考点03 组合与组合数（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第三册

考点03 组合与组合数 考点一：组合的定义及组合数 组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式：,这里,并且. 规定. 组合数的性质:（1） ;（2） 考点二：组合数的应用 1.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法 2.平均分组问题：一般先分堆，再除以. 3.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以 4.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 题型一、组合数的化简及证明 涉及具体数字问题可以直接运算； 组合数公式的主要作用:一是计算较大时的组合数;二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. 【例1】计算； 【答案】0 【详解】原式. 【例2】（多选）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项：，，两边相等，故A选项正确； B选项：，， ，，，不成立，B选项错误 C选项：，取，：， 因为，移项得：成立，C选项正确； D选项：， 由二项式定理：，取：成立，D选项正确； 故选：ACD 【变式1-1】计算的值为______．（用数字作答） 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【变式1-2】（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，因为，， 且，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 【变式1-3】m是自然数，n为正整数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】根据组合数公式，可以得到． 题型二、组合数的方程及不等式 关注组合数中的隐含条件,且,求解时应检验其结果是否满足这一条件. 【例3】已知，则___________． 【答案】5 【详解】由组合数的性质有，又， 所以，解得 【例4】求等式中的值. 【答案】9. 【详解】由，得，即，因此， 显然，且，即， 则， 整理得，解得， 所以. 【变式2-1】方程且的解为__________．（结果用数字作答） 【答案】2或4 【详解】由题意，可知，则，所以或． 故答案为：2或4． 【变式2-2】已知，则______． 【答案】21或10 【详解】因为，所以， 则或， 当时，即，解得，此时； 当时，即，解得或（舍去）， 此时． 故答案为：21或10. 【变式2-3】解不等式：. 【答案】 【详解】，. .. ∴，. ∴不等式的解集为. 题型三、特殊位置的组合问题 （1）特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据. （2）含有“至多”“至少”等限制词语时，要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解。 （3）分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达,逐类求解 【例5】（多选）某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（   ） A．若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案 B．若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案 C．若给无人机按1～7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序 D．若给无人机按1～7编号，已知甲、乙两街各至少需要2架无人机，丙、丁两街各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案 【答案】BCD 【详解】对于A，把7架无人机排成一排，它们之间有6个空，选3个空插入隔板分为4组对应4条街道，共有种，故A错误； 对于B，借4架无人机，共11架，排成一排共有10个空，选3个空插入隔板分为4组，再将借的4架无人机还回去，共有种不同情况，故B正确； 对于C，先排其余5架无人机，共有种排法，这5架排好后形成6个空，选2个空插入1号，2号无人机，有种排法，所以共有种，故C正确； 对于D，分两种情况，按2,2,2,1分组，有种， 按分组，有种， 则共有种，故D正确． 【例6】将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为___________． 【答案】29 【详解】根据题意，两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点， 即禁止斜对角相邻，可以上下左右相邻（共用两个方格顶点）或不相邻（无公共顶点）， 可以把的方格分为两类， 小球必不可能在中间方格，否则一定会有斜对角相邻的情况， 将四个角的方格设成类方格，以保证类在除去中间方格的情况下没有斜对角相邻的方格， 剩余4个小格为类方格，如图所示： （1）4个小球若占用4个A类方格，有种； （2）4个小球若占用3个A类方格，1个B类方格，有种； （3）4个小球若占用2个A类方格，2个B类方格， 此时只能选择隔着中间方格相对的B类方格，共2种可能，所以此时有种； （4）4个小球若占用1个A类方格，3个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍. （5）4个小球若占用4个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍. 因此，共有种． 【变式3-1】加德学校召集高二年级5个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余4个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的方法种数为______． 【答案】16 【详解】若高二（1）班有1名家长发言，则有种情况， 若高二（1）班没有家长发言，则有种情况， 所以共有种情况. 【变式3-2】有红、黄、蓝卡片各张，分别写有数字.从中选取张，要求三色俱全，且数字各一张，则不同的选法数目有________. 【答案】540 【详解】因为每一个数字均对应张卡片，所以选择数字各一张的选法共有种. 其中三色不全的选法有种. 所以三色俱全的选法有种. 