6.3.2 二项式系数的性质（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，涵盖对称性、增减性与最大值、各系数和等核心知识点。通过计算工具填表、观察杨辉三角引导学生自主发现规律，衔接二项式定理，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察规律、用数学思维推导证明，结合赋值法求系数和等实例，培养运算能力与推理意识。通过典例分析与课堂达标强化应用，助力学生提升数学核心素养，也为教师提供系统的探究活动与题型参考，提升教学效率。

6.3 二项式定理 6.3.2 二项式系数的性质 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 两个计数原理 排列与组合 二项式定理 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理的综合运用 二项式定理 二项式系数的性质 排列 排列数 组合 组合数 两个计数原理的简单运用 学 习 目 标 1 2 3 掌握二项式系数的性质. 会求各二项式系数的和，提升数学运算的核心素养 能够运用赋值法求展开式中各项系数的和，提升数学运算的核心素养 知识回顾 1.二项式定理 2.二项展开式的通项 3.二项式系数： 有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究。 新知探究 探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中. n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 (a＋b)1 (a＋b)2 (a＋b)3 (a＋b)4 (a＋b)5 (a＋b)6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 通过计算，填表，你发现了什么规律？ 每一行中的系数具有对称性. 新知探究 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式: (1)每行两端的数都是1； (2)系数呈对称分布；与首末两端“等距离”的两个系数相等； (3)同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大. (4)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 思考 观察上图，还能发现哪些规律呢？ 新知探究 可看成是以r为自变量的函数 f (r),其定义域是： 对于确定的n，我们还可以画出它的图像． 例如，当n=6 时，f (r)= (r∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象是右图中的7个离散点． r f(r) O 1 2 3 5 10 15 20 4 5 6 新知探究 问题1 (1)观察右图，你发现了什么规律? (2)请你分别画出n=7 , 8 , 9时f(r)= 的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律? n=7 n=8 n=9 新知探究 由此我们可得二项式系数有以下性质： 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 事实上，这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴为 f (r) r n O 5 15 20 1 10 新知探究 2.增减性与最大值 ∴ 相对于 的增减情况由 决定． 新知探究 2.增减性与最大值 ∵二项展开式共有n+1项， ∴(1)当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大； (2)当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值. f (k) k n 3 O 5 15 20 1 10 1 2 4 5 n为偶数 f (r) r n O 5 15 20 1 10 n为奇数 新知探究 问题2 计算各二项式的系数之和，你能发现什么规律？ 1 4 6 4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 = = = = = + + + + + + + + + + + + + + + 2 4 8 16 32 =21 =22 =23 =24 =25 + + + + + + = 26 新知探究 以上猜想正确吗？如何证明？ 求证: (a+b)n 的展开式中的所有二项式系数的和等于 . 证法一: 令 a=1, b=1，则得 （赋值法） 令x =1，得 证法二: 新知探究 3．各二项式系数的和 思考 各二项式系数的和只与(a+b)中a，b，n哪个量有关系？ 各二项式系数的和只与n有关，与a，b无关. 典例分析 例1 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明： 思考 巩固练习 课本34页 解： 巩固练习 课本34页 证明： 巩固练习 课本34页 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 120 45 10 1 巩固练习 课本34页 解： 二项式系数的性质 题型一 题型探究 【例1】 在二项式 的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等. （1）求 的值； [解析] 依题意得，由组合数的性质得 . （2）求展开式中二项式系数最大的项. [解析] 因为二项式 的展开式的通项为 ,,1, ,8， 所以二项式 的展开式中二项式系数最大的项为 . 二项式系数的性质 题型一 题型探究 【例2】（1）在 的二项展开式中，与第3项二项式系数相同的项是( ) C A. 第8项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第10项 [解析] 由知，二项展开式共11项，第3项二项式系数为 ， 根据对称性，与第3项二项式系数相同的项的系数为 ，即为第9项. 故选C. （2） 的展开式中，二项式系数最大的项是 ( ) A. 第项 B. 第 项 C. 第项与第项 D. 第项与第 项 [解析] 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为 ， ，分别为第， 项. 各二项式系数的和 题型二 题型探究 【例3】(1)在二项式 的展开式中，各项的二项式系数的和为____，所有奇 数项的二项式系数的和为____.（用数字作答） [解析] 二项式 的展开式中，各项的二项式系数的和为， 所有奇数项的二项式系数的和为 . 64 32 (2)已知 的展开式中第4项与第10项的二项式系数相等，则其展开式的二项式 系数之和为( ) A A. B. C. D. [解析] 由题意，展开式中第4项与第10项的二项式系数相等，得， 所以，故其展开式的二项式系数之和为 .故选A. 各二项式系数的和 题型二 题型探究 (3)已知二项式的展开式的二项式系数之和为64，且 项的系数为15， 则 ____. [解析] 由展开式的二项式系数之和为64，可得， ， 则展开式的通项为 ， 当时，， ， . 二项展开式的各项系数的和 题型三 题型探究 【例4】 已知 .求： （1） ； [解析] 令，可得 . （2） ； [解析] 令 ，可得 ， 则 ， 所以 . 二项展开式的各项系数的和 题型三 题型探究 【例4】 已知 .求： （3） . [解析] 因为 的展开式的通项为 ,,1,2, ,8， 所以,,1,2, ,8， 故当为偶数时，；当 为奇数时， ， 所以 . 提分笔记 二项展开式的各项系数的和 题型三 题型探究 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法,根据题目 要求,灵活赋予字母不同的值. 令，可得常数项； 令 ,可得所有项的系数之和； 令 ,可得偶数项系数之和与奇数项系数之和的差. 二项式定理的灵活应用 题型四 题型探究 【例5】(1)的展开式中 的系数为( ) B A. 50 B. 55 C. 45 D. 60 [解析] 的展开式中 的系数是 . 故选B. (2) 的展开式中的系数为 ，则其展开式中的常数项为( ) A A. B. C. 4 D. 8 [解析] 的展开式中含 的项为 ， 所以，解得 . 所以的展开式中的常数项为 . 二项式定理的灵活应用 题型四 题型探究 (3)的展开式中含 的项的系数为( ) A A. B. 60 C. D. 30 [解析] 的展开式中含 的项为 ， 的展开式中含的项为 ， 的展开式中含 的项的系数为 . 二项式定理的灵活应用 题型四 题型探究 提分笔记 求两个多项式积的特定项的方法——“双通法” 根据多项式与多项式的乘法法则得到 的展开式 中的一般项： ，再依据题目 中对指数的特殊要求，确定与需满足的条件，进而求出， 的值. 二项展开式中的系数最值问题 题型五 题型探究 【例6】 已知 的展开式的各项系数和与它的二项式系数和的比值为32. [解析] 令，则展开式的各项系数的和为 . 又展开式的二项式系数和为 ， ， . 展开式共6项， 二项式系数最大的项为第3，4项， ， . （1）求展开式中二项式系数最大的项； 二项展开式中的系数最值问题 题型五 题型探究 【例6】 已知 的展开式的各项系数和与它的二项式系数和的比值为32. （2）求展开式中系数最大的项. [解析] 设展开式中第 项的系数最大， 则由 ， 得， ， 即展开式中系数最大的项 . 二项展开式中的系数最值问题 题型五 题型探究 【例7】已知 的展开式中的第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最 大的项的系数为_____. [解析] 展开式的通项为 ， 因为展开式中的第9项是常数项， 所以,解得 . 设第 项的系数的绝对值最大， 则 解得 ，因为，所以 ， 故系数的绝对值最大的项的系数为 . 二项展开式中的系数最值问题 题型五 题型探究 提分笔记 在系数均为正数的前提下,要求展开式的项的系数的最大值,只需比 较相邻两个项的系数的大小,根据通项正确地列出不等式（组），即设 第项的系数最大,则 需要注意 的是,系数最大的项不一定是二项式系数最大的项. 课堂达标 1. 的展开式中二项式系数最大的项为( ) C A. 第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第7项和第9项 [解析] 由二项式系数的性质可得，第8项和第9项的二项式系数最大. 2.已知 ，若 ，则 ( ) B A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 [解析] 令，得，令，得 ， 所以，解得 . 课堂达标 3.已知二项式 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含 的项的 系数是( ) D A. 1 B. C. D. 3 [解析] 由题意知，，解得， 所以 的展开式的通项为 ， 令，得，故含的项的系数为 .故选D. 课堂达标 4.若 ，则 _______. [解析] 在 中， 令，得 ， 令，得 ， 所以 . 课堂达标 5.在的展开式中， 的系数为( ) A. B. 21 C. D. 15 A [解析] 含的项是由 的6个括号中的 5个括号取 ，1个括号取常数相乘得到的， 所以展开式中含的项的系数为 . 2.在 的二项展开式中，系数最大的项是( ) C A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 [解析] 二项式 的展开式的通项为 ， 故第项的系数为，当 ,2,4,6时，系数为正， 因为,所以当 时，系数最大， 故系数最大的项是第5项. 课堂小结 1. 对称性： 二项式系数有以下性质： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 2. 增减性与最大值 3. 各二项式系数的和 感谢聆听! $