清单03 高考数学解题技巧归纳（54个关键解题技巧，抢分清单）2026年高考数学终极冲刺讲练测

清单03 高考数学考前解题技巧归纳 技巧01 复数模长与复数相等 技巧02 权方和不等式 技巧03 基本不等式及基本不等式链 技巧04 普通型糖水与对数型糖水不等式 技巧05 奇函数+常函数 技巧06 特定的指对数函数的奇偶性 技巧07 特定的三角函数镶嵌函数的奇偶性 技巧08 函数的单调性 技巧09 函数的周期性 技巧10 函数的对称性 技巧11 函数图象问题 技巧12 最大最小函数 技巧13 两类经典超越不等式 技巧14 泰勒不等式比较函数值大小关系 技巧15 同对称轴 技巧16 唯一零点问题 技巧17 整数解的应用 技巧18 函数中解不等式 技巧19 反函数的应用 技巧20 公切线问题 技巧21 端点效应 技巧22 隐零点问题 技巧23 极值点偏移 技巧24 洛必达法则 技巧25 爪子定理 技巧26 系数和（等和线） 技巧27 极化恒等式 技巧28 向量投影法 技巧29 奔驰定理与三角形四心 技巧30 向量矩形法 技巧31 角平分线定理 技巧32 张角定理 技巧33 圆中的切线问题 技巧34 圆锥曲线中焦点弦 技巧35 圆锥曲线中中点弦× 技巧36 定序倍缩法 技巧37 平均分组分配及部分平均分组分配 技巧38 三项展开式 技巧39 二项式乘积 技巧40 数列放缩法 技巧41 辅助角公式 技巧42 解三角形一题多解 技巧43 数列小题一题多解 技巧44 数列大题一题多解 技巧45 立体几何小题一题多解 技巧46 立体几何大题一题多解 技巧47 概率统计小题一题多解 技巧48 概率统计大题一题多解 技巧49 直线与圆一题多解 技巧50 圆锥曲线小题一题多解 技巧51 圆锥曲线大题一题多解 技巧52 函数小题一题多解 技巧53 导数小题一题多解 技巧54 导数大题一题多解 技巧01 复数模长与复数相等 复数模长问题最简便的方法。利用公式 ，可以直接分别求分子和分母的模，避免了繁琐的复数除法运算。 1．已知，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 2．若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 技巧02 权方和不等式 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 2．已知正实数、且满足，求的最小值___________. 3．已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 4．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为__________. 5．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 6．求的最大值为______________ 技巧03 基本不等式及基本不等式链 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 1.已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 2.已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）若，且，则（    ） A． B． C． D． 4.在锐角中，若，则的最小值是________ 5.已知，，是正实数，且，则最小值为__________. 6.对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为_____________. 7.设，则的最大值为__________. 8.已知，，，则的最小值为______. 9.已知，且，则的最小值是__________. 技巧04 普通型糖水不等式与对数型糖水不等式 1. 糖水不等式定理，若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式，设 , 则有: 3. 对数型糖水不等式(1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4. 设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 技巧05 奇函数+常函数 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有 即倍常数 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 1. 若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 2. 已知函数，若，则__________ 3. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为________ 4. 设函数的最大值为，最小值为，则__________. 5. 若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 6. 设函数的最大值和最小值分别为M和m，则______________. 技巧06 特定的指对数函数的奇偶性 1. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 2. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 1. 函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-1 C．3或-1 D．不存在这样的和 2. 已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的值域为 C．存在实数，使得 D．函数的图像关于直线对称 3. 已知非常数函数是奇函数，则__________. 4. 已知函数，，则________． 5. 若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则______． 6. 若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为______． 7. （多选）已知函数，，则（   ） A．是上的奇函数 B．在上单调递增 C．与的图象有三个不同的交点 D．有两个不同的解 技巧07 特定的三角函数镶嵌函数的奇偶性 1. 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．的最大值为2 C．的最小正周期是 D．在区间单调递减 2. （多选）已知函数，则（    ） A．与的奇偶性相同 B．曲线关于直线对称 C．的最小正周期是最小正周期的2倍 D．在上单调递减 3. （多选）已知函数，则（   ） A．函数为偶函数 B．函数在上单调递增 C．函数在上有4个极大值点 D．函数的最大值为3 4. （多选）对于函数，，则（    ） A．与有相同的奇偶性 B．与有相同的最小正周期 C．与有相同的最大值 D．与的图象有相同的对称轴 技巧08 函数的单调性 1. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3. 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 技巧09 函数的周期性 1. 周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 2. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 3. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 1. 已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A．0 B．1 C．10 D．20 2. 若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 3. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（   ） A． B． C． D． 技巧10 函数的对称性 1. 对称性（和为常数有对称轴） （1）轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 （2）点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 1. 已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（   ） A．的一个周期为6 B． C． D． 2. 定义在上的函数满足，若函数与的图象有8个交点，则交点横坐标的和为（    ） A．24 B．12 C．8 D．6 3. 已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 4. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（   ） A．2026 B．1013 C．1 D．-1 技巧11 函数图象问题 特值与极限 ① ② ③ ④ 特别地：当时 例如：， 当时 1. 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2. 函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 4. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（   ） A． B． C． D． 技巧12 最大最小函数 1. 定义，对于任意实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 2. 设函数，其中表示，，中的最小者，下列说法正确的有（   ） A． B．对任意的，都有 C．对任意的，有 D．当时，的最大值为1 3. 记，分别表示函数在上的最大值和最小值．则______． 4. 定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____． 技巧13 两类经典超越不等式比较函数值大小关系 ，，， 1．已知 , 则 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 技巧14 泰勒不等式比较函数值大小关系 常见函数的泰勒展开式： （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 常见函数的泰勒展开式： 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 1．设，，则（       ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 技巧15 同对称轴 1．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 A． B． C． D． 2．若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 技巧16 唯一零点问题 1. 若函数有唯一零点，则___________． 2. 若函数有唯一零点，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．1 3. 已知函数有唯一零点，则（    ） A． B． C． D． 技巧17 整数解的应用 1．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 技巧18 函数中解不等式 1. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3. 定义域为的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 技巧19 反函数的应用 1. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 3. 已知正实数满足，则（   ） A． B． C． D． 4. 已知，分别是方程，的根，则的值为（    ） A． B． C．10 D．5 技巧20 公切线问题 1.若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 2.已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 5.已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 技巧21 端点效应 端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 1．已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2.已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 技巧22 隐零点问题 1.已知函数，． (1)若在上单调递增，，求实数的值； (2)证明：． 2.已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 技巧23 极值点偏移 1. 已知，是函数的两个零点，且，求证： (1)； (2)． 2. 已知函数． (1)求函数的单调区间和最大值； (2)设函数有两个零点，证明：． 3. 已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程的两个解为、，求证：. 4. 已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 5. 已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 6. 已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 技巧24 洛必达法则 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 1. 18．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有______． 2. 恒成立,求的取值范围 3. 已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 技巧25 “爪子定理” 1．设为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 1.中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 技巧26 系数和（等和线） 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 1. 已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2. 如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 3. 如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 技巧27 极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的， 恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 1. 如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 3. 将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ）    A．15 B．16 C． D． 技巧28 向量投影法 如图， 对于，其中是在上的投影， 在Rt△PBH中，故， 考虑到可能为钝角，故写成. 1. 已知⊙C的半径为1，是⊙C的一条弦，且，点是上一动点，则的最大值为_________. 2. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为______．    3. 如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 4. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图所示．已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5. 已知在直角梯形中，，，，，设是的中点，是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 技巧29 奔驰定理与三角形四心 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. （1）奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 （2）奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 1. 平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2. 若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 3. 奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 4. （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 技巧30 向量矩形法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下 两个重要的向量关系：①；②. 证明：①连接，根据极化恒等式， 可得； ②根据极化恒等式，可得. 推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积相等. 1．在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则__________. 2．已知点为矩形所在平面上一点，若，，，则 . 3．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 技巧31 角平分线定理 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 1. 在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 2. 在中，为的角平分线，若，，，则（    ） A． B． C． D．6 技巧32 张角定理 张角定理 1．如图，已知是中的角平分线，交边于点. （1）用正弦定理证明：； （2）若，，，求的长. 2．在中,角所对的边分别为,已知点在边上, ,则__________ 技巧33 圆中的切线问题 过圆上任意一点的切线方程为 圆的切点弦方程为 1. 过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2. 过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3. 过点作圆：的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 技巧34 圆锥曲线中焦点弦 倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点. 焦点弦长. 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点. 焦点弦长 抛物线焦点弦：. 抛物线的数量关系：，. 抛物线三角形的面积. 1. 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则__________. 4. 已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则__________． 5. 过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则______. 6. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴下方），则______． 7. 抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛物线的方程为______. 8. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为5，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为__________. 技巧35 圆锥曲线中中点弦 1. 设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 2. 过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 3. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 4. 已知直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 5. 设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 6. 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 技巧36 定序倍缩法 定序倍缩法是一种在排列组合问题中常用的技巧，尤其在处理具有特定顺序要求的元素排列时显得尤为有效。该方法的核心在于，当某些元素需要按照特定顺序排列时，我们可以通过“倍缩”这些元素来考虑其排列方式，从而简化问题。掌握这一技巧对于提高排列组合问题的解题能力具有重要意义。 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 1. 春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 2. 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 3. 22．2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 技巧37 平均分组分配及部分平均分组分配 这类问题在排列组合中较为常见，其核心在于理解“平均”与“部分平均”的概念。平均分组即指将元素均等地分配到各个组中，不考虑组内的排列顺序；而部分平均分组则是在平均分组的基础上，允许部分组内的元素数量有所不同，但仍需遵循一定的分配规则。常在小题中考查，需强加练习。 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 1. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ） A．450 B．540 C．630 D．900 2. 某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 3. 全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 技巧38 三项展开式 三项展开式在模拟题中经常考查，通常涉及到求系数，需强加练习。 三项展开式的解题技巧是不要用二项式定理去解两次，而应该从数学意义的角度看做多少个式子相乘，直接当做排列组合求解，可秒解。 1. 的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 2. 在的展开式中常数项为（    ） A．721 B．-61 C．181 D．-59 3. 展开式中常数项为（    ） A． B． C．1 D．481 技巧39 二项式乘积 二项式乘积的解题技巧是先相乘，再结合二项式定理的通项公式求解即可。 1. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 2. 已知（为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 3. 的展开式中的系数为______． 技巧40 数列放缩法 1．分组放缩 先将数列的前n项和分成若干组，再对每组单独确定放缩或不放缩． 2．等比放缩 如果数列满足，则有， 因此数列的前n项和满足． 3．裂项放缩 （1）分式裂项放缩：若数列的通项是一个分式，譬如，，…， 则可将放缩成一个可以分式裂项相消求和的式子， 如，，等． （2）根式裂项放缩：若数列的通项是含根式的，譬如，，…， 则可将放缩成一个可以根式裂项相消求和的式子．下面就是根式裂项放缩中比较常用的两个放缩式． ①． ②． （3）指分结构裂项放缩：若数列的通项公式为，则． 证明:  因为，，所以， 所以，即． 4．基本不等式放缩 如果数列的某些项的和符合基本不等式的形式，可以直接利用基本不等式来进行放缩，这种放缩方式称为基本不等式放缩． 5．递推放缩 如果题目只给了递推关系式，而根据这个递推关系式没办法直接求出的通项，然而又需要我们证明一个不等式，此时就需要直接利用递推关系式，构建一个放缩式．这种利用题目中给出的递推关系式直接进行放缩的放缩方式称为递推放缩． 一般来说我们采用以下两种思路处理这类问题： ①写出递推关系式，然后通过恒等变形得到放缩式． ②写出，，然后将与这两个关系式进行加减乘除（更多的是相减和相除），再恒等变形得到放缩式． 1. 记为递增数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记的前项和为，证明：. 2. 已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 技巧41 辅助角公式 1．已知，为的最大值，，当时，则______. 2．若时，函数取得最小值，则________． 3．已知，则__________. 4．已知，函数的最大值为1，则______. 5．中，的最大值为________. 6．设、、是一个三角形的三个内角，则当取得最大值时，______. 7．设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________. 技巧42 解三角形一题多解 8．在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 9．记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 10．在中，角A，，所对的边分别为，，，且． (1)若，，求角 (2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值． 11．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 技巧43 数列小题一题多解 12．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 13．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 14．已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 15．记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 16．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 17．已知等差数列的前项和为，且，，则______. 技巧44 数列大题一题多解 18．已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式． 19．已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有. (1)求和； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 20．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，___________，___________，设等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 21．已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数. (1)证明：； (2)若，求； (3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由. 技巧45 立体几何小题一题多解 22．在四面体中，，，，，若异面直线与所成的角为，则________． 技巧46 立体几何大题一题多解 23．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，且为的中点． (1)求直线与平面的夹角； (2)若，平面与交于点，求线段的长度． 24．如图，直四棱柱的底面是菱形，为锐角，分别为棱的中点，点在棱上，且，点在直线上. (1)证明：平面； (2)若直四棱柱的体积为，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的长. 25．如图，在三棱台中，平面，，，，，是棱上一点（不含端点）． (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． (2)是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 26．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 技巧47 概率统计小题一题多解 27．某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 28．的展开式中常数项为（    ） A． B． C．0 D．20 29．将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲､乙､丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是__________.（用数字作答） 30．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 31．把5个相同的乒乓球放入编号为1-7号的盒子里，其中编号为1-5号的盒子，每个盒子至多放1个球，编号为6-7号的盒子，每个盒子至多放3个球，则不同的放法有___________种. 技巧48 概率统计大题一题多解 32．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． (1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望； (2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率． 33．抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取． (1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率； (2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求． 34．在n重伯努利试验中，用X表示事件A发生的次数，则称随机变量X服从二项分布，它关注试验成功的总次数；用Y表示事件A第一次发生时已经进行的试验次数，则称随机变量Y服从几何分布，它关注的是首次成功发生的时机.在某篮球训练的投篮环节中，运动员甲每次投篮均相互独立，每次投篮命中的概率为p. (1)当时，求运动员甲进行4次投篮，命中次数不少于2次的概率； (2)设表示运动员甲首次命中时的投篮次数. （i）求及此概率取得最大值时的值； （ii）若甲最多投篮n次，第n次未命中也结束投篮，利用（i）中的p值，求Z的数学期望. 35．记数列前k项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为A． (1)已知数列为7，6，5，8，求数列； (2)若，且A中恰有5个元素，求实数a的取值范围； (3)若，的“生成子列”的前n项和为，从中任取Y个数，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X， ①若，求X的数学期望； ②若，求使取得最大值时的m值． 36．一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为. (1)求与； (2)设，求与； (3)当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求. 技巧49 直线与圆一题多解 37．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 38．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 39．已知是离心率为的椭圆()的右焦点，过坐标原点O作直线l交椭圆于A，B两点(点A位于第一象限)，若，则直线BF的斜率等于（    ） A． B． C． D． 技巧50 圆锥曲线小题一题多解 40．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 41．设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ） A． B． C． D． 42．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 多选题 43．双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 44．已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大． 45．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 技巧51 圆锥曲线大题一题多解 1．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 2．已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 3．已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. (1)求的方程； (2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 4．已知圆为原点，为圆上的动点，，点的轨迹为曲线，过点作点作圆的切线交曲线于A、B两点，过点作圆异于的切线交曲线于另一点，过点作圆异于的切线交轨迹于另一点． (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)当斜率都存在时，求的斜率之积； (3)求四边形ABCD面积的取值范围． 5．已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． 6．在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值． (1)求动点的轨迹的方程； (2)当时，直线与轴交于点，求点的坐标； (3)设的垂心为，求的面积的最大值． 7．已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)求面积的最小值． 技巧52 函数小题一题多解 8．若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．若函数的图象关于点对称，则______． 10．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 11．已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为奇函数 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 技巧53 导数小题一题多解 13．若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 14．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 多选题 15．已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 16．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 技巧54 导数大题一题多解 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值． 18．已知函数，. (1)若存在使得成立，求的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有且仅有一个零点，求的值. 20．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程在上有两个不等实根和， ①求m的取值范围； ②证明：． 21．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两根，求a的取值范围； (3)证明：当时，． 22．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： (3)当时，设，且满足，求证：. 23．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 清单03 高考数学考前解题技巧归纳 内容导览 技巧01复数模长与复数相等 技巧02权方和不等式 技巧3基本不等式及基本不等式链 技巧04普通型糖水与对数型糖水不等式 技巧05奇函数+常函数 技巧06特定的指对数函数的奇偶性 技巧07特定的三角函数镶嵌函数的奇偶性 技巧08 函数的单调性 技巧09函数的周期性 技巧10函数的对称性 技巧11函数图象问题 技巧12最大最小函数 技巧13两类经典超越不等式 技巧14泰勒不等式比较函数值大小关系 技巧15同对称轴 技巧16唯一零点问题 技巧17整数解的应用 技巧18函数中解不等式 技巧19反函数的应用 技巧20公切线问题 技巧21端点效应 技巧22隐零点问题 技巧23极值点偏移 技巧24洛必达法则 技巧25 爪子定理 技巧26系数和（等和线） 技巧27极化恒等式 技巧28向量投影法 技巧29奔驰定理与三角形四心 技巧30向量矩形法 技巧31角平分线定理 技巧32张角定理 技巧33圆中的切线问题 技巧34圆锥曲线中焦点弦 技巧35圆推曲线中中点弦× 技巧36定序倍缩法 技巧37平均分组分配及部分平均分组分配 技巧38 三项展开式 1/238 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 技巧39二项式乘积 技巧40数列放缩法 技巧41 辅助角公式 技巧42解三角形一题多解 技巧43数列小题一题多解 技巧44数列大题一题多解 技巧45立体几何小题一题多解 技巧46立体几何大题一题多解 技巧47概率统计小题一题多解 技巧48概率统计大题一题多解 技巧49直线与圆一题多解 技巧50圆锥曲线小题一题多解 技巧51圆锥曲线大题一题多解 技巧52 函数小题一题多解 技巧53导数小题一题多解 技巧54导数大题一题多解 解题技巧归纳 技巧01 复数模长与复数相等 复数模长问题最简便的方法。利用公式 可以直接分别求分子和分母的模，避免了繁琐的复数除 法运算。 1.已知2=3+41 1-,则1的值为() A.5 B 5v2 C. 2 D.52 2 详解： 13+4i 1-i 1- 故选B。 2.若复数：=1-i,实数a,b满足+ -a=0,则a+b=() A.-1 B.-4 C.1 D.4 【答案】D 【分析】法一：利用复数运算法则得到： 名a=1-a+b 从而得到方程组，求出a=b=2,得 到答案： 2/238 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法二：变形得到：2-a2+b=0,z=1-1是：2-a2+b=0的根，故=1+i是方程的另一个根，由韦达定理得 到a=2,b=1-iP=2,求出答案 【详解】法一：因为z=1-i, b 2 b 1-a+ =0 所以 ,解得a=b=2,故a+b=4; -1+ 2 b 法二：z+2-a=0,故z2-az+b=0, 因为z=1-i是：2-az+b=0的根，故=1+i是方程的另一个根， 由韦达定理得1-i+1+i=a,(1-i)(1+i)=b, 故a=2,b=1-iP=2,所以a+b=4. 故选：D 技巧02 权方和不等式 权方和不等式的初级应用：若a,xy>0则￠+办≥Q+b 当且仅当只-b 时取等。 x y x+y x y (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 1.已知a>1b>号，且2a+6=3,则1 1 的最小值为() a-12b-1 A.1 B.9 C.9 D,2 因为2a+b=3,所以4a+2b=6 心+≥a+b可得 由权方和不等式一+一 x y x+y 1 1-412212、(2+1)月 a-126-14a-42b-14a-42b-1产40-4+2b-9 当且仅当乙即0名0号时，等号成立.【管案)c 63 3/238 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知正实数x、y且满足x+y=1,求。+分 1.8 的最小值 【答案】27 下 【分析】设x=cosa,y=sina,ue0 由权方和不等式计算可得 【详解】设x=cosa,y=sna,u02) 18 1 22 (1+2) 由权方和不等式，可知 7 =27, y(cosa(sin'a）°(cos2a+sim2a) 当且仅当1=2 cos a sin°o 3’y= 时取等号。 所以 +y的最小值为27 故答案为：27 3,已知x是一个锐角，那么8+ 的最小值是 sinx cosx 【答案】55 【分析】利用权方和不等式的性质计算即可 【详解】应用权方和不等式，有 8 1 42 (4+1)月 =5=55, sinx cosx (sinx)j(cosx)℉ (sin'x+cosx)月 1 等号成立时 →sinr= sin'x cos'x 5cox=5· 所以8+1的最小值是55. sinx cosx 故答案为：5V5 全已知a,b为正实数，c>1,且满足a+4b+9c=4,则。中+6十十。的最小值为 【答案】2 【分析】直接根据权和不等式即可得结果 【详解】由权方和不等式，可知 1 1,1149 (1+2+3) bc1ah+4e+ga4的9 当且仅当a=2,b=2c=0时等号成立， 4/238 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以1 1 +1的最小值为2 a+1b+1c+1 故答案为：2 2+y中1=L,则x+2的最小值为 1,1 5.已知>0，y>0,且 【容灯+号 【详解】解法一：设x+2y=(2x+y)+(y+1)+t, 21 从而x+2y=)(2x+)+30+1》- 3 2 3 22x+)+20+D 当且仅当x=}+5 3时取等号 23= 3 故答案为：V3+ 2 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：4+办≥a+b x y x+y 1 3、+V3) 1= →2x+4y+3>4+2V3, 2x+y3y+32x+4y+3 所以x+225+分当且仅当x=5=5时取等号 3, 3 1 故答案为：5+ 2 6.求f(x)=Vx2-3x+2+2+3x-x2的最大值为 【答案】2√2 【分析】根据权方和不等式直接求解即可 f=-3x+2+2+3-文_(-3x+2亿+3x-x)月 1 1 【详解】 (x2-3x+2+2+3x-x)）月 =2W2 (1+1) 当且仅当x2-3x+2=2+3x-x2，即x=0或x=3时取等号 故答案为：2√2 5/238 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 技巧03 基本不等式及基本不等式链 a'+b 基本不等式链 a+b、 Vab≥ 2 2 2 1(a>0,b>0),当且仅当a=b时，等号成立 a b 1.己知四个数a= 1g2+1g5 2 ,b=g2g5,c=g2,d=lg5,其中最小的是(） A.a B.b C.c D.d 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性可求得0<g2<g5,再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小， 即可得出结论 【详解】易知0<1g2<1g5,所以可得g2<1g2+g5<1g5, 2 即c<a<d; 再由基本不等式可得Ve2:1g5<g215,即6<a: 2 显然lg2=√g2lg2<V1g2lg5,即c<b; 因此可得c<b<a<d,即最小的是c 故选：C 2.已知a>0,b>0, 则+6 2ab 2vab, a2+b2 a+b 中最大的是() V 2 la"+b2 A. B.√ab C.atb D. 2ab 2 2 atb 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较2b与Vb,然后比较Vb与也 由此确 atb ,再与 2 定出正确选项 【详解】因为a>0,b>0,所以 2ab 2ab =vab,b≤a+b, a+b2ab 2 la+b2 2(a2+b) 2 (a+b=a+b,当且仅当a=b时，等号成立， 4 6/238 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则2ab sVabsa+b a"+b" a+b 2 故选：A 3.(多选)若a>0,b>0,且a≠b,则() A. a+b B.a+b la'+b2 2>V2 2 C.Jaba+b D.Vab<a+b 2 【答案】BD 【分析】根据作差法结合条件可判断AB,利用基本不等式可判断CD. 【详解】：a>0,b>0,且a≠b, 所以a+6a+b)2(a-b) ->0,即a+ la"+b2 故A错误，B正确； 2 4 4 V 2 所以a+6>2历，即V历<“，故C错误，D正碗 故选：BD 1 1 4.在锐角△ABC中，若 =2,则tanA+tanB+tanC的最小值是 tanB tanC 【答案】8 【分析】由 1 1 ,=2可得tanB+tanC=2 tanBtanC,在△ABC中，利用和角的正切公式化简推出 tanB tanc tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC,于是得到tanA+tanB+tanC=tanA+2 tanBtanC,再利用基本不等式即可 推得tanA+tanB+tanC≥8，从而得到tanA+tanB+tanC的最小值 anB*tanc=tanB+tanc=2tanBtanc, 1 1 【详解】由 因为△ABC为锐角三角形，所以tanA,tanB,tanC均大于0， 所以tan4+tanB+tanC=tanA+2 tanBtanC≥2V2 tanAtanBtanC, tan4+tanB+tanC=tan4+tanB-tan(4+B) tan+tanB tan4+tanB- =(tan4+tanB) 1-tanAtanB 1-tanAtanB (tan4+tanB)(-tanAtanB) =-tan(4+B)tanAtanB tanAtanBtanC 1-tanAtanB 所以tanA+tanB+tanC=tan4+2 tanBtanC≥2N2 tan4+tanB+tanC, 7/238 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan=4 解得tan4A+tanB+tanC≥8，当且仅当tanA=-2 tanBtanC,即tanA=2 tanBtanC=4,即tanB+tanC=4时取 tan BtanC=2 tanA=4 tanA=4 等号，解得tanB=2-2或tanB=2+V2, tanC=2+2 tanC=2-2 所以tanA+tanB+tanC的最小值是8. 故答案为：8 5已知a,b,c是正实数，且b+c=6,则c+20+4最小值为 bc a+1 【答案】4v2-2 【分析】首先变形为c+20-ac+2ac2 b+c bc bbc(bbc a,再根据b+c=V6,变形为c,2c, *2 展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求c+2a+4最小值 bc a+l 【详解】由题， c+2a+4=+2+4=+2a+4 bc a+l b'bc a+l b'bca+1' b+c)2 其中c+2C ×2 b bc b bc c,(b+c)4c,b,2、 3bc 36+0+≥2y 当且仅当4c=b ,即b=2c时取等， 3b 3c 故+20+4- c2 4 a+- b bc a+lb bc a+1 2a+4 a+1 =24a422a02452 当且仅当2(a+1)=4 时，即a=√2-1时取等 +1 故答案为：4v5-2 6对任意的正实数a,b,c,满足b+c=1,则3ab+a+12的最小值为 bc a+l 【答案】12v2-6 【分析】根据条件b+c=1,得到3ab+a+12 bea+l=a( ++2)+12 利用基本不等式得到 3ab+a+12≥6a+12 ,再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果 bc a+1 a+1 8/238 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为3ab+0+12.-636+D12-362+6+e]12a(46+c+2bc)12 bc a+1 bc a+1 a+1 bc a+1 ，12 .12 a ×+2+ a+1 a+1 6a+12 =6(a+1)+1 a+ *16 12 ≥26(a+1× -6=12V2-6,当且仅当a=2-1,c=2b时取等号 a+1 故答案为：12V2-6 【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将3a+a+12变形成436+6+d],12 ,再整 bc a+1 bc a+1 理成ab+ +2)+12 ，再利用均值不等式即可求出结果 a+1 7.设x>0,y>0,x+2y=2,则 xy 的最大值为 (x-2)(y-1)+4 【答案】 9 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可 【详解】：x+2y=2, V (x-2)y-1)+4y-(x+2y)+2+4xy+4 令t=Vy 又：2=x+2y≥2Vx2y, 0<t=V四s5, 当且仅当x=2y=1时等号成立， 2 t 1 y+4F+4t+ 4, y=t+4 在 2 上单调递减， 92 2 1 2 (4 t+ 9 t v (x-2)y-1)+4 的最大值为 9 9/238 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2 9 【点晴】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值 8.已知x>1,y>0,x2-3x+y=0,则 4+￥的最小值为 x-1 y 【省案1 【分析】法一：由题意可得x-1=上+2=2x-卫>0，则 x 片1.则 2x 2x 4x+ 4x+2x-y+y 2x-y y2x-y 化简后借助基本不等式计算即可得；法二：由题意可得 2x2x 41 x-1yx一1+3-x'再借助权方和不等式计算即可得 【详解】法一：借助基本不等式“1”的活用： 由x2-3x+y=0,x>1,y>0,则x-1=-y+2=2x=y>0, x 44x -12x-’则 4 x 4x x 即 十 x-1 y 2x-y y' 则+e+2（4+2x-y+y 2x-y y 2x-y y 2 2x-y y 2x ,4 2”,分， =2+2x-y+2y+≥2 当且仅当2=”，即2x=3y,即x=了 14 2y 2x-y 3、y= 时，等号成立 9 法二：借助权方和不等式： 由x-3x+y=0,x>1,y>0,则y=3x-x2,x-1>0,3-x>0, 则4+=4+ x 4,1、(2+1)9 x-1yx-13x-x2x-13-xx-1+3-x2 当且仅当2=1 1,即x=7时，等号成立 x-13-x1 3 9 故答案为： 9已知m>0m>0,且m+n=1,则，3，+2+3”的最小值是 3m+2n1+3n 10/238