【变式3-3】现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 【答案】24 【详解】①甲、乙中有且只有1人被抽到有种抽法， 若抽到的三人中不含丙，则从剩余的三人中抽取2人有种抽法， 抽到的3人安排其中一人唱歌有种抽法， 根据分步乘法计数原理，共有种抽法. ②若抽到的三人中含丙，则丙需被安排去唱歌，甲乙选1人跳舞，除甲、乙、丙的3人中选1人跳舞， 共有种， 根据分类加法原理，共有种抽法. 题型四、多面手问题 一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。 【例7】某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设只会印刷的人中被选中人数为，则的可能取值有、、， ①当时，从只会印刷的人中选人，有种情况， 再安排既会排版又会印刷的人印刷，有种情况，最后从只会排版的人中选人，有种情况， 则共有种情况； ② 当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从既会排版又会印刷的人中选人印刷，有种情况，最后从剩余会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； ③当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； 综上所述，共有种情况； 故选：A. 【例8】9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有______种不同的选法. 【答案】 【详解】只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 所以共有种不同的选法. 故答案为：. 【变式4-1】“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 【答案】C 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种， （2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种； （3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有 所以，不同的选派方法共有19种. 故选：C 【变式4-2】某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有______种. 【答案】92 【详解】①若既会英语，也会日语的2人均没有选中， 此时只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择3人，共种选择； ②若既会英语，也会日语的2人选中1人，有种选择， 此人去进行英语导游，则从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择3人， 有种选择， 此人去进行日语导游，则从只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择2人， 有种选择， 此时共有种选择； ③若既会英语，也会日语的2人均选中， 2人均进行英语导游，则从只会英语的3人选择1人，只会日语的4人选择3人， 有种选择， 2人均进行日语导游，则从只会英语的3人选择3人，只会日语的4人选择1人， 有种选择， 2人有1人进行英语导游，1人进行日语导游，有种选择， 再从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择2人，有种选择， 此时有种选择， 所以若既会英语，也会日语的2人均选中，有种选择， 综上：共有种选择. 故答案为：92 【变式4-3】已知名运动员中有人只擅长足球，人只擅长篮球，另外人篮球与足球都擅长． (1)若让这名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； (2)从这名运动员中选派人参加某项活动，要求这人中有人擅长足球，有人擅长篮球，求满足条件的选派方法种数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意，共有人擅长篮球，其中人只擅长篮球，还擅长足球有人， 将人排成一排，先将只擅长篮球的人进行排序， 再将擅长足球的人插入只擅长篮球的人所形成的个空位中的个， 所以，擅长足球的运动员互不相邻的排法有种． （2）根据题意，分种情况讨论： ①选出的人中没有两项都擅长的运动员，有种选法， ②从两项都擅长的运动员中选出人，有种选法， ③从两项都擅长的运动员中选出人，有种选法， 故有种选法． 题型五、隔板法 【例9】已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解. A．171 B．190 C．342 D．380 【答案】A 【详解】因为x，y，z均为正整数， 所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种. 故选：A 【例10】（1）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，每班至少1人，名额分配方案共有_____种. （2）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，名额分配方案共有_____种. 【答案】 330 50388 【分析】 【详解】（1）将12个名额（相同元素）分配给8个班，每班至少1个名额， 相当于12个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，每组至少1个小球， 所以任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端，由插空法可知名额分配方案共有种. （2）将12个名额（相同元素）分配给8个班，每班没有名额限制的方法， 与将个名额（相同元素）分配给8个班，每班至少一个名额，再从各班所分的名额中取走一个名额的方法相等， 也就相当于个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，因为每组至少1个小球， 所以任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端，由插空法可知名额分配方案共有种. 故答案为：；. 【变式5-1】总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【答案】D 【详解】已知①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球. 我们先在②号杯子中放个小球，在③号杯子中放个小球， 这样就满足了每个杯子的最少放置要求.此时总共放了个小球， 还剩下个小球. 将问题转化为标准隔板法问题： 现在要把这10个相同的小球放入①、②、③号三个杯子中，且每个杯子至少放个小球. 这就相当于在10个小球形成的个间隔中插入个隔板， 将其分成组，每组对应一个杯子. 根据隔板法公式，所以方法数为. 根据组合数公式，可得（种）. 故选：D. 【变式5-2】将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有___________种. 【答案】24 【详解】解法一：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，需要两个“隔板”， 所以分配方案共有种情况， 所以总方法数为种； 解法二：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，共有2种情况， ①从3个盒中选1个放3个球，剩余两个盒各放1个，共有种， ②从3个盒中选1个放1个球，剩余两个盒各放2个，共有种， 所以总方法数为种； 故答案为：24 【变式5-3】从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种. 【答案】6 【详解】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种． 故答案为：6 题型六、分组、分配问题 【例11】某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 【例12】2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【答案】150 【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 【变式6-1】将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．210种 D．300种 【答案】C 【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法. 故满足条件的不同安排方法有种. 【变式6-2】春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（    ） A．90 B．150 C．240 D．300 【答案】B 【详解】将5个不同的红包分3组，有两种不同的方式， ①：“1,1,3”型，则有种分法； ②：“2,2,1”型，则有种分法，所以共有25种分法， 将分好的3组，装入3个不同的红包袋中，共有种装法. 【变式6-3】暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 【答案】 【详解】分情况讨论：若小李、小明所在场馆有人(即只有小李和小明)， 此时另一场馆有人，共种安排方法； 若小李、小明所在场馆有人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法为种； 若小李、小明所在场馆有4人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法为种； 所以共有种安排方法. 题型七、有几何有关的组合问题 【例13】圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】C 【详解】圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角. 又每条直径对应着6个直角三角形，所以共有（个）直角三角形， 因为这8个等分点为顶点的三角形共有（个）， 所以锐角三角形或钝角三角形的个数为（个）． 故选：C. 【例14】在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为______. 【答案】/ 【详解】如图，将直线分成3种情况：，，均平行于上底面或下底面所在平面，有条； ，均不平行于正三棱柱的侧面或底面所在平面； ，均平行于某个侧面，有条， 故满足要求的直线共有条， 又直线总数为条，故所求概率为. 故答案为： 【变式7-1】直线(，不全为)与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（     ） A．60条 B．66条 C．72条 D．78条 【答案】C 【详解】因为上的整点有12个：、、， 符合题意的直线可能同时经过上述个整点中的个点或者为圆上过上述个整点中的个点的切线， 再排除掉其中经过坐标原点的条，即得答案为， 故选：C. 【变式7-2】圆上有20个点，两两连线在圆内至多有几个交点？ 【答案】4845个 【详解】圆上任意4点其对角线交点必在圆内，又，故至多有4845个交点． 【变式7-3】如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为______. 【答案】150 【详解】从11个顶点中任取3个，有种取法， 而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有： 三点都在三条水平边上，有种， 三点都在三条竖直边上，有3种， 三点在正方形的对角线方向上，有3种， 则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有种； 所以可以构成三角形的组数为组. 故答案为：150. 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，由可得， 整理可得，即， 因为，解得，故. 故选：C. 2．文化节跳蚤市场某班摊位举办抽奖活动，已知10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，由于10张奖券中只有3张有奖，那么5个人购买，每人1张，所有的情况为， 那么对于没有人中奖的情况为，那么可知没有人中奖的概率为， 所以至少有1人中奖的概率. 3．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（       ） A．72 B．78 C．84 D．96 【答案】C 【详解】第一步：选择两个空盒子，有种方法； 第二步：4个不同的小球放入2个不同的盒子中，有两种方式， 第一种方式，两个盒子都有2个不同的小球，不同的方式有种， 第二种方式，两个盒子中一个盒子有1个小球，另一个盒子有3个不同的小球，所以不同的方法有， 所以恰有两个盒子为空的放法种数为. 故选：C 4．森林植被是主要由树木组成的植物群落，常见的典型类型包括：常绿阔叶林（以云南西双版纳为代表）、落叶阔叶林（以华北地区为代表）和针叶林（以大兴安岭为代表）．某地理研究团队计划派5个研究小组对这三种典型森林植被的3个代表地区进行考察，要求每个研究小组只分配到一个地区，每个地区至少分配1个研究小组，则不同的分配方案共有（    ） A．300种 B．240种 C．150种 D．120种 【答案】C 【详解】5个小组分配到3个地区，每个地区至少有1个小组，可分为两种情况： ①各地区小组数分别为1，1，3： 先将5个小组分为三组，再分配到3个地区，方法数为种； ②各地区小组数分别为2，2，1： 先将5个小组分为三组，再分配到3个地区，方法数为种； 因此所求方案共有种方法． 5．将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【详解】甲、乙两组各5个数，各按从小到大排列，甲组的中位数是甲组的第3个数，设为，乙组的第75百分位数是乙组的第4个数，设为. 由题意，，，故或， 当时，，该分组个数为（在1，2，3中选2个数，5，6，7中选1个数，9，10中选1个数，与组成甲组）， 当时，，则甲组的中位数为3，甲组必须包含1和2；乙组的第75百分位数为6，乙组必须有3个小于6的数，由于1, 2, 3均在甲组，乙组只有2个小于6的数（4,5），故此情况不成立． 综上，不同的分组个数为18． 故选：A. 6．某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（   ） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】C 【详解】跨0次2级（全跨1级），共走8步，有种走法； 跨1次2级，剩余6次1级，共走7步，选1步跨2级，有种走法； 跨2次2级，剩余4次1级，共走6步，选2步跨2级，有种走法； 跨3次2级，剩余2次1级，共走5步，选3步跨2级，有种走法； 跨4次2级（无剩余1级），共走4步，有种走法， 所以不同走法种数为. 7．6人同时被邀请参加一项活动.必须有人去，去几个人自行决定，共有________种不同的去法. 【答案】 【详解】如果有1个人去，则有种情况； 如果有2个人去，则有种情况； 如果有3个人去，则有种情况； 如果有4个人去，则有种情况； 如果有5个人去，则有种情况； 如果有6个人去，则有种情况； 所以共有种不同的去法. 8．将个不同的科研项目分配给个不同的研究所，要求每个研究所至少负责个项目，则项目和项目被分配到同一研究所的概率是_____． 【答案】 【详解】每个研究所至少负责个项目，可能分成型和型， 第一型有种方法，第二型有种方法， 共种方法． 若限定项目与分配到同一研究所，第一型有种方法， 第二型有种方法，共种方法． 故所求概率为． 故答案为：. 9．某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. 【答案】 【详解】每次摸球的情况有种. 先后两次摸球共有种情况. 两次得分5分的情况有： 第一次1分，第二次4分，共有种； 第一次2分，第二次3分，共有1种； 第一次4分，第二次1分，共有4种； 第一次3分，第二次2分，共有1种； 所以， 故答案为：. 10．某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为______. 【答案】112 【详解】当取到的3个产品编号是相邻整数时，不符合要求， 即，这8种情况不符合要求， 所以抽取方法种数为. 11．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三角形． 【答案】32 【详解】不共线的三个点可组成一个三角形， 7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况， 故组成三角形的个数为． 故答案为：32. 12．截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 【答案】145 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 13．某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）． 【答案】38 【详解】用表示三道函数题且难度从易到难， 用表示两道几何题且难度从易到难， 用表示两道概率统计题且难度从易到难， 先排几何题与概率统计题，则有①或、②或、 ③或这三类不同情况， 针对情况①：之间与之间必须插入一道函数题， 则剩余的道函数题有个位置可选，共有种情况； 针对情况②：再插入三道函数题，共有种情况； 针对情况③：则之间或之间必须插入一道函数题，共有种情况； 综上，共有种不同情况. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 组合与组合数 考点一：组合的定义及组合数 组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式：,这里,并且. 规定. 组合数的性质:（1） ;（2） 考点二：组合数的应用 1.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法 2.平均分组问题：一般先分堆，再除以. 3.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以 4.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 题型一、组合数的化简及证明 涉及具体数字问题可以直接运算； 组合数公式的主要作用:一是计算较大时的组合数;二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. 【例1】计算； 【例2】（多选）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【变式1-1】计算的值为______．（用数字作答） 【变式1-2】（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】m是自然数，n为正整数，且，求证：． 题型二、组合数的方程及不等式 关注组合数中的隐含条件,且,求解时应检验其结果是否满足这一条件. 【例3】已知，则___________． 【例4】求等式中的值. 【变式2-1】方程且的解为__________．（结果用数字作答） 【变式2-2】已知，则______． 【变式2-3】解不等式：. 题型三、特殊位置的组合问题 （1）特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据. （2）含有“至多”“至少”等限制词语时，要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解。 （3）分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达,逐类求解 【例5】（多选）某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（   ） A．若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案 B．若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案 C．若给无人机按1～7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序 D．若给无人机按1～7编号，已知甲、乙两街各至少需要2架无人机，丙、丁两街各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案 【例6】将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为___________． 【变式3-1】加德学校召集高二年级5个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余4个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的方法种数为______． 【变式3-2】有红、黄、蓝卡片各张，分别写有数字.从中选取张，要求三色俱全，且数字各一张，则不同的选法数目有________. 【变式3-3】现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 题型四、多面手问题 一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。 【例7】某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【例8】9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有______种不同的选法. 【变式4-1】“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 【变式4-2】某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有______种. 【变式4-3】已知名运动员中有人只擅长足球，人只擅长篮球，另外人篮球与足球都擅长． (1)若让这名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； (2)从这名运动员中选派人参加某项活动，要求这人中有人擅长足球，有人擅长篮球，求满足条件的选派方法种数． 题型五、隔板法 【例9】已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解. A．171 B．190 C．342 D．380 【例10】（1）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，每班至少1人，名额分配方案共有_____种. （2）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，名额分配方案共有_____种. 【变式5-1】总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【变式5-2】将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有___________种. 【变式5-3】从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种. 题型六、分组、分配问题 【例11】某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【例12】2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【变式6-1】将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．210种 D．300种 【变式6-2】春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（    ） A．90 B．150 C．240 D．300 【变式6-3】暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 题型七、有几何有关的组合问题 【例13】圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 【例14】在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为______. 【变式7-1】直线(，不全为)与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（     ） A．60条 B．66条 C．72条 D．78条 【变式7-2】圆上有20个点，两两连线在圆内至多有几个交点？ 【变式7-3】如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为______. 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．文化节跳蚤市场某班摊位举办抽奖活动，已知10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（   ） A． B． C． D． 3．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（       ） A．72 B．78 C．84 D．96 4．森林植被是主要由树木组成的植物群落，常见的典型类型包括：常绿阔叶林（以云南西双版纳为代表）、落叶阔叶林（以华北地区为代表）和针叶林（以大兴安岭为代表）．某地理研究团队计划派5个研究小组对这三种典型森林植被的3个代表地区进行考察，要求每个研究小组只分配到一个地区，每个地区至少分配1个研究小组，则不同的分配方案共有（    ） A．300种 B．240种 C．150种 D．120种 5．将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 6．某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（   ） A．32 B．33 C．34 D．35 7．6人同时被邀请参加一项活动.必须有人去，去几个人自行决定，共有________种不同的去法. 8．将个不同的科研项目分配给个不同的研究所，要求每个研究所至少负责个项目，则项目和项目被分配到同一研究所的概率是_____． 9．某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. 10．某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为______. 11．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三角形． 12．截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 13．某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $