精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

定远育才学校2025-2026学年高一（下）3月月考试卷 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设与都是非零向量．下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的概念，向量共线的性质，可得答案. 【详解】对于A，向量与满足且，若向量与反向，则，故A不符合题意； 对于B，由，则，故B不符合题意； 对于C，由，则向量与同向，所以，故C符合题意； 对于D，向量与满足，若向量与反向，则，故D不符合题意. 故选：C. 2. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可求解． 【详解】由已知可得扇形的圆心角，扇形半径， 则扇形面积为 故选：A. 3. 已知向量满足，，且在方向上的投影向量的模与在方向上的投影向量的模相等，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设向量的夹角为，由题意可得，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】设向量的夹角为， 所以在方向上的投影向量的模为， 在方向上的投影向量的模为， 所以，则，所以， 所以. 故选：A. 4. 如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得．已知山高，则山高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，在中，利用正弦定理求出，进而可得出，即为所求. 【详解】由题意可知，，又因为，则为等腰直角三角形， 故， 在中，，，则， 由正弦定理，可得， 由题意可知，，因为， 则. 故选：D. 5. 已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 6. 如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用线性运算求得，然后求得，最后利用共线定理的推论列式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 因为P、B、N三点共线，所以，解得. 故选：D． 7. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出最大值，即可求出三角形面积最大值. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以 （其中）， 所以， 则， 即三角形的面积的最大值是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值. 8. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数关系计算求解. 【详解】由余弦定理得， ， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知平面向量满足，则（） A. B. C. 的取值范围为 D. 的最大值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，题目条件可转化为，.对于B，对条件进行平方即可求解；对于A，先求平方再开方，结合A即可求解；对于C，通过分析可知点在以的中点为圆心，为半径的圆上，数形结合即可判断CD. 【详解】令，则，， 对于B，，，即，即，故B错误； 对于A，，故A正确； 对于C，如图所示，设，的中点为，则， 则， 即，解得， 点在以中点为圆心，为半径的圆上， 当点与点或重合时，取得最小值为， 由B可知，所以， 当且仅当时等号成立，由上图可知，当时，有， 故的最大值为，故的取值范围为，故C正确； 对于D，， ，， ， 当点与点重合时，取最小值，为， ，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数为偶函数，则 B. 若时，且在上单调，则 C. 若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D. 若函数在上至少有两个最大值点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A项，根据正余弦函数奇偶性可得出，从而求出，可判断A；对于B项，根据正弦定理单调性列出不等式，求解可求出范围，从而判断B；对于C项，求解，计算相邻交点的最小距离和最大距离，将题意转化为相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离不小于，列不等式组求解可得的范围，从而判断C；对于D项，在上至少有两个最大值点，则，可求出的大致范围，在的范围下逐一讨论区间端点所在范围，可求出的最终范围. 【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则， 则，故A项错误； 对于B项，时，， 因为，所以， 因为在上单调，所以有，解得，故B项正确； 对于C项，由题意，则或， 则或， 所以相邻交点最小的距离为，最大距离为. 由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离不小于， 所以，且， 所以，故C项错误； 对于D项，， 故，所以，所以. 因为，所以. 由于，所以， 则，解得； ②，解得； ③，解得； ④当时，，满足在上至少有两个最大值点； 综上所述，. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题C选项考察由三角函数的零点个数求的范围，解题的关键在于考虑端点距离与所给区间的关系，D选项考察已知区间内极值点个数，求的范围，解题的关键在于从区间长度确定的大致范围后，要继续代入端点值讨论端点落入不同的范围时求解. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 非零向量和满足，则与的夹角为 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若非零向量和满足，则在方向上的投影向量的模为 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助模长与数量积的关系及向量夹角公式计算可得A；利用基底定义可得B；利用投影向量的模的定义计算可得C；举出反例可得D. 【详解】对A：由，则， 故，则， 则， 故，故A正确； 对B：由向量，得，故与共线， 故向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确； 对C：在方向上的投影向量的模为，故C正确； 对D：若为零向量，与不为零向量，则有，， 但与不一定平行，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的朋友可得解析式，再根据正弦型函数的对称轴方程得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 令， 解得， 当时，得对称轴方程为， 故答案为：. 13. 设向量，满足，，且．若向量与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量与的夹角为钝角可以得到这两个向量的数量积为负，以及与不反向共线，可求出结果. 【详解】由题设可得：， 因为向量与的夹角为钝角， 所以且与不反向共线， 可得：， 所以，解得， 若向量与反向共线时，存在实数，使得成立， 可得，解得：（正解舍）， 所以与不反向共线，， 综上所述， 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递增，则取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用整体代入得方法得到的单调递增区间，然后列不等式求解即可. 【详解】令，解得， 所以的单调递增区间为， 因为在上单调递增，所以，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，△ABC的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. （2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边. 【小问1详解】 由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． 【小问2详解】 由△ABC的面积为，得，所以ab＝8． 由余弦定理，得， 所以． 16. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若与垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可列方程求解； （2）根据向量垂直坐标表示以及数量积的运算律，即可化简求解. 【小问1详解】 由于，若，则满足，解得； 【小问2详解】 与垂直，则， 即， 故， 化简可得，解得或. 17. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）平方米. （2）平方米. （3），最大值为. 【解析】 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【小问1详解】 由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. 【小问2详解】 因为，在中，，， 中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. 【小问3详解】 在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 18. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，， （1）求的值； （2）若F为线段BE上的动点，G为AF中点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系得出再代入计算求解系数即可； （2）设，结合中点坐标得出 ，再应用数量积坐标公式结合二次函数值域计算求解. 【小问1详解】 以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 可得，，， 因为， 则，所以； 【小问2详解】 因为点F在线段BE：，上， 设，，且GAF中点，则， 可得，， 则， 且，函数单调递增， 所以当时，取到最小值为； 19. 已知函数 （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； （3）若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 【小问3详解】 当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高一（下）3月月考试卷 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设与都是非零向量．下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. 且 B. C. D. 2. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，，且在方向上的投影向量的模与在方向上的投影向量的模相等，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 5 4. 如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得．已知山高，则山高（ ） A. B. C. D. 5. 已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（ ） A. B. C. D. 7. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知平面向量满足，则（） A. B. C. 的取值范围为 D. 的最大值为5 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数为偶函数，则 B. 若时，且上单调，则 C. 若时，图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D. 若函数在上至少有两个最大值点，则 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 非零向量和满足，则与的夹角为 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若非零向量和满足，则在方向上的投影向量的模为 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 13. 设向量，满足，，且．若向量与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________． 14. 已知函数在上单调递增，则取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，△ABC的面积为，求c． 16. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若与垂直，求实数的值． 17. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 18. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，， （1）求的值； （2）若F为线段BE上的动点，G为AF中点，求的最小值． 19 已知函数 （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； （3）若不等式在区间上恒成立，求m取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $