专题01 三角形的证明压轴题（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期新教材北师大版

专题01 三角形证明的压轴题 4大高频考点概览 考点01三角形证明之—手拉手模型 考点02三角形证明之—一线三垂直模型 考点03三角形证明之—倍长中线模型 考点04构造全等三角形解决问题 考点05等腰三角形的证明 考点06一次函数与全等三角形 考点07动点问题与全等 考点08三角形的最值问题 地 城 考点01 三角形证明之-手拉手模型 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点逆时针旋转90°至，连接，，求的度数； 【深入探究】 （2）、、三边满足什么数量关系？并证明． （3）如图2，将沿折叠至．射线、射线交于点，若时，求的长度． 2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． (4)实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则的面积为___________． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 5．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）【发现问题】    如图1，点P在等边三角形ABC内，且 ，求的长. 小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知 ，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， =_____， _____． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，，，和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接，．已知，，米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），请直接写出长度的最大值． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：．    （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点、，与交于点，，，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请直接写出的长度． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 地 城 考点02 三角形证明之-一线三垂直模型 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【定理再现】 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理应用】 （1）如图1在中，平分交于点，过点分别作，垂足分别为点，，请直接写出与的比值___________．（三角形面积记为） 【数学感悟】 如图2，在平面直角坐标系中，点点，连接，过点作的垂线交轴正半轴于点． （2）当时，求的值． （3）连接与相交于点，若，求的值． 2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）在数学活动课上，老师给出如下问题，如图1，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，连接．求证：． (1)小丹和小明两位同学从结论的角度分析，都认为通过证明三角形全等，就可以得出结论，但两位同学作了不同的辅助线； ①小丹同学的思路：过点作的垂线交于点，证明； ②小明同学的思路：过点作的垂线交延长线于点，证明； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)在（1）基础上，两名同学继续进行拓展探究，并提出了如下问题： ①如图2，当点在的延长线上运动时，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，若，，直接写出长． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的证明过程： 如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题：    (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积． 5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：． ①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，求证：． 【类比分析】 （3）如图5，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，求的面积． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．易证： （1）①如图1，若，，则________； ②如图2，，，点B的坐标为，连接交y轴于点M，求点A的坐标，点M的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则________． 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为，点C在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请直接写出点C的坐标________． 地 城 考点03 三角形证明之-倍长中线模型 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，点D在边上，连接． (1)如图1，，，求的长； (2)如图2，过D向下作，且，求证：． ①如图3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过D作交于点F； ②如图4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过E作交的延长线于点G． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (3)如图5，过点D向上作，且，点H为的中点，连接，猜想，，之间的数量关系． 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）思维启迪： （1）如图1，点P是线段的中点，则与的数量关系为______，位置关系为______； 思维应用： （2）①如图2，在中，，点D为内一点，连接，延长到点E，使，连接，若，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由； 思维探索： ②如图3，在中，，点D为中点，点E在射线上（点E不与点B，点D重合），连接，过点B作，连接．若，，请求出的长． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 地 城 考点04 构造全等三角形解决问题 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）直接写出∠ADE的度数　 　； （2）求证：DE＝AD＋DC； （3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，（如图2），若EF＝3，求BP的长． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 3．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，平分，与交于点E，过点作于点，若，求的值． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在 中， 过点A作射线，使 作点C关于直线的对称点E， 连接交射线于点 F， 连接． (1)求证：； (2)求证： 地 城 考点05 新定义题型与全等三角形 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？      【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1的探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 【深入探究】 （3）如图3，中，点是上的点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）【概念呈现】 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形，这个锐角叫做这个三角形的倍余角． 【特例感知】 （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形 （填写“是”或“不是”）倍余三角形． 【深入探究】 （2）若一个等腰三角形是倍余三角形，则这个三角形的倍余角的度数为 °． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点D是边上一点，若是倍余三角形，则的度数为 ． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”． 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． (1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 地 城 考点06 一次函数与全等三角形 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)点是轴上一动点，若，求点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线交y轴正半轴于点D，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点是线段上一点，连接，作交于点N，连接，求点N的坐标； (3)如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标． 3．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点．点为正半轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交直线于点N． (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离为1时，求点的长； (3)在轴上一点，使是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出的长为__________． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、A，点E在第一象限，坐标为． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ： (2)如图1，点P为x轴上一点，当A、B、P三点构成等腰三角形时，请直接写出点P的坐标 ； (3)如图2，连接、、、点Q为y轴上一点，，直线与直线交于点 M，求M点的坐标． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图3，为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．当是直角三角形时，请直接写出点的横坐标． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)【基本问题】 求k，b的值； (2)【问题探究】 ①M为射线（点C除外）上一点，过点M作y轴的平行线交于点N，设点M的横坐标为m，线段的长度为W，请求出W与m之间的函数关系式； ②当时，直接写出m的取值范围． (3)【问题拓展】 在x轴上是否存在一点P，满足是等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 地 城 考点07 动点问题与等腰三角形 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为. (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形? (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值. 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒． (1) ． (2)斜边上的高线长为 ． (3)①当在边上时，的长为 ，（用含的代数式表示）的取值范围是 ． ②若点在的角平分线上，则的值为 ． (4)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时的值． 3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 地 城 考点08 三角形的最值问题 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 【问题提出】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【解决问题】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短． 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小． 【学以致用】 (1)如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值； (2)如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形证明的压轴题 4大高频考点概览 考点01三角形证明之—手拉手模型 考点02三角形证明之—一线三垂直模型 考点03三角形证明之—倍长中线模型 考点04构造全等三角形解决问题 考点05等腰三角形的证明 考点06一次函数与全等三角形 考点07动点问题与全等 考点08三角形的最值问题 地 城 考点01 三角形证明之-手拉手模型 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点逆时针旋转90°至，连接，，求的度数； 【深入探究】 （2）、、三边满足什么数量关系？并证明． （3）如图2，将沿折叠至．射线、射线交于点，若时，求的长度． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）先证明，由旋转的性质得，证明得，进而可求出的度数； （2）由全等三角形的性质得，在中，求出，在中，求出，进而可得； （3）证明得，求出，可证，设，则，，然后在中利用勾股定理求解即可 【详解】（1）解：，， 由旋转的性质得 即 （2）证明： 在中， 由勾股定理得， 在中， 由勾股定理得， （3）过点作 折叠 ∴ ∴ ，， 折叠 设 则 在中， 由勾股定理得， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 2．（（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解； （3）由，可得，，，即可求解． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （2）如图②，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）当点与点重合时，线段绕点顺时针旋转， ，， 是等边三角形， ， ，， 为直角三角形， ， ，，， ， 如图③，延长至，使，连接，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，，， 又， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质，旋转的性质，利用旋转的性质添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． (4)实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则的面积为___________． 【答案】(1)； (2)； (3) (4)5或 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论； （4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点N，，再利用第 3 小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出． 【详解】（1）， 理由如下：如图所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴； （2）如图所示： 证明：∵， ， 即， 又 ∵和都是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （3）如图： ∵和都是等腰三角形， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ，且， ， 故答案为：； （4）如图所示： 连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点，则 连接，作于点，在上截取， ， ， ， ， 由（3）可得：， ， ， 同理可得：， 故答案为：5或． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1），， （2），，理由见解析 （3） （4）． 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答即可； （2）同理证明，根据全等三角形的性质解答即可； （3）作交于E点，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，推出，从而证明出，，，最后利用三角形面积公式求解即可； （4）作，使，证明，推出，，连接并延长至点，使，连接，，，证明，得到，，再证明，得到，再证明是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴； 故答案为：，，； （2）解：，；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，； （3）解：如图所示，作交于E点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； （4）解：设， 作，使， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接并延长至点，使，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 5．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）【发现问题】    如图1，点P在等边三角形ABC内，且 ，求的长. 小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知 ，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， =_____， _____． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，，，和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接，．已知，，米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），请直接写出长度的最大值． 【答案】（1），5；（2）；；（3）长度的最大值为米 【分析】（1）由全等易得，，由等边可得，，所以可得为直角三角形，利用勾股定理可求出线段的长度； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，利用第一问的思路构造旋转全等，故，唯一不同的是由等边三角形变成等腰直角三角形，其他思路基本一致，其中证明三点共线是求的关键； （3）过作，使，易得，将已知线段进行转化，并放在一个三角形中，从而利用三边关系得出的范围，即可得到长度的最大值． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：；5． （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，如图：    ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 此时，即三点共线， ∴， 在中，， 又∵为等腰直角三角形， ∴． （3）过作，使，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，根据三边关系可得：，即， ∴的最大值为． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：．    （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点、，与交于点，，，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论； （3）过作于，连接，证明，进而证明，可得，则，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形，   ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：延长至，使，连接，如图：   ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； （3）过作于，连接．   为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)的面积为或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由计算即可求解； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ∴ ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ∴； 综上所述，的面积为或． 地 城 考点02 三角形证明之-一线三垂直模型 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【定理再现】 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理应用】 （1）如图1在中，平分交于点，过点分别作，垂足分别为点，，请直接写出与的比值___________．（三角形面积记为） 【数学感悟】 如图2，在平面直角坐标系中，点点，连接，过点作的垂线交轴正半轴于点． （2）当时，求的值． （3）连接与相交于点，若，求的值． 【答案】（1）（）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查角平分线性质，全等三角形的判定与定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由角平分线性质定理得，根据三角形面积可得结论； （2）分别过点作轴于点，轴于点，根据证明可得，进而可求出的值； （3）分别过点作轴于点，轴于点， 根据角平分线性质定理得，由（2）得可得，即可求出． 【详解】解：∵平分交于点，过点分别作， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分别过点作轴于点，轴于点， ∴， ∵点， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 （3）分别过点作轴于点，轴于点，如图， ∵， 由（1）可知，∴， ∴， 由（2）可知， ∴，     ∴． 2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）在数学活动课上，老师给出如下问题，如图1，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，连接．求证：． (1)小丹和小明两位同学从结论的角度分析，都认为通过证明三角形全等，就可以得出结论，但两位同学作了不同的辅助线； ①小丹同学的思路：过点作的垂线交于点，证明； ②小明同学的思路：过点作的垂线交延长线于点，证明； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)在（1）基础上，两名同学继续进行拓展探究，并提出了如下问题： ①如图2，当点在的延长线上运动时，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，若，，直接写出长． 【答案】(1)小丹的思路，见详解（或小明的思路，见详解） (2)①；② 【分析】（1）①小丹的思路：利用等腰直角三角形的性质和判定，得出，，，证明，进而得出． ②小明的思路：利用等腰直角三角形的性质和判定，得出，，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，进而得出，可证． （2）①根据等腰直角三角形得性质和判定，可得，是等腰直角三角形，进而得出，，证明，得出，从而求得，． ②根据等腰直角三角形的性质可得，，，再利用三线合一可得，，，进而得出，，再利用等腰三角形的性质可得． 【详解】（1）解：①小丹的思路； 证明：过点作的垂线交于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ②小明的思路； 证明：过点作的垂线交延长线于点， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①如图，当点在的延长线上运动时，过点作，交 延长线于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的证明过程： 如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题：    (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)17米 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键． （1）先证明， ，结合，可得，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）过D作交的延长线于点F，如图：证明，结合，可得，证明，可得，结合，可得结论； （3）过A作，过B作，如图：证明，可得，，证明，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， （2）证明：过D作交的延长线于点F，如图：    ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过A作，过B作，如图：    同理可证， ∴，， 由题意知，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴（米）． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3） 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路；过作交的延长线于，.可得，再证出为等腰直角三角形，即可得出结论 ②选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接，可以证出，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，可得出，得，，再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，可得，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】解：（1）选择小辉同学的解题思路.证明：如图，过作交的延长线于 ∵， ∴，， ∴. ∵交延长线于， ∴， ∴， 又∵绕点旋转至， ∴， ∴， ∴，. ∵， ∴. ∴. ∴， ∴. ∴， ∴. ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∴， ∴. 选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接. ∵， ∴. ∴. ∵，， ∴.即. 又∵， ∴ .∴ ∵，， ∴， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴. ，， ∴. （2）证明：如图.过作于，过作于. ∵，， ∴， 又∵. ∴. ∴，. ∵， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴， ∴， ∴. 在和中，， ∴. ∴. ∵，， ∴. ∵，， ∴. ∴. ∴. （3）解：如图，在边上截取，连接. 由题意得，，. ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴. ∴. ∵，， ∴， ∴. ∴， ∴. 又∵， ∴. ∵，，， 过作于，则， ∵， ∴. 根据勾股定理得，. ∴. 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：． ①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，求证：． 【类比分析】 （3）如图5，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①选择小明同学的解题思路：过作，交的延长线于，结合，可得是等腰直角三角形，推出，证明可得，，最后根据线段的和差即可证明；②选择小涛同学的解题思路：在上截取，连接，可得为等腰直角三角形，推出，证明可得，最后根据线段的和差即可证明； （2）过作于，则，证明可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可证明； （3）过作于，则，证明，得到，再证明，可得，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）①选择小明同学的解题思路， 证明：如图1，过作，交的延长线于， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ； ②选择小涛同学的解题思路， 证明：如图2，在上截取，连接， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ； （2）证明：如图3，过作于，则， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ， ； （3）如下图，过作于，则， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．易证： （1）①如图1，若，，则________； ②如图2，，，点B的坐标为，连接交y轴于点M，求点A的坐标，点M的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则________． 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为，点C在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请直接写出点C的坐标________． 【答案】（1）①；②，；（2）；（3）或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （3）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2，    过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则， 同理可得 ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴，， ∴， 当在点的位置时， 综上所述，或 地 城 考点03 三角形证明之-倍长中线模型 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，点D在边上，连接． (1)如图1，，，求的长； (2)如图2，过D向下作，且，求证：． ①如图3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过D作交于点F； ②如图4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过E作交的延长线于点G． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (3)如图5，过点D向上作，且，点H为的中点，连接，猜想，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理，得，求得，结合，利用勾股定理求的长即可； （2）①利用全等三角形的判定和性质，勾股定理，等量代换思想解答即可； ②利用全等三角形的判定和性质，勾股定理，等量代换思想解答即可． （3）延长到点Q，使得，连接，证明，得到，从而得到，过D作交于点M，再利用三角形全等，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明： ①小明同学的思路： 过D作交于点F， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②如图2，小强同学的思路： 过E作交的延长线于点G． ∵，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：，，之间的数量关系为． 证明：延长到点Q，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过D作交于点M， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．． 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）①④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由题意知，，则，，，由，可得，求解作答即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，则，，，由，，可得，进而可证，则，，可判断①、④的正误；由，可知当时，，由，的关系未知，可判断②、③的正误； （3）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （4）如图4，由，，可得，，，由，可得，即，，由，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：如图2，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，，①④正确，故符合要求； ∵， ∴当时，， ∵，的关系未知， ∴②③错误，故不符合要求； 故答案为：①④； （3）证明：如图3，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 解：如图4，            ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）思维启迪： （1）如图1，点P是线段的中点，则与的数量关系为______，位置关系为______； 思维应用： （2）①如图2，在中，，点D为内一点，连接，延长到点E，使，连接，若，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由； 思维探索： ②如图3，在中，，点D为中点，点E在射线上（点E不与点B，点D重合），连接，过点B作，连接．若，，请求出的长． 【答案】（1）相等，平行；（2）①，②或 【分析】（1）直接利用即可求证全等，继而得到，故； （2）①延长至点F，使得，连接，则是的垂直平分线，得到，可证明，则，，在中，由勾股定理得：，则等量代换出；②当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，同上可得：，可证明，则，故，在中，由勾股定理求得，那么，中，由勾股定理求得，则；当点在延长线上时，构造上述辅助线，同理可求． 【详解】解：（1）由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等，平行； （2）①延长至点F，使得，连接， ∵，即， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴； ②当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在中，由勾股定理求得 ∴， ∴中，由勾股定理求得， ∴； 当点在延长线上时，构造上述辅助线， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在中，由勾股定理求得 ∴， ∴中，由勾股定理求得， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解决本题的关键． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接，      ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 地 城 考点04 构造全等三角形解决问题 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）直接写出∠ADE的度数　 　； （2）求证：DE＝AD＋DC； （3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，（如图2），若EF＝3，求BP的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）利用等腰三角形的性质先求解，再求∠ABD的大小，证明AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，求解，再根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可得到答案； （2）在线段DE上截取DM=AD，连接AM，证明△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根据BD=CD，即可求得ME=CD，于是证得结论； （3）如图2延长EF与BA延长线交于H，证明，再证明：Rt△ANE≌Rt△APB，可得：，再证明BF是△BEN的中线，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=， ∵DB=DC，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°， ∵AB=AC，DB=DC， ∴AD所在直线垂直平分BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=15°， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°； 故答案为： （2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM， ∵∠ADE=60°，DM=AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB=∠AME=120° ∵AE=AB， ∴∠ABD=∠E， 在△ABD和△AEM中， ， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD=ME， ∵BD=CD， ∴CD=ME， ∵DE=DM+ME， ∴DE=AD+CD； （3）延长EF交BA的延长线于点N， 由（2）及图1得△ABD≌△AEM，△ADM是等边三角形， ， EF⊥BP， ∴∠ABF=∠NEA， 又AB=AE， ∴Rt△ANE≌Rt△APB（ASA）， ∴BP=EN， ∵BF既是△BEN的角平分线又是高， ∴BF是△BEN的中线， 即： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线构建三角形的全等是解题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键； （1）根据，得到，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论； （2）根据，，进一步证明是等边三角形，在上取点，使，连接，证明是等边三角形．证明，即可证明； （3）根据，，进一步证明，延长至点，使，连接，，得出，同理，，． 【详解】（1）证明：， ， 同理， ，， ； （2）证明：， ． ，， ． ． 是等边三角形． ，． 在上取点，使，连接， 是等边三角形． ，． ． 在和中， ， ． ． ，， ． ； （3）证明：， ． ． ，，． ． 延长至点，使，连接， 在和中， ， ． ，． ． ， ． 在和中， ． ． ， ． 3．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，平分，与交于点E，过点作于点，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论，见解析；（3）4 【分析】（1）利用证明即可； （2）选择②为条件，①为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； 选择①为条件，②为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； （3）延长交的延长线于点，先证明，可得，再由平分得出，再证明，从而可以解答． 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴， ∴； （2）选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图，延长交的延长线于点， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 平分 又 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长是定值，定值为 【分析】（）过点作交于点，可证，得到，再证明是等边三角形，得到，即可求证； （）过点作交于点，由得到，由是等边三角形得到，又由是等边三角形，得到，即得到，即可求解． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：的长是定值，定值为，理由如下： 如图，过点作交于点，则，， 由（）知，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（）知，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的长是定值，定值为 5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在 中， 过点A作射线，使 作点C关于直线的对称点E， 连接交射线于点 F， 连接． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题关键在于熟练掌握其相关知识点； （1）根据对称垂直定义即可求证； （2）根据是等腰直角三角形，得，，在证 ，然后 ，可得在中，，即可求解. 【详解】（1）证明：∵点C关于直线的对称点是E ∴垂直平分 ∴ （2）证明：如图；连接， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴由勾股定理得： ， ∵点C关于的对称点是E ∴， ∴是等边三角形          ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴      ∴在中， ∴ ∴. 地 城 考点05 新定义题型与全等三角形 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）是；（2）或；（3）2或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“角差三角形”的定义即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“角差三角形”，分三种情况，或，，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∵ ∴顶角为的等腰三角形是“角差三角形”； 故答案为：是； （2）∵是“角差三角形”， ，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“角差三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，此时点D与点A重合，不符合题意． 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，二次根式，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？      【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1的探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 【深入探究】 （3）如图3，中，点是上的点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （2）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，根据垂直平分线性质得到，结合三角形内外角关系得到，最后根据三角形三边关系即可得到答案； 【详解】解：（1）；    （2）证明：作线段的中垂线交于，于，连接，   ∵，， ∴，     在中， ∵，     . ； （3）延长至点，使，连接，     ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 即     ， ，     ，， ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1） ；（2），见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （2）由可得：，根据勾股高三角形的定义得：，即可推出； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； （2），证明如下： 为勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高， ， ， 由勾股定理得：， ，由于为正数， ； （3）如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 由（2）可知：， 又， ，， ， ， ， ， 而， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）【概念呈现】 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形，这个锐角叫做这个三角形的倍余角． 【特例感知】 （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形 （填写“是”或“不是”）倍余三角形． 【深入探究】 （2）若一个等腰三角形是倍余三角形，则这个三角形的倍余角的度数为 °． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点D是边上一点，若是倍余三角形，则的度数为 ． 【答案】（1）是；（2）30；（3）或 【分析】本题考查了三角形的余角与补角，等腰三角形的性质； 特例感知：本题直接考查对倍余三角形定义的理解和简单应用，只需将三角形的锐角代入定义式子验证即可； 深入探究：本题综合考查等腰三角形性质和倍余三角形定义，需要分类讨论等腰三角形角的关系，对逻辑思维和知识综合运用能力要求较高．； 拓展延伸：本题结合直角三角形和倍余三角形知识，通过分类讨论不同锐角组合满足倍余三角形定义的情况来求解角度，考查对知识的灵活运用和分类讨论思想． 【详解】解：特例感知：倍余三角形定义为钝角三角形中两个锐角与满足． 在三角形三个内角为，和，两个锐角为，，， 满足倍余三角形定义， 故答案为：是； 深入探究：情况一，当是底角时，是底角，那么，代入，解得； 情况二，当是底角时，是顶角，根据三角形内角和为，，，所以，不成立； 情况三：当是顶角时，是底角，，且，由可得，代入，即，不成立． 故答案为：； 拓展延伸：在中，，，则因为是倍余三角形，，设，，然后分情况讨论． 情况一：当时，，则，根据三角形内角和； 情况二：当时，，，，． 故答案为：或． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”． 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． (1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 【答案】(1) (2)① ；②或 【分析】（1）根据题意得①，②，加减消元法求解即可； （2）①设，求得，根据三角形内角和定理求得，根据和互为“幸福角”，再列式计算即可求解； ②设，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得，，，再根据与互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵和互为“幸福角”，且， ∴①， ∵和互补， ∴②， 得，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵和互为“幸福角”，且， ∴，即， ∴， 解得； ②设，同理，， 则， ∵，， ∴， ， ∵与互为“幸福角”， 分两种情况， 当， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， 解得， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，一元一次方程的应用．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 地 城 考点06 一次函数与全等三角形 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)点是轴上一动点，若，求点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在，或. 【分析】（1）先求出，，即可得到点A，B的坐标； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，则可求出，即可求出点B的坐标，在中，根据勾股定理得出，解方程求出点的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）计算，可得，点是轴上一动点，设，可得，再进一步求解即可； （3）分两种情况讨论：①，；②，；然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得， ∴，， （2）解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴ ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上一动点，设， ∴， ∴或； ∴或； （4）解：如图，过作，使，则为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴，为等腰直角三角形， ∴，即， 综上：的坐标为：或. 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线交y轴正半轴于点D，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点是线段上一点，连接，作交于点N，连接，求点N的坐标； (3)如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标． 【答案】(1)； (2)点N的坐标为； (3)Q点的坐标为或． 【分析】（1）先求出，，由全等三角形的性质可得点，点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， ∴， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点，点， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线对应的函数表达式为， 当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， 即， ∴， ∴， ∴，则是等腰直角三角形； 分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； （3）解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形． ∵为直线上的点， ∴， ∴， ①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，    ∵，， ∴轴，，点M的纵坐标为3，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴Q点的纵坐标为， 把代入中得：， ∴点； ②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点． 则， ∵，， ∴N点的横坐标为， 则， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴M点的纵坐标为， ∴Q点的纵坐标为， 把代入中得：， ∴； 综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点．点为正半轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交直线于点N． (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离为1时，求点的长； (3)在轴上一点，使是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出的长为__________． 【答案】(1) (2)或5 (3)或12 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及两条直线的交点问题、坐标与图形、等腰直角三角形的性质等知识，分类讨论是解答的关键． （1）联立方程组求解即可； （2）如图1，图2，过点C作轴于点，交于点，由题意可得或3，设，则或3，进而代入函数表达式中，结合坐标与图形性质可求解； （3）过D点作于点H，利用等腰直角三角形的性质得到，设，则，利用坐标与图形性质得到，解方程可得答案． 【详解】（1）解：与联立组成方程组， 解得：， ； （2）解：如图1，图2，过点C作轴于点，交于点 ， ， 点C到直线的距离为1， ， 或3， 设， 或3， 当时，， ； 当时，， ， 综上，或5； （3）解：如图3，图4，是以为斜边的等腰直角三角形，过D点作于点H， ， 设，则， ， ， 解得：或， 或． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、A，点E在第一象限，坐标为． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ： (2)如图1，点P为x轴上一点，当A、B、P三点构成等腰三角形时，请直接写出点P的坐标 ； (3)如图2，连接、、、点Q为y轴上一点，，直线与直线交于点 M，求M点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）直线取，，求出相应的自变量的值与函数值，可求得点A的坐标与点B的坐标； （2）先利用勾股定理求得，再分“”、“”、“”三种情况，分别求出点P的坐； （3）分“在下方”、“在上方”两种情况，分别求出直线与直线，再求出点的坐标． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点B、A， 当时，， 当时，，解得：， 所以，； （2）当A、B、P三点构成等腰三角形时， ∵，， ∴， ∵点P为x轴上一点， ∴当时，以为圆心，长为半径作圆，如图有两种情况， ①当点在轴的负半轴时，此时点的坐标为； ②当点在轴的正半轴时，此时点的坐标为； 当时，以为圆心，长为半径作圆，如图， ∵点P为x轴上一点， ∴点在轴的负半轴，此时点的坐标为； 当时，作线段的垂直平分线分别交轴于点， ∵点P为x轴上一点， ∴点在轴的负半轴，设， ∵， ∴， ∴，解得：， 此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或或． 故答案为：或或或． （3）当在下方时，过作交直线于点，过作轴于点， 过作于点，如图， ∵点E的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 由，解得：， ∴； 当在上方时，如图， ∵直线为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 由，解得：， ∴， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与几何综合、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图3，为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．当是直角三角形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)存在；或 (4)6或 【分析】（1）先求出点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出点，勾股定理求得，进而分两种情况讨论，即可求解； （3）分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为3．且在正比例函数的图象上 ∴， 将，代入 ∴ 解得： ∴一次函数解析式为： （2）解：由，当时，， 解得： ∴ ∵ ∴ 当时，则 当时，如图所示，过点作于点， ∴ ∴ ∵轴， ∴， 综上所述，为以为腰的等腰三角形，点的坐标为或； （3）解：∵， ∴ 如图所示，当在点的左侧时， ∴ 依题意， 解得：，则 当在点的右侧时，如图所示， 依题意， 解得：，则 综上所述，点的坐标为或 （4）当时，过点C作轴于点M，并延长，过点D作于点，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 当时，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴轴， ∴，， ∴，， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， 综上分析可知，点N的横坐标为：6或 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，解一元二次方程；解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)【基本问题】 求k，b的值； (2)【问题探究】 ①M为射线（点C除外）上一点，过点M作y轴的平行线交于点N，设点M的横坐标为m，线段的长度为W，请求出W与m之间的函数关系式； ②当时，直接写出m的取值范围． (3)【问题拓展】 在x轴上是否存在一点P，满足是等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，，， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形的性质，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出，再用待定系数法可得的值是，的值是； （2）根据轴，得到，根据线段的和差即可得到结论； ②由（1）知，直线的解析式为，令得，得到，求得，设，则，根据题意列不等式即可得到结论； （3）设，根据勾股定理得到，，，①当时，②当时，③当时，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 把，代入得： ， 解得， 的值是，的值是； （2）解：①为射线（点除外）上一点，设点的横坐标为， ， 轴， ， ； ②由（1）知，直线的解析式为， 令得， ， ， 设，则， ， ， 解得； （3）解：设， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ①当时，即， 此方程无解；故这种情况不存在； ②当时，即， 解得， 或； ③当时，即， 解得， ， 综上所述，存在点，满足是等腰三角形，点的坐标或或． 地 城 考点07 动点问题与等腰三角形 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为. (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形? (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值. 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度. （2）用分别表示出和长度，利用是等腰三角形，可得到，从而得到关于的方程，即可求出答案. （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1）解：当时，，. ， ， 在中，由勾股定理可得，. 故答案为：. （2）解：由题意可知设出发秒，是等腰三角形，则，， 又， ， 当为等腰三角形时，则有， ， 解得. 故答案为：. （3）解：在中，由勾股定理可求得， 当点在上运动时，， ， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 在中，由勾股定理可得，即， 解得或（舍去）. ②当时，则，解得. ③当时，则， ， ， ， ，即，解得. 故答案为：或 或. 【点睛】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论. 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒． (1) ． (2)斜边上的高线长为 ． (3)①当在边上时，的长为 ，（用含的代数式表示）的取值范围是 ． ②若点在的角平分线上，则的值为 ． (4)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时的值． 【答案】(1) (2) (3)①，；② (4)的值为或或 【分析】此题重点考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可； （3）①根据题意列不等式，求解即可；②根据题意判定，再利用勾股定理求得， （4）是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当时，当点在上，且时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵在中，，，， ； 故答案为：； （2）解：如图1所示，过点作 于点， ， ， 故答案为：； （3）①∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，， ， t的取值满足，即， 故答案为：，； ②点在的角平分线上，过点作于，如图2所示， 平分，，， ∴， 又， ， ，则， 由题意，知， ， ， 在 中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴点在的角平分线上时，， 故答案为：； （4）解：是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当时，如图所示， 则， ； 当时， 过点作于点，如图4所示， 由题意，知，， ，， ，， 由勾股定理，得， ， 解得， 当点在上，且时，， 综上，的值为或或． 3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 地 城 考点08 三角形的最值问题 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 【问题提出】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【解决问题】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短． 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小． 【学以致用】 (1)如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值； (2)如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值． 【答案】(1)周长的最小值为 (2)的最小值为7 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． （1）根据给出示例，连接，，利用轴对称的性质确定点位置，然后利用等腰三角形的性质求解即可； （2）根据给出示例，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ，为边中点， ，， ， ， ． 是的垂直平分线， ． ， 当点在线段上时，，此时的值最小，即的最小值为4． 为中点， ． ． 周长的最小值为； （2）解：如图，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小． 是等边三角形，是边上的高， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 是等边三角形，边长为10， ． ， ， ， ， ． 又， ， ． 是等边三角形， ， ∴是等边三角形． ， 的最小值为7． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 专题01 目目 考点01 三角形证明之 一、解答题 1.【详解】(1)解：∠ACB+∠ABC+ .∠CAB=459 ∴.∠CAB=∠CBA ..CA=CB 由旋转的性质得∠DCE=90,CD=CE .∠DCE=∠ACB=90° .∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD 即∠ACE=∠BCD ∴.AACE≌ABCD .∠EAC=∠B=45 .∠BAE=∠CAB+∠CAE90° (2)证明：△ACE≌ABCD :AE=BD 在RtAADE中，∠DAE=909 由勾股定理得，AE2+AD=DE2 .BD2+AD2=DE2 在Rt△CDE中，∠DCE=90° 由勾股定理得，CD2+CE2=DE2 ∴.DE2=2CD2 .AD+BD2=2CD (3)过点C作CG⊥BF F D>》 折叠 B ∴.AC=CE www.zxxk.com 让教与学更高效 三角形证明的压轴题 手拉手棋型 BAC=180°，∠ACB=90°，∠ABC=45 试卷第1页，共3页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,AACE≌ABCD .AC=CB ∴.BC=EC ∴.∠CGF=90° .∴∠GCE+∠GEC=90°，∠BCG=∠ECG,EG=BG ·折叠 .△ACD≌△ECD ·∠ACD=∠ECD ∴∠GCF=∠GCE+∠DCE=∠ACB=45° .∠F=∠FCG=45o :.CG=FG 设BG=EG=a 则EF-3BE=6a ..CG=FG=7a 在Rt△BCG中，∠CGB=90° 由勾股定理得，BG+CG2=BC2 .50a2=20 a=V10 5 EF=6a=6v 5 2.【详解】解：(1)△APP和△ABC都是等边三角形， .AB=AC,AP=AP=PP'=1,∠BAC=∠PAP'=60°， .∠BAP=∠CAP', .AABP≌△ACP'(SAS), .BP=P'C=V2∠APB=∠AP'C P'p2+P'C2=1+2=3,PC2=3, .PP2+P'C2=PC2, .∠PpC=90°， .∠AP'C=150°， ∠APB=150°： 试卷第2页，共3页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图②，将△BCP绕点C顺时针旋转60度，得到△ACE,连接PE,AE, 图② .BP=AE =13 CP=CE PCE=60 ∴.△PCE是等边三角形， ∴.PE=PC,∠CPE=60°， ∠APC=30°， ·∠APE=90°， .PE=AE2-AP2=13-9=2 .CP=2: (3)当点D与点A重合时，线段BD绕点D顺时针旋转60°， .DB=BE,∠DBE=60°， .△DBE是等边三角形， ∠EDB=∠EBE=6O°， .∠BAE<60°，∠ABE<60°， :△ABE为直角三角形， .∠AEB=90°， ∠ACB=90°，BC=2,∠BAC=30°， .AB=2BC=4, 如图③，延长BC至F,使CF=BC,连接DF,AF, 图③ ,'AC⊥BCCF=BC 试卷第3页，共3页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=AF, ∠ABC=60°， △ABF是等边三角形， :.AB=BF, :△DBE是等边三角形， ∴.DB=BE,∠DBE=60°=∠ABC, .∠ABE=∠DBF, .△ABE≌AFBD(SAS) AE=DF∠AEB=∠FDB=90°SABB=SBDr 又：BC=CF=2, .BC=CF DC=2, 1 ∴.S.AEB=SBDF=5×2×4=4」 2 3.【详解】(1)BE=CF,∠BDC=30°、 理由如下：如图所示： ,△ABC和△ADE都是等腰三角形， AB=AC,AE=AF 又∠BAC=∠EAF=30°， △ABE≌△ACF(SAS) ∴BE=CF, ∴.∠ABE=∠ACD ,∠AE=∠ABE+∠B4C, ∠AOE=∠ACD+∠BDC, ∴.∠BDC=∠BAC=30°： 试卷第4页，共3页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图所示： B E D 证明：：∠BAC=∠EAF=120°， .∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC, 即∠BAE=∠CAF 又'△ABC和△AEF都是等腰三角形， .AB=AC,AE=AF, ∴.△BAE≌△CAF(SAS), ∴BE=CF, ·∠AEB=∠AFC, ·∠EAF=120°，AE=AF, .∠AEF=∠AFE=30°， ∴.∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-（∠AFC-30)=60° 故答案为：BE=CF:∠BDC=60°， (3)如图： B ,△ABC和△AEF都是等腰三角形， ∠CAB=∠EAF=90°，AB=AC,AE=AF, .∠CAB-∠CAE=∠FAE-∠CAE, 即：∠BAE=∠CAF, ,△BAE≌△CAE(SAS), :.BE=CF, ·AM⊥BF,AE=AF,∠EAF=90°， ∴.EF=2AM, 试卷第5页，共3页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BF=BE+EF, .BF=CF+2AM, .Cr=8 ,且AM=2: 28 BF=8+2×25,】 28 故答案为：5； (4)如图所示： 连接BD,以BD为直径作圆， A F E 由题意，取满足条件的点N,W',则 ND=N'D=l,∠BND=∠BN'D=90 连接NA,作AF⊥NB于点F,在BN上截取BE=ND, :∠NDA=ABE,AD=AB, ∴△ADN≌△ABE(SAS), .AN=AE,∠BAE=∠DAP, .∠PAE=90°， 由(3)可得：NB=ND+2AF, AF=BD=51=2 2 2 1 1 .S.v=NB.AF=号×5×2=5， 2 2 15 同理可得：Sw=2, 15 故答案为：5或2· 4.【详解】(1)解：：△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴.∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB,CD=CE, .∠ACD=∠BCE, 试卷第6页，共3页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△CDA和△CEB中， CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE ∴.△CAD≌△CBE, ∠CEB=∠CDA=180°-60°=120°，AD=BE, 又∠CED=60°， .∠AEB=120°-60°=60°： 故答案为：△CBE,AD,60°； (2)解：BD=CE,BD⊥CE;理由如下： ,△ABE和△ACD均为等腰直角三角形， .∠EAB=∠DAC=90°，AB=AE,AC=AD, ∴.∠EAC=∠BAD」 在△EAC和△BAD中， AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD ∴.△EAC≌ABAD D B ∴.∠AEC=∠ABD,BD=CE, 又∠AFE=∠BFO ∴.∠BOF=∠EAF=90°， ∴.BD=CE,BD⊥CE: (3)解：如图所示，作CE⊥CD交AD于E点，连接BE, 试卷第7页，共3页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E ,∠ADC-45° ∴.△CDE为等腰直角三角形， ∴.CD=CE,∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°， 由旋转的性质可知，AC=CB,∠ACB=90°， ∴.∠DCA=∠ECB, ∴.△DCA≌△ECB, ∴.∠CEB=∠ADC=45°，BE=AD=9.5, .∠BED=∠BEC+∠CED=90°， “A4BD的面积为4DxBE95x95- 8 361 故答案为： 8； (4)解：设∠EBA=a, 作AG⊥AE,使AG=AE, ,AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠EAB=∠GAC, ∴.△EAB≌△GAC, ∴.∠GCA=∠EBA=a,BE=CG, ,AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45°， ,∠EBC=∠ACF ∴.∠EBC=∠ACF=45°+a,∠GCD=45°-a, .∠GCA=∠EBA=∠DCE=&, ∴.∠GCA=∠EBA=∠DCE=a, ∴.∠GCF=∠GCA+a=45° 连接ED并延长至点M,使DM=ED,连接CM,FM,EF, 试卷第8页，共3页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :BD=CD,∠BDE=∠CDM, .∴△BDE≌ACDM, ∴.BE=CM,∠DBE=∠DCM=45°+a, .CG=CM,∠FCM=45°， .∠FCG=∠FCM=45°， .CG=CM,CF=CF, ∴.△FCG≌aFCM, .FG=FM, .DM=ED,ED⊥FD, ∴.FD是线段EM的垂直平分线， ∴.FE=FM, ∴FE=FG, .AE=AG,AF=AF, ∴.△FEA≌△FGA, ·∠EAF=LGAF=1 ∠EAG=45° 5.【详解】解：(1)：△APD为等边三角形， ∴.DP=AP=3,∠ADP=60°， :△ACP≌△ABD,∠APC-150°， ∴.∠ADB=150°，BD=PC=4, ∴.∠PDB=∠ADB-∠ADP=90° 在RtABDP中，BP=VDP2+DB=5 故答案为：90°：5. 试卷第9页，共3页 品学科网 www.zxxk.com 让药 (2)将aCPA绕点C逆时针旋转90°得到△CGB,连接PG,如图： B .'aCPA≌ACBG, :CP=CG=2W2,∠CPG=∠CGP=45AP=BG=1 PG=CP=4 PA=1 PB=7 PG+BG=P ∴.△PBG是直角三角形，且∠PGB=90°， .∠CGP=45° ∴.∠CGB=45°+90°=135°， ∴.∠APC=135°， 此时∠APC+∠CPG=180°，即A、P、G三点共线， ∴.AG=AP+PG=5, 在Rt△ABG中，AB=VAG2+BG=V26 又，△ACB为等腰直角三角形， .4C=13 (3)过B作BP⊥BC,使BP=BC,如图： D B .∠ABP+∠PBD=∠CBD+∠PBD=90°， .∠ABP=∠CBD, 试卷第10页，共3页 :与学更高效