精品解析：河南省开封高级中学2026届高三下学期学情调研（三）数学试题

学情调研（三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足：，为虚数单位，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，则关于这组数据的结论错误的是（ ） A. 平均数为2 B. 众数为1 C. 极差为3 D. 中位数为 4. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知，满足：，的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在等比数列中，，公比，也是中的项（），当最小时，对应的，，则的通项公式为（ ） 参考公式：． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（ ） A. 直线平面 B. C. 直线与直线所成的角为 D. 到平面距离为 10. 已知函数，则下列正确的有（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 是图象的一条对称轴 D. 的值域为 11. 已知等差数列满足：，公差，其前项和为，且，则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，，则实数的值为______． 13. 在正四棱台中，，，为线段的中点，则三棱锥的体积为______． 14. 如图，过作两条不同的直线，且分别交抛物线于四点，分别交轴于两点，以为直径作圆，过原点作的切线，则切线段的长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，实地测量中，在岸边选了3个位置在对岸处，下面得到了一些参数．已知：，，，． （1）求的长度； （2）求的值． 16. 在长方体中，，，为线段的中点，． （1）求的长度； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 甲、乙两人进行投篮，两人每次投进的概率分别为，． （1）若甲、乙两人各投篮一次，“两人总投进次数”，求的值； （2）若甲投篮3次，乙投篮2次，比较两人所投进的球数，进球多者胜出，求甲胜出的概率． 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点为，是双曲线上一点，轴，． （1）求双曲线的标准方程． （2）过点作斜率为的直线交该双曲线于两点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若点不在直线上，且点满足：平分，求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）证明：． （2）对于任意的，求解下列问题． （ⅰ）已知函数，证明：有两个不同的实数根：； （ⅱ）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学情调研（三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足：，为虚数单位，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合后利用交集定义即可得. 【详解】由可得，则，故． 3. 一组数据：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，则关于这组数据的结论错误的是（ ） A. 平均数为2 B. 众数为1 C. 极差为3 D. 中位数为 【答案】D 【解析】 【详解】平均数：，A正确； 众数为1，B正确； 极差：，C正确； 将10个数排列：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4，可知：中位数为2，故D错误． 4. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积坐标公式及运算律，即可得答案. 【详解】由题意， 所以，而， 所以． 5. 过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过设切点，求导得斜率，再利用切线过原点表示斜率，列方程得切点坐标，即得斜率. 【详解】设切点坐标为，切线的斜率为， 显然不合题意， 时，， ，解得, 故. 6. 已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的方程，再根据同解可求的值. 【详解】设，，直线的斜率为， 由已知，则，， ，， 两式相减整理得：，故可得：， 故直线， 由可得， 由可得， 由题设，两个方程均有解， 故，故． 7. 已知，满足：，的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角换元结合三角恒等变换即可求解. 【详解】，令，，， 代入整理得： ， 即的最大值为，即． 8. 在等比数列中，，公比，也是中的项（），当最小时，对应的，，则的通项公式为（ ） 参考公式：． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过利用等比数列的通项公式、乘积性质以及“是数列中的项”这一条件建立关系，验证时符合题意，即可求得通项. 【详解】因为是等比数列，首项，公比， 所以，， 由题意可知：为非负整数， 因为为奇数，而是非负整数，则必须为偶数，即为奇数， 又，取检验知：时符合题意，， 与相除得：，则可得，，故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（ ） A. 直线平面 B. C. 直线与直线所成的角为 D. 到平面距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，对A，求直线的方向向量和平面的法向量，验证方向向量与法向量垂直，结合线不在面内判定；对B，计算和​的数量积判断；对C，利用异面直线夹角公式，计算两个方向向量夹角的余弦绝对值判断；对D，求出平面的法向量，代入距离公式计算验证. 【详解】以为原点，​分别为轴， 由，得各点坐标： ， 对于选项A：，平面中， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量 ， 因为，故，且不在平面内， 因此平面，A正确； 对于选项B：， 因为 ，所以，B正确； 对于选项C：，设异面直线与所成角为，  则，得，C错误； 对于选项D：，设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离： ，D正确. 10. 已知函数，则下列正确的有（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 是图象的一条对称轴 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【详解】, ，所以，故A正确； ，故C正确； 因为函数的周期为，故可取一个周期长度的区间来解函数的值域， 令，则，则，由定义域可去掉绝对值号， 故，所以的值域为，所以D正确； 由D正确可知：的图象上没有函数值小于0的点，的图象不可能关于点中心对称，故B错误． 11. 已知等差数列满足：，公差，其前项和为，且，则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和公式，结合可得，即.代入，求出，判断A；根据，解不等式可判断B；用表示，进而表示，利用基本不等式，可判断C；用表示，根据，求得的取值范围，判断D. 【详解】由题可知，， 所以. 因为，公差，所以， 故，即. 当时，，故A正确. 若，则，所以，即， 故，故B正确. 由，得. 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3，故C错误. 由，得，即，解得，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，，则实数的值为______． 【答案】或2 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令和，结合条件，可得关于m的方程，求解即可. 【详解】令，则 令，则， 所以，整理得，解得或2． 13. 在正四棱台中，，，为线段的中点，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明平面，利用等体积法求解即可. 【详解】连接交于点， 则，且，故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 因为，， 四边形中，作于，中，，，故， 所以． 14. 如图，过作两条不同的直线，且分别交抛物线于四点，分别交轴于两点，以为直径作圆，过原点作的切线，则切线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，，方程设为，直线和抛物线联立方程组，利用韦达定理得到的值，同理得到的值，设，，方程设为，直线和抛物线联立方程组，利用韦达定理得到的值，同理得到的值，求出值，从而得到的值，设，利用勾股定理求出切线段长，将，代入圆的方程分别得到一个等式，将这两个等式相减，得到，代入切线段长得解. 【详解】设，，，， 方程设为， 代入，得， 同理， 设，，方程设为代入， 得，得， 同理， 两式相乘得：，又， 故， 设，切线段长为：， 将代入圆的方程得：（*）， 同理（**），两式相减得：， 故，代入（*）得：， 故所求切线段的长度：． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，实地测量中，在岸边选了3个位置在对岸处，下面得到了一些参数．已知：，，，． （1）求的长度； （2）求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求出； （2）延长交于点，先在中，求出的值，再利用正弦定理求出的长，最后设，由即可求出. 【小问1详解】 在中，， ． 【小问2详解】 延长交于点，则，所以为等边三角形，，， 由，得， 在中，， 在中，由正弦定理可得，，则， 在中，设，由，可得，则． 故的值为． 16. 在长方体中，，，为线段的中点，． （1）求的长度； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直性质定理与线面垂直判定定理可得平面，则可得，从而可得，再设，可得，解出即可得； （2）建立适当空间直角坐标系后，可求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 因为平面，且平面，所以， 又，又，平面，所以平面， 又平面，则， 则，故， 故，设， 则，则，故的长度为； 【小问2详解】 如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有，可得， 取，则，，即， ， 则所求线面角的正弦值等于. 17. 甲、乙两人进行投篮，两人每次投进的概率分别为，． （1）若甲、乙两人各投篮一次，“两人总投进次数”，求的值； （2）若甲投篮3次，乙投篮2次，比较两人所投进的球数，进球多者胜出，求甲胜出的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定的取值，再根据独立事件可求相应的概率，得到分布列后根据公式求得期望； （2）就甲投进的次数分类讨论，再利用独立事件的概率公式求相应的概率. 【小问1详解】 易知的可能取值为0，1，2，则， ，， 分布列如下： 0 1 2 故． 【小问2详解】 甲胜出的情况如下： 甲投进1次，乙投进0次的情况：， 甲投进2次，乙投进0次或1次的情况：， 甲投进3次的情况：， 故甲胜出的概率． 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点为，是双曲线上一点，轴，． （1）求双曲线的标准方程． （2）过点作斜率为的直线交该双曲线于两点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若点不在直线上，且点满足：平分，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）将代入双曲线方程，可得，得到，再由，联立求得的值，即可求解； (2)（ⅰ）求得方程为，联立方程组，求得交点坐标，再由，转化为，即可求解； （ⅱ）设，得到，化简得到点的轨迹是一个圆，且圆心满足的方程，进而求得面积最大值. 【小问1详解】 解：设双曲线的右焦点为，将代入双曲线方程，可得， 因为是双曲线上一点，轴，且，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，即， 因为，可得，所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）知，所以，且, 可得直线方程为，即， 联立方程组，整理得，即， 解得，，所以，， 因为，可得，即，解得． （ⅱ）设，由三角形内角平分线的性质，可得，即， 即， 化简得， 所以点的轨迹是一个圆，其圆心为，满足的方程， 当面积最大时，高为半径， 又由， 故面积的最大值为． 19. 已知函数． （1）证明：． （2）对于任意的，求解下列问题． （ⅰ）已知函数，证明：有两个不同的实数根：； （ⅱ）若，证明：． 【答案】（1） 函数的定义域为，， 令，，故是减函数， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 故． （2） （ⅰ）， 在上，，所以单调递增. 在上，，所以单调递减. ，时，时，， 根据零点存在定理，在区间与上，各有一个零点， 故有两个不同的实数根：． （ⅱ）由（1）可知 所以，化为， 解此一元二次不等式得 ， 同理，． 故得证． 【解析】 【分析】（1）求导，研究导函数的正负，从而得到原函数的单调性，得到最大值. （2）（ⅰ）求导，利用导函数研究原函数单调性，根据零点存在定理，判断零点个数； （ⅱ）根据（1）中的结论将放缩，从而得到关于的一元二次不等式，求解出范围，利用不等式的运算得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $