16.3 一次函数（题型专练）（基础达标8大题型+能力提升7大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

16.3一次函数 题型一 一次函数和正比例函数的概念 1.已知下列函数：；；.其中是一次函数的有 ．（填序号） 2.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）若函数是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B． C．0 D．0或1 3.（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 4.当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 题型二 两点法画一次函数的图像 1.已知函数． (1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标： ①横坐标是； ②和轴的距离是2个单位长度． 2．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： (1)补全表格中y对应的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． (3)若点在函数的图象上，求出m的值． 3．如图，已知关于x的一次函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)在图中画出此函数的图象． 题型三 一次函数的图像中的k和b 1．两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南驻马店·三模）一次函数的图象如图所示，若，，则的值可以是（    ） A． B．0 C． D．5 题型四 一次函数图像的平移 1.将直线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到直线，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2.（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 ． 3.已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值． 题型五 一次函数的图像与坐标轴的交点 1.已知一次函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象是经过原点的直线 B．图象经过点 C．图象与x轴的交点坐标为 D．图象经过第二、三、四象限 2.一次函数与轴交点的坐标为 ，与轴交点的坐标为 ． 3.（22-23八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点．    (1)求出、、的坐标； (2)直接写出关于的不等式的解集； 题型六 一次函数的增减性 1.（2025·福建泉州·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 2.已知一次函数的图象与y轴交于，且y随x值的增大而增大，则m的值为（　　） A．2 B． C．或4 D．2或 3.若一次函数的图象经过点和点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型七 一次函数图像与象限的关系 1.一次函数中，y随x的增大而减小，，则这个函数的图象不经过第 象限． 2.一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 3.（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 题型八 待定系数法求一次函数表达式 1.已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求m的值． 2.我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知与成正比例，且当时，，则与之间的函数表达式为_____________． 题型一 列一次函数关系式 1. 在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系： 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 设该商品的销售价为元，销售量为件，估计：当时，的值为（    ） A．85 B．75 C．65 D．55 2. 在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．空烧杯的质量是 B．液体的质量与液体的体积满足一次函数关系 C．液体的密度是 D．当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为 3.甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 题型二 求一次函数中参数的值 1.函数是一次函数，m，n应满足的条件是 （    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2.已知一次函数，若随的增大而增大，且此函数图象与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 3.已知函数是关于的一次函数，则 ，若该函数是正比例函数，则 ， ． 题型三 一次函数图像与坐标轴围成的图形问题 1.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（　　） A．y＝x+1 B． C．y＝3x﹣3 D．y＝x﹣1 2.在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ． 3.已知直线与轴和轴分别交于A、两点，另一直线过点A和． (1)求直线对应的函数解析式； (2)若直线与轴交于点，求证是直角三角形； (3)若点是直线上一个动点，点是轴上的一个动点，当以，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点所有可能的坐标． 题型四 两个函数图像位置关系的判断 1.直线与直线在同一坐标系中的大致图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2.若一次函数 y＝ax＋b 的图象与一次函数 y＝mx＋n 的图象相交，且交点在 x 轴上， 则 a、b、m、n 满足的关系式是 ． 3.在同一平面直角坐标系中，两个一次函数与的图象相交，则其交点一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 利用一次函数性质求参数范围 1.（2025·吉林·二模）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是 ． 2.已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3.若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＜1 D．a＞1 题型六 一次函数的应用 1.甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要 天．    2.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，．若一次函数的图象经过C点，且与x，y轴分别交于M，N，求的面积．    3.学科实践 问题情境：晋晋和阳阳居住在同一小区，小区紧邻地铁站与公交站，周末，晋晋和阳阳相约到演艺中心观看演出．晋晋先乘某路公交车从小区门口出发前往演艺中心，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发，从演艺中心附近地铁站口出站后，立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往演艺中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与地铁均视为按其平均速度匀速行驶）． 数学建模：若设晋晋乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示晋晋离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳乘地铁过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系． 问题解决：根据图象中的信息解决下列问题． (1)直接写出图中点的坐标，并求线段的函数表达式； (2)求当阳阳换骑自行车时，晋晋所乘公交车离演艺中心的路程； (3)直接写出阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时的值． 题型七 一次函数的综合考查 1.如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2.对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（　　） A．y随着x的增大而减小 B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上 C．图象与y轴交于点（0，b） D．当时，y＜0 3.如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 1．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 1 3 n 7 … (1)列表：表格中 ， ． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①y的最小值是 ； ②写出该函数的一条性质； ③函数图象与x轴有 个交点，所以方程有 个解． 2．如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接． (1)请直接写出与的位置关系； (2)请应用（1）中结论求证：； (3)连接，若点，请直接写出三角形的面积． 3.【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 4.已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 5.生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到 ． 6.已知某种毛线玩具的销售单价（元）与它的日销售量（个）之间的关系如下表．若日销售量是销售单价的一次函数． 35 50 55 …… 35 20 15 …… (1)求与之间的函数表达式； (2)当销售单价为58元，它的日销售量是多少？ 7.如图，直线与x轴、y轴分别交于成A、B，与函数的图像交于点． (1)求出k，b的值； (2)求出的面积； (3)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图像于点C，D．若，求点P的坐标． 8.已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 9.如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3一次函数 题型一 一次函数和正比例函数的概念 1.已知下列函数：；；.其中是一次函数的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可. 【详解】解：，是一次函数； ，自变量的次数为2，故不是一次函数； 是一次函数. 故答案为. 2.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）若函数是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B． C．0 D．0或1 【答案】A 【分析】本题主要考查正比例函数的概念，熟练掌握正比例函数的概念是解题的关键．根据正比例函数的概念：形如，其中的函数，可知，进而求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得． 故选：A． 3.（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可． 【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意； B．不是一次函数，故选项不符合题意； C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意； D．不是一次函数，故选项不符合题意． 故选：C． 4.当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【答案】(1)． (2)，； 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，掌握注意一次项的系数不能为零是解题的关键． （1）根据形如，是常数是一次函数可得； （2）根据形如，是常数，是正比例函数可得 【详解】（1）解：当，时，是一次函数， ∴． 答∶当时，是一次函数； （2）解：当，，时，是正比例函数， ∴，， ∴，时，是正比例函数． 题型二 两点法画一次函数的图像 1.已知函数． (1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标： ①横坐标是； ②和轴的距离是2个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2)①横坐标是的点是；②和轴的距离是2个单位长度的点的坐标为或 【分析】本题考查了画一次函数的图象，一次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据解析式先求出函数与轴、轴的交点，即可画出图象； （2）①将代入解析式进行计算求出的值即可；②由和轴的距离是2个单位长度得出或，分别代入计算，求出的值即可． 【详解】（1）解：在函数中， 当时，，则过， 当时，，解得：，则过， 画出该函数图象如图所示： ； （2）解：①当时，， 横坐标是的点是； ②和轴的距离是2个单位长度， 或， 当时，，解得：，此时点的坐标为， 当时，，解得：，此时点的坐标为， 综上所述，和轴的距离是2个单位长度的点的坐标为或． 2．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： (1)补全表格中y对应的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． (3)若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】(1)；；2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式，计算自变量对应的函数值，解答即可． （2）根据描点法画图象解答即可． （3）根据点在函数的图象上，得点的坐标满足函数的解析式，代入转化为m的方程，解方程求出m的值． 本题考查了坐标与解析式，图象的画法，解方程，熟练掌握坐标与解析式的关系，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：    2． （2）解：根据题意，如答图所示， 图象即为所求． （3）解：点在函数的图象上， 将代入， 得． 解得． 3．如图，已知关于x的一次函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)在图中画出此函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，画一次函数的图象，熟练掌握求一次函数解析式及画一次函数图象是解题的关键． （1）将点的坐标代入计算，即得答案； （2）取满足一次函数解析式的两对值作为两个点的坐标，经过这两点作直线，即得答案． 【详解】（1）解：将点的坐标代入得，， 解得； （2）解：一次函数的解析式为， 取，则； 令，得， 解得； 如图，经过，两点的直线，就是函数的图象． 题型三 一次函数的图像中的k和b 1．两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图像的识别，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题目中各函数图像，分析函数解析式中一次项系数和常数项的正负情况，然后结合函数解析式分析判断即可． 【详解】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意； D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象经过一、三、四象限；，的图象经过一、二、四象限；，的图象经过二、三、四象限．根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、二、三象限， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：C 3．（2025·河南驻马店·三模）一次函数的图象如图所示，若，，则的值可以是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，根据一次函数的性质可得，求出m的范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数图象过一，二，四象限， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴的值可以是． 故选：B． 题型四 一次函数图像的平移 1.将直线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到直线，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据直线向左平移个单位，变为，再向上平移个单位，变为，然后结合得到直线，即可解出和的值． 【详解】解：直线向左平移个单位，变为， 再向上平移个单位，变为， 得到直线， ，， ，， 故选：． 2.（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式，是解题的关键．将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数的图象上，利用待定系数法求出b的值即可． 【详解】解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，即， 由题意，得：在一次函数的图象上， ∴， ∴； 故答案为：． 3.已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数经过原点，则常数项为零；两直线平行，这比例系数相等的知识是解题的关键． （1）一次函数经过原点，则比例系数，常数项，由此即可求解； （2）两条直线，则比例系数相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象经过原点， ∴，解得，， ∴． （2）解：函数的图象与函数的图象平行于直线， ∴，解得，． 题型五 一次函数的图像与坐标轴的交点 1.已知一次函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象是经过原点的直线 B．图象经过点 C．图象与x轴的交点坐标为 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数与坐标轴的交点． 根据一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴图象经过一、三、四象限，不经过原点，故本选项不符合题意； B．当时，，则图象经过点，故本选项不符合题意； C．当时，，解得， ∴图象与x轴的交点坐标为，故本选项符合题意； D．∴，， ∴图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 2.一次函数与轴交点的坐标为 ，与轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式为，求出当时，的值，得出与轴交点的坐标；求出当时，的值，得出与轴交点的坐标即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴当时，则， 解得：， 当时，则， ∴一次函数与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为． 故答案为：；． 3.（22-23八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点．    (1)求出、、的坐标； (2)直接写出关于的不等式的解集； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据点在函数图象上，把点代入函数解析式，即可，根据交点坐标的性质，得，解出，把代入直线或直线，求出，即可； （2）根据函数图象，当，则直线在直线的上方，即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点、， ∴当时，， ∴点； 当时，，解得：， ∴点； ∵直线与直线交于点， ∴， 解得：， 把代入，得， ∴点． （2）∵当时，直线在直线的上方，交点为， ∴， ∴不等式的解集为：． 题型六 一次函数的增减性 1.（2025·福建泉州·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由已知条件可判断出y随x的增大而增大，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵、是直线图象上相异的两点，， ∴随的增大而增大， ∴， ∴， 故选：A． 2.已知一次函数的图象与y轴交于，且y随x值的增大而增大，则m的值为（　　） A．2 B． C．或4 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的增减性质，牢记：，y随x值的增大而增大；反之，y随x值的增大而减小． 把代入一次函数中，解得或，又y随x值的增大而增大，故． 【详解】解：把代入一次函数中，可得， 解得：或， 又y随x值的增大而增大，故（舍去负值）． 故选：A． 3.若一次函数的图象经过点和点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先判断出随的增大而减小，再根据一次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：∵一次函数中的一次项系数， ∴随的增大而减小， 又∵一次函数的图象经过点和点，且， ∴， 故选：C． 题型七 一次函数图像与象限的关系 1.一次函数中，y随x的增大而减小，，则这个函数的图象不经过第 象限． 【答案】一 【分析】先根据一次函数的增减性判断出的符号，再由一次函数的图像与系数的关系即可得出结论. 【详解】解：∵一次函数中随增大而减小 ∴ ∵ ∴此函数的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限 故答案为：一. 2.一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系． 时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 3.（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 题型八 待定系数法求一次函数表达式 1.已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把点代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：设与之间的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：． 则与函数关系式为， 即与之间的函数解析式为； （2）解：把点代入， 得：， 解得． 2.我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，根据题意得到，解得，则直线l：，再把代入即可求出． 【详解】解：∵直线l：与互相垂直， ∴， 解得， ∴直线l：， 把代入得到，，解得， 故选：B 3.已知与成正比例，且当时，，则与之间的函数表达式为_____________． 【答案】 【分析】首先依据正比例关系设出与的关系式，然后将已知的、值代入求出比例系数，最后把代回关系式并整理为关于的整式形式． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设． 将，代入，得：， 解得， ∴，即． 题型一 列一次函数关系式 1. 在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系： 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 设该商品的销售价为元，销售量为件，估计：当时，的值为（    ） A．85 B．75 C．65 D．55 【答案】C 【分析】该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，所以可以分析出销售量与销售价符合一次函数关系，再设出函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再把＝115代入求y的值即可． 【详解】解：由图表可以看出与符合一次函数关系，设， 把和代入得， ，解得：， 则＋， 当时，． 故选：C． 2. 在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．空烧杯的质量是 B．液体的质量与液体的体积满足一次函数关系 C．液体的密度是 D．当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，从函数图象中获取信息，先求解，再结合函数图象逐一分析判断即可. 【详解】解：设与的函数关系式为， 根据题图可知， 解得， ∴． 当时，，即空烧杯的质量是，故选项A符合题意； 函数图象是一条线段，则液体与烧杯的总质量与液体体积满足一次函数关系，因为烧杯的质量是一定的，所以液体的质量与液体的体积满足一次函数关系，故选项B不符合题意； 由液体的密度液体的质量液体的体积知， 液体的密度为，故选项C不符合题意； 把代入，得， 当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为204g，故选项D不符合题意． 故选A． 3.甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出与之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ 是的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 题型二 求一次函数中参数的值 1.函数是一次函数，m，n应满足的条件是 （    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出方程组解答即可． 【详解】解：函数是一次函数， ，解得，． 故选：B． 2.已知一次函数，若随的增大而增大，且此函数图象与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用一次函数的性质得，再利用一次函数与轴交点得到，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】∵一次函数， 随的增大而增大， ∴， ∵函数图象与轴的交点在轴下方， ∴， 则：， 解得：， 故答案为：． 3.已知函数是关于的一次函数，则 ，若该函数是正比例函数，则 ， ． 【答案】 0 【分析】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义，正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：当函数是关于x的一次函数时，，且，解得； 当函数是关于x的正比例函数时，，，且，解得，． 故答案为：，，0． 题型三 一次函数图像与坐标轴围成的图形问题 1.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（　　） A．y＝x+1 B． C．y＝3x﹣3 D．y＝x﹣1 【答案】D 【分析】首先根据条件l经过点D（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，求出E点坐标，然后设出函数关系式，再利用待定系数法把D，E两点坐标代入函数解析式，可得到答案． 【详解】解：设D（1，0）， ∵线l经过点D（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分， ∴OD＝BE＝1， ∵顶点B的坐标为（6，4）． ∴E（5，4） 设直线l的函数解析式是， ∵图象过D（1，0），E（5，4）， ∴， 解得：， ∴直线l的函数解析式是． 故选D． 2.在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ． 【答案】 6 或/或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．设点，根据的面积与的面积相等，先计算的面积，然后列出等式计算y即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴的面积为：； 设点， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为：或． 故答案为：6；或． 3.已知直线与轴和轴分别交于A、两点，另一直线过点A和． (1)求直线对应的函数解析式； (2)若直线与轴交于点，求证是直角三角形； (3)若点是直线上一个动点，点是轴上的一个动点，当以，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点所有可能的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，， 【分析】（1）在中，令，则，求得，设直线对应的函数关系式为，解方程组即可得到结论； （2）过点C作轴于点D．构造全等三角形解决问题即可； （3）根据勾股定理得到，①当时，如图1，由全等三角形的性质得到，于是得到，，②当时，如图2，根据全等三角形的性质得到，于是得到，，③当时，这种情况不存在． 【详解】（1）解：在中， 令，则， ， ， 设直线对应的函数关系式为， ∴， ， ∴直线对应的函数关系式为； （2）证明：过点C作轴于点D． ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在中， 令，则， ，， 由勾股定理得， ①当时，如图1， ， ， ，， ②当时，如图2， ， ， ，． ③当时，这种情况不存在， 综上所述：点Q的坐标为：． 题型四 两个函数图像位置关系的判断 1.直线与直线在同一坐标系中的大致图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据直线与直线图像的位置确定的正负，若不存在矛盾则符合题意，据此即可解答． 【详解】解：A、过第二、四象限，则，所以过第一、三、四象限，所以A选项符合题意； B、过第二、四象限，则，所以过第一、三、四象限，所以B选项不符合题意； C、过第一、三象限，则，所以过第二、一、四象限，所以C选项不符合题意； D、过第一、三象限，则，所以过第二、一、四象限，所以D选项不符合题意． 故选A． 2.若一次函数 y＝ax＋b 的图象与一次函数 y＝mx＋n 的图象相交，且交点在 x 轴上， 则 a、b、m、n 满足的关系式是 ． 【答案】. 【分析】根据轴上点的坐标特征求出与轴的交点坐标为（，0），然后根据两直线相交将其坐标代入＋中进一步分析求解即可. 【详解】当时，0＝x＋b，解得：， ∴＋与轴的交点坐标为（，0）， 将其代入＋中可得：， 整理可得：， 即、b、m、n 满足的关系式为：. 故答案为：. 3.在同一平面直角坐标系中，两个一次函数与的图象相交，则其交点一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】两个函数的图象各经过一个定点，再根据画出大致图象，由此即可得． 【详解】解：一次函数经过定点，一次函数经过定点， 结合画出两个函数的大致图象如下： 则它们的交点一定在第一象限， 故选：A． 题型五 利用一次函数性质求参数范围 1.（2025·吉林·二模）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 2.已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围． 【详解】解：由题意可得， 点A的横坐标为2018， 在线段AB上恰好有2018个整点包括端点， ， 解得，， 故选：D． 3.若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＜1 D．a＞1 【答案】B 【分析】根据题意m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得x1﹣x2与y1﹣y2异号，即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， ∴x1﹣x2与y1﹣y2异号， ∴该图象是y随x的增大而减小， ∴a＜0． 故选：B． 题型六 一次函数的应用 1.甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要 天．    【答案】28 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．根据图像提供的信息可知，这是两个一次函数构成分段函数，当时，设一次函数的解析式为，在图像上找到两点代入所设的解析式中，求出一次函数解析式，再把代入所求的一次函数中，求出的值即可问题得解． 【详解】解：如图，当时，设一次函数解析式为， 将代入上式，得， 解得， ， 当时，， 解得， 故答案为：28． 2.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，．若一次函数的图象经过C点，且与x，y轴分别交于M，N，求的面积．    【答案】 【分析】先根据，求出点C的坐标，进而求出一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点，即可计算的面积． 【详解】解：∵正方形的顶点，， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过C点，， ∴， 解得， ∴一次函数为， 令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴，， ∴的面积． 3.学科实践 问题情境：晋晋和阳阳居住在同一小区，小区紧邻地铁站与公交站，周末，晋晋和阳阳相约到演艺中心观看演出．晋晋先乘某路公交车从小区门口出发前往演艺中心，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发，从演艺中心附近地铁站口出站后，立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往演艺中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与地铁均视为按其平均速度匀速行驶）． 数学建模：若设晋晋乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示晋晋离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳乘地铁过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系． 问题解决：根据图象中的信息解决下列问题． (1)直接写出图中点的坐标，并求线段的函数表达式； (2)求当阳阳换骑自行车时，晋晋所乘公交车离演艺中心的路程； (3)直接写出阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时的值． 【答案】(1)点的坐标为，线段的函数表达式为，线段的函数表达式为 (2)晋晋所乘公交车离演艺中心的路程为6千米 (3)，35或 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）根据题意确定点坐标；再确定点坐标，然后利用待定系数法计算线段的函数表达式即可； （2）根据题意，当阳阳换骑自行车时可有，结合（1）中线段的函数表达式，即可求得晋晋所乘公交车行驶路程，即可获得答案； （3）首先确定线段的函数表达式，然后分阳阳乘地铁过程中相遇前和相遇后、阳阳骑自行车过程中三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设晋晋乘坐公交车的时间为（分）， 根据题意，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发， 则图中点的坐标为， 由图可知，，， 设线段的函数表达式为， 将点代入，可得，解得， ∴线段的函数表达式为， 设线段的函数表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段的函数表达式为； （2）根据题意，当阳阳换骑自行车时，， ∴可有晋晋所乘公交车行驶路程为（千米）， ∴晋晋所乘公交车离演艺中心的路程为（千米）； （3）设线段的函数表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段的函数表达式为， 阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时， 在阳阳乘地铁过程中， 可有或， 解得或， 在阳阳骑自行车过程中， 可有， 解得， ∴的值为，35或． 题型七 一次函数的综合考查 1.如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，首先将点A的横坐标代入求出点A，再结合一次函数与二元一次方程组的关系即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴的解为， 故选：C． 2.对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（　　） A．y随着x的增大而减小 B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上 C．图象与y轴交于点（0，b） D．当时，y＜0 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵k＜0， ∴y随x的增大而减小， A选项说法正确，不符合题意； 假设点（−1，−2）在这个函数的图象上，则−2＝−k＋b， ∴b＝k−2， ∵k＜0， ∴k−2＜0， ∴b＜0，这与b＞0不一致， B选项说法错误，符合题意， 令x＝0时，y＝b， ∴图象与y轴的交点为（0，b）， C选项说法正确，不符合题意； 当y＝kx+b＝0时，解得：， ∴一次函数y＝kx+b与x轴的交点坐标为（，0）， ∵y随x的增大而减小， 当时，y＜0； D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 3.如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式等知识点，利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集是解题的关键． 利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点， ∴当时，，当时，， ∴关于x的方程的解为；关于x的方程的解为；故结论①、结论②正确； 由函数图象可知，当时，；当时，；故结论③正确，结论④错误； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 1．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 1 3 n 7 … (1)列表：表格中 ， ． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①y的最小值是 ； ②写出该函数的一条性质； ③函数图象与x轴有 个交点，所以方程有 个解． 答案(1)3，5 (2)图见解析 (3)①；②见解析；③2；2 【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，即可求m、n的值； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）①通过观察图象直接可求解； ②通过观察函数的图象写出符合函数图象的性质即可； ③通过观察图象直接求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，5； （2）解：描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象如图： （3）解：①由图象可知：当时，有最小值， 故答案为：； ②由图象可得： 当时，y随x值的增大而增大，当时，y最x值的增大而减小； ③根据函数图象与x轴有2个交点，可知有2个解， 故答案为：2，2． 2．如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接． (1)请直接写出与的位置关系； (2)请应用（1）中结论求证：； (3)连接，若点，请直接写出三角形的面积． 【答案】(1) ，证明见解析； (2)证明见解析； (3)10． 【分析】（1）根据纵坐标相同的两点的连线平行于x轴，即可证明 ； （2）根据和平行线的性质，利用三角形内角和定理即可证明； （3）设CE的函数关系式为y=kx+b，求出点B的坐标，根据求解即可． （1） 解： ， 证明：∵，C、D两点的纵坐标相同， ∴CD平行x轴，即 ； （2） 证明：∵ ， ∴， ∵，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°， ∴； （3） 设CE的函数关系式为y=kx+b， 代入点C（0，5），E（2，1）， 得：， 解得：， ∴CE的函数关系式为， 当时，， 即点B（，0），AB=， ∴ ． 3.【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 【答案】任务1：；任务2：达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；任务3：． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象信息解决问题，理解题意构建方程是解答本题的关键． 任务1：设，找到两组表格数据，代入求解即可； 任务2：根据题意可知，当时，市场达到均衡，构建方程即可解决问题； 任务3：首先求出与p轴的交点，利用图象法即可求决问题． 【详解】解：任务1：设， 由表格可知，一次函数经过，两个点， ， 解得：， 关于的函数关系式为； 任务2：由题意得， 解得， 达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元； 任务3：当时，， 解得， 当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是． 4.已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）分别求出当时，当时的值，即可求出的取值范围； 此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键． 【详解】（1）因为是一次函数， 所以，解得， 因为，所以； （2）将代入得一次函数解析式为，当时，，当时，， 所以当时，的取值范围是． 5.生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到 ． 【答案】31 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，设一次函数为，把点代入得到解析式，再把代入即可求解． 【详解】解：根据函数图象设一次函数为，把点代入得， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，， 当时，，则该植物达到最高高度， ∴该植物最高长到， 故答案为：31 ． 6.已知某种毛线玩具的销售单价（元）与它的日销售量（个）之间的关系如下表．若日销售量是销售单价的一次函数． 35 50 55 …… 35 20 15 …… (1)求与之间的函数表达式； (2)当销售单价为58元，它的日销售量是多少？ 【答案】(1) (2)日销售量是个 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数应用．熟练掌握一次函数解析式，一次函数应用是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）将代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 将和代入，得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：将代入得，， ∴日销售量是个． 7.如图，直线与x轴、y轴分别交于成A、B，与函数的图像交于点． (1)求出k，b的值； (2)求出的面积； (3)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图像于点C，D．若，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的综合运用，掌握一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算是解题的关键． （1）把代入，得，把代入，可得； （2）根据直线与坐标轴的交点可得，由即可求解； （3）根据题意可得，设，则，，由，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 把代入，得， 解得：； （2）解：直线与x轴、y轴分别交于成A、B， ∴当时，， ∴， ，又 ， ； （3）解：当时，， ， ， 如图， 设，则，， ， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 8.已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例的定义可设，，再将当时，，当时，代入计算即可得； （2）将直接代入（1）中的结果即可得； （3）将直接代入（1）中的结果即可得． 【详解】（1）解：由题意可设，， ， ， 当时，，当时，， ，解得， ， 即与之间的函数关系式为； （2）解：将代入得：； （3）解：将代入得：， 解得． 9.如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围； （2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，解得； （2）解：将向上平移1个单位长度后， 解析式为． ∵平移后的图象经过原点， ∴，解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.3一次函数 题型一一次函数和正比例函数的概念 题型二两点法画一次函数的图像 题型三一次函数的图像中的k和b 题型四一次函数图像的平移 A基础达标题 题型五一次函数的图像与坐标轴的交点 题型六一次函数的增减性 题型七一次函数图像与象限的关系 题型八待定系数法求一次函数表达式 题型一列一次函数关系式 一次函数 题型二求一次函数中参数的值 题型三一次函数图像与坐标轴围成的图形问题 B能力提升题 题型四两个函数图像位置关系的判断 题型五利用一次函数性质求参数范围 题型六一次函数的应用 题型七一次函数的综合考查 C拓展培优题 A 基础达标题 题型一一次函数和正比例函数的概念 1.①③ 2.A 3.C 4.【详解】(1)解：当1m-2=1,m-3≠0时，y=(m-3)xm-2+n-2是一次函数， .m=-3. 答：当m=-3时，y=(m-3)xlm-2+n-2是一次函数； (2)解：当lm-2=1,m-3≠0，n-2=0时，y=(m-3)xm-2+n-2是正比例函数， .m=-3,n=2, ∴.m=-3,n=2时，y=(m-3)xm-2+n-2是正比例函数. 题型二两点法画一次函数的图像 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.【详解】(1)解：在函数y=-x+3中， 当x=0时，y=3,则过(0,3)， 当y=0时，-+3=0，解得：x=6,则过(6,0)， 画出该函数图象如图所示： y 5 3 1 -4-3-2-10 123456文 -2 y=2式+3 (2)解：①当x=-4时，y=-2×(-4)+3=2+3=5, .横坐标是-4的点是(-4,5)： ②~和x轴的距离是2个单位长度， y=2或y=-2, 当y=2时，-x+3=2,解得：x=2,此时点的坐标为(2,2)， 当y=-2时，-x+3=-2,解得：x=10,此时点的坐标为(10，-2)， 综上所述，和x轴的距离是2个单位长度的点的坐标为(2,2)或(10，一2)， 2.【详解】(1)解：由y=3x-1, 当x=-1时，y=3x-1=-4; 当x=0时，y=3x-1=-1; 当x=1时，y=3x-1=2; 故答案为：-4-12. (2)解：根据题意，如答图所示， 2/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 2 -32101234 图象即为所求。 (3)解：~点P(m,-)在函数y=3x-1的图象上， 将x=my=-代入y=3x-1, 得-号=3m-1. 解得m=-是 3.【详解】(1)解：将点(-1,3)的坐标代入y=mx+2得，3=m(-1)+2, 解得m=-1; (2)解：一次函数的解析式为y=一x+2, 取x=0,则y=2; 令y=0,得0=-x+2, 解得x=2; 如图，经过(0,2)，(2,0)两点的直线，就是函数的图象. 54-321924.5 题型三一次函数的图像中的k和b 1.C 2.C 3.B 题型四一次函数图像的平移 3/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.A 2.-2 3.【详解】(1)解：一次函数图象经过原点， m210解得， m*- 2, (m=2 ,∴.m=2. (2)解：函数y=(2m+1)x+m-2的图象与函数的图象平行于直线y=3x-5, .2m+1=3,解得，m=1. 题型五一次函数的图像与坐标轴的交点 1.C 2.（-2,0)；(0,6. 3.【详解】(1)解：“直线L1y=-子+6分别与x轴、y轴交于点A、B, .当x=0时，y=6, ∴.点B(0,6: 当y=0时，0=-2x+6,解得：x=12, ∴.点A(12,0)； ,直线L1与直线L2交于点C, -2x+6=x, 解得：x=6, 把x=6代入L2y=x,得y=3, ∴.点C(6,3). (2):当-之+6>时，直线L1在直线2的上方，交点为C(6,3), .X<6, “不等式-x+6>的解集为：x<6 题型六一次函数的增减性 1.A 2.A 3.C 题型七一次函数图像与象限的关系 1. 2.m<1 3.三 题型八待定系数法求一次函数表达式 1.【详解】(1)解：根据题意：设y与x之间的函数解析式为y=k(x+3), 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 把x=1,y=-8代入得：-8=k(1+3), 解得：k=-2. 则y与x函数关系式为y=-2(x+3), 即y与x之间的函数解析式为y=一2x-6; (2)解：把点M(m,2)代入y=-2x-6, 得：2=-2m-6, 解得m=-4. 2.B 3.y=6x. B 能力提升题 题型一列一次函数关系式 1.C 2.A 3.【详解】(1)根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x(k) ,甲、乙两地相距120km ∴.火车与甲地的距离表示为：(120-80x)(km),即y=120-80x; 当火车到达甲地时，即80x=120 ∴.x=1.5,即火车行驶1.5h到达甲地 ∴y=120-80x(0<x≤1.5) y是x的一次函数； (2)根据(1)的结论，得：y=120-80x=120-80×0.5=80. 题型二求一次函数中参数的值 1.B 2.-2<m<3 3.-1,-1,0 题型三一次函数图像与坐标轴围成的图形问题 1.D 2.6;(0,7)或(0，-1) 3.【详解】(1)解：在y=-专x+4中， 令y=0,则0=-+4， x=3, A(3,0), 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b, 8=张+扮 k-3 6=- ∴直线AC对应的函数关系式为y=子x- (2)证明：过点C作CD⊥x轴于点D. AY C次、 Q2: d' A(3,0),B(0,4), x P 图1 0A=3,0B=4, C(7,3), CD=3,OD=7, .AD=OB=4,OA=CD, .∠AOB=∠ADC=90°， ∴.△BOA兰△ADC(SAS), .∠ABO=∠DAC, ∠AB0+∠BA0=90°， .∠BA0+∠DAC=90°， ∴.∠CAB=90°， AB⊥AC; (3)解：在y=-+4中， 令x=0,则y=4, .0A=3,0B=4, 由勾股定理得AB=5, ①当LAQP=90°时，如图1， 6/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 92 △AOB≌△AQP, A DO P 图1 ∴AQ=0B=4, Q1(7,0),Q2(-1,0) ②当∠APQ=90°时，如图2， △AOB≌△AQP, Drx P 图2 .AQ=AB=5, ∴.Q3(8,0),Q4(-2,0). ③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在， 综上所述：点Q的坐标为：(7,0)，(8,0).(-1,0)(-2,0). 题型四两个函数图像位置关系的判断 1.A 2.an=bm 3.A 题型五利用一次函数性质求参数范围 1.<a<4 2.D 3.B 题型六一次函数的应用 1.28 2.【详解】解：，正方形ABCD的顶点A(1,2),B(5,2), .BC=AB=5-1=4, ∴.C(5,6), 一次函数y=kx-2(k≠0)的图象经过C点， 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.6=5k-2, 解得k=号， 一次函数为y=号x-2, 令y=0,则x-2=0, 解得x=寻 M0), 令x=0,则y=-2, ∴.N(0,-2), ∴0M=0N=2, :△OMN的面积=DN-OM=×2×=寻 3.【详解】(1)解：设晋晋乘坐公交车的时间为x(分)， 根据题意，当晋晋出发20分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发， 则图中点B的坐标为(20,0)， 由图可知，A(55,22),C(40,20), 设线段0A的函数表达式为y=ax(a≠0)， 将点4(55,22)代入，可得22=55a,解得a=, ∴线段0A的函数表达式为y=x, 设线段BC的函数表达式为y=kx+b(k≠O), 将点B(20,0),C(40,20)代入， 可得80246中6解得伦=120 ∴.线段BC的函数表达式为y=x-20; (2)根据题意，当阳阳换骑自行车时，x=40, ∴.可有晋晋所乘公交车行驶路程为y=三×40=16（千米）， ∴.晋晋所乘公交车离演艺中心的路程为22-16=6（千米）； (3)设线段AC的函数表达式为y=mx+n(m≠0)， 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将点A(55,22),C(40,20)代入， m= 2 可得铝=5十”解得 n= 3 “线段AC的函数表达式为y=是x+号 阳阳出发后两人前往演艺中心途中，离开小区的路程差为1千米时， 在阳阳乘地铁过程中， 可有2x-(x-20)=1或(x-20)-号x=1, 解得x=2或35， 在阳阳骑自行车过程中， 可有品+#-=1， 解得x=9 ∴x的值为35或9 题型七一次函数的综合考查 1.c 2.B 3.A 拓展培优题 1.【详解】(1)解：当x=1时，y=2×1-3-1=3, 当x=6时，y=2×|6-3-1=5, 故答案为：3,5； (2)解：描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象如图： 65432-10 方 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：①由图象可知：当x=3时，y有最小值-1， 故答案为：-1； ②由图象可得： 当x≥3时，y随x值的增大而增大，当x≤3时，y最x值的增大而减小； ③根据函数图象与x轴有2个交点，可知2x一3-1=0有2个解， 故答案为：2,2 2.(1)解：AB∥CD, 证明：，C(0,5)、D(a,5),C、D两点的纵坐标相同， .CD平行x轴，即AB∥CD; (2)证明：，AB∥CD, .∠ABC=∠DCB, ,∠CAB=∠D,∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°， ∴.LACB=∠CED; (3)设CE的函数关系式为y=kx+b, 代入点C(0,5),E(2,1), 得：{152水46 解得：=52， ∴.CE的函数关系式为y=-2x+5, 当y=0时，x=) 即点B原0，AB--(-)=5, .S△4cE=SAABC-SAABE=2×5×5-2×5×1=10. 3.【详解】解：任务1：设q1=kp+b, 由表格可知，一次函数q1经过(1,22)，(2,20)两个点， …中620 解得：化2承 ∴.91关于p的函数关系式为q1=一2p+24; 任务2：由题意得-2p+24=7p-3, 10/13