第23章 四边形（复习课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

单元复习课件 第23章 四边形 沪教版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.牢固掌握多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理。 3.提升逻辑推理能力、空间想象能力和数学建模能力，培养数学核心素养。 2. 能够熟练运用相关性质和判定定理，解决复杂的几何证明题和计算题。理解四边形与三角形等图形的联系与转化，体会转化思想在几何解题中的应用。 单元学习目标 任意 四边形 平行 四边形 正方形 矩形 菱形 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角且一组邻边相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 单元知识图谱 正方形是特殊的矩形和菱形 矩形和菱形都是特殊的平行四边形 平行四边形是特殊的四边形 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 单元知识图谱 1.7.2013 为了更好地理解这四种图形之间的联系，我们来看这张关系图。从图中可以一目了然地看出，正方形是最特殊的，它既是矩形也是菱形；而矩形和菱形都属于平行四边形，平行四边形又是四边形的一种。理清它们之间的关系，有助于我们更灵活地运用相关性质和判定。 ‹#› 几种特殊四边形的性质 边 角 对角线 对称性 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 对边平行且相等 四个角 都是直角 互相平分且相等 轴对称图形 对边平行 且四边相等 对角相等 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 对边平行 且四边相等 四个角 都是直角 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 中心对称图形 单元知识图谱 几种特殊四边形的常用判定方法 条件 平行四边形 矩形 菱形 正方形 1. 定义：两组对边分别平行； 2. 两组对边分别相等； 3. 两组对角分别相等；4. 对角线互相平分；5. 一组对边平行且相等. 1.定义：有一个角是直角的平行四边形；2. 对角线相等的平行四边形；3. 有三个角是直角的四边形. 1. 定义：一组邻边相等的平行四边形 ；2. 对角线互相垂直的平行四边形；3. 四条边都相等的四边形. 1. 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形； 2. 有一组邻边相等的矩形；3. 有一个角是直角的菱形； 4. 对角线垂直平分且相等 单元知识图谱 核心考点一：多边形 定义 由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 内角和定理 n边形的内角和等于(n-2) × 180°。这是多边形最基础的性质之一。 外角和定理 任意多边形的外角和都等于360°。无论边数n是多少，外角和恒定不变。 对角线 从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，总共有条对角线。 边 顶点 对角线 内角 外角 考点串讲 1.7.2013 在深入学习特殊的四边形之前，我们先来回顾一下多边形的基本概念。多边形是由多条线段围成的封闭图形，它的内角和、外角和以及对角线数量都有固定的规律。理解这些基本定理，对于我们后续学习平行四边形、矩形等特殊四边形至关重要。 ‹#› 例题 1.一个多边形的内角和是540°，这个多边形是( ____ ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 解析 解：设多边形的边数是n,则 (n-2)•180°=540°， 解得n=5， ∴这个多边形是五边形， 故选：A． A 题型剖析 1.7.2013 填空题通常考查对性质的应用和简单计算。这道题就是利用了菱形对角线互相垂直平分的性质，将其转化为直角三角形问题来求解边长和面积。掌握这种转化思想，对于解决几何问题非常重要。 ‹#› 核心考点二：平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 性质 1.对边平行且相等；对角相等，邻角互补。 2.对角线互相平分。 判定 1.两组对边分别平行 / 两组对边分别相等。 2.一组对边平行且相等。 3.对角线互相平分的四边形是平行四边形。 平行四边形动图演示 考点串讲 例题 2.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为 E、F，若∠B=50°，则∠FAE的度数是 _____ ． 解析 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∵∠B=50°，∴∠C=180°-∠B=130°， ∵AE⊥BC、AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴∠FAE=360°-∠AEC-∠AFC-∠C=50°， 故答案为：50°． 50° 题型剖析 1.7.2013 填空题通常考查对性质的应用和简单计算。这道题就是利用了菱形对角线互相垂直平分的性质，将其转化为直角三角形问题来求解边长和面积。掌握这种转化思想，对于解决几何问题非常重要。 ‹#› A B C D O E F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO， BO=DO ∵AE=CF， ∴EO=FO 又∵BO=DO ∴四边形BFDE是平行四边形 例题 3.已知□ABCD的对角线AC、BD相交 点O,点E.F是AC上的两点，并且AE=CF. 求证四边形BFDE是平行四边形. 题型剖析 核心考点三：矩形 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质 1. 具有平行四边形的所有性质； 2. 四个角都是直角；3. 对角线相等。 判定 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 对角线相等的平行四边形是矩形； 3. 有三个角是直角的四边形是矩形。 A B C D O 考点串讲 1.7.2013 接下来是矩形。矩形是特殊的平行四边形，它的特殊性就在于“有一个角是直角”。因此，它不仅具有平行四边形的所有性质，还拥有自己独特的性质，比如四个角都是直角，对角线相等。判定一个四边形是矩形，我们可以从平行四边形出发，也可以直接从四边形出发。 ‹#› 例题 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD， AE⊥AD，EF⊥AC． (1)求证：四边形ADCE是矩形； 解析 证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∵CE∥AD，∴∠ECD＝180°－∠ADC＝90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，∴四边形ADCE是矩形． 题型剖析 1.7.2013 填空题通常考查对性质的应用和简单计算。这道题就是利用了菱形对角线互相垂直平分的性质，将其转化为直角三角形问题来求解边长和面积。掌握这种转化思想，对于解决几何问题非常重要。 ‹#› 例题 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD， AE⊥AD，EF⊥AC． (2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长． 解析 题型剖析 1.7.2013 填空题通常考查对性质的应用和简单计算。这道题就是利用了菱形对角线互相垂直平分的性质，将其转化为直角三角形问题来求解边长和面积。掌握这种转化思想，对于解决几何问题非常重要。 ‹#› 核心考点四：菱形 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质 1.具有平行四边形的所有性质。 2.四条边都相等。 3.对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 判定 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.四条边都相等的四边形是菱形。 O A B C D 考点串讲 1.7.2013 第三个考点是菱形。菱形同样是特殊的平行四边形，它的特殊性在于“有一组邻边相等”。这使得它除了具备平行四边形的性质外，还拥有四条边都相等、对角线互相垂直且平分对角的特性。这些性质和判定方法是解决菱形相关问题的关键。 ‹#› 例题 5.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为12和15，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，那么阴影部分的面积是 ____ ． 解析 解：设AP与EF相交于O点． ∵四边形ABCD为菱形，∴BC∥AD，AB∥CD． ∵PE∥BC，PF∥CD，∴PE∥AF，PF∥AE． ∴四边形AEFP是平行四边形．∴阴影部分的面积等于△ABC的面积． ∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半， ∴菱形ABCD的面积= AC•BD=90， ∴图中阴影部分的面积为90÷2=45．故答案为：45． 45 题型剖析 1.7.2013 填空题通常考查对性质的应用和简单计算。这道题就是利用了菱形对角线互相垂直平分的性质，将其转化为直角三角形问题来求解边长和面积。掌握这种转化思想，对于解决几何问题非常重要。 ‹#› 证明：证法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CF，∴∠1=∠2. 又∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴△AOE≌△COF，∴EO=FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形. A B D C F E O 1 2 例题 6.如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形． 题型剖析 A B D C F E O 1 2 证明：证法二 ∵EF垂直平分AC，∴AE=EC，AF=FC，OA=OC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠1=∠2. 在△OAE和△OCF中， ∴△OAE≌△OCF (ASA).∴EA=FC, ∴EA=EC=FA=FC, ∴四边形AFCE是菱形. 例题 6.如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形． 题型剖析 核心考点五：正方形 定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 性质 1. 具有矩形的所有性质（四角直角，对角线相等）。 2. 具有菱形的所有性质（四边相等，对角线垂直平分）。 判定 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形。 2. 有一个角是直角的菱形是正方形。 3. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 记忆口诀：正方形，最特殊， 兼具矩菱两性质，判定需从基础证。 A B D C F H E G 考点串讲 1.7.2013 最后一个核心考点是正方形。正方形是最特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形。因此，它集合了矩形和菱形的所有性质。 判定一个图形是正方形，可以从矩形或菱形的基础上进行判定，也可以直接从平行四边形出发。大家可以结合右侧的对比图，直观地理解正方形与其他特殊四边形的关系。 ‹#› 例题 7.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在边AB上取了 一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ A D B C E 解：在Rt△BEC中，BC===20(m)， 故场地的面积为BC2=800 m2. 对角线长为==40 (m). 所以这块场地的面积为800m2，对角线长为40m. 题型剖析 1.7.2013 填空题通常考查对性质的应用和简单计算。这道题就是利用了菱形对角线互相垂直平分的性质，将其转化为直角三角形问题来求解边长和面积。掌握这种转化思想，对于解决几何问题非常重要。 ‹#› 证明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC, ∴四边形CEDF是矩形. 又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴矩形CEDF是正方形. A B C D F E 例题 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC, DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边形CEDF是正方形. 题型剖析 核心考点六：两条平行线之间的距离 a b A B C D E F 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离. 性质 两条平行线之间的距离处处相等. 例题 9.如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC，∠C=90°，AD=3，AB=4,BC=5，E为边BC上一点，AB∥ DE.求AD，BC之间的距离. A D C B E 解：∵ AD ∥ BC，AB ∥ DE，∴ 四边形 ABED 是平行四边形， ∴ DE = AB = 4，BE = AD = 3，∴ CE = BC − BE = 5 − 3 = 2， ∴ CD = = = = 2，即AD，BC之间的距离为2. 考点串讲 定义 连接三角形两边中点的线段. 定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 核心考点七：三角形中位线 例题 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，点E，F分别是AD，AC的中点，连接EF，若EF=3，则AD的长为 ____ ． 解：∵点E，F分别是AD，AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴ ，∴CD=6，∵∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，∴AD=CD=6．故答案为：6． 6 考点串讲 B C A E D F G O 证明：∵ BD 和 CE 是 △ABC 的两条中线， ∴ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE =BC，DE ∥ BC. ∵ F，G 分别是 OB，OC 的中点， ∴ FG 是 △OBC 的中位线， ∴ FG = BC，FG ∥ BC， ∴ DE = FG，DE ∥ FG， ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形. 例题 11.如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形. 题型剖析 核心考点八：三角形的重心 定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点三角形重心定理对边中点的距离的两倍. 定义 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。 例题 12.在中，，，，那么它的重心到点的距离是 ． 解：如图，延长交于点，点为的重心， 为边上的中线，，，， ，，，，， 即三角形的重心到点的距离是．故答案为：． 考点串讲 1.已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1720°，则这个内角的度数为_______. 解析：设这个多边形的边数是 n，则其内角和为 (n - 2) × 180°. 根据题意，得 0° < (n - 2) × 180° - 1720° < 180°， 解得 11< n < 12 . 又 n 为正整数，∴ n = 12， ∴ 这个内角的度数为 (12 - 2) × 180° - 1720° = 80°. 80° 针对训练 2.顺次联结对角线相等的四边形四条边的中点，所得的四边形是 ． 菱形 四边形DEFG是平行四边形 顺次联结四边形四条边的中点 线段GF是△CAB的中位线 线段DG是△AOC的中位线 一组邻边相等 AB=OC 针对训练 28 3.顺次联结对角线互相垂直的四边形四条边的中点，所得的四边形是 ． 矩形 有一个直角 DG∥OC GF∥AB 四边形DEFG是平行四边形 顺次联结四边形四条边的中点 线段GF是△CAB的中位线 线段DG是△AOC的中位线 AB⊥OC Q AB⊥OC 针对训练 29 4．两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线，那么与的“重心距”为 ． 解：连接，与交于点，设点为的重心， 点为的重心，如图，四边形为菱形， ，，． ． 点为的重心，点为的重心， ，． 与的“重心距”为：．故答案为：． 针对训练 5.如图，将边长为的正方形纸片沿 折叠（点，分别在边，上）， 使点落在边上的点处，点落在点 处，与交于点.若，则折 痕的长为____ . 13 解：如图，过点作，垂足为，连接 四边形 是正方形，.易知四边形是矩形， ， 由折叠易知， ， . 又 ， ， .故答案为13. 针对训练 31 6.如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中 点，连接DE，CD，过点E作EF∥CD交AC的延长线于点 F．求证：CF＝AC． 针对训练 7. 如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD． （1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD=6，CD=3，求AC的长． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD. ∵BE=AB，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形. ∵AD=BC，AD=DE，∴BC=DE，∴▱BECD是矩形. （2）解：如图，∴ AB = BE = 3,∴AE=6. ∴△ADE是等边三角形.∴ ∠ABD = 90°， ∴ BD = = = 3， ∴ CE = 3， ∴ AC = = = 3. 针对训练 证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD，∴∠BAF＝∠DCE＝90°.∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE，∴△ABF≌△CDE(AAS)． 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD． (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由． 针对训练 9.如图，在矩形中， 的平分线交于点， 于点，于点，与交于点 ． （1）判断四边形 的形状，并说明理由； 【解】四边形为正方形．理由如下： 四边形 为矩形， ， ， 四边形 为矩形. 是的平分线，， 四边形 为正方形． （2）若，，求 的长． 【解】 四边形为正方形，， ， ．是的平分线，． 在和 中， ， ． 针对训练 35 10.如图，在菱形ABCD中，E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF． (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状． 针对训练 36 11.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点． (1)如图①，过点E分别作垂线EF，EG，交BC，CD于点F，G， 求证：四边形EFCG是正方形． 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°.∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴四边形EFCG是矩形， 易得∠FEC＝45°＝∠ACB，∴EF＝CF，∴四边形EFCG是正方形． 证明：过E作EF⊥BC于F点，过E作EG⊥CD于G点，由(1)知四边形EFCG是正方形，∴∠GEF＝90°，EF＝EG，∵四边形DEMN是矩形，∴∠DEM＝90°，∴∠DEG＝90°－∠MEG＝∠MEF.又∵∠EFM＝90°＝∠EGD， ∴△EMF≌△EDG，∴EM＝ED，∴矩形DEMN是正方形． (2)如图②，连接DE，过点E作EM⊥DE，交BC于点M，以DE，EM为邻 边作矩形DEMN，连接CN．在点E移动过程中． 求证：矩形DEMN是正方形． 针对训练 37 12.如图，已知在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内任意一点，点D、G、E、F分别是AB，AC，OB，OC的中点． (1)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)若∠A=2∠BDE，求证：四边形DEFG是矩形． 证明：(1)∵点D、G、E、F分别是AB，AC，OB，OC的中点， ∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，DG= BC， 同理：EF∥BC，EF= BC，∴DG∥EF，DG=EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； 针对训练 38 12.如图，已知在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内任意一点，点D、G、E、F分别是AB，AC，OB，OC的中点． (2)若∠A=2∠BDE，求证：四边形DEFG是矩形． (2)∵点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点， ∴DG是△ABC的中位线，EF是△OBC的中位线， ∴DG∥BC，DG= BC，EF∥BC，EF= BC， ∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，DG∥EF，DG=EF， ∴四边形DEGF是平行四边形， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ADG=∠AGD， ∵∠ADG+∠AGD+∠A=180°，即2∠ADG+∠A=180°， ∴∠ADG+ ∠A=90°，∵∠A=2∠BDE，∴∠BDE= ∠A， ∴∠ADG+∠BDE=90°，∴∠EDG=180°-∠ADG-∠BDE=180°-90°=90°， ∴四边形DEFG是矩形． 针对训练 39 13.如图，已知▱ABCD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F． (1)求证：四边形DECF是矩形； (2)设DE边与AB相交于点G，连结CG、BD，若CG=BD，求证：∠FDC=∠BGE． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵CF∥DE， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=90°， ∴四边形DECF是矩形； 针对训练 40 13.如图，已知▱ABCD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F． (2)设DE边与AB相交于点G，连结CG、BD，若CG=BD，求证：∠FDC=∠BGE． (2)如图，∵BG∥CD，CG=BD， ∴四边形DGBC为等腰梯形，∴DG=CB， ∵AD=BC，∴AD=DG， ∵∠ADG=∠FDG=90°， ∴∠DAG=∠DGA=45°， ∴∠BGE=∠DGA=45°， ∵AB∥DC，∴∠CDG=∠DGA=45°， ∴∠FDC=∠FDE-∠CDG=90°-45°=45°， ∴∠FDC=∠BGE． 针对训练 41 14.如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC,PE∥AB． (1)用a表示四边形ADPE的周长为________． 2a 解：当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形．理由：连接AP. ∵PD∥AC，PE∥AB，∴四边形ADPE为平行四边形．∵AB＝AC，P为BC的中点， ∴∠PAD＝∠PAE.∵PE∥AB，∴∠PAD＝∠APE.∴∠PAE＝∠APE.∴EA＝EP. ∴四边形ADPE是菱形． (2)当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？请说明理由． 当点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形． (3)如果△ABC不是等腰三角形(如图②)，其他条件不变，当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)？ 针对训练 知识梳理 平行四边形 定义：两组对边分别平行。 性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。 判定：从边、角、对角线三个维度判定。 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形。 性质：四个角都是直角，对角线相等。 判定：平行四边形+直角/对角线相等；或直接三个角是直角。 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形。 性质：四条边相等，对角线互相垂直平分。 判定：平行四边形+邻边相等/对角线垂直；或直接四条边相等。 正方形 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 性质：兼具矩形和菱形的所有性质。 判定：矩形+邻边相等；菱形+直角；平行四边形+对角线相等且垂直。 课堂总结 1.7.2013 现在我们对本章的核心知识进行一次全面的梳理。请大家对照这个表格，回顾平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定方法，确保每个知识点都准确无误地掌握。 ‹#› 方法总结 转化思想 将四边形问题转化为三角形问题来解决，例如利用对角线将平行四边形分成三角形，利用勾股定理计算边长。 方程思想 在计算边长、角度或面积时，通过设未知数，利用几何性质建立方程求解。 分类讨论思想 在判定四边形形状时，需要考虑不同的条件组合，避免遗漏情况。 数形结合思想 结合图形的直观性和代数的逻辑性，帮助分析和解决问题。 课堂总结 1.7.2013 除了知识本身，我们更要掌握解决问题的方法和思想。本章主要用到了转化、方程、分类讨论和数形结合这四种数学思想。这些思想不仅适用于四边形，在整个数学学习中都非常重要，希望大家能用心体会并灵活运用。 ‹#› 易错点提醒 混淆判定条件 例如，误认为“对角线相等的四边形是矩形”，忽略了“平行四边形”的前提。 忽略特殊图形的性质 在解决正方形问题时，忘记它同时具有矩形和菱形的所有性质。 计算错误 特别是在利用勾股定理计算边长或利用对角线计算面积时，容易出现计算失误。 证明步骤不严谨 证明过程中逻辑跳跃，缺少关键步骤，或者理由不充分。 课堂总结 1.7.2013 最后，我们来总结一下本章常见的易错点。这些都是同学们在作业和考试中容易出错的地方，希望大家引以为戒，在解题时更加细心、严谨，避免犯类似的错误。 ‹#› 感谢聆听! Lavf57.25.100 解：由(1)可知四边形ADCE是矩形．∴AE＝DC，AD＝CE＝3，∠AEC＝90°，∵D是BC的中点，BC＝4，∴DC＝AE＝BC＝2.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵EF⊥AC，∴易得EF·AC＝AE·CE，即EF×＝×2×3，∴EF＝. 证明：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝AC，DE∥AC. ∵EF∥CD，∴四边形DEFC是平行四边形． ∴DE＝CF. ∴CF＝AC. 解：四边形AECF是菱形．理由如下：∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED， ∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．在Rt△ABF中，∵∠ABD＝30°，∴AF＝BF， 在Rt△DCE中，∵EF＝DF，∴CF＝DE，∵BF＝DE，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形． 解：由(1)知AB＝BC＝DC＝AD，∵E，O，F分别为AB，AC，AD的中点， ∴AE＝AB，AF＝AD，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC， ∴AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形． ∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD. ∵E，F分别为AB，AD的中点，∴BE＝AB，DF＝AD， ∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)． $