精品解析：2026届河北省部分高中高三一模考试数学试题

2026届河北省部分高中高三一模考试数学试题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足z·(1+i) =1-2i，则|z| =（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则及复数模定义计算即可. 【详解】由题意， 故. 2. 设全集，集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】因，又， 故，故其子集个数为. 3. 若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数定义，结合指数运算求解即得. 【详解】函数的定义域为R， 由是偶函数，得，，即， 因此，即，则， 所以. 4. 为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C. 顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D. 顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故中位数在中，故中位数大于，故B错误； 对于C，设顾客平均每次的消费金额的极差，则， 故，故C正确； 对于D，顾客平均每次的消费金额的平均数为： （元）， 故D错误. 5. 已知函数 的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式及二倍角公式对函数进行化简，再结合余弦型函数的性质求解即可. 【详解】 . 由题意知，，因为，所以. 6. 已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【详解】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有， 整理得，因， 代入化简得 解得：，代入，可得， 因，， 则， 故. 7. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及中位线定理得到相关线段的长度关系，再利用中点坐标公式，点在双曲线上建立等量关系，化简整理得到关于，的等式，代入求解即可. 【详解】设，，，如图： 因为为线段的中点，为线段的中点，所以. 又，所以，即， 化简得①. 因为，所以为线段的中点，故， 因为在上，所以，化简得，解得②. 将②代入①，得，化简得， 所以，又，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 与夹角的余弦值为 D. 若与垂直，则实数 【答案】AC 【解析】 【详解】对A，，则，故A正确； 对B，在上的投影向量为，故B错误； 对C，与夹角的余弦值为，故C正确； 对D，，若与垂直， 则，解得，故D错误. 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C. 若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D. 若，是圆上任意一点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，判断直线的定点与圆的位置关系，进而确定直线与圆的位置关系；对于B，根据直线被圆截得的弦长最短和最长时，直线与的关系确定弦长的最小值和最大值；对于C，根据圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，结合圆心到直线的距离公式求出的值；对于D，根据两点距离公式列出等式，化简即可. 【详解】对于A，直线的方程变形为，过定点，设为点. 将点代入圆方程的左侧得， 所以点在圆内，所以直线与圆相交，A正确； 对于B，圆方程变形为，圆心，半径为. 当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为， 当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为. 所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确； 对于C，因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线的距离为. 则，化简得，解得， 所以圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有1条，C错误； 对于D，设，因为，所以， 因为，所以， 等式两边平方得，化简得，与圆的方程一致， 所以D正确. 11. 欧拉函数由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出，记作，表示不大于n的正整数中与n互质的数的个数，例如.若数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 不可能是的等差中项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设的定义有判断A，由，结合互质的性质分析与、互质的数判断B，根据B的分析写出的通项公式判断C、D. 【详解】由题设，显然不是单调递增，A错， 由，显然互质，则相互独立， 结合函数的新定义及独立事件乘法知， 在中，与不互质的数有，共有个， 所以与互质的数有，同理与互质的数有， 所以，B对， 由上述分析知，C对， 同B分析，且互质，则， 且互质，则， 所以，则， ， 要使是的等差中项，则，而只有， 由，显然，故不可能是的等差中项，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. 已知抛物线 的焦点为F，准线为，过且与C 的对称轴垂直的直线l交C于A，B两点，则|AB|=________. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和性质求解. 【详解】抛物线 的准线为，，， ， 是过且与C 的对称轴垂直的直线，且l交C于A，B两点，且， ，，，， 当时，， ； 当时，， . 故答案为：. 13. 国家发展改革委等部门印发的《电动汽车充电设施服务能力“三年倍增”行动方案(2025—2027年)》中提出，到2027年底，在全国范围内建成2800万个充电设施，提供超3亿千瓦的公共充电容量，满足超过8000万辆电动汽车充电需求，实现充电服务能力的翻倍增长.已知某城市现有1万个充电桩，为响应国家号召，打算接下来一年内新建3万个充电桩，此后每年新建的数量都比上一年增加25%，若该城市计划将充电桩总量提升至79万个，则至少需经过________年.(结果保留整数，参考数据： ) 【答案】10 【解析】 【分析】由题意，可知每年新建的充电桩的数量构成等比数列，列出不等式，利用等比数列的求和公式与对数函数的单调性求解即得. 【详解】因该城市现有1万个充电桩，第一年新建3万个，之后每年新建数量比上一年增加25%， 则每年新建的充电桩的数量构成等比数列，其首项为，公比为， 设经过年，充电桩总量达到79万个. 依题意，，即， 化简得，即， 两边取常用对数，得，因， 代入可得，因，则. 14. 已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________. 【答案】或. 【解析】 【分析】令，考虑方程的解，根据题设条件可得，且有两个不同的解，结合换元法和根分布可求的取值范围. 【详解】令，考虑方程的解即，即， 若，此时无解，故无解， 故的实数根的个数为零. 若，则的解为， 下面考虑的解即方程的解， 若的实数根的个数最多，则有两个不同的解， 令，故在上有两个不同的解， 故，故或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △ABC中，已知内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足 （1）当 时，求； （2）若a=2，当取最大值时，求. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可； （2）利用，然后利用两角差的正切公式化简结合均值不等式，从而求得的值. 【小问1详解】 由,得,由正弦定理得，则， 即,得，由可得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，则，所以， 当且仅当时，取得最大值， 由及，得，此时， 又，所以. 16. 甲、乙两名同学进行投篮游戏，两人各投一次称为一轮，投中记1分，投不中记0分，甲、乙每次投中的概率分别为 ，且每次投篮结果都相互独立，共进行3轮游戏，总分多者获胜，相等为平局. （1）求甲获胜的概率； （2）游戏结束后，记甲、乙两名同学的得分之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） ； （2） 随机变量的分布列为： .【解析】 【分析】因为甲乙投篮结果相互独立，所以可利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，分别计算甲获胜的每种情况的概率再求和. 先确定随机变量X的所有可能取值，利用独立事件概率乘法公式计算每个组合的概率，求出分布列. 【小问1详解】 设甲、乙三轮总得分为、，且、服从二项分布， ，，，； ，，，； =++= 所以甲获胜的概率为. 【小问2详解】 X可能的取值为， ，； ； ； ； ； ； 随机变量的分布列为： =. 17. 如图，在平面四边形中，已知是等腰直角三角形，，是边长为4的正三角形.现将沿对角线 折起到的位置. （1）在翻折过程中，记点 P 到平面距离最大时的点 P 为点 . （i）求点 D 翻折到点的轨迹长度； （ii）求平面与平面所成二面角的正弦值. （2）若平面，M是线段 PB上的点，且满足，点分别是平面与平面内的动点，求 的最小值. 【答案】（1） （i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）分析点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧进行计算即可； （ii）以中点为原点建立空间直角坐标系，求出法向量计算即可； (2)以为原点建立空间直角坐标系，作关于平面的对称点，转化成求到平面的最短距离即可. 【小问1详解】 （i）已知是等腰直角三角形，， 是边长为4的正三角形，故. 取中点，则 翻折时，，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧. 当到平面距离最大时，平面平面，此时， 则轨迹长度为. （ii）由（i）可知两两相互垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，易得， 平面的法向量为，则，易得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以. 【小问2详解】 因为平面，且，以为原点建立空间直角坐标系如图， ,, 作关于平面的对称点， 因为，所以，则， 所以，即求到平面的最短距离， 所以， 可设平面的法向量， 所以点到平面的距离， 即的最小值为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）设，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，进而求出单调区间即得最小值. （2）由（1）的结论可得，取并变形不等式，再借助裂项法求和及不等式性质推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 令，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则当时，，当时，取， 可得， 即， 则 ， 所以. 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为E，且 ，点在C上. （1）求C的方程. （2）已知A，B是椭圆 上的点，是C 上一点，若线段 PA，PB 的中点都在上，记 （i）当点 P 运动时，证明：的面积是定值； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）的面积定值为，证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用焦点距离关系与椭圆基本量关系求出，再代入已知点得方程 （2）（i）由中点条件推出共线方程，联立直线与椭圆，用弦长公式和点到直线距离，结合的椭圆方程化简得面积为定值；（ii）用三角形面积公式与向量点积将表示为关于点积的函数，利用韦达定理求点积范围，从而得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，， 因为，所以，整理得， 联立，整理得，即， 所以，代入得，解得，则， 所以椭圆的方程为： 【小问2详解】 （i）设在上， 则的中点为在上， 代入得，整理得， 代入得，整理得， 因为在上，则，在上，则， 联立，整理得， 联立，整理得， 因此在直线上， 联立，得，则， ， 直线的斜率为， 则， 点到的距离， 则， 因为即，代入得， 即的面积是定值. （ii）设，则， ， 故， 由（i）知， ，则 ， 结合， 整理得， 其中，故， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届河北省部分高中高三一模考试数学试题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足z·(1+i) =1-2i，则|z| =（ ） A. B. C. D. 2 2. 设全集，集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 3. 若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C. 顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D. 顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 5. 已知函数 的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 7. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 与夹角的余弦值为 D. 若与垂直，则实数 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C. 若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D. 若，是圆上任意一点，则 11. 欧拉函数由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出，记作，表示不大于n的正整数中与n互质的数的个数，例如.若数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 不可能是的等差中项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. 已知抛物线 的焦点为F，准线为，过且与C 的对称轴垂直的直线l交C于A，B两点，则|AB|=________. 13. 国家发展改革委等部门印发的《电动汽车充电设施服务能力“三年倍增”行动方案(2025—2027年)》中提出，到2027年底，在全国范围内建成2800万个充电设施，提供超3亿千瓦的公共充电容量，满足超过8000万辆电动汽车充电需求，实现充电服务能力的翻倍增长.已知某城市现有1万个充电桩，为响应国家号召，打算接下来一年内新建3万个充电桩，此后每年新建的数量都比上一年增加25%，若该城市计划将充电桩总量提升至79万个，则至少需经过________年.(结果保留整数，参考数据： ) 14. 已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △ABC中，已知内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足 （1）当 时，求； （2）若a=2，当取最大值时，求. 16. 甲、乙两名同学进行投篮游戏，两人各投一次称为一轮，投中记1分，投不中记0分，甲、乙每次投中的概率分别为 ，且每次投篮结果都相互独立，共进行3轮游戏，总分多者获胜，相等为平局. （1）求甲获胜的概率； （2）游戏结束后，记甲、乙两名同学的得分之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 17. 如图，在平面四边形中，已知是等腰直角三角形，，是边长为4的正三角形.现将沿对角线 折起到的位置. （1）在翻折过程中，记点 P 到平面距离最大时的点 P 为点 . （i）求点 D 翻折到点的轨迹长度； （ii）求平面与平面所成二面角的正弦值. （2）若平面，M是线段 PB上的点，且满足，点分别是平面与平面内的动点，求 的最小值. 18. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）设，求证：. 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为E，且 ，点在C上. （1）求C的方程. （2）已知A，B是椭圆 上的点，是C 上一点，若线段 PA，PB 的中点都在上，记 （i）当点 P 运动时，证明：的面积是定值； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $