精品解析：湖北省十一校2025-2026学年高三下学期第二次联考数学试题

湖北省2026届高三十一校第二次联考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 是为奇函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（） A. B. C. D. 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 6. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 若平面，则动点的轨迹的长度为 D. 若，则动点轨迹长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A. C虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 10. 将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的对称轴过的对称中心 D. ，使得 11. 已知函数有三个零点，则（ ） A. 若成等差数列，则成等比数列 B. 若成等比数列，则成等差数列 C. 若成等差数列，则数列公差为 D. 若成等比数列，则数列的公比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 13. 已知数列的前项和为，且，，则___________． 14. 设分别是与零点，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正切值． 16. 锐角三角形的内角的对边分别为，且满足． （1）求角； （2）设为锐角三角形的垂心，求的值． 17. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 18. 已知，其中． （1）求证：当时，； （2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数； （3）证明：，其中． 19. 已知抛物线为其焦点，直线过点交抛物线C于两点，若三角形面积的最小值为． （1）求； （2）若三角形外接圆与抛物线的最后一个交点为点． （i）设，证明：． （ii）若平分，求线段长度的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省2026届高三十一校第二次联考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义运算. 【详解】由题意得，，则. 故选：B 2. 已知复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 3. 是为奇函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断可得答案. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称， 时的定义域不一定关于原点对称， 所以不是为奇函数的充分条件； 如果为奇函数在处有定义时有， 在处没有定义时没有， 所以不是为奇函数的必要条件； 综上，是为奇函数的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，通过计算模的平方并利用垂直条件得出模长相等；对于B，直接展开数量积并代入已知条件求得定值；对于C，假设平行后利用基底不共线推出矛盾；对于D，则通过展开数量积验证其是否为零来判断垂直关系. 【详解】已知单位向量、的夹角为，因此且 A选项：，， ，， 故，A为真命题； B选项：，B为真命题； C选项：假设，则存在使， 整理得：， 由于与不共线（夹角为），则且， 此方程组无解，矛盾，故与不平行，C为假命题； D选项： 所以，D为真命题. 故选：C 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵， ∴增加两个样本点后平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 6. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可. 【详解】解：由，则或， 解得或， 所以，，，，…，， 所以，故B正确. 故选：B 7. 已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量运算可得，再由椭圆可知，即可得结果. 【详解】因为，圆心，半径为1，则， 可得， 由椭圆方程可知：，即恰为椭圆的右焦点， 则，所以. 故选：A. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 若平面，则动点的轨迹的长度为 D. 若，则动点的轨迹长度为 【答案】A 【解析】 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点、，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A：由四边形为正方形， 故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为， ， 故， 又，则， 故，，因为平面， 故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B：取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，， 又平面，平面，故平面， 平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C：取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故 ， 故，又，、平面， 故平面，又平面，故动点的轨迹为线段， ，故C错误； 对D：若平面，因为平面，平面， 故，由，则， 即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误； 对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确. 故选：AD 10. 将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的对称轴过的对称中心 D. ，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平移法则结合得到，得到A正确B错误；计算对称轴代入函数得到C正确，根据范围计算两个函数的值域得到D错误，得到答案. 【详解】，的图像与的图像关于y轴对称， ，即，，，经检验，满足题意，故选项A正确，选项B不正确； ，，的对称轴满足，即，，即的对称轴过的对称中心，故选项C正确； 当时，，的值域为， 当时，，的值域为，，故选项D不正确． 故选：AC 11. 已知函数有三个零点，则（ ） A. 若成等差数列，则成等比数列 B. 若成等比数列，则成等差数列 C. 若成等差数列，则数列的公差为 D. 若成等比数列，则数列的公比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A、C：由题意可得，结合等差数列定义可得，则成等比数列，则可得，即可求出，结合，两边取对数运算可得，即可得其公差；对B、D：由，结合等比数列定义可得，则成等差数列，则可求出，即可得，即可得其公比. 【详解】当时，，不合题意； 当时，分别画出与的图象，如图：    所以； 对A、C：由题得，所以，即， 若成等差数列，则，所以， 所以成等比数列，由，则， 即，所以， 由，解得，因， 所以， 则，即数列的公差为， 故A正确、C错误； 对B、D：由，若成等比数列，则， 则，即有，故成等差数列， 又，则， 故，即数列的公比为， 故B、D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数． 【详解】已知数学成绩，则分布关于对称， ， 已知，则， ，根据正态分布的对称性可知：， 正态分布是连续分布， ，故， 已知总人数为， 数学成绩为分以上的人数为：． 故答案为：． 13. 已知数列的前项和为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式. 【详解】由题意可知，由可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 当且时，， 不满足上式，故. 14. 设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 因为是的唯一零点， 所以， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标. 当时，因为是的零点， 所以， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上增函数， 即是指数函数和反比例函数唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然，由数形结合思想可知：， 的中点在上， 所以， ，设 ， 由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减， 即， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，，利用余弦定理结合勾股定理可证得，利用线面垂直的性质得出，再利用线面垂直和性质定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的正切值. 【小问1详解】 设，则，． 在中，根据余弦定理， 将，，代入可得： ，所以． 则，所以， 因为底面，底面，所以． 又因为，、平面，所以平面． 而平面，所以. 【小问2详解】 因为底面，，四边形为平行四边形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，，， 则，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以， 故. 16. 锐角三角形的内角的对边分别为，且满足． （1）求角； （2）设为锐角三角形的垂心，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）设AD垂直于BC于D，BE垂直于AC于E，AD与BE交于垂心H，则由垂心性质可得、、，再利用正弦定理可得，即有，即可得解. 【小问1详解】 由条件知：，由正弦定理可得， 所以，则； 【小问2详解】 设AD垂直于BC于D，BE垂直于AC于E，AD与BE交于垂心H， 则，故， 有，则， 设外接圆半径为，在中用正弦定理： ， 故， 所以. 17. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. 【小问2详解】 随机变量所有可能取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 18. 已知，其中． （1）求证：当时，； （2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数； （3）证明：，其中． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，有且仅有1个零点；当时，有且仅有2个零点 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数求导后，利用导数定义判断即可得； （2）分及进行讨论，利用导数可研究函数单调性，再利用函数单调性与零点存在性定理判断即可得； （3）令，可得，再累加求和即可得证. 【小问1详解】 ， 令，则， 而且，所以， 即在上单调递增，， 所以，即在上单调递增， 所以； 【小问2详解】 ①时，，， 所以在上单调递增，又， 则此时有且仅有1个零点； ②时，在上小于0，在上大于0， 即在上单调递减，在上单调递增， 又且，则存在唯一的， 即在和上大于0，在上小于0， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，， 则在上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点， 此时函数有且仅有2个零点； 综上所述，当时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点； 【小问3详解】 令，且时，得，再令， 代入化简可得， 则 ， 则. 19. 已知抛物线为其焦点，直线过点交抛物线C于两点，若三角形面积的最小值为． （1）求； （2）若三角形外接圆与抛物线的最后一个交点为点． （i）设，证明：． （ii）若平分，求线段长度的所有可能取值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）（i）利用圆的一般方程，结合方程解的定义进行求解即可； （ii）根据角平分线的性质，结合因式分解法进行求解即可. 【小问1详解】 设直线，联立，得：，， 由韦达定理可知：． 则，当且仅当时等号成立． 此时，则，抛物线. 【小问2详解】 （i）由于三角形的外接圆过原点，则可设其方程为：， 将其与抛物线方程联立：得：， 由于为方程的四个根，所以， 展开比较等式两边的系数可得； （ii）因为TF平分角，由角平分线定理知：且， 所以 化简即得： 因式分解可得：， 此时，若，则重合或者重合，这都不符合题意，舍去； 所以，即， 所以，这表示满足条件的两点存在， 所以， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $