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ，即， 故只有符合题意， 故选：C． 【题型九】等腰三角形的定义 13．（25-26七年级·山东青岛·期中）定义：一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若等腰是“倍角三角形”，求它顶角的度数． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，设为顶角，分两种情况讨论：①当底角是顶角的2倍时；②当顶角是底角的2倍时；分别计算即可得到答案． 【详解】解：设为顶角， ①当底角是顶角的2倍时：， ∵， ∴， ②当顶角是底角的2倍时：， ∵， ∴， 【题型十】画三角形的高 14．（25-26七年级·江苏镇江·期末）如图，，点A在线段上，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键； 根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解决． 【详解】解：∵，点A在线段上， ∴， ∴边上的高是线段， 故选：B． 15．（23-24七年级·福建福州）作三角形中边上的高． 【答案】见解析 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角形高的概念，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 【详解】解：∵要作中边上的高， ∴根据三角形高的定义，需要从所对的顶点出发， 用三角板的一条直角边与边重合，边需要延长，另一条直角边过点， 然后沿着过点的直角边作直线，这条直线与边的延长线相交于一点，设为点； ∴线段就是中边上的高． 【题型十一】三角形角平分线的定义 16．（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线，熟练掌握三角形的角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线的定义即可解答． 【详解】解：三角形的角平分线是一条线段． 故选：A． 【题型十二】重心的概念 17．（24-25七年级·山东泰安·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【答案】5 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 【题型十三】三角形三边关系的应用 18．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（  ） A．1 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用 【详解】解：根据三角形三边关系，可得， ∵，， ∴， 根据三角形三边关系，可得， ∵， ∴． ∵，不在该取值范围内， ∴长度的取值不可能是12． 【题型十四】与三角形的高有关的计算问题 19．（25-26七年级上·山东淄博·月考）在中，、分别是的高，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大，利用三角形中的不同的底与其上高的乘积都等于三角形的面积是解答的关键． 根据的面积等于底乘高除以2，分别以为底，为高和以为底，为高两种方式计算，面积相等，列出等式，再将已知数据代入，解出即可． 【详解】解：∵在中，、分别是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【题型十五】利用网格求三角形面积 20．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 【答案】5 【知识点】网格中多边形面积比较、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了方格中图形面积的计算，掌握用总面积减去空白部分面积求目标图形面积是解题的关键． 先算出整个方格纸的面积，再直接计算正方形周围空白部分的面积，用总面积减去空白面积，就能得到正方形的面积． 【详解】解：方格纸总面积是 ： 观察图形，正方形周围有个直角三角形，每个三角形的两条直角边分别是和， 单个三角形面积，个三角形的总面积是： 正方形面积方格纸总面积空白面积是：． 故答案为：． 【题型十六】重心的有关性质 21．（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是______． 【答案】4 【知识点】重心的有关性质 【分析】连接，并延长交于点F，根据三角形的重心可得，从而有，，，进而求得，于是即可求得四边形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点F， ∵点O是的重心， ∴， ∴，， ∴即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了重心，理解重心是三角形三边中线的交点是解题的问题． 【题型十七】全等三角形的概念 22．（23-24七年级·云南昆明）两个面积相等的三角形，一定能拼成一个平行四边形．( ) 【答案】× 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据三角形面积公式的推导过程可知，两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形；据此判断即可。 【详解】解：只有两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，面积相等的两个三角形不一定完全一样．所以两个面积相等的三角形一定能拼成一个平行四边形说法是错误的． 故答案为：×． 【点睛】此题解答关键是明确：只有两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，面积相等的两个三角形不一定完全一样． 23．（2023七年级下·全国·课后作业）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上． 【答案】 对应顶点 对应边 对应角 对应顶点 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空． 【详解】解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点． 【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容． 【题型十八】全等三角形的性质 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为10cm的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则BC的长为（    ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等得到，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 25．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则________． 【答案】3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，，然后进行线段的和与差即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 【题型十九】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 26．（24-25七年级下·全国·期中）请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 【答案】见解析 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】本题考查全等三角形的判定，选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的图形；分别连接对边的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8个全等的图形． 【详解】解：所作图形如下所示： 【题型二十】用SSS证明三角形全等 27．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 【题型二十一】用SSS间接证明三角形全等 28．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【题型二十二】全等的性质和SSS综合 29．已知：如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握判定方法和性质是关键． 根据题意证明，即可求解． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ， ， ． 【题型二十三】尺规作图——作三角形 30．如图，已知和线段a，求作，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】根据已知角、和线段，依次作出夹边与两个角，从而确定三角形． 【详解】 【点睛】本题考查了尺规作图，熟练掌握角边角的作图方法是解题的关键． 【题型二十四】三角形的稳定性及应用 31．（25-26七年级·山东烟台·期末）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据观察选项的图中信息，且结合三角形的稳定性进行分析，即可作答． 【详解】解：A、该图形是五边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； B、该图形含有四边形结构，不具有稳定性，故该选项不符合题意； C、该图形含有三个三角形结构，具有稳定性，故该选项符合题意； D、该图形含有五边形结构，不具有稳定性，故该选项不符合题意； 故选：C 【题型二十五】四边形的不稳定性 32．图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 【答案】四边形具有不稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形具有不稳定性，关键抓住图中图形是否变形，从而判断是否具有稳定性． 【详解】由图示知，四边形变形了，其中所蕴含的数学原理四边形具有不稳定性． 故答案为：四边形具有不稳定性． 【题型二十六】用ASA（AAS）证明三角形全等 33．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故选：B． 34．如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】见解析． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用“”证明即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴． 【题型二十七】全等的性质和ASA（AAS）综合 35．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 36．如图，在中，，于点，于点，与交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确寻找证明三角形全等的条件是解答本题的关键． （1）根据等角对等边可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据等面积法可求出，然后结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ． ，，， ，． 在和中， ， ； （2）解：，， ． 由（1）可知． ， 在中，， ． 由（1），可知， ． 【题型二十八】用SAS证明三角形全等 37．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】由边角边证明可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴. 【题型二十九】用SAS间接证明三角形全等 38．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 【题型三十】全等的性质和SAS综合 39．（25-26七年级下·全国·周测）如图，甲工程队在湖旁边的开阔地取一点，连接，，以为边在左侧作，在射线上截取，连接．欲知，间的距离，需要测量的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：在和中， ， ， ∴欲知，间的距离，需要测量的线段是， 故选：A． 【题型三十一】灵活选用判定方法证全等 40．下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据、、、等判定唯一三角形，同时考虑情况可能不唯一即可解答． 【详解】解：选项A：（两角及夹边，），能唯一画出； 选项B：（两角及一边，），能唯一画出； 选项C：（两边及非夹角，），有两个交点，不能唯一画出； 选项D：（三边，），满足三角形三边关系，能唯一画出； 故选C． 41．如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：有三种组合是成立的：或或． 对于，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵，∴， ∵，， ∴， ∴ 【题型三十二】结合尺规作图的全等问题 42．（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 43．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 【答案】(1)见解析 (2)2，； (3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、尺规作图——作三角形 【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）根据所画图形填空即可； （3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形（填三角形的名称）与△ABC明显不全等， 故答案为：2，； （3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等， 故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键． 【题型三十三】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 44．（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【知识点】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 【题型三十四】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 45．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由推出，结合已知，逐一判断各选项添加的条件是否符合全等三角形的判定定理，找出无法证明全等的选项． 【详解】解：∵， ∴，即， A、添加，结合，符合，可证，不符合题意； B、添加，结合，符合，可证，不符合题意； C、添加，结合，符合，可证，不符合题意； D、添加，此时是，无法判定，符合题意． 故选：D． 46．如图，，请你再补充一个条件_________，使得．（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定． 根据三角形全等的判定定理，补充条件即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴． 补充， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 补充， 在和中， ， ∴． 补充， 在和中， ， ∴． 补充， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型三十五】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 47．（2025七年级下·全国·专题练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 【答案】（1）（2）②④（3）见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）通过倍长中线构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质和三角形三边关系定理求解； （2）通过倍长中线构造全等三角形，根据中线的定义、等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质进行判断； （3）通过倍长中线构造全等三角形，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理进行证明. 【详解】（1）如图延长到点，使得，连接. 是的中线， ， 在和中， ， ． ， ， （2）如图②，延长至点H，使，连接DH． 是中线， ． 又， ， ，． ， ． ，， ． AD为中线， ， ． 又， ， ，， ， 故正确选项的序号是②④． （3）如图①，延长OE至点H，使，连接CH．                 E是AC的中点， ． 又，， ， ，， ， ． 与互补， ， ． 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系，通过倍长中线构造全等三角形，将分散的线段和角集中到一个三角形中，利用三角形的性质进行求解 【题型三十六】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 48．在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 【答案】【探究】AM＋BN＝MN，证明见解析；（1）AM＋BN＝MN，证明见解析；（2）BN−AM＝MN，证明见解析 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】探究：延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （2）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可． 【详解】探究：AM＋BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中 ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE. ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN， ∴AM＋BN＝MN． 解：（1）AM＋BN＝MN. 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，，。 ∠MDN＋∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠DBE＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠MDN＝∠BDC， ∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB. 在△DAM和△DBE中, ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE. ∵∠MDN＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE. ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中, ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN， ∴AM＋BN＝MN． 解：（2）BN−AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，， ∠MDN＋∠ACD＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN. ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°. 在△DAM和△DBE中 ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE. ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN. 在△MDN和△EDN中, ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BN−BE＝BN−AM， ∴BN−AM＝MN． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等是解题的关键． 【题型三十七】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 49．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图， 由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCF，AB=BC， 又∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， ∴为等腰直角三角形， 故选：D 【题型三十八】其他模型(全等三角形的辅助线问题) 50．如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 【知识点】其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 【题型三十九】证一条线段等于两条线段和差 51．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 【题型四十】全等三角形综合问题 52．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、全等三角形综合问题 【分析】A、根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、用反证法即可判断；C、延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；D、作的平分线交于点G，证明，可得，进而可以判断 【详解】解：A、在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故正确，不符合题意； B、若， ∴， ∴， ∴， 而由已知条件无法证明， 故错误，符合题意； C、如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故正确，不符合题意； D、如图，作的平分线交于点G， 由选项A得， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，三线合一，反证法，作辅助线构建三角形全等是解题的关键． 53．（24-25七年级下·陕西西安·月考）【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 1 学科网（北京）股份有限公司 $