第四章-三角形-认识三角形讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第四章 三角形 认识三角形 1. 三角形的定义 三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的表示：三角形用符号"△"表示，三角形ABC记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。其中，点A、B、C叫做三角形的顶点，线段AB、BC、CA叫做三角形的边，∠A、∠B、∠C叫做三角形的内角（简称三角形的角）。 2. 三角形的分类 按角分类 1. 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形。 2. 直角三角形：有一个内角是直角的三角形。 3. 钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。 按边分类 1. 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 2. 等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 3. 等边三角形：三条边都相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 3. 三角形的元素 三角形的基本元素 边：三角形有三条边，通常用小写字母a、b、c表示，顶点A所对的边BC记为a，顶点B所对的边AC记为b，顶点C所对的边AB记为c。 角：三角形有三个内角，通常用∠A、∠B、∠C表示。 顶点：三角形有三个顶点，通常用大写字母A、B、C表示。 4. 三角形的重要线段 三角形的中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。一个三角形有三条中线，三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。一个三角形有三条高，三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。一个三角形有三条角平分线，三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。 5. 三角形的基本性质 三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180° 三角形的外角性质 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 在△ABC中，a + b > c，a + c > b，b + c > a |a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用。 二、重难点讲解 重难点1：三角形三边关系的应用 利用三角形的三边关系可以判断三条线段能否组成三角形，也可以确定三角形某边长的取值范围。 判断三条线段能否组成三角形 方法：检查三条线段中任意两条线段的和是否大于第三条线段。 快捷判断：只要两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度，这三条线段就能组成三角形。 示例：判断下列长度的三条线段能否组成三角形： 1. 3cm, 4cm, 5cm → 3+4>5，能组成三角形 2. 2cm, 5cm, 8cm → 2+5<8，不能组成三角形 3. 5cm, 5cm, 10cm → 5+5=10，不能组成三角形（等号时三点共线，不构成三角形） 确定三角形边长的取值范围 已知两边，求第三边的取值范围：设已知两边长为a、b（a≤b），则第三边c的取值范围是b-a < c < a+b。 示例：三角形的两边长分别为3和7，求第三边长x的取值范围。 解：根据三角形三边关系，有： 7-3 < x < 7+3，即4 < x < 10 重难点2：三角形内角和定理的应用 三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，应用广泛。 内角和定理的应用类型 1. 已知两角求第三角：直接用180°减去已知两角的和。 2. 判断三角形的类型：根据最大角的度数判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。 3. 证明角的关系：在几何证明中，经常利用内角和定理建立角之间的关系。 内角和定理的推论 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 重难点3：三角形的重要线段的性质与应用 三角形的中线、高、角平分线各有不同的性质和应用。 三条重要线段对比 线段类型 定义 性质 交点名称 中线 连接顶点和对边中点的线段 三条中线交于一点（重心），重心将每条中线分成2:1两部分 重心 高 从顶点向对边所在直线作的垂线段 三条高（所在直线）交于一点（垂心） 垂心 角平分线 内角平分线与对边相交的线段 三条角平分线交于一点（内心），内心到三边距离相等 内心 重难点4：三角形的分类与性质 不同类别的三角形具有不同的性质，需要准确理解和应用。 等腰三角形的性质 1. 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 2. 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。 等边三角形的性质 1. 三边相等，三个内角都等于60°。 2. 具有等腰三角形的所有性质。 3. 对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 三、易错点讲解 易错点1：三边关系应用中的等号问题 常见错误：认为当两边之和等于第三边时，也能组成三角形。 错误示例：认为长度为3cm、4cm、7cm的三条线段能组成三角形。 错因分析：当两边之和等于第三边时，三条线段在一条直线上，不能构成三角形。三角形任意两边之和必须大于第三边，不能等于第三边。 正确理解：三角形的三边关系是严格的不等式：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。等号成立时，三点共线，不构成三角形。 易错点2：三角形高线的位置错误 常见错误：认为三角形的高一定在三角形内部。 错误示例：在钝角三角形中，认为所有高都在三角形内部。 错因分析：三角形的高是从顶点向对边所在直线作的垂线段。对于锐角三角形，三条高都在三角形内部；对于直角三角形，两条直角边上的高就是另一条直角边，斜边上的高在三角形内部；对于钝角三角形，钝角所对边上的高在三角形内部，其余两边上的高在三角形外部。 正确理解：三角形的高可能在三角形内部、边上或外部，取决于三角形的形状。 易错点3：三角形内角和定理的误用 常见错误：在非三角形图形中错误应用三角形内角和定理。 错误示例：在四边形中，认为四个内角的和是180°。 错因分析：三角形内角和定理只适用于三角形。四边形内角和是360°，n边形内角和是(n-2)×180°。 定理适用条件：三角形内角和定理只适用于三角形。在应用时，首先要确认图形是三角形。 易错点4：等腰三角形性质应用错误 常见错误：在等腰三角形中，没有明确顶角和底角，错误应用"等边对等角"。 错误示例：在等腰三角形ABC中，AB=AC，认为∠A=∠B。 错因分析：在等腰三角形中，相等的边所对的角相等。AB=AC，所以∠B=∠C，而不是∠A=∠B。∠A是顶角，∠B和∠C是底角。 正确应用：在等腰三角形中，要明确哪两条边相等，相等的边所对的角相等。通常，在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C；若AB=BC，则∠A=∠C；若AC=BC，则∠A=∠B。 易错点5：三角形外角性质的误解 常见错误：认为三角形的外角等于和它相邻的内角，或者认为三角形的外角等于和它不相邻的一个内角。 错误示例：认为三角形的外角等于和它相邻的内角。 错因分析：三角形的外角与相邻内角是邻补角，和为180°，一般不相等。三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，而不是等于其中一个。 正确性质：三角形的外角性质：①三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；②三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角。 易错点6：三角形稳定性理解的偏差 常见错误：认为所有三角形都同样稳定，或者认为三角形稳定性与边长有关。 三角形稳定性的本质：三角形具有稳定性，是指三角形三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定了，不会改变。而四边形等其他多边形，边长确定后形状还可以改变。 注意：三角形的稳定性与边长具体数值无关，只要三边满足三边关系，三角形就具有稳定性。 易错点7：三角形重要线段概念混淆 常见错误：混淆三角形的中线、高、角平分线。 概念辨析： 线段 关键点 端点 作用 中线 连接顶点和对边中点 顶点和对边中点 将对边分成相等的两部分 高 从顶点向对边所在直线作垂线 顶点和垂足 表示顶点到对边的距离 角平分线 内角平分线与对边相交 顶点和对边上的交点 将内角分成相等的两个角 易错点总结与应对策略 易错点 错误原因 正确做法 三边关系等号问题 认为两边之和等于第三边也能组成三角形 记住必须是严格大于，等号不成立 三角形高线位置 认为高一定在三角形内部 高可能在内部、边上或外部，取决于三角形形状 内角和定理误用 在非三角形图形中使用三角形内角和 确认图形是三角形才能用内角和定理 等腰三角形性质 没有明确相等的边和角 明确哪两条边相等，相等的边所对的角相等 外角性质误解 认为外角等于相邻内角或一个不相邻内角 外角等于不相邻两内角和，大于任一不相邻内角 稳定性理解偏差 认为稳定性与边长有关 稳定性是三角形的基本性质，与边长具体值无关 重要线段混淆 混淆中线、高、角平分线 从定义、端点、作用三方面区分 一、 选择题 1 .(单选)如图，在中，，分别是边，上的点，若 ，则下列说法错误的是 （   ） A.平分 B. C. D. 【答案】 D 选项：因为 ，所以，即平分，该选项正确． 选项：因为 ，所以，又因为，所以，即，该选项正确． 选项：因为 ，所以，．在中，，所以，即，解得，该选项正确． 选项：因为 ，所以，，，而，所以，该选项错误． 2 .(单选)观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】 B 3 .(单选)如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（        ）    A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 【答案】 B 4 .(单选)已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 5 .(单选)如图，一轮船在海上往东行驶，在 A处测得灯塔 C位于北偏东，在 B处测得灯塔 C位于北偏东，则（      ）． A. B. C. D. 【答案】 D 6 .(单选)若，，为三角形的三边长，且，满足 ，则第三边长的值可以是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 因为绝对值一定是非负的，一个数的平方也一定是非负的， 故要使成立，则且． 由可得； 由可得． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 所以，即，也就是． 故选 7 .(单选)如图，已知点 A， B在直线 a上，点 C， D， E在直线 b上．以点 A， B， C， D， E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（        ） A.3个 B.4个 C.6个 D.9个 【答案】 D 8 .(单选)如图，在长方形纸片 ABCD中，点 E， H在 AD边上，点 F， G在 BC边上，分别沿 EF， GH折叠，使点 B和点 C都落在点 P处．若，则的度数为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 二、 填空题 1 .如图，已知 ， ，平分 ，则           . 【答案】 在中， 根据三角形内角和为， 可得． 因为平分， 所以． 方法1：在中， 再根据三角形内角和为， 可得． 所以，答案为． 方法2：由外角的定义可知． 所以，答案为． 2 .一个等腰三角形的顶角为底角的倍，则这个等腰三角形的顶角度数为           . 【答案】 设等腰三角形的底角为度， 因为顶角为底角的倍，所以顶角为度． 由于等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为， 那么可得方程： 则顶角的度数为： 这个等腰三角形的顶角度数为． 3 .如图，点 D， E分别在线段 BC， AC上，连接 AD， BE．若，，，则的度数为          ． 【答案】 4 .如图，在 中，的垂直平分线交于点． (1) 若 ， ，则 的周长是           ； (2) 若 ，则           . 【答案】 (1) 因为 是 的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 所以 ． 的周长为 ， 将 代入可得：． 已知 ，， 所以 的周长为 ． (2) 因为 ，所以 ． 根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， 在 中， 是 的外角， 所以 ． 综上，(1) 答案为 ；(2) 答案为 ． 5 .已知图中的两个三角形全等，则           . 【答案】 根据三角形内角和为，已知左边三角形的两个角分别为和， 则第三个角的度数为： 因为两个三角形全等，且对应边与，与分别相等， 所以与对应的角就是左边三角形中与的夹角，其度数为． 所以根据全等三角形对应角相等，可得． 综上，答案为． 6 .如图， D， E， F分别为的边 AB， AC， BC上的点，连接 DE， EF．若，，，则的度数为          ． 【答案】 7 .如图，将绕着 C点按顺时针方向旋转， B点落在位置， A点落在位置．若，则的度数是          ． 【答案】 8 .如图，，，，，则的度数是           ． 【答案】 ∵，，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、 解答题 1 .画出下面三角形的三条高. 【答案】 见解析 如图： ，，分别为，，边上的高. 2 .把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．     (1)按边分类：三边均不相等的______是不等边三角形；两条边相等的______是等腰三角形；三条边相等的______是等边三角形．(2)按角分类：都是锐角的______是锐角三角形；有直角的______是直角三角形；有钝角的______是钝角三角形． 【答案】 (1)，， (2)，， 3 .如图，，是 的两条高. ( 1 )若 , ,求 的度数； ( 2 )，，，求的长. 【答案】 (1) (2) (1)是的高线， ． ， ． 同理， ． (2)是的两条高， ， ． ． ． 4 .如图，求 各内角的度数. 【答案】 , , 解：根据三角形三个内角的和等于 ，得 ， 解得 . 所以 ， . 即各内角的度数分别为 ， ， . 5 .如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上．按下述要求画图并解答问题： (1)已知，直线，画出关于直线对称的图形；分别标出三点的对称点．(2)若，，求的度数． 【答案】 (1)见解析 (2) 6 .如图，在中， ， 于点．求证： . 【答案】 证明见解析 证明：在中， ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ . 7 .如图，在 中， ， ，是 的角平分线，点在上，且 ，求 的度数. 【答案】 解： 在中， ，， 又是的角平分线， ， 8 .如图，在 中， ， ，是 的角平分线， 交于点，求 和 的度数. 【答案】 ， 在中， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 9 .如图，在中，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；(2)求的长． 【答案】 (1)旋转中心为点 A，旋转角的度数为 (2) 10 .如下图，已知，，，．试说明：． 【答案】 见解析 11 .如图，在等边三角形中，为延长线上一点，为延长线上一点，且. ( 1 )求证：； ( 2 )若，则           . 【答案】 (1)证明见解析 (2) (1)证明：在等边三角形中，，， ． 在和中， ． ． (2)因为是等边三角形， 所以． 又因为， 所以， 那么是等腰三角形，． 由（1）知， 根据三角形内角和为，可得： 因为， 所以， 解得． 12 .如图，已知，，点 G在直线 EF上且． (1)求证：．(2)若，求的度数． 【答案】 (1)见解析 (2) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 认识三角形 1. 三角形的定义 三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的表示：三角形用符号"△"表示，三角形ABC记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。其中，点A、B、C叫做三角形的顶点，线段AB、BC、CA叫做三角形的边，∠A、∠B、∠C叫做三角形的内角（简称三角形的角）。 2. 三角形的分类 按角分类 1. 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形。 2. 直角三角形：有一个内角是直角的三角形。 3. 钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。 按边分类 1. 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 2. 等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 3. 等边三角形：三条边都相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 3. 三角形的元素 三角形的基本元素 边：三角形有三条边，通常用小写字母a、b、c表示，顶点A所对的边BC记为a，顶点B所对的边AC记为b，顶点C所对的边AB记为c。 角：三角形有三个内角，通常用∠A、∠B、∠C表示。 顶点：三角形有三个顶点，通常用大写字母A、B、C表示。 4. 三角形的重要线段 三角形的中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。一个三角形有三条中线，三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。一个三角形有三条高，三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。一个三角形有三条角平分线，三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。 5. 三角形的基本性质 三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180° 三角形的外角性质 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 在△ABC中，a + b > c，a + c > b，b + c > a |a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用。 二、重难点讲解 重难点1：三角形三边关系的应用 利用三角形的三边关系可以判断三条线段能否组成三角形，也可以确定三角形某边长的取值范围。 判断三条线段能否组成三角形 方法：检查三条线段中任意两条线段的和是否大于第三条线段。 快捷判断：只要两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度，这三条线段就能组成三角形。 示例：判断下列长度的三条线段能否组成三角形： 1. 3cm, 4cm, 5cm → 3+4>5，能组成三角形 2. 2cm, 5cm, 8cm → 2+5<8，不能组成三角形 3. 5cm, 5cm, 10cm → 5+5=10，不能组成三角形（等号时三点共线，不构成三角形） 确定三角形边长的取值范围 已知两边，求第三边的取值范围：设已知两边长为a、b（a≤b），则第三边c的取值范围是b-a < c < a+b。 示例：三角形的两边长分别为3和7，求第三边长x的取值范围。 解：根据三角形三边关系，有： 7-3 < x < 7+3，即4 < x < 10 重难点2：三角形内角和定理的应用 三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，应用广泛。 内角和定理的应用类型 1. 已知两角求第三角：直接用180°减去已知两角的和。 2. 判断三角形的类型：根据最大角的度数判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。 3. 证明角的关系：在几何证明中，经常利用内角和定理建立角之间的关系。 内角和定理的推论 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 重难点3：三角形的重要线段的性质与应用 三角形的中线、高、角平分线各有不同的性质和应用。 三条重要线段对比 线段类型 定义 性质 交点名称 中线 连接顶点和对边中点的线段 三条中线交于一点（重心），重心将每条中线分成2:1两部分 重心 高 从顶点向对边所在直线作的垂线段 三条高（所在直线）交于一点（垂心） 垂心 角平分线 内角平分线与对边相交的线段 三条角平分线交于一点（内心），内心到三边距离相等 内心 重难点4：三角形的分类与性质 不同类别的三角形具有不同的性质，需要准确理解和应用。 等腰三角形的性质 1. 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 2. 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。 等边三角形的性质 1. 三边相等，三个内角都等于60°。 2. 具有等腰三角形的所有性质。 3. 对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 三、易错点讲解 易错点1：三边关系应用中的等号问题 常见错误：认为当两边之和等于第三边时，也能组成三角形。 错误示例：认为长度为3cm、4cm、7cm的三条线段能组成三角形。 错因分析：当两边之和等于第三边时，三条线段在一条直线上，不能构成三角形。三角形任意两边之和必须大于第三边，不能等于第三边。 正确理解：三角形的三边关系是严格的不等式：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。等号成立时，三点共线，不构成三角形。 易错点2：三角形高线的位置错误 常见错误：认为三角形的高一定在三角形内部。 错误示例：在钝角三角形中，认为所有高都在三角形内部。 错因分析：三角形的高是从顶点向对边所在直线作的垂线段。对于锐角三角形，三条高都在三角形内部；对于直角三角形，两条直角边上的高就是另一条直角边，斜边上的高在三角形内部；对于钝角三角形，钝角所对边上的高在三角形内部，其余两边上的高在三角形外部。 正确理解：三角形的高可能在三角形内部、边上或外部，取决于三角形的形状。 易错点3：三角形内角和定理的误用 常见错误：在非三角形图形中错误应用三角形内角和定理。 错误示例：在四边形中，认为四个内角的和是180°。 错因分析：三角形内角和定理只适用于三角形。四边形内角和是360°，n边形内角和是(n-2)×180°。 定理适用条件：三角形内角和定理只适用于三角形。在应用时，首先要确认图形是三角形。 易错点4：等腰三角形性质应用错误 常见错误：在等腰三角形中，没有明确顶角和底角，错误应用"等边对等角"。 错误示例：在等腰三角形ABC中，AB=AC，认为∠A=∠B。 错因分析：在等腰三角形中，相等的边所对的角相等。AB=AC，所以∠B=∠C，而不是∠A=∠B。∠A是顶角，∠B和∠C是底角。 正确应用：在等腰三角形中，要明确哪两条边相等，相等的边所对的角相等。通常，在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C；若AB=BC，则∠A=∠C；若AC=BC，则∠A=∠B。 易错点5：三角形外角性质的误解 常见错误：认为三角形的外角等于和它相邻的内角，或者认为三角形的外角等于和它不相邻的一个内角。 错误示例：认为三角形的外角等于和它相邻的内角。 错因分析：三角形的外角与相邻内角是邻补角，和为180°，一般不相等。三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，而不是等于其中一个。 正确性质：三角形的外角性质：①三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；②三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角。 易错点6：三角形稳定性理解的偏差 常见错误：认为所有三角形都同样稳定，或者认为三角形稳定性与边长有关。 三角形稳定性的本质：三角形具有稳定性，是指三角形三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定了，不会改变。而四边形等其他多边形，边长确定后形状还可以改变。 注意：三角形的稳定性与边长具体数值无关，只要三边满足三边关系，三角形就具有稳定性。 易错点7：三角形重要线段概念混淆 常见错误：混淆三角形的中线、高、角平分线。 概念辨析： 线段 关键点 端点 作用 中线 连接顶点和对边中点 顶点和对边中点 将对边分成相等的两部分 高 从顶点向对边所在直线作垂线 顶点和垂足 表示顶点到对边的距离 角平分线 内角平分线与对边相交 顶点和对边上的交点 将内角分成相等的两个角 易错点总结与应对策略 易错点 错误原因 正确做法 三边关系等号问题 认为两边之和等于第三边也能组成三角形 记住必须是严格大于，等号不成立 三角形高线位置 认为高一定在三角形内部 高可能在内部、边上或外部，取决于三角形形状 内角和定理误用 在非三角形图形中使用三角形内角和 确认图形是三角形才能用内角和定理 等腰三角形性质 没有明确相等的边和角 明确哪两条边相等，相等的边所对的角相等 外角性质误解 认为外角等于相邻内角或一个不相邻内角 外角等于不相邻两内角和，大于任一不相邻内角 稳定性理解偏差 认为稳定性与边长有关 稳定性是三角形的基本性质，与边长具体值无关 重要线段混淆 混淆中线、高、角平分线 从定义、端点、作用三方面区分 一、 选择题 1 .(单选)如图，在中，，分别是边，上的点，若 ，则下列说法错误的是 （   ） A.平分 B. C. D. 2 .(单选)观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 3 .(单选)如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（        ）    A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 4 .(单选)已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（   ）． A. B. C. D. 5 .(单选)如图，一轮船在海上往东行驶，在 A处测得灯塔 C位于北偏东，在 B处测得灯塔 C位于北偏东，则（      ）． A. B. C. D. 6 .(单选)若，，为三角形的三边长，且，满足 ，则第三边长的值可以是（   ）． A. B. C. D. 7 .(单选)如图，已知点 A， B在直线 a上，点 C， D， E在直线 b上．以点 A， B， C， D， E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（        ） A.3个 B.4个 C.6个 D.9个 8 .(单选)如图，在长方形纸片 ABCD中，点 E， H在 AD边上，点 F， G在 BC边上，分别沿 EF， GH折叠，使点 B和点 C都落在点 P处．若，则的度数为（        ） A. B. C. D. 二、 填空题 1 .如图，已知 ， ，平分 ，则           . 2 .一个等腰三角形的顶角为底角的倍，则这个等腰三角形的顶角度数为           . 3 .如图，点 D， E分别在线段 BC， AC上，连接 AD， BE．若，，，则的度数为          ． 4 .如图，在 中，的垂直平分线交于点． (1) 若 ， ，则 的周长是           ； (2) 若 ，则           . 5 .已知图中的两个三角形全等，则           . 6 .如图， D， E， F分别为的边 AB， AC， BC上的点，连接 DE， EF．若，，，则的度数为          ． 7 .如图，将绕着 C点按顺时针方向旋转， B点落在位置， A点落在位置．若，则的度数是          ． 8 .如图，，，，，则的度数是           ． 三、 解答题 1 .画出下面三角形的三条高. 2 .把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．     (1)按边分类：三边均不相等的______是不等边三角形；两条边相等的______是等腰三角形；三条边相等的______是等边三角形．(2)按角分类：都是锐角的______是锐角三角形；有直角的______是直角三角形；有钝角的______是钝角三角形． 3 .如图，，是 的两条高. ( 1 )若 , ,求 的度数； ( 2 )，，，求的长. 4 .如图，求 各内角的度数. 5 .如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上．按下述要求画图并解答问题： (1)已知，直线，画出关于直线对称的图形；分别标出三点的对称点．(2)若，，求的度数． 6 .如图，在中， ， 于点．求证： . 7 .如图，在 中， ， ，是 的角平分线，点在上，且 ，求 的度数. 8 .如图，在 中， ， ，是 的角平分线， 交于点，求 和 的度数. 9 .如图，在中，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；(2)求的长． 10 .如下图，已知，，，．试说明：． 11 .如图，在等边三角形中，为延长线上一点，为延长线上一点，且. ( 1 )求证：； ( 2 )若，则           . 12 .如图，已知，，点 G在直线 EF上且． (1)求证：．(2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